Suites

Chapitre I
Suites
☞Exercices 18, 19, 20, 23, 24, 26, 31, 32, 34 page 34 pour revoir les notions de première
sur les suites (récurrence, sens de variation ...)
1 Suite géométrique
1.1 Définition
Définition 1
Une suite uest géométrique s’il existe un certain réel non nul q, appelé raison de la
suite, tel que, pour tout n>0,un+1 =q×un
Exemple 1
Soit la suite ugéométrique, de premier terme u0= 5 et de raison q=−2.
La définition de upar récurrence est u0=...
un+1 =.........
Les premiers termes de cette suite sont u1=...,u2=...,u3=...,u4=...,u5=...,
u6=....
Remarque 1
•Si la raison vaut 0, tous les termes de la suite sont nuls sauf peut-être u0.
•Pour qu’une suite usoit géométrique, il faut et il suffit que, pour tout n∈N, les termes
unsoient non nuls et que le quotient un+1
unsoit constant : un+1 un=q∈R∗. Le nombre q
est alors la raison de la suite u.
Exemple 2
Par exemple, soit udéfinie par un= 2 ×3n−1.
On a, pour tout entier naturel n,un+1
un
=2×3n
2×3n−1= 3
Donc la suite uest géométrique, et sa raison est q= 3.
☞Exercices 35, 38, 39, 42, 46 page 35
1.2 Propriétés
Propriété 1
Soit uune suite géométrique, de premier terme u0et de raison q.
Relation entre unet u0:Relation entre unet up:
Pour tout n∈N, on a un=u0×qnPour tous n, p ∈N, on a un=up×qn−p
1

Ces formules permettent d’obtenir la définition explicite d’une suite géométrique à partir
de sa définition par récurrence :
Exemple 3 On place un capital de 5000eà un taux annuel de 2%. Quel sera le capital dans
20 ans ?
On modélise la situation par la suite géométrique ude premier terme u0= 5000 et de raison
q= 1,02.unest donc le capital obtenu après nannées et on a u20 =u0×qn= 5000×1,0220e.
☞Exercices 47, 48, 49, 58, 67 pages 35 à 37
1.3 Sens de variation
Soit (un)une suite géométrique de raison qet de premier terme u0donc :
un+1 −un=u0×qn+1 −u0×qn=u0×qn×(q−1)
La monotonie de la suite dépend du signe de u0,qnet (q−1)
– Si q < 0alors qnest positif pour npair, négatif pour nimpair donc la suite n’est pas
monotone.
– Si q > 0alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produit
u0×(q−1) .
Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants :
Théorème 1
Soit qun réel non nul.
– Si q < 0alors la suite (qn)n’est pas monotone.
– Si q > 1alors la suite (qn)est strictement croissante.
– Si 0< q < 1alors la suite (qn)est strictement décroissante.
– Si q= 1 alors la suite (qn)est constante.
Théorème 2
Soit (un)une suite géométrique de raison qnon nulle et de premier terme u0non nul
– Si q < 0alors la suite (un)n’est pas monotone.
– Si q > 0et u0>0alors la suite (un)a le même sens de variation que la suite (qn).
– Si q > 0et u0<0alors la suite (un)a le sens de variation contraire de celui de la suite
(qn).
☞Exercices 53, 54, 55 page 35
1.4 Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique
☞Activité page 20 : La légende du jeu d’échecs K
Théorème 3 La somme de n+ 1 termes consécutifs d’une suite géométrique, de premier
terme u0et de raison q6= 1 est donnée par :
S=u0×1−qn+1
1−q
(S=premier terme ×1−raisonnb de termes
1−raison )
2

