correction - MPSI-3

Lycée Thiers
GROUPES - EXERCICES DE BASE (CORRECTION)
Ex ¬
Tables de groupes finis
(1) Table de la multiplication modulo 5 dans {1, 2, 3, 4} :
y
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
1
3
3
3
1
4
2
4
4
3
2
1
Comparons avec la table de l’addition modulo 4 dans {0, 1, 2, 3} , en disposant les éléments
dans l’ordre 0, 1, 3, 2 :
y
0
1
3
2
0
0
1
3
2
1
1
2
0
3
3
3
0
2
1
2
2
3
1
0
On constate que, au nom près des éléments, les règle de calul sont les mêmes. Autrement
dit, ces tables sont « structurellement identiques », puisqu’elles correspondent l’une comme
l’autre au modèle :
y e a b c
e e a b c
a a c e b
b b e c a
c c b a e
Il s’agit d’une loi de groupe abélien : on peut vérifier à la main (c’est fastidieux !) l’associativité, la commutativité, l’existence d’un élément neutre et l’existence, pour chaque
élément, d’un symétrique. Lorsque les définitions appropriées auront été données, on
dira que les groupes ({0, 1, 2, 3} , addition mod. 4) et {1, 2, 3, 4} , multiplication mod. 5 sont
isomorphes.
(2) Table de la multiplication mod. 4 dans {0, 1, 2, 3} :
y
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
Cette fois, il ne s’agit plus d’une loi de groupe. En effet, il y a bien un élément neutre
(c’est 1) mais 0 et 2 n’ont pas de symétrique.
(3) Dressons la table pour cette opération :
GROUPES - EXERCICES DE BASE (CORRECTION)
y
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
2
c
c
b
a
e
On sait que la loi ◦ est associative et que e = idR2 est neutre. Manifestement chaque élément possède un symétrique : lui-même. Il s’agit donc bien d’un groupe, qui est visiblement
associatif.
Remarque. Ce groupe K n’est pas isomorphe à celui rencontré à la question 1°. En effet, K
ne possède aucun générateur (ce n’est pas un groupe cyclique), contrairement au groupe
de la question 1° qui en possède deux.
(4) La table d’une opération commutative présente une symétrie par rapport à sa diagonale.
(5) Si (G, .) est un groupe et si a ∈ G, l’application G → G, x 7→ ax est un bijection. En effet,
pour chaque y ∈ G, l’équation ax = y (d’inconnue x ∈ G) possède une solution unique,
à savoir x = a−1 y. Par conséquent, chaque ligne de la table d’un groupe (fini) comporte
les éléments de G, sans répétition ni omission. Idem pour les colonnes (en considérant la
bijection G → G, x 7→ xa).
(6) Si deux colonnes étaient identiques, alors chaque ligne comporteraient une répétition : c’est
impossible d’après le point précédent.
(7) L’opération proposée n’est pas associative, puisque
x?y ?z=t?z=x
tandis que
x? y?z =x?t=z
On n’a donc pas affaire à un groupe.
Remarque. On verra plus tard qu’un groupe de cardinal premier est nécessairement cyclique
donc abélien. Or cette opération n’est pas commutative. C’est une autre manière de voir les
choses.
Ex ­
Petit calculs dans S4
(1) On voit successivement que :


 1 2 3 4 

s = 
2 3 4 1 
et donc
s =s
3
−1

 1 2 3 4
s = 
3 4 1 2
2

 1 2 3 4
= 
4 1 2 3




s4 = e




(2) M est un sous-ensemble de S4 , stable par produit (à cause de s4 = e) et par passage à
l’inverse (e et s2 sont leur propre inverse, s et s3 sont inverses l’un de l’autre). Ainsi, M est
un sous-groupe de S4 .
Remarque. On peut montrer que toute partie d’un groupe qui est non vide, finie et stable
est un sous-groupe. Ceci simplifie le processus de vérification qu’une partie donnée d’un
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groupe est un sous-groupe : il n’est pas nécessaire de tester la stabilité par passage à
l’inverse.
(3) En posant

 1 2 3 4
a = 
2 1 4 3
on a :





