Tableau 1

Analyse des données:
Pièces de 1 cent:
données des années
précédentes
1
Tableau 1
Données brutes - tableau partiel,
> 1500 pièces
Tableau 1.
Étude portant sur les masses de pièces de monnaie canadienne de 1 cent.
TP1, module 2
Compteur
Code de
l'étudiant
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
p0779316
p0779316
p0779316
p0779316
p0779316
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p0779316
p0820214
p0820214
p0820214
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p0820214
p0820214
p0820214
p0820214
p0820214
p0820214
Année de État de la diamètre/ épaisseur
frappe
pièce
mm
/mm
1976
1979
1981
1994
1997
1999
2001
2004
2005
2006
1976
1978
1983
1986
1989
1999
2001
2003
2005
2006
t.o
t.o
t.o
l.o
n
o
l.o
n
l.o
n
o.
t.o.
t.o.
o.
t.o.
l.o.
n.
l.o.
n.
n.
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
19.0
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
masse/g
3.2102
3.2542
2.7052
2.5004
2.2375
2.2366
2.2476
2.2481
2.2207
2.2243
3.3042
3.2810
2.4839
2.4899
2.5128
2.2608
2.2564
2.3817
2.2426
2.2691
2
Analyse des résultats
• Trois objectifs:
– Établissement du nombre de chiffres significatifs d’une
valeur et intervalle de confiance
– Comparaison des résultats
– Choix du meilleur modèle mathématique pour représenter un
ensemble de données expérimentales: moyenne, droite (m
et b), autre modèle…
3
Analyse tableau 1: Moyenne
• Avec Excel
– Utilitaire d’analyse:
sous l’onglet «Outils»
• Si l’utilitaire n’est pas
présent, ouvrir «macros
complémentaires» et cocher
l’outil « utilitaire d’analyse ».
– Choisir «Statistiques
descriptives»
• Trouver la masse moyenne
des valeurs du tableau qui se
trouvent dans la colonne G,
de G8 à G1528 (1521
valeurs)
4
Résultats pour la masse
=s
= s2

1.960 0.3646
1521
5
(Nombre de degrés
de liberté)
(Niveaux de confiance)
N.B.: pour le calcul de l’intervalle de confiance,
6
le nombre de degrés de liberté = n - 1
Bonne conclusion ?
• Oui ou non?
• La moyenne calculée doit
bien représenter
l’ensemble des données
– Qu’est la moyenne
mathématique?
• Une évaluation de la valeur
vraie, µ, de la population
des valeurs possibles.
Ces valeurs possibles
supposent qu’il n’y a qu’une
vraie valeur et que les
mesures sont distribuées
normalement.
7
Tableau 1: Moyenne
• Quand peut-on faire une moyenne?
• Comment vérifier si une distribution est une
distribution normale?
– Calcul des probabilités
– Comparer la probabilité empirique à la probabilité
calculée avec les paramètres de la distribution,
moyenne et variance
– Droite de Henry
La droite de Henry est une méthode graphique pour ajuster une distribution
gaussienne à celle d'une série d'observations (d'une variable numérique continue).
En cas d'ajustement, elle permet de lire rapidement la moyenne et l'écart type d'une
8
telle distribution.
Loi normale
• La valeur de ‘y ’ dans cette
fonction représente, en principe,
le nombre de résultats ayant une
valeur ‘x’, divisé par le nombre
total de résultats observés.
• C'est la probabilité d'obtenir le
résultat « x ».
• L'équation est valable lorsque le
nombre d'observations est très
grand, soit n ∞.
9
Loi normale
• Si le nombre de résultats possibles
est infini, chacun des résultats a une
probabilité d'occurrence nulle.
• Une courbe continue représente
une densité de probabilité plutôt
qu'une probabilité.
• La probabilité est obtenue en
mesurant la surface sous la courbe
donnant la densité de probabilité
entre deux valeurs ‘a’ et ‘b’
(ex. entre x=-1 et x=-2 sur le
graphique à droite).
10
Probabilités empiriques
• On peut construire un graphique des probabilités
empiriques d’occurrence d’une valeur d’intervalle en
fonction de la valeur centrale de l’intervalle (e.g. si la
probabilité qu’une valeur soit dans l’intervalle [2,225 à
2,235] est 0,066, la valeur est mise en graphique au
point central 2,23g…)
11
Calcul des probabilités empiriques
12
Calcul des probabilités empiriques
13
Calcul des probabilités empiriques
14
Calcul des probabilités empiriques
15
Distribution des probabilités en
fonction des masses
Valeurs A2005
16
Distribution calculée avec loi normale
1
y
e ( x x )
s 2

