Mathématiques – Algèbre et analyse – L2 STEP Stéphane

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Mathématiques – Algèbre et analyse – L2 STEP
Stéphane Jacquemoud (16-déc.-05)
I. Formules de trigonométrie
()
sin sin cos sin cosab a b b a+= + sin 2 2sin cosaaa=
()
cos cos cos sin sinab a b a b+= − 22 2 2
cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2sinaaa a a= − = −=−
()
tan tan
tan 1tantan
ab
ab ab
+
+=
−2
2tan
tan 2 1tan
a
aa =−
() ()
1
sin sin cos cos
2
ab ab ab=−−+
21cos2
sin 2
a
a− =
() ()
1
cos cos cos cos
2
ab ab ab=−++
21cos2
cos 2
a
a+ =
()()
1
sin cos sin sin
2
ab ab ab=++−
sin sin 2sin cos
22
ab ab
ab +− += sin sin 2sin cos
22
ab ab
ab −+ −=
cos cos 2cos cos
22
ab ab
ab +− += cos cos 2sin sin
22
ab ab
ab +− −=−
2
22 2
21 2
tan sin , cos et tan
21 1 1
at t t
taa a
tt t
−
=⇒== =
++ −
II. Fonctions dérivables
II.1. Définitions
• Soit f une fonction définie sur un voisinage de 0 x : f est dérivable en 0 x si
() ( )
0
0
f
xfx
xx
−
− tend vers une limite finie
quand x tend vers 0
x. Cette limite finie, si elle existe, sera appelée dérivée de f au point 0 x et notée
()
0
'
f
x
() () ( ) ()()
0
000
00
0
'lim lim
xx h
f
xfx fxhfx
fx xx h
→→
−+−
==
−
• Si
() ( )
0
0
f
xfx
xx
−
− tend vers une limite finie quand 0
xx
+
→ on dit que f admet au point 0 x une dérivée à droite égale
à cette limite finie. On la note
()
0
'
f
x+. On définit de même la dérivée à gauche. Si
()
0
'
f
x+ et
()
0
'
f
x− existent et
sont distinctes, f n’est pas dérivable en 0
x : on dit que la courbe présente un point anguleux. Si
() ()
00
''
f
xfx
+−
=,
alors f est dérivable en 0
x et
()
() ()
00 0
'''
f
xfxfx
+−
==.
 Pr. Stéphane Jacquemoud, Université Paris 7 – Denis Diderot / Institut de Physique du Globe de Paris, Equipe de Géodésie & gravimétrie,
Case 89, 4 place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France  [phone] ¬ [phone]  jacque[email protected]sieu.fr
á http://www.ipgp.jussieu.fr/

2
• théorème : une fonction dérivable en un point est continue en ce point.
• Si la fonction f définie sur un intervalle I de  admet une dérivée en tout point de I, on définit l’application dérivée
de la fonction f notée '
f
. Cette application est dite de classe n C si elle est dérivable n fois sur I et si de plus la
dérivée nème est continue sur I. Si f est indéfiniment dérivable sur I, elle est de classe C∞.
