exercices feuille 2

Exercice 1 : contrôle de qualité
Une machine fabrique des pièces de forme circulaire en grande série
dont la masse moyenne  est de 150 grammes et l'écart type 2,1.
Soit
X
la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 400 pièces
prélevées au hasard et avec remise, associe la moyenne des diamètres
des pièces de cet échantillon.
1. Quelle est la loi suivie par
X
?
2. Déterminer le nombre positif h tel que :
P(µ – h ≤ M ≤ µ + h)= 0,95.
Exercice 2
Après la correction d'une épreuve d'examen comportant un grand
nombre de candidats, on constate que les notes ont pour moyenne 12 et
pour écart type 3.
Soit
X
la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire et non
exhaustif de taille 100 associe la moyenne des notes de cet échantillon.
Quelle loi supposée
X
suit-elle ?
On se propose de prélever un échantillon aléatoire non exhaustif de 100
notes. Quelle est la probabilité d'avoir la moyenne d'un tel échantillon
supérieure à 12,5 ;
comprise entre 12,5 et 12,9
Exercice3 : Fille ou garçon
Dans une population, on constate qu'il naît 52 % de garçons et 48 % de
filles. On note p le pourcentage de garçons de cette population.
Soit F est la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille n = 400
prélevé au hasard et avec remise dans la population, associe le
pourcentage de garçons dans cet échantillon.
1. Donner la loi supposée de F.
2. On se propose de prélever un échantillon aléatoire non exhaustif
de 400 nouveau-nés 2.1. Quelle est la probabilité d'avoir, dans
un tel échantillon, un pourcentage de garçons compris entre 50
% et 54 % ?
2.2. Quelle est la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, un
pourcentage de filles inférieur à 45 % ?
Exercice 4
20 % des ménages américains ne possèdent pas de compte en banque.
On prélève 400 ménages dans la population successivement, au hasard
et avec remise.
1. On désigne par X la variable aléatoire qui prend pour valeur le
nombre de ménages, parmi les 400, qui ne possèdent pas de compte en
banque.
1.1. Déterminer la loi de probabilité de X..
1.2. Par quelle loi de probabilité peut-on approcher la loi de X ?
Justifier.
2. On désigne par F la variable aléatoire qui prend pour valeur la
proportion d'individus, parmi les 400 prélevés, qui ne possèdent pas de
compte en banque
2.1. En utilisant la question 1.2, dire par quelle loi on peut approcher la
loi de probabilité de F.
2.2. Calculer une valeur approchée de la probabilité pour que F soit in-
férieur à 25%.

exercice à rerédiger
Exercice 2 : contrôle de qualité
Une machine fabrique des pièces en grande série.
À chaque pièce tirée au hasard, on associe sa longueur exprimée en
millimètres ; on définit ainsi une variable aléatoire X.
On suppose que X suit la loi normale N(m ; σ), où m = 28,20 et σ =
0,027.
On admet que la variable aléatoire M qui, à tout échantillon aléatoire
non exhaustif de taille n, associe la moyenne des longueurs des n pièces
de l'échantillon, suit la loi normale N(m ; ),
Déterminer n pour que : P (28,195 ≤ M ≤ 28,205) = 0,95.
Exercice 4 : échantillonnage exhaustif et non
exhaustif
Supposons que les poids de 3000 femmes de 25 ans sont distribués
suivant une loi normale de moyenne m = 68 kg et d’écart type σ = 3 kg.
On prélève 80 échantillons de 25 femmes chacun, quelles sont les
valeurs espérées de la moyenne et de l’écart type de la distribution
d’échantillonnage des moyennes si l’échantillon est :
a. non exhaustif
b. exhaustif.
Exercice d'examen
Une enquête concernant les montants des tickets de caisse a été
effectuée dans un supermarché. On admet que la loi de la variable
aléatoire X, qui à tout ticket tiré au hasard dans l'ensemble des tickets
imprimés pendant une journée associe son montant exprimé en francs,
peut être approchée par la loi normale d'espérance mathématique m =
500 et d'écart type σ = 200.
1° Calculer la probabilité p que le montant d'un ticket de caisse choisi au
hasard dépasse 400 F (donner la valeur approchée de p arrondie à 10 –2
près).
2° Soit a un réel positif. E est l'événement (500 – a ≤ X ≤ 500 + a).
Déterminer a tel que la probabilité de E soit égale à 0,9 (donner la
valeur approchée de a arrondie à l'unité près).
3° On prélève successivement et avec remise, trois tickets de caisse. On
note Y la variable aléatoire qui mesure le nombre de tickets dont le
montant dépasse 400 F parmi les trois.
a) Déterminer la loi suivie par Y.
b) Déterminer en fonction de p, défini à la première question, la
probabilité d'obtenir, parmi les trois tickets prélevés, au moins un ticket
dont le montant dépasse 400 F. Calculer cette probabilité à l'aide de la
valeur approchée de p trouvée en 1°.
4° On prélève maintenant, successivement et avec remise, n tickets de
caisse. On note Z la variable aléatoire qui associe, à chaque échantillon
de taille n, la moyenne de cet échantillon. On admet que Z suit
approximativement la loi normale d'espérance mathématique m = 500 et
d'écart type σ' = .
Soit E1 l'événement : (Z ≤ 538).
Déterminer la valeur minimale de n pour que P( E1) ≥ 0,99.