TS3 - énoncé et correction du DS6

DS6 – TS3 – 8 janvier 2015
Exercice 1
Soit (O,  ) un repère orthonormé de l’espace. On donne les points A(1 ; 2 ; 4), B(2, – 1, 5) et C(– 1, 3, 1).
1. Donner un système d’équations paramétriques de la droite (AB).
2. Soit c le plan d’équations paramétriques : 
.
a. Donner deux vecteurs  dirigeant le plan c.
b. Montrer que les vecteurs  ,   ne sont pas coplanaires. Que peut-on en déduire pour la droite (AB) et le
plan c ?
c. Déterminer les coordonnées du point E d’intersection de la droite (AB) et du plan c.
d. Etudier la position relative du plan c et de la droite (AC).
3. Justifier que les points A, B et C définissent un plan.
4. Soit  la droite parallèle à la droite (AC) passant par E.
a. Donner un système d’équations paramétriques de la droite .
b. Déterminer les coordonnées du point F de la droite  de cote .
c. Justifier que les plans (ABC) et c se coupent suivant la droite 
Exercice 2
On considère la fonction f définie sur [0 ; 5] par :
f(x) =
!
"
#
.
On note C
f
sa courbe représentative dans un repère
orthonormal.
1. On admettra que f est dérivable sur ]0 ; 5[.
a. Calculer f’(x).
b. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 5].
2. Donner l’équation de la tangente T à C
f
au point A
d’abscisse 1.
3. Tracer C
f
et T dans le repère ci-contre.
Exercice 3
Soit u une fonction définie et dérivable sur  dont on donne le tableau de variations ci-dessous :
x –∞ 3 +∞
u’(x) + 0 –
u(x)
5
–∞ 2
1. Justifier que l’équation u(x) = 0 admet une solution unique α sur .
2. Donner le tableau de signes de u(x) en fonction de x.
3. Soit f la fonction définie sur  par : f(x) = [u(x)]
2
.
a. Etudier les limites de f en –∞ et en +∞.
b. Calculer f’(x).
c. En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations.

CORRECTION
Exercice 1
1. La droite (AB) est l’ensemble des points M(x, y, z) tels que $ = k où k décrit .
$ %
&
'(
%&
&
"'%
)
'*$
= k +
&)
 +,-.
/01.
23..
2. Soit c le plan d’équations paramétriques : 
.
a. Les vecteurs 4 %-
5
-'678
%5
-
-'dirigent le plan c.
b. Sachant que   ne sont pas colinéaires, les vecteurs  ,   sont coplanaires s’il existe deux réels a et b
tels que 9 :+9
):
9:+9
:)
;) le système n’a pas de solution
donc les vecteurs <= , 4 678 ne sont pas coplanaires donc la droite (AB) est sécante au plan c
cc
c .
c. La droite (AB) et le plan c sont sécants en E donc le système suivant a une solution unique :
>
?
@
?
A
&)
B
B
+
>
?
@
?
A
&)
&)
B
B
+
>
?
@
?
A
&)
&)
B
B
+
>
?
@
?
A
&)
&)
B
+
>
?
@
?
A
&)
)&
B
+
>
?
?
?
?
@
?
?
?
?
A
&
)
&)C&
)
&
)
&
)
&
)
B
+
>
?
?
?
@
?
?
?
A
"
)
D
)
&
)
&
)
B
EFGHIJK
1*5*-3 1L
d. La droite (AC) a pour vecteur directeurM %
)&
'%& )' .
Sachant que   ne sont pas colinéaires, les vecteurs M ,   sont coplanaires s’il existe deux réels a et b
tels queM 9 :+&9
:
)9:+9&
:
)& donc le système a une solution unique donc
les vecteurs <N , 4 678 sont coplanaires donc la droite (AC) est parallèle au plan c
cc
c .
De plus, on sait que la droite (AB) est sécante au plan c en E, donc le point A n’appartient pas au plan c donc
la droite (AC) n’est pas incluse dans le plan c
cc
c donc elle est strictement parallèle au plan c
cc
c .
3. Les points A, B et C définissent un plan s’ils ne sont pas alignés c’est-à-dire si les vecteurs  %
)
' et M
%&
)' ne
sont pas colinéaires ; or
O
PQ
;
P
O
donc  et M ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent un plan.
4. Soit  la droite parallèle à (AC) passant par E.
a. La droite  est l’ensemble des points M(x, y, z) tels que R$
= k’M où k’ décrit .

