Suites

Chapitre I
Suites
☞ Exercices 18, 19, 20, 23, 24, 26, 31, 32, 34 page 34 pour revoir les notions de première
sur les suites (récurrence, sens de variation ...)
1
Suite géométrique
1.1
Définition
Définition 1
Une suite u est géométrique s’il existe un certain réel non nul q, appelé raison de la
suite, tel que, pour tout n > 0, un+1 = q × un
Exemple 1
Soit la suite u géométrique, de premier
terme u0 = 5 et de raison q = −2.
u0 = . . .
La définition de u par récurrence est
un+1 = . . . . . . . . .
Les premiers termes de cette suite sont u1 = . . . , u2 = . . . , u3 = . . . , u4 = . . . , u5 = . . . ,
u6 = . . . .
Remarque 1
• Si la raison vaut 0, tous les termes de la suite sont nuls sauf peut-être u0 .
• Pour qu’une suite u soit géométrique, il faut et il suffit que, pour tout n ∈ N, les termes
un soient non nuls et que le quotient uun+1
soit constant : uun+1
= q ∈ R∗ . Le nombre q
n
n
est alors la raison de la suite u.
Exemple 2
Par exemple, soit u définie par un = 2 × 3n−1 .
2 × 3n
un+1
=
=3
On a, pour tout entier naturel n,
un
2 × 3n−1
Donc la suite u est géométrique, et sa raison est q = 3.
☞ Exercices 35, 38, 39, 42, 46 page 35
1.2
Propriétés
Propriété 1
Soit u une suite géométrique, de premier terme u0 et de raison q.
Relation entre un et u0 :
Pour tout n ∈ N, on a un = u0 × q n
Relation entre un et up :
Pour tous n, p ∈ N, on a un = up × q n−p
1
Ces formules permettent d’obtenir la définition explicite d’une suite géométrique à partir
de sa définition par récurrence :
Exemple 3 On place un capital de 5000e à un taux annuel de 2%. Quel sera le capital dans
20 ans ?
On modélise la situation par la suite géométrique u de premier terme u0 = 5000 et de raison
q = 1, 02. un est donc le capital obtenu après n années et on a u20 = u0 ×q n = 5000 ×1, 0220 e.
☞ Exercices 47, 48, 49, 58, 67 pages 35 à 37
1.3
Sens de variation
Soit (un ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 donc :
un+1 − un = u0 × q n+1 − u0 × q n = u0 × q n × (q − 1)
La monotonie de la suite dépend du signe de u0 , q n et (q − 1)
– Si q < 0 alors q n est positif pour n pair, négatif pour n impair donc la suite n’est pas
monotone.
– Si q > 0 alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produit
u0 × (q − 1) .
Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants :
Théorème 1
Soit q un réel non nul.
– Si q < 0 alors la suite (q n ) n’est pas monotone.
– Si q > 1 alors la suite (q n ) est strictement croissante.
– Si 0 < q < 1 alors la suite (q n ) est strictement décroissante.
– Si q = 1 alors la suite (q n ) est constante.
Théorème 2
Soit (un ) une suite géométrique de raison q non nulle et de premier terme u0 non nul
– Si q < 0 alors la suite (un ) n’est pas monotone.
– Si q > 0 et u0 > 0 alors la suite (un ) a le même sens de variation que la suite (q n ).
– Si q > 0 et u0 < 0 alors la suite (un ) a le sens de variation contraire de celui de la suite
(q n ).
☞ Exercices 53, 54, 55 page 35
1.4
Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique
☞ Activité page 20 : La légende du jeu d’échecs K
Théorème 3 La somme de n + 1 termes consécutifs d’une suite géométrique, de premier
terme u0 et de raison q 6= 1 est donnée par :
S = u0 ×
1 − q n+1
1−q
(S = premier terme ×
2
1 − raisonnb de termes
)
1 − raison
Démonstration :
Soit q 6= 1 et S = 1 + q + q 2 + . . . + q n .
On a q × S = q + q 2 + . . . + q n + q n+1 .
Donc S − qS = 1 − q n+1 ⇐⇒ S(1 − q) = 1 − q n+1
1 − q n+1
donc, pour q 6= 1, S =
.
