Préparation aux épreuves écrites du CAPES Conseils de rédaction

Pr´eparation aux ´epreuves ´ecrites du CAPES
Conseils de r´edaction
Claire Debord
Le texte qui suit est une libre compilation de plusieurs textes sur le mˆeme th`eme, notamment ceux de
Christophe Champetier et de Christophe Bertault.
En math´ematiques, la phase de r´edaction est essentielle : elle est l’occasion de v´erifier la
justesse et la rigueur de ce qui est ´enonc´e. Voici quelques r`egles ´el´ementaires de r´edaction .
Avant de rendre tout document, vous devrez vous assurer que vous avez respect´e scrupuleuse-
ment ces r`egles.
R`egle 1 : Introduire tout ce dont on parle
Toute notation, tout caract`ere d´esignant un objet math´ematiques doit imp´erativement ˆetre
pr´esent´e et clairement d´efini avant d’ˆetre utilis´e.
En fran¸cais, si vous dites : “Ils ont tout mang´e.” sans avoir pr´ecis´e qui sont ces “ils” et ce
qu’est ce “tout”, vous risquez de n’ˆetre pas compris. En math´ematiques, c’est pareil : on ne
parle pas de quelque chose tant que l’on n’a pas dit ce que c’´etait.
Introduire un objet quelconque
Lorsque l’on veut introduire une variable d´ecrivant tout un ensemble, autrement dit un
´el´ement xquelconque d’un ensemble E, on proc`ede ainsi :
Soit x∈E.
Bien sˆur, la lettre xpourrait ˆetre remplac´ee par n’importe quel symbole : y, t, ♣··· Cette
formulation peut souvent ˆetre remplac´ee par l’une des suivantes :
Pour tout x∈E.
Soit xun ´el´ement de E.
Oublier ces petites phrases d’introduction est une faute grave de r´edaction ainsi que de
logique. Par exemple les phrases
cos(x) = sin(x)⇒x=π
4
ou
cos(x) = sin(x)⇒x=π
4+kπ
n’ont aucun sens si xet kne sont pas pr´esent´es avant d’ˆetre utilis´es.
1

Donner un nom `a un objet pr´ecis
•Lorsque l’on veut donner un nom `a un objet pr´ecis, le “On pose” est de mise. Par ex-
emple si vous devez employer plusieurs fois dans un raisonnement l’expression compliqu´ee
cos(pln(n+ 3)) (o`u na ´et´e pr´ealablement d´efini), vous pouvez nommer cette quantit´e, par
exemple par T. L’introduction de la notation Tse fait de la fa¸con suivante :
On pose T= cos(pln(n+ 3)) .
•Le “On pose” peut ˆetre utilis´e dans un tout autre contexte lorsque l’on veut produire un
exemple d’objet math´ematique particulier.
Supposons que l’on veuille montrer l’assertion
∃x, y ∈Rtels que x+y∈Zet x /∈Zet z /∈Z.
Pour montrer un tel r´esultat d’existence, il faut trouver un exemple. On peut donc montrer
ce r´esultat en proc´edant de la fa¸con suivante.
On pose x=1
2et y=1 2.Alors xet ysont deux r´eels non entiers et x+y= 1 est un entier.
R`egle 2 : Faire des phrases correctes
•Ne pas h´esiter `a faire des phrases en fran¸cais.
Il est plus agr´eable, et souvent plus facile, de lire un raisonnement ´ecrit en fran¸cais qu’avec
des symboles logiques.
•Il ne faut pas utiliser d’abr´eviations comme “mq” pour remplacer un “Montrons que “.
•On ne m´elange pas texte en fran¸cais et langage math´ematique.
Au sein d’une phrase, les seuls symboles math´ematiques autoris´es sont : les signes d’´egalit´e,
de non ´egalit´e, d’in´egalit´e, d’appartenance et d’inclusion. Il est donc formellement interdit
de mettre les quantificateurs ∀,∃··· ou les symboles ⇒,⇐⇒ ··· au milieu d’une phrase
de texte.
•On ne commence pas une phrase par un symbole math´ematique.
Cette r`egle, commun´ement admise dans la communaut´e scientifique, n’admet aucune excep-
tion. Qui plus est, une confusion est possible entre “·” et un signe de multiplication, l’emploi
d’une majuscule permet d’indiquer le d´ebut d’une phrase. Par exemple :
On a x=y.f est une fonction croissante.
est `a remplacer par :
On a x=y. La fonction fest une fonction croissante.
•Les math´ematiques, ¸ca se ponctue.
Il faut remplacer
Ainsi : x= 3 y= 9 3 <9
par
Ainsi : x= 3, y = 9 et 3 <9.
•Un phrase doit comporter au minimum un sujet, un verbe et un compl´ement.
Par exemple
zpoint de C∗,
z+ 1 = 1 ⇒z= 0 , contradiction.
2