R$ STM +
>
?
@
?
A
"
)&
))+
>
?
@
?
A
,K
10.
/.
2-3
11..
UVW
X
)+
>
?
@
?
A
"
)&
) ))+
>
?
@
?
A
"
)&
)
) )+Y"
)&
)Z +Y"
)[ )
&
& 
\]^_`ab]cd_]]d\]^^e6fJg
1*0*3 1L
c. La droite (AB) est incluse dans le plan (ABC) et est sécante au plan c en E donc les plans (ABC) et c
cc
c sont
sécants.
Le point E appartient donc aux deux plans (ABC) et c donc aussi à leur droite d’intersection.
La droite  est parallèle à la droite (AC) et la droite (AC) est parallèle au plan c donc la droite  est parallèle au
plan c A
Le point E appartient à la droite hijkhlc donc la droite  est incluse dans le plan cA
cAcA
cA
La droite  est parallèle à la droite (AC) donc elles sont coplanaires donc la droite   est incluse dans le plan
(ACE).
Le point E appartient à la droite (AB) donc il appartient au plan (ABC) donc les plans (ABC) et (ACE) sont
confondus donc la droite   est incluse dans le plan (ABC).
Conclusion : la droite  est incluse dans les plans (ABC) et c et ces deux plans sont sécants donc la droite  est
l’intersection de ces deux plans.
Exercice 2
On considère la fonction f définie sur [0 ; 5] par : f(x) = !"#.
1. On admettra que f est dérivable sur ]0 ; 5[.
a. f = mi donc f’ =
nB
Qmn
avec u(x) = x(5 – x) = 5x – x² donc u’(x) = 5 – 2x . Donc f’(x) =
KP0o
0 o!KPo#
b. f’(x) = 0 + 5 – 2x = 0 + – 2x = – 5 + x =
p
Q
= 2.5
x 0 2.5 5
5 – 2x + 0 –
q
!
"
q
#
0 + + 0
f ’(x) + 0 –
f(x)
2.5
0 0
f(0) = DC!"D# = 0 ; f(2.5) = &"C!"&"#m&"C&" &"r = 2.5 ; f(5) = "C!""# = 0
2. La tangente T à C
f
au point A d’abscisse 1 a pour équation : y = f’(1) (x – 1) + f(1).
f(1) = C!"# m = 2 et f’(1) =
pPQCO
Q O!pPO# QCQ
= 0.75
y = f’(1) (x – 1) + f(1) + y = 0.75(x – 1) + 2 + y = 0.75x – 0.75 + 2 + y = 0.75x + 1.25.
3. .

Compléments :
s justification de la dérivabilité de f sur ]0 ; 5[ :
La fonction u, définie par u(x) = x(4 – x) est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur  donc aussi sur ]0 ; 5[ ;
sur ]0 ; 5[ , le trinôme x(5 – x) est strictement positif donc la fonction m est dérivable sur cet intervalle.
s justification de la non dérivabilité de f à droite de 0 :
Soit h  ]0 ; 5[.
ktu
vwx
y
z!D{#z!D#
{ ktu
vwx
y
z!{#z!D#
{ktu
vwx
y
{!"{#
{ ktu
vwx
y
m{Cm"{
{ ktu
vwx
y
m"{
m{
ktu
vwx
y
!"{#"
ktu
|wp
m}m"~•€l•jh‚•€uj€ƒtt€l„ktu
vwx
y
m"{m"
ktu
vwx
y
m{D
…
†•€l•jh‚‡i€tlktu
vwx
y
m"{
m{ˆ
•€l•zl
B
ƒjhƒ•e‚t‰hŠk‹•‚€t•D
s justification de la non dérivabilité de f à gauche de 5 :
Soit h un réel strictement positif
ktu
vwx
y
z!"{#z!"#
{  ktu
vwx
y
{!"{#
{  ktu
vwx
y
m{Cm"{
{  ktu
vwx
y
m"{
m{
ktu
vwx
y
!"{#"
ktu
|wp
m}m"~•€l•jh‚•€uj€ƒtt€l„ktu
vwx
y
m"{m"
ktu
vwx
y
m{D
P
†•€l•jh‚‡i€tlktu
vwx
y
m"{
m{ˆ
•€l•zl
B
ƒjhƒ•e‚t‰hŠkhŒhi•{•"
Exercice 3
Soit u une fonction définie et dérivable sur  dont on donne le tableau de variations ci-dessous :
x –∞ 3 +∞
u’(x) + 0 –
u(x)
5
–∞ 2
1. Sur l’intervalle ] –∞ ; 3] u est continue et strictement croissante et 0 appartient à l’intervalle image ] –∞ ; 5] donc
d’après le TVI, l’équation u(x) = 0 admet une solution unique α ] –∞ ; 3] .
Sur l’intervalle [3 ; +∞[ f est continue et strictement décroissante et 0 • ]2 ; 5] donc l’équation u(x) = 0 n’a pas de
solution dans cet intervalle.
Conclusion : l’équation u(x) = 0 admet une solution unique α sur .
2. D’après le tableau de variation et la question précédente on en déduit le tableau de signe de u(x) :
x –∞ α +∞
u(x) – 0 +
3. Soit f la fonction définie sur  par : f(x) = [u(x)]
2
.
aktu
ŽwP•
i!q#ˆ
 ktu
|wP•
}rˆ~•€l•jh‚•€uj€ƒtt€l•‘’
owP•
“!o#ˆ
ktu
Žw…•
i!q#&
ktu
|wQ
}r~•€l•jh‚•€uj€ƒtt€l•‘’
ow…•
“!o#3
c. f’(x) = 2 u(x) u’(x).
d. variations de f et tableau de variations : f(α) = [u(α)]
2
= 0² = 0 et f(3) = [u(3)]
2
= 5² = 25
x –∞ α 3 +∞
u(x) – 0 + +
u’(x) + + 0 –
f ’(x) = 2 u(x) u’(x) – 0 + 0 –
f(x)
+∞ 25
0 4