1−q
Pour tout i on a ui = q i u0 .
n
X
ui = u0 + u1 + . . . + un−1 + un = u0 + qu0 + q 2 u0 + . . . + q n u0
i=0
= u0 (1 + q + . . . + q n )
= u0
1 − q n+1
1−q
☞ Exercices 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 81, 82 page 39
1.5
1.5.1
Limite d’une suite géométrique
Notion de limite
• Limite égale à +∞
Définition 2 Une suite admet pour limite +∞ si tout intervalle ouvert de type ]A ; +∞[
contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p.
b
4
b
b
3
b
b
2A -
b
b
b
b
b
b
1
un > A pour n ≥ 11
b
b
b
b
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
Figure 1 – Une suite ayant pour limite +∞
Exemple 4 La suite u définie pour tout n ≥ 0 par un = n2 tend vers +∞. On note :
lim un = +∞
3
• Limite finie : suite convergente
Définition 3 Une suite converge vers un réel l si tout intervalle ouvert I contenant l
contient aussi tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p.
un
3
un ∈ I pour n ≥ 8
b
2
b
b
l
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
1
b
b
b
b
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
n
Figure 2 – Une suite convergente
Exemple 5 La suite u définie pour tout n > 0 par un =
1
tend vers 0. On note :
n
lim un = 0
Définition 4 Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
Exemple 6 Les suites ((−1)n )n et (n2 )n divergent.
Propriété 2 (Opérations sur les limites)
a et b désignent deux réels et u une suite.
• Si lim un = 0 alors lim(aun + b) = b
• Si lim un = +∞ alors :
lim(aun ) = +∞ si a > 0
lim(aun ) = −∞ si a < 0
lim(un + b) = +∞
1.5.2
Limite d’une suite géométrique
Théorème 4 Soit q un réel strictement positif :
– Si 0 < q < 1 alors la suite géométrique de terme général q n converge vers 0 : lim q n = 0.
– Si q = 1 alors la suite géométrique de terme général q n est constante et sa limite est
1.
– Si q > 1 alors la suite géométrique de terme général q n a pour limite +∞ : lim q n =
+∞.
4
Exemple 7
• Toute suite géométrique u de raison 0 < q < 1 converge vers 0 puisque son terme général
s’écrit : un = u0 × q n
• Soit v la suite géométrique
de premier terme v0 = −5 et de raison q = 23 . Alors, pour
n
tout n, vn = −5 × 32 .
n
Or 32 > 1 donc lim 23 = +∞.
n De plus, v0 = −5 < 0 donc lim vn = lim −5 × 32
= −∞
☞ Exercices 84, 85, 87, 88, 89, 92, 95 page 39
2
Algorithmes et suites : deux exemples
2.1
Calculs des termes d’une suite définie par récurrence
Soit (un ) la suite définie par u0 = 1 et un+1 = 2un + n pour tout n ≥ 0. On souhaite
calculer u100 .
Cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique (il suffit de calculer ses trois premiers termes
pour s’en convaincre). On ne dispose donc pas de définition explicite et le calcul de u100 nécessite le calcul de tous les termes de u1 à u99 .
Algorithme 1
Algorithme 2
INITIALISATION
U prend la valeur 1
TRAITEMENT
Pour n allant de 0 à 99 faire
U prend la valeur 2*U+n
SORTIE
Afficher U
INITIALISATION
U prend la valeur 1
n prend la valeur 0
TRAITEMENT
Tant que n<100
U prend la valeur 2*U+n
n prend la valeur n+1
Fin Tant que
SORTIE
Afficher U
(On pouvait aussi initialiser à u1 = 2 et
faire une boucle "Pour n allant de 1 à 99"
pour éviter de commencer à compter à 0)
2.2
Recherche d’un seuil à l’aide d’un algorithme
On place un capital de 2000e à un taux annuel de 1,5%. Dans combien d’années le capital
disponible sera-t-il supérieur à 3000e ?
On modélise la situation par la suite géométrique c de premier terme c0 = 2000 et de raison
q = 1, 015.
cn est donc le capital obtenu après n années et on a cn = c0 × q n = 2000 × 1, 015n e.
On cherche donc à résoudre l’inéquation : 2000 × 1, 015n ≥ 3000
L’inconnue n étant un exposant, nous avons besoin du logarithme (que nous étudierons plus
tard)pour la résoudre...
On s’en sort avec l’algorithme suivant :
5
Algorithme 3
INITIALISATION
C prend la valeur 2000
n prend la valeur 0
TRAITEMENT
Tant que n<3000
C prend la valeur 1.015*C
n prend la valeur n+1
Fin Tant que
SORTIE
Afficher n
On obtient en sortie : 28
À partir de la 28ème année, le capital sera donc supérieur à 3000e.
Remarque 2
Dans cet exemple, la raison de la suite géométrique étant strictement supérieure à 1, la
suite est croissante et la question posée est : trouver le plus petit entier n à partir duquel cn
dépasse une certaine valeur (le seuil).