se lit “zpoint de C∗,z+ 1 = 1 implique z= 0 contradiction.”, ce qui n’a aucun sens ! Il
faudrait la remplacer par
Soit zun point de C∗.Si z+ 1 = 1 alors z= 0,ce qui contredit nos hypoth`eses.
D’une fa¸con g´en´erale, chaque phrase math´ematique ou non doit pouvoir ˆetre lue `a voix haute
en gardant du sens.
•Il faut ˆetre clair et concis. En particulier il faut de pr´ef´erence faire des phrases courtes.
La plupart du temps les phrases doivent comporter au maximum un sujet, un verbe et un
compl´ement.
R`egle 3 : Utiliser correctement les symboles ⇒et ⇐⇒
Ici, “correctement” signifie que l’on devrait presque toujours se passer des symboles ⇒et
⇐⇒ et les remplacer par les mots donc, ainsi, ce qui ´equivaut `a, etc.
•L’utilisation de ⇒et ⇐⇒ ne doit s’inscrire que dans un cadre tr`es rigoureux de syntaxe
logique et ces symboles doivent se trouver entre deux propositions tr`es clairement d´elimit´ees.
Par exemple la phrase
∀x∈E, f(x) = g(x)⇒f=g .
est ambigu¨e, donc n’a pas de sens. En effet, elle pourrait signifier :
(∀x∈E, f(x) = g(x)) ⇒f=g .
ou bien :
∀x∈E, (f(x) = g(x)⇒f=g).
Les significations de ces deux implications sont tr`es diff´erentes.
•L’utilisation des symboles ⇒et ⇐⇒ en d´ebut de ligne et sans aucune r´ef´erence `a quoi
implique quoi est `a proscrire.
•Noter qu’il existe une nuance entre donc et implique : la phrase math´ematiques (P⇒Q)
signifie que si Pest vraie, alors Qest vraie. Elle ne suppose pas a priori que Pest vraie.
Dans un raisonnement on affirmera souvent : Pest vraie, donc Qest vraie, ce qui n’a pas la
mˆeme signification.
Par exemple, imaginez que l’on vous demande de montrer que la fonction f:t7→ t4+ 3t2+ 2
est `a valeurs positives sur R. Voici un r´eponse incompl`ete :
On a les implications suivantes :
x∈[−1,+∞[⇒x+ 1 ≥0
x+ 2 ≥0⇒x2+ 3x+ 2 = (x+ 1)(x+ 2) ≥0.
D’o`u le r´esultat en posant t2=x.
Certes, vous avez montr´e une implication utile pour conclure, mais cette implication `a elle
seule ne r´epond pas `a la question. Pour avoir un r´eponse correcte il faudrait remplacer le
D’o`u le r´esultat... par :
Or, pour tout t∈R, le r´eel t2∈[−1,+∞[et donc d’apr`es les implications pr´ec´edentes f(t) =
(t2)2+ 3t2+ 2 ≥0. Ainsi la fonction fest bien `a valeurs positives sur R.
•Le symbole ⇐⇒ est souvent utilis´e de mani`ere incorrecte. Quant on l’utilise, il faut
imp´erativement v´erifier les deux implications ⇒et ⇐.
3

R`egle 4 : Mettre en ´evidence les articulations logiques
•N’oubliez jamais que le correcteur ne lira pas plusieurs fois votre solution pour se convaincre
de sa validit´e. Quand on r´edige un raisonnement, il est tr`es important de distinguer clairement
les hypoth`eses des conclusions par exemple, et d’indiquer les rapports d’implication entre les
diff´erentes propositions. Cela se fait notamment au moyen de donc, alors, par cons´equent,
ainsi, or, de plus, en outre, ensuite, enfin, mais, cependant, toutefois, puisque, comme, car, etc
Truffez vos raisonnements de ces petits mots qui guideront votre lecteur.
•Un texte math´ematique r´edig´e n’est pas une bande dessin´ee. Il faut ´eviter tous les commen-
taires en apart´e, dans des coins, au cˆot´e de calculs, sous des signes d’´egalit´e ou d’implication.
Pensez que vous devriez pouvoir taper votre texte avec un traitement de texte standard.
•Il faut ´eviter de justifier vos r´esultats a posteriori.
Par exemple, imaginez que l’on vous demande de montrer l’assertion :
∀x∈[0,1],p1−x2∈[0,1].
Voici une tr`es mauvaise r´eponse :
0≤x≤1
0≤x2≤1 (t7→ t2est croissante sur R+)
0≤1−x2≤1
0≤√1−x2≤1 (t7→ √test croissante sur R+)
Voici une bonne solution :
Soit x∈[0,1].On a donc 0≤x≤1.
La croissance de la fonction t7→ t2sur R+donne 0≤x2≤1.
Mais alors ona 0≤1−x2≤1.
Finalement, par croissance de la fonction t7→ √tsurR+,ona 0≤√1−x2≤1.
Cela nous montre bien que √1−x2∈[0,1] comme voulu.
R`egle 5 : Annoncer ce que l’on fait et conclure
Il faut expliquer ce que l’on fait avec des : Montrons que ··· , Nous allons maintenant prouver
que ··· Il ne faut pas oublier de pr´eciser le num´ero de la question trait´ee. Pour autant, il
ne faut surtout pas recopier l’´enonc´e, c’est une perte de temps. Enfin, il ne faut pas oublier
`a la fin d’un raisonnement de conclure en signalant au lecteur que vous avez bien obtenu le
r´esultat attendu.
R`egle 6 : Ne jamais bluffer
Le correcteur vous fait confiance a priori, c’est cette confiance qui l’incitera parfois `a ˆetre
tol´erant vis `a vis d’un petit d´efaut de rigueur ou d’une maladresse math´ematiques. Il est tr`es
important de garder cette confiance. En particulier il ne faut jamais bluffer. Vous n’avez
aucune chance de tromper votre correcteur qui a d´ej`a des centaines de copies corrig´ees `a son
actif. Vous avez par contre toutes les chances de le mettre en col`ere, en effet, rares sont
les personnes qui appr´ecient d’ˆetre prises pour des imb´eciles. Il ne faut donc pas ´ecrire il
est ´evident..., on a trivialement... en donnant la r´eponse attendu alors que justement vous
ne savez pas montrer ce r´esultat. Il ne faut pas faire de “tour de passe passe” avec les
diff´erents termes impliqu´es dans des calculs pour miraculeusement tomber `a la derni`ere ligne
sur la bonne r´eponse. Enfin, tout correcteur appr´eciera l’honnˆetet´e qui consiste `a dire Je
4