II.2. Dérivées de quelques fonctions
• produit scalaire :
() () () ()
''hx f x h x f x λλ =⇒=
• une somme :
() () () () () ()
'''hx f x gx h x f x g x=+⇒=+
• un produit :
() () () () () () () ()
'' 'hx f xgx h x f xgx f xg x=⇒=+
• une fraction :
() ()
() () () () () ()
()
2
''
'
f
x f xgx f xg x
hx h x
gx gx
−
=⇒= et
() () () ()
()
2
'
1'
g
x
hx h x
gx gx
−
=⇒=
• puissance nème :
() () () () ()
1
''
nn
hx f x h x nf x f x − =⇒= 
• fonction composée :
() ( )() () ( )() ()
'' 'hx g f x h x g f x f x=⇒=×
• fonction réciproque :
() () ()
()
()
1
1
1
'' hx f x h x
f
fx
−
−
=⇒=
Ex : calculer la dérivée de arcsin x
[]
sin
arcsin
1,1 ,
22
xy
yx
xy
ππ
=
=
⇔
∈− ∈−
soit
()
1arcsin
f
xx
−= et
() ()
sin ' cos
f
yyfy y=⇒= donc
()
() ()
11
'cos arcsin fx x
−=
or
() () ()
222 2
cos arcsin 1 sin arcsin 1 cos arcsin 1xxxxx=− =− ⇒=−
donc
()
][
2
1
arcsin ' sur 1,1
1
x
x
=−
−
Ex : calculer la dérivée nème de
()
2
3
1
1
x
y
x
+
=+
on montre que
()()
32
221
1
11
yx
xx
=−+
+
++
soit
() () ()
23 4
112 6
''''''
111 1
zz z z
xxx x
=⇒=− ⇒=⇒=−
+++ +
on suppose que
()
()
()
1
!
1
1
n
n
n
n
z
x+
=− + et on montre que cette expression est valable au rang n+1
() ( ) ( ) ()
() ()
() () () () ()
()
21
21
321
2! 1! !
'' 2 ' 2 1 2 1 1
111
nnn
nn n n
nnn
nn
n
yz zz y z z z
xxx
++
++
+++
++
=+ +
⇒=+ +=− +− +−
+++
()
()
()()( )()()() ()
()
()
222
3 3
1! 1!
12211 1 2 1
11
n n
n
n n
nn
ynnnxx xnxnn
xx
+ +
−−
⇒=++−++++=−+++
++
II.3. Propriétés
• théorème de Rolle : si f est une fonction continue sur
[]
,ab , dérivable sur
][
,ab et si
() ()
0fa fb== alors
][
,cab∃∈ tel que
()
'0fc=. Géométriquement, cela signifie que si une courbe coupe l'axe des abscisses en xa=
et xb= et possède une tangente en chaque point de l'intervalle, il existe au moins un point c entre a et b où la
tangente est parallèle à l'axe des x.

3
• théorème des accroissements finis : si f est une fonction continue sur
[]
,ab et dérivable sur
][
,ab , alors
][
,cab∃∈ tel que
() () ( ) ()
'
f
bfa bafc−=− . Géométriquement, ceci revient à dire qu’il existe au moins un point
c entre a et b où tangente à la courbe est parallèle à la droite AB.
• théorème : si f est une fonction de classe n C sur
[]
,ab admettant une dérivée n+1ème sur
][
,ab , alors
][
,cab∃∈ tel
que
() () () () () ()
()
() ()
()
()
()
21
1
'''
1! 2! ! 1 !
nn
nn
ba ba ba
ba
f
bfa fa fa fa f c
nn
+
+
−−−
−
=+ + ++ +
+
…
C’est la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre n appliquée à la fonction f sur
[]
,ab .
• formule de Taylor-Young : si f est une fonction de classe 1n C− sur un intervalle I contenant a et si
()
()
n
f
a existe,
alors il existe une fonction ε définie sur I telle que xI∀∈
() () () () () ()
()
() ( ) ()
2
'''
1! 2! !
n
n
n
xa xa
xa
f
xfa fa fa f axa x
n
ε
−−
−
=+ + ++ +−
… avec la condition
()
lim 0
xa x
ε
→=
On parle de développement de Taylor de f à l'ordre n en a.
