TS3 - énoncé et correction du DS6

DS6 – TS3 – 8 janvier 2015
Soit (O, , , ) un repère orthonormé de l’espace. On donne les points A(1 ; 2 ; 4), B(2, – 1, 5) et C(– 1, 3, 1).
Exercice 1
1.
2.
Donner un système d’équations paramétriques de la droite (AB).
1
4
Soit c le plan d’équations paramétriques :
et
a. Donner deux vecteurs
3.
4.
et
.
dirigeant le plan c.
b. Montrer que les vecteurs
, et ne sont pas coplanaires. Que peut-on en déduire pour la droite (AB) et le
plan c ?
c. Déterminer les coordonnées du point E d’intersection de la droite (AB) et du plan c.
d. Etudier la position relative du plan c et de la droite (AC).
Justifier que les points A, B et C définissent un plan.
Soit la droite parallèle à la droite (AC) passant par E.
a. Donner un système d’équations paramétriques de la droite .
b. Déterminer les coordonnées du point F de la droite
de cote
c. Justifier que les plans (ABC) et c se coupent suivant la droite .
.
Exercice 2
On considère la fonction f définie sur [0 ; 5] par :
f(x) = !5
#.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère
orthonormal.
1.
2.
3.
On admettra que f est dérivable sur ]0 ; 5[.
a. Calculer f’(x).
b. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 5].
Donner l’équation de la tangente T à Cf au point A
d’abscisse 1.
Tracer Cf et T dans le repère ci-contre.
Exercice 3
Soit u une fonction définie et dérivable sur
x
u’(x)
dont on donne le tableau de variations ci-dessous :
–∞
+
3
0
5
+∞
–
u(x)
–∞
1.
2.
3.
Justifier que l’équation u(x) = 0 admet une solution unique α sur .
Donner le tableau de signes de u(x) en fonction de x.
Soit f la fonction définie sur par : f(x) = [u(x)]2.
a. Etudier les limites de f en –∞ et en +∞.
b. Calculer f’(x).
c. En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations.
2
CORRECTION
La droite (AB) est l’ensemble des points M(x, y, z) tels que $ = k
où k décrit .
, - .
1
1
2 1
1
$%
% 1 2' % 3 ' ; $ = k
+
2' (
2
3 + / 0 1.
5 4
1
4
2 3 .
4
1
4
Soit c le plan d’équations paramétriques :
et
.
Exercice 1
1.
2.
5
a. Les vecteurs 4 %5' 67 8 % -'dirigent le plan c.
, et sont coplanaires s’il existe deux réels a et b
b. Sachant que et ne sont pas colinéaires, les vecteurs
1 9
9 1
tels que
9
: +
le système n’a pas de solution
3
: +
: 3
1 9 :
1;1 3
donc les vecteurs <= , 4 67 8 ne sont pas coplanaires donc la droite (AB) est sécante au plan c .
c. La droite (AB) et le plan c sont sécants en E donc le système suivant a une solution unique :
A
?
@
?
>
+
A
?
?
?
?
@
?
?
?
?
>
1
1
A
2 3
2 3
?
4
4
+
1
1
1
@
B
4
4
?2 3
B
>4
2
1
4
B
2
3
3C
2
3
2
3
4
2
3
2
3
+
A
?
?
?
@
?
?
?
>
B
B
B
+
A
?
@
?2 3
>4
1
2 3
4
5
3
0
14
3 EFGH I JK ; 5; -3L
2
1
1
3
2
3
4
4
B
B
+
A
?
@
?2
>
3
4
1
2 3
4
4
B
4
+
4.
A
?
@
? 3
B
>
1
2 3
4
2
4
1 1
2
M% 3 2 ' % 1 '.
1 4
3
Sachant que et ne sont pas colinéaires, les vecteurs M , et sont coplanaires s’il existe deux réels a et b
2 9
9
2
tels que M 9
: +
+
donc le système a une solution unique donc
1
:
:
1
3 9 :
3
2 1
les vecteurs <N , 4 67 8 sont coplanaires donc la droite (AC) est parallèle au plan c .
De plus, on sait que la droite (AB) est sécante au plan c en E, donc le point A n’appartient pas au plan c donc
la droite (AC) n’est pas incluse dans le plan c donc elle est strictement parallèle au plan c .
1
2
Les points A, B et C définissent un plan s’ils ne sont pas alignés c’est-à-dire si les vecteurs
% 3' et M % 1 ' ne
1
3
O
P
sont pas colinéaires ; or PQ ; O donc
et M ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent un plan.
d. La droite (AC) a pour vecteur directeur
3.
.
Soit
est l’ensemble des points M(x, y, z) tels que R$ = k’ M où k’ décrit .
la droite parallèle à (AC) passant par E.
a. La droite
A
?
5
3
2
A,
?
0.
.
/ .
-3
3
1.
1
5
5
5
5
7
A
2
A
2
2
3
3
4
?
?
4
3
3
3
+
U. V ∆ et X
+
+ Y
+ Y
2
3
@ 4 14
@
14 4
?
?3
2
3
3
6
> 3
>
3
3 3
g
3
\]^_ ` a b]cd _]]d\]^^é6f J
; 0;
L
1
1
c. La droite (AB) est incluse dans le plan (ABC) et est sécante au plan c en E donc les plans (ABC) et c sont
sécants.