vais admettre ce r´esultat dans la suite... ou Il y vraisemblablement une erreur dans mes calculs...
Cela ne rendra pas votre r´eponse correcte mais montrera n´eanmoins au correcteur que vous
comprenez ce que vous faites et maintiendra sa confiance.
Derni`eres remarques
Preuve par r´ecurrence
Il est essentiel de savoir r´ediger correctement une preuve par r´ecurrence. Rappelons le principe
suivant.
Principe : Soit P(n) une propri´et´e concernant un entier naturel n. Si P(0) est vraie et si
pour tout entier naturel k, quand on suppose que P(k) est vraie, on montre que P(k+ 1) est
vraie, alors on peut affirmer que P(n) est vraie pour tout entier naturel n.
Les erreurs classiques et impardonnables sont :
•Une mauvaise initialisation. Montrons, par exemple, que tout sous-ensemble fini de N
contient des entiers qui sont tous de mˆeme parit´e.
Voici une d´emonstration fausse.
Nous voulons prouver par r´ecurrence sur n∈N∗la propri´et´e P(n)suivante : si Eest un sous-
ensemble de Nde cardinal net si x, y sont deux ´el´ements de Ealors xet yont mˆeme
parit´e.
Lorsque Eest un sous-ensemble de Nr´eduit `a un seul ´el´ement, ce dernier `a la mˆeme parit´e que
lui-mˆeme. Donc P(1) est vraie.
(H)Hypoth`ese de r´ecurrence : fixons k∈Net supposons que P(k)soit vraie.
Soit Eun sous-ensemble de Nde cardinal k+ 1 et soit xet ydans E. Soit alors zun autre
´el´ement de E, distinct de xet de y. Alors l’ensemble E\ {z}est un sous-ensemble de Nde
cardinal ket contenant xet y. D’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence, xet yont donc mˆeme parit´e.
Ainsi P(k+ 1) est vraie.
Finalement, par le principe de r´ecurrence, on a montr´e que tout sous-ensemble fini de Nne
contient que des entiers de mˆeme parit´e.
Ici on n’a pas initialis´e assez loin... En effet la preuve ci dessus qui permet d’obtenir P(k+ 1)
`a partir de P(k) ne fonctionne pas pour k= 1 (on ne peut pas trouver trois ´el´ements distincts
dans un ensemble `a deux ´el´ements). Ainsi cette d´emonstration serait parfaitement correcte
si P(2) ´etait vraie, ce qui n’est pas le cas.
Une fa¸con d’´eviter ce type d’erreur est de prendre quelques minutes pour v´erifier que l’on est
bien capable de passer de P(0) `a P(1) avec le raisonnement qui nous permet de montrer que
P(k) implique P(k+ 1).
•Supposer ce que l’on veut montrer. Voici un exemple typique de d´emonstration fausse.
On souhaite montrer que pour tout n∈Non a
n
X
k=0
k=n(n+ 1)
2.
Initialisation : on a
0
X
k=0
k=0=0(0 + 1)
2.
Faisons `a pr´esent l’hypoth`ese que pour tout n∈N, on a
n
X
k=0
k=n(n+ 1)
2et montrons cette
relation au rang n+ 1. On a
n+1
X
k=0
k= (
n
X
k=0
k) + n+ 1 = n(n+ 1)
2+n+ 1 = (n+ 1)(n+ 2) 2.
5