Dans le cas d’une suite géométrique (un ) de raison strictement inférieure à 1, et donc décroissante, la question serait du type : trouver le plus petit entier n à partir duquel un devient
inférieur à une certaine valeur (le seuil). Dans ce cas, la boucle aurait été "Tant que n > . . . "
3
3.1
Suite arithmético-géométrique
Définition
Définition 5
On appelle suite arithmético-géométrique toute suite (un ) définie par une relation de
récurrence du type un+1 = aun + b où a et b sont deux réels, et un terme initial u0.
Remarque 3
Si a = 1, (un ) est arithmétique de raison b.
Si b = 0, (un ) est géométrique de raison a.
Pour de telles suites, on ne dispose pas de définitions explicites faciles (du type un = u0 +nr
pour les suites arithmétiques ou un = u0 q n pour les suites géométriques) permettant d’obtenir
directement des renseignements sur les variations ou la convergence.
On peut cependant représenter graphiquement les suites arithmético-géométriques ce qui permet de visualiser certaines propriétés de la suite.
On peut aussi ramener l’étude d’une suite arithmético-géométrique à celle d’une suite géométrique. C’est l’objet des deux paragraphes qui suivent.
6
3.2
Représentation graphique
1
1
On considère la suite (un ) définie par u0 = 5 et un+1 = un + 1. On a donc a = et b = 1.
2
2
1
La relation un+1 = un + 1 peut s’écrire un+1 = f (un ) où f est la fonction affine définie sur
2
1
R par f (x) = x + 1.
2
1
7
1
Par exemple f (u0) = u0 + 1 = × 5 + 1 = = u1 .
2
2
2
Dans un repère, on représente sur l’axe des abscisses les termes de la suite (un ) en suivant la
méthode suivante :
– On place u0 sur l’axe des abscisses.
1
– On trace la droite d’équation y = x + 1 : cette droite permet d’obtenir graphiquement
2
l’image de u0 par f soit u1 . On obtient donc u1 sur l’axe des ordonnées.
– Pour reporter u1 sur l’axe des abscisses, on trace la droite d’équation y = x qui est
formée de tous les points qui ont leur abscisse égale à leur ordonnée.
– Une fois u1 représentée sur l’axe des abscisses, on recommence le procédé...
b
b
4
u1 = f (u0 )
b
3
b
b
2
1
b
1
2
b
u3
u2
b
3
u1
4
u0 = 5
On peut maintenant émettre des conjectures sur la suite (un ). Elle semble être décroissante
et converger vers 2 (qui est l’abscisse du point d’intersection des deux droites tracées).
Pour démontrer ces conjectures, on va ramener l’étude à celle d’une suite géométrique.
7
3.3
Étude à l’aide d’une suite auxiliaire
Considérons la suite (vn ) définie par vn = un − 2.
Montrons que (vn ) est géométrique :
Il s’agit d’établir une relation du type vn+1 = qvn .
On a, pour tout n ≥ 0 :
1
1
1
1
1
1
vn+1 = un+1 − 2 = un + 1 − 2 = un − 1 = un − × 2 = (un − 2) = vn
2
2
2
2
2
2
1
On a prouvé que (vn ) est géométrique de raison q = .
2
Ainsi, pour tout n ≥ 0 : vn = v0 × q n . Or v0 = u0 − 2 = 5 − 2 = 3
n
1
D’où : vn = 3 ×
.
2
n
1
Et, puisque vn = un − 2, alors un = 2 + vn = 2 + 3 ×
.
2
Nous avons ainsi réussi à obtenir une définition explicite de (un ) par le biais de la suite géométrique (vn ).
1
La suite (vn ) est géométrique de raison 0 < q = < 1 donc elle est décroissante et converge
2
vers 0. Ainsi, lim un = lim(vn + 2) = 2.
Remarque 4 En TES, la suite auxiliaire est toujours donnée. Pour information (ceci est
b
.
hors-programme), la suite vn à introduire est définie par vn = un −
1−a
En effet, si la suite (un ) converge, elle converge nécessairement vers le réel l solution de
b
. On montre, dans le cas général que la suite (vn )
l’équation : l = al + b c’est-à-dire l =
1−a
b
définie par vn = un −
est géométrique.
1−a
8
4
Annales de Bac
Les annales de 2013 sont disponibles ici :
http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/BaccalaureatES2013.pdf
Voici
–
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les exercices portant sur ce chapitre :
Pondichéry juin 2013 ex4
Amérique du Nord mai 2013 ex3
Liban mai 2013 ex2
Polynésie juin 2013 ex3
Asie juin 2013 ex3
Centres étrangers juin 2013 ex1 QCM
Métropole juin 2013 ex2
Métropole juin 2013 (sujet dévoilé !) ex2
Polynésie septembre 2013 ex4
9