2
/ 2s
2
x  2.5065 g
Diapo #5
s = 0.3646 g

17
Conclusions
18
Masses vs. année de frappe
19
Composition – pièce de 1cent
Source: Wikipedia Penny (Canadian coin)
20
Masses vs. année de frappe
21
Masses vs. année de frappe: mise
en graphique
22
Observations
• Les pièces de 2003 semblent différentes des
pièces des autres années de 1997 à 2006. Voir la
diapo 21.
• Comment tester si les masses des pièces de
2003 sont différentes de celles des autres années
entre 1997 et 2006?
23
Comparaison des données
24
Statistiquement égaux….
25
Comparaison de données
• L’un ou l’autre des tests
« t » suivants permet de
comparer deux moyennes:
– Le premier suppose que les
variances sont statistiquement
égales
– Le second est utilisé quand les
variances ne sont pas
statistiquement égales
– Donc tester d’abord si
s12 = s22 ……
tcalculé
x1  x2

sgroupé
t calculé 
n1n2
n1  n2
x1  x2
s12 s2 2

n1 n2
26
Comparaison des variances
• Utiliser test F
• Variance de l’échantillon 2003: 0.00523476 (s12); n1 = 65
• Variance de l’échantillon 1997-2006 sans 2003: 0.00088263
(s22); n2 = 733
• F = s12/s22 (où s1 > s2)
• F = 0.00523476/0.00088263 = 5.93
• Fcritique = 1.00 (voir diapo #28)
• F > Fcritique donc s12 ≠ s22
27
Tableau des valeurs critiques pour F
F = s12/s22
(où s1 > s2)
28
Test « t »
t calculé 
t calculé 
x1  x2
s12 s2 2

n1 n2
2.35195  2.24881
0.00523476 0.00088263

65
733
t calculé  11.408
29
Test « t »
 Nombre de
degrés de liberté =




 (s12 / n1  s22 / n2 )2 

 2


 (s12 / n1)2 (s22 / n2 )2 


 n 1  n 1 
2

 1






2 
 0.00523476/ 65 0.00088263/733

 
 2  68  2  66
2
2 

 0.00523476/ 65
0.00088263/ 733  






66
734

 
 



 


30
(Nombre de degrés
de liberté)
(Niveaux de confiance)
N.B.: pour le calcul de l’intervalle de confiance,
31
le nombre de degrés de liberté = n - 1
Test « t »
• tcalculé (= 11.408) > tStudent (= 2.000)
• CONCLUSION:
Les masses des pièces de 2003 sont différentes
de celles des autres années entre 1997 et 2006.
32
Comment vérifier si un échantillon de
données suit une distribution
normale?
• Données: 109, 89, 99, 99, 107, 111, 86, 74, 115, 107,
134, 113, 110, 88, 104 (n=15)
= 100 x fréq. cumulative/(n+1)
33
Données d’une distribution normale –
courbe en forme de « S »
Données à la diapo 33
34
Droite de Henry
• Faire le graphique
des valeurs de %
fréquence cumulative
en fonction des
valeurs xi sur un
papier graphique de
probabilité (papier
gausso-arithmétique).
35
Droite de Henry
Données à la diapo 33
36