Démonstration :
Soit q6= 1 et S= 1 + q+q2+...+qn.
On a q×S=q+q2+...+qn+qn+1.
Donc S−qS = 1 −qn+1 ⇐⇒ S(1 −q) = 1 −qn+1
donc, pour q6= 1,S=1−qn+1
1−q.
Pour tout ion a ui=qiu0.
n
X
i=0
ui=u0+u1+...+un−1+un=u0+qu0+q2u0+...+qnu0
=u0(1 + q+...+qn) = u0
1−qn+1
1−q
☞Exercices 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 81, 82 page 39
1.5 Limite d’une suite géométrique
1.5.1 Notion de limite
•Limite égale à +∞
Définition 2 Une suite admet pour limite +∞si tout intervalle ouvert de type ]A; +∞[
contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p.
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
A-
un> A pour n≥11
Figure 1 – Une suite ayant pour limite +∞
Exemple 4 La suite udéfinie pour tout n≥0par un=n2tend vers +∞. On note :
lim un= +∞
3

•Limite finie : suite convergente
Définition 3 Une suite converge vers un réel lsi tout intervalle ouvert Icontenant l
contient aussi tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p.
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
l
un
n
un∈Ipour n≥8
Figure 2 – Une suite convergente
Exemple 5 La suite udéfinie pour tout n > 0par un=1
ntend vers 0. On note :
lim un= 0
Définition 4 Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
Exemple 6 Les suites ((−1)n)net (n2)ndivergent.
Propriété 2 (Opérations sur les limites)
aet bdésignent deux réels et uune suite.
•Si lim un= 0 alors lim(aun+b) = b
•Si lim un= +∞alors :
lim(aun) = +∞si a > 0
lim(aun) = −∞ si a < 0
lim(un+b) = +∞
1.5.2 Limite d’une suite géométrique
Théorème 4 Soit qun réel strictement positif :
– Si 0< q < 1alors la suite géométrique de terme général qnconverge vers 0 : lim qn= 0.
– Si q= 1 alors la suite géométrique de terme général qnest constante et sa limite est
1.
– Si q > 1alors la suite géométrique de terme général qna pour limite +∞:lim qn=
+∞.
4

Exemple 7
•Toute suite géométrique ude raison 0< q < 1converge vers 0puisque son terme général
s’écrit : un=u0×qn
•Soit vla suite géométrique de premier terme v0=−5et de raison q=3
2. Alors, pour
tout n,vn=−5×3
2n.
Or 3
2>1donc lim 3 2n= +∞.
De plus, v0=−5<0donc lim vn= lim −5×3
2n=−∞
☞Exercices 84, 85, 87, 88, 89, 92, 95 page 39
2 Algorithmes et suites : deux exemples
2.1 Calculs des termes d’une suite définie par récurrence
Soit (un)la suite définie par u0= 1 et un+1 = 2un+npour tout n≥0. On souhaite
calculer u100.
Cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique (il suffit de calculer ses trois premiers termes
pour s’en convaincre). On ne dispose donc pas de définition explicite et le calcul de u100 né-
cessite le calcul de tous les termes de u1àu99.
Algorithme 1
INITIALISATION
U prend la valeur 1
TRAITEMENT
Pour n allant de 0 à 99 faire
U prend la valeur 2*U+n
SORTIE
Afficher U
(On pouvait aussi initialiser à u1= 2 et
faire une boucle "Pour n allant de 1 à 99"
pour éviter de commencer à compter à 0)
Algorithme 2
INITIALISATION
U prend la valeur 1
n prend la valeur 0
TRAITEMENT
Tant que n<100
U prend la valeur 2*U+n
n prend la valeur n+1
Fin Tant que
SORTIE
Afficher U
2.2 Recherche d’un seuil à l’aide d’un algorithme
On place un capital de 2000eà un taux annuel de 1,5%. Dans combien d’années le capital
disponible sera-t-il supérieur à 3000e?
On modélise la situation par la suite géométrique cde premier terme c0= 2000 et de raison
q= 1,015.
cnest donc le capital obtenu après nannées et on a cn=c0×qn= 2000 ×1,015ne.
On cherche donc à résoudre l’inéquation : 2000 ×1,015n≥3000
L’inconnue nétant un exposant, nous avons besoin du logarithme (que nous étudierons plus
tard)pour la résoudre...
On s’en sort avec l’algorithme suivant :
5