Séquence 10 : Notion de probabilité et fluctuation d`échantillonnage

Séquence 10 : Notion de probabilité et fluctuation d’échantillonnage
I.
Expérience aléatoire
Définition :
- Une expérience aléatoire est une expérience liée au hasard qui a plusieurs issues possibles que l’on ne
peut pas prévoir.
- L’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire est appelé univers. En général, on le note  .
Exemple : On lance un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6 et on note le nombre figurant sur la
face supérieure du dé : C’est une expérience aléatoire puisqu’on ne pas prévoir le résultat.
L’univers est  = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
Autres exemples : pile ou face, tirer une carte dans un jeu de 32 cartes…
II.
Loi de probabilité
Définition : Soit 
,
…
sur , c’est associer à chaque issue
telle façon que :
l’univers d’une expérience aléatoire. Définir une loi de probabilité
un nombre compris entre 0 et 1, appelé probabilité de de
…
Exemple : On lance une pièce de monnaie truquée de telle sorte que la
probabilité d’obtenir pile est le double d’obtenir face.
On peut définir la loi de probabilité suivante sur  = {P ; F} :
P
2
3
F
1
3
Définition : Dans le cas où l’on associe à chacune des issues d’une expérience aléatoire la même
probabilité , on parle de loi équiprobable. Dans ce cas, la probabilité d’une issue est .
Pour certaines expériences aléatoires comme ici, on connait la probabilité d’obtenir chaque issue.
Dans le cas contraire, on peut répéter un très grand nombre de fois l’expérience, et on remarque alors que
la fréquence d’apparition de chaque issue se stabilise.
Au XVIIème siècle, Jacques Bernouilli démontre que cette fréquence se stabilise. Il la définit alors comme
probabilité de l’issue considérée.
On dit alors qu’on détermine les probabilités de chaque issue par l’observation statistique des fréquences.
Propriété : Loi des Grands Nombres
Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, les fréquences d’apparition d’une
issue ont tendance à se stabiliser autour d’un nombre. Ce nombre correspond à la probabilité de .
Exemple : voir TP
III. Échantillonnage
Exemple : Dans une urne comportant 40% de boules rouges, on tire au hasard une boule et on lui associe
1 si elle est rouge, 0 sinon. En répétant 50 fois cette expérience aléatoire (avec remise de la boule tirée),
on obtient une liste de 50 nombres 1 et 0, nommée échantillon de taille 50, semblable à celle-ci :
, , , ,…, , .
Définition : Un échantillon de taille
la même expérience.
est la liste de
résultats obtenus par
répétitions indépendantes de
Exemple : Si un échantillon comporte 16 fois le 1 et donc 34 fois le 0, la fréquence du caractère « rouge »
sur cet échantillon est égale à
,32.
Si l’on réalise plusieurs échantillon de taille 5 , la fréquence de « rouge » varie d’un échantillon à l’autre
et n’est pas en général égale à la fréquence
,4 de « rouge » dans la population,
Définition : Les distributions de fréquences varient d’un échantillon à l’autre : on dit que
de ; il s’agit de la fluctuation d’échantillonnage.
fluctue autour