III. Intégrales et primitives
III.1. Intégrale simple
a) Sommes de Darboux
Soit f une fonction définie sur [a,b] avec a < b et f bornée sur [a,b]. On subdivise l’intervalle [a,b] en n−1 points
intermédiaires x1, x2,…, xn−1 tels que a < x1 < x2 < … < xn−1 < b. On pose a = x0 et b = xn. Il existe une infinité de
subdivisions (d) car on peut choisir n et la position des points arbitrairement. A chaque subdivision on associe une
somme de Darboux inférieure
()
s
d et une somme de Darboux supérieure
()
Sd :
() ( )
1
1
n
ii i
i
s
dxxm
−
=
=−
∑ et
() ( )
1
1
n
ii i
i
Sd x x M
−
=
=−
∑
où mi et Mi sont les bornes inférieures et supérieures de f sur [xi−1,xi]. Ces bornes existent car f étant bornée sur [a,b] est
aussi bornée sur chaque sous-segment. On définit (e) = ensemble des sommes de Darboux inférieures et (E) = ensemble
des sommes de Darboux supérieures. On peut montrer que tout élément de (e) est inférieur ou égal aux éléments de (E).
Donc (e) est majoré par un élément quelconque de (E) ⇒ (e) admet une borne supérieure I'. De même, (E) est minoré
par un élément quelconque de (e) ⇒ (E) admet une borne inférieure I''. la fonction f définie et bornée sur [a,b] est dite
intégrable sur [a,b] au sens de Riemann si les deux ensembles (e) et (E) formés par les sommes de Darboux s(d) et S(d)
sont adjacents. La borne commune de ces deux ensembles I' = I'' est appelée intégrale de la fonction f sur [a,b] et on la
note I :
()
b
a
I
fxdx=∫
b) Somme de Riemann
Soit f une fonction définie sur [a,b] avec a < b et f bornée sur [a,b]. On subdivise l’intervalle [a,b] en n−1 points
intermédiaires x1, x2,…, xn−1 tels que a < x1 < x2 < … < xn−1 < b. On pose a = x0 et b = xn. Il existe une infinité de
subdivisions (d) car on peut choisir n et la position des points arbitrairement. A chaque subdivision on associe une
somme de Riemann σ :
()()
1
1
n
ii i
i
xx f σλ
−
=
=−
∑
avec
[]
1, iii
xx λ
−
∈. Par définition f est intégrable sur [a,b] au sens de Riemann s'il existe un réel I tel que ∀ε∈R+
∗, ∃α∈
R+
∗ tel que pour toute subdivision (d) vérifiant xi − xi−1 < α et quel que soit le choix de λi, on ait σ−I< ε. I est appelé
intégrale de la fonction f sur [a,b] et on la note :
()
b
a
I
fxdx=∫

4
c) Propriétés
• théorème : une fonction f définie et bornée sur le segment [a,b] est intégrable sur [a,b] si et seulement si elle l'est sur
[b,a] et alors ( ) ( )
ab
ba
f
xdx f xdx=−
∫∫
.
• théorème : toute fonction monotone sur [a,b] est intégrable sur [a,b].
• théorème : toute fonction continue sur [a,b] est intégrable sur [a,b].
• théorème : si f est bornée et intégrable sur [a,b], les bornes étant m et M, alors
[]
()
, ()
b
a
mM f x dx b a µµ ∃∈ = −
∫.
µ est la valeur moyenne de la fonction f sur [a,b].
• formule de Chasles : si la fonction f est bornée ou intégrable sur chacun des deux intervalles [a,c] et [c,b], alors f est
intégrable sur [a,b] et ( ) ( ) ( )
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫
• théorème : si f et g sont bornées et intégrables sur [a,b], f + g est intégrable sur [a,b] et
()
() () ()
bbb
aaa
f
g x dx f x dx g x dx+= +
∫∫∫
• théorème : si f est bornée et intégrable sur [a,b] et si
λ
∈, la fonction
f
λ
est intégrable sur [a,b] et
()
() ()
bb
aa
f
xdx f xdx λλ =
∫∫
• inégalité de Schwarz :
()
()
() ()
222
() () ()
bbb
aaa
f
g x dx f x dx g x dx≤×
∫∫∫
d) Intégrale fonction d'une extrémité de l’intervalle d'intégration
• théorème : si f est intégrable sur [a,b] et si x0 est un point de [a,b], la fonction F définie sur [a,b] par
() ()
0
x
x
F
xftdt=∫ est continue. Dans le cas particulier où f est continue, alors F est dérivable en tout point de [a,b]
et
() ()
'
F
xfx=.