Le point E appartient donc aux deux plans (ABC) et c donc aussi à leur droite d’intersection.
La droite est parallèle à la droite (AC) et la droite (AC) est parallèle au plan c donc la droite est parallèle au
plan c A
Le point E appartient à la droite et au plan c donc la droite est incluse dans le plan cA
La droite est parallèle à la droite (AC) donc elles sont coplanaires donc la droite est incluse dans le plan
(ACE).
Le point E appartient à la droite (AB) donc il appartient au plan (ABC) donc les plans (ABC) et (ACE) sont
confondus donc la droite est incluse dans le plan (ABC).
Conclusion : la droite est incluse dans les plans (ABC) et c et ces deux plans sont sécants donc la droite est
l’intersection de ces deux plans.
R$
k’ M +
@
?
>
14
3
+
K
1
@
?2
>
!5
Exercice 2
On considère la fonction f définie sur [0 ; 5] par : f(x) =
1. On admettra que f est dérivable sur ]0 ; 5[.
a. f = √u donc f’ =
nB
Q√n
#.
avec u(x) = x(5 – x) = 5x – x² donc u’(x) = 5 – 2x . Donc f’(x) =
p
b. f’(x) = 0 + 5 – 2x = 0 + – 2x = – 5 + x = = 2.5
x
5 – 2x
x!5 x#
f ’(x)
0
Q
0
2.5
0
+
+
+
KP0o
0 o!KPo#
5
–
+
0
2.5
0
–
f(x)
f(0) = 0 C !5 0# = 0 ; f(2.5) = 2.5 C !5 2.5# √2.5 C 2.5
2.5² = 2.5 ; f(5) = 5 C !5
La tangente T à Cf au point A d’abscisse 1 a pour équation : y = f’(1) (x – 1) + f(1).
0
2.
3.
f(1) = 1 C !5
1#
√4 = 2 et f’(1) =
0
pPQCO
Q O!pPO#
QCQ
y = f’(1) (x – 1) + f(1) + y = 0.75(x – 1) + 2 + y = 0.75x – 0.75 + 2 + y = 0.75x + 1.25.
.
= 0.75
5# = 0
Compléments :
⟶ justification de la dérivabilité de f sur ]0 ; 5[ :
La fonction u, définie par u(x) = x(4 – x) est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur donc aussi sur ]0 ; 5[ ;
sur ]0 ; 5[ , le trinôme x(5 – x) est strictement positif donc la fonction √ est dérivable sur cet intervalle.
⟶ justification de la non dérivabilité de f à droite de 0 :
Soit h ∈ ]0 ; 5[.
f!0 h# f!0#
f!h# f!0#
h!5 h#
lim
limy
limy
vwxy
vwx
vwx
h
h
h
limy!5 h# 5
donc par composition: limy √5 h
vwx
vwx
~
et lim √X √5
√h
et
lim
0…
y
|wp
lim
vwxy
√5
vwx
donc f nB est pas dérivable à droite de 0.
√h C √5
h
h
lim
vwxy
√5
† donc par quotient limy
vwx
√h
√5
h
√h
h
∞
⟶ justification de la non dérivabilité de f à gauche de 5 :
Soit h un réel strictement positif
h# f!5#
h!5 h#
√h C √5 h
√5 h
limy
limy
limy
vwx
vwx
vwx
vwx
h
h
h
√h
limy!5 h# 5
donc par composition: limy √5 h √5
√5 h
vwx
vwx
~
† donc par quotient limy
P
vwx
et lim √X √5
et limy √h 0
√h
limy
f!5
|wp
vwx
donc f nB est pas dérivable a gauche de 5.
∞
Soit u une fonction définie et dérivable sur ℝ dont on donne le tableau de variations ci-dessous :
x
–∞
3
+∞
u’(x)
+
0
–
5
u(x)
–∞
2
Exercice 3
1.
2.
3.
Sur l’intervalle ] –∞ ; 3] u est continue et strictement croissante et 0 appartient à l’intervalle image ] –∞ ; 5] donc
d’après le TVI, l’équation u(x) = 0 admet une solution unique α ∈ ] –∞ ; 3] .
Sur l’intervalle [3 ; +∞[ f est continue et strictement décroissante et 0 ∉ ]2 ; 5] donc l’équation u(x) = 0 n’a pas de
solution dans cet intervalle.
Conclusion : l’équation u(x) = 0 admet une solution unique α sur ℝ.
D’après le tableau de variation et la question précédente on en déduit le tableau de signe de u(x) :
x
–∞
α
+∞
u(x)
–
0
+
Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = [u(x)]2.
a.
lim u!x#
∞
ŽwP•
et
lim X²
|wP•
lim u!x#
Žw…•
et lim X²
|wQ
2
4
∞
~ donc par composition •‘’ “!o#
∞
owP•
~ donc par composition •‘’ “!o#
3
ow…•
c. f’(x) = 2 u(x) u’(x).
d. variations de f et tableau de variations : f(α) = [u(α)]2 = 0² = 0 et f(3) = [u(3)]2 = 5² = 25
x
u(x)
u’(x)
f ’(x) = 2 u(x) u’(x)
–∞
–
+
–
α
0
0
+∞
3
+
+
+
0
0
25
+∞
+
–
–
f(x)
0
4