 1 2 3 4
b = 
3 4 1 2

 1 2 3 4
c = ab = 
4 3 2 1






 = ba

Remarque. Les bijections a, b et c sont appelées des « double-transpositions ». Cette terminologie est naturelle : a échange 1 et 2 et échange également 3 et 4. Analogue pour b et
c.
(4) K est un sous-ensemble de S4 , stable par produit (car a2 = b2 = c2 = e, ab = ba = c,
ac = ca = b, bc = cb = a) et par passage à l’inverse (e est son propre inverse et chacun des
trois autres est son propre inverse). Les groupes K et M sont structurellement différents :
aucun générateur dans K, contre deux dans M (à savoir s et s3 ). On retrouve la situation
décrite à la question 3° de l’exercice 1.
Ex ®
Un groupe non abélien de cardinal 6
(1) f et g sont des involutions, donc des bijections.
(2) Un sous-groupe de S (E) contenant f et g doit nécessairement contenir e = idE , f et g mais
aussi (en raison de la stabilité par produit) :
1
1−x
x−1
g ◦ f : E → E, x 7→
x
x
f ◦ g ◦ f : E → E, x 7→
x−1
Il n’est pas nécessaire de prolonger davantage la liste, l’ensemble A = e, g, f, f g, g f, f g f
est un groupe dont voici la table :
f ◦ g : E → E, x 7→
y
e
f
g
fg
gf
fgf
e
e
f
g
fg
gf
fgf
f
f
e
gf
fgf
g
fg
g
g
fg
e
f
fgf
gf
fg
fg
g
fgf
gf
e
f
gf
gf
fgf
f
e
fg
g
fgf
fgf
gf
fg
g
f
e
Remarque. On n’a pas noté la loi ◦ explicitement, pour alléger l’écriture.
Ex ¯
L’hypothèse
∀x ∈ G, x2 = 1
signifie que chaque élément est son propre inverse. Donc, pour tout x, y ∈ G2 : xy = x−1 y−1 =
yx −1 = yx. Ainsi G est abélien.
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Ex °
(1) La condition Z (G) = G signifie que le groupe (G, .) est abélien. On peut considérer que le
centre d’un groupe donne une “mesure” de son défaut de commutativité : “plus le centre
est petit, moins le groupe est commutatif”. Un groupe dont le centre est réduit à l’élément
neutre est fortement non commutatif !
(2) Il est clair que 1 ∈ Z (G) . Si (a, b) ∈ Z (G)2 , alors pour tout g ∈ G :
(ab) g = a bg = a gb = ag b = ga b = g (ab)
et donc ab ∈ Z (G) . Enfin, si a ∈ Z (G) , alors pour tout g ∈ G :
−1 −1
a−1 g = g−1 a
= ag−1
= ga−1
ce qui montre que a−1 ∈ Z (G) . Ainsi Z (G) est un sous-groupe de (G, .) .
(3) Notons A l’ensemble des applications affines non constantes de R dans R.
Il est clair que A ⊂ S (R) . Vérifions que A est un sous-groupe de S (R) . L’application idR
est de la forme t 7→ at+b avec (a, b) = (1, 0) ; elle appartient donc à A. Si f : R → R, t 7→ at+b
et g : R → R, t 7→ ct + d avec (a, b, c, d) ∈ R4 , a , 0 et c , 0, alors :
∀t ∈ R, f ◦ g (t) = a (ct + d) + b = act + (ad + b)
et comme ac , 0, on constate que f ◦ g ∈ A. Enfin, si (a, b) ∈ R? × R, alors la bijection
t b
réciproque de f : R → R, t 7→ at + b est f −1 : R → R, t 7→ − . Visiblement f −1 ∈ A.
a a
Finalement, A est un sous-groupe de (S (R) , ◦) et donc un groupe pour la loi ◦. Ce groupe
n’est pas abélien, comme on le voit avec le contre-exemple suivant :
u : t 7→ t + 1 et v : t 7→ 2t
u ◦ v : t 7→ 2t + 1 et v ◦ u : t 7→ 2t + 2
Déterminons maintenant le centre de A. Soit f : t 7→ at + b un élément de Z (A) . Alors, pour
tout g ∈ A, f ◦ g = g ◦ f. Autrement dit, pour tout (c, d) ∈ R? × R :
∀t ∈ R, a (ct + d) + b = c (at + b) + d
c’est-à-dire ad + b = bc + d, ou encore bc + (1 − a) d − b = 0. Ceci impose a = 1 et b = 0, donc
f = idR . En conclusion :
Z (A) = {idR }
Ex ±
Supposons que H 1 K, ce qui se traduit par : ∃h ∈ H tel que h < K. Montrons qu’alors K ⊂ H. Pour
tout k ∈ K, comme h ∈ H ∪ K et k ∈ H ∪ K, alors hk ∈ H ∪ K (puisque par hypothèse H ∪ K est stable
par produit). Donc hk ∈ H ou hk ∈ K. Si hk ∈ K, alors h = (hk) k−1 ∈ K (stabilité de K par produit) :
absurde ! Donc hk ∈ H et donc k = h−1 (hk) ∈ H. Ainsi K ⊂ H.
Ce résultat est à retenir : l’union de deux sous-groupes n’est pas un sous-groupe, sauf si l’un d’eux
contient l’autre.