• primitive d'une fonction continue : si f est une fonction définie sur [a,b], F est une primitive de f sur [a,b] si et
seulement si
[]
() ()
,, 'xabFx fx∀∈ = .
• théorème : si f admet une primitive F sur [a,b], elle admet une infinité de primitives qui sont toutes les fonctions G
définies par
() ()
Gx Fx cte=+.
• Soit f une fonction continue sur [a,b] et
()
b
a
I
ftdt=∫. Soit F une primitive de f sur [a,b], alors :
() ( ) ( ) ()
0
0
0
x
x
x
xftdt Fx Fx Ft=− =
∫
III.2. Recherche de fonctions primitives
a) Primitives usuelles
domaine de définition fonction f primitive F
 avec n
n
x∈
1
1
n
x
n
+
+
*
1
xln x
*
+
 avec x
α
α ∈
1
1
x
α
α
+
+
0ax b+>
()
avec ax b
α
α +∈
()
()
1
1
ax b
a
α
α
+
+
+
x
e
x
e
avec 0
ax
ea≠
ax
e
a
{
}
*
avec 1
x
aa
+
∈−ln
x
a
a
sin xcos x−

5
cos xsin x
,
22
kk
ππ
ππ
−+ +
2
2
1
1tan cos
xx += tan x
()
,1kk ππ +
 2
2
1
1cot sin
xx += cot x−
][
1, 1−22
1
ax−arcsin x
a
22
1
ax+
1arctan x
aa
20xh+> 2
1
xh+
2
ln xxh++
b) Changement de variable
Soit f une fonction continue sur un intervalle et F une primitive de f sur cet intervalle :
() ( ) ( )
0
0
x
x
f
tdt Fx Fx=−
∫
Soit une application g de [α,β] dans cet intervalle. On supposera que g est continue, dérivable et à dérivée continue. On
désigne par Φ la fonction
() ( )() () ( )() () ( )() ()
'' ' '
y
Fg y y Fg y g y f g y gyΦ= ⇒Φ= × = ×. Alors
()
()
() () () ()
()
()
()
()
()
()
'g
g
f
gt g tdt Fg Fg fudu
β β
α α
βα β α ×=Φ−Φ= − =
∫∫
Ex : calculer une primitive de
()
2
sin
f
xxx=
()
0
2
sin
x
x
F
xttdt=∫
on pose 22tu tdtdu=⇒=
() []
22
2
20
0
2
11 1
sin cos cos
22 2
xx
x
x
F
xuduu xcte==−=−+
∫
c) Intégration par partie
Soient u(x) et v(x) deux fonctions continues, dérivables, à dérivées continues sur [a,b].
()() ()() () ()
'' 'uxvx u xvx uxv x=+
 ⇒ la fonction
()() () ()
''uxvx uxvx+ a pour primitive le produit
()()
uxvx
donc
()() () () ()() () () ()() ()()
'' ' '
bbb
bb
aa
aaa
u xvx uxv x dx uxvx uxv xdx uxvx u xvxdx+=⇒=−
∫∫∫
.
Ex : calculer une primitive de
()
arctan
f
xx=
()
0
arctan
x
x
F
xtdt=∫
on pose 2
arctan
1
dt
utdu
t
dv dt v t
=⇒=
+
=⇒=
()
[] []
() ()
00
00
22
2
11
arctan arctan ln 1 arctan ln 1
221
x
x
xx
xx
xx
t
F
xt t dtt t t x x xcte
t
=−=−+=−++
+
∫
d) Primitive d'un polynôme en sin x et cos x
Soit
()
0
sin cos
xpq
x
F
xttdt=∫ avec
()
2
,pq ∈
• supposons qu'un des exposants soit impair : par exemple 2'1pp=+ et 2'qq=