1 Exercices d`introduction

Université Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014
TD 4 : accélération,
mouvement parabolique, mouvement oscillant
1 Exercices d’introduction
1. Evolution de la population mondiale
Année (1er janvier) 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2013
Population (109) 0,500 0,560 0,640 0,900 1,650 6,020 7,100
Dans la table 1 est indiquée l’évolution de la population mondiale, en milliard(s)
d’habitants, de l’an 1500 à nos jours.
1. Vitesse
(a) Sans chercher à être rigoureux, définir, puis calculer la vitesse moyenne d’accroissement
de la population mondiale en fonction du temps, jusqu’à l’an 2013 inclus, en
précisant les unités choisies.
(b) Cette vitesse est-elle constante?
(c) Définir, puis calculer la vitesse moyenne d’accroissement de cette vitesse, en
fonction du temps, en conservant le même choix d’unités.
(d) Au premier janvier 2014, quelle sera selon vous la population mondiale?
2. Représentation graphique
(a) Représenter graphiquement l’évolution de la population en fonction du temps.
(b) Même question pour la vitesse.
3. Accélération
(a) Rappeler la définition mathématique de la dérivée première d’un fonction
f(x).
(b) Quelle est la définition mathématique d’une vitesse?
(c) En déduire la définition mathématique d’une accélération.
(d) Calculer l’accélération de la population mondiale.
2. Mouvement rectiligne
(a) Rappeler les relations mathématiques (dérivées et intégrales) entre la position, la
vitesse et l’accélération.
(b) Représenter graphiquement le mouvement (position, vitesse et accélération) en
fonction du temps, d’un corps se déplaçant à vitesse constante le long d’une droite.

(c) Même question pour un corps se déplaçant à accélération constante.
3. train
Un train de banlieue circule sur une voie rectiligne reliant deux gares. Sa vitesse en
fonction du temps est représentée sur la figure 1.
1. Décrire qualitativement chaque phase du mouvement
2. Calculer algébriquement l’accélération pour chaque phase en fonction des paramètres
:v1,v2,t1,t2,t3,t4,t5. Faire ensuite l’application numérique. On donne :
v1= 108km/h, v2= 36km/h, t1= 50s, t2= 300s, t3= 310s, t4= 500s, t5= 520s.
3. Calculer algébriquement puis numériquement la distance parcourue pendant chaque
phase. Représenter la distance parcourue x(t)en fonction du temps. Quelle est la
distance entre les deux gares ? Quelle est la vitesse moyenne du train pendant le
trajet ?
4. Freinage d’un véhicule.
1. Une automobile roule à la vitesse de 50 km/h. Lorsqu’elle se trouve à 50 m d’un
feu de circulation, celui-ci passe au rouge. Le conducteur ne commence à freiner
qu’après un temps de réaction t0= 0.5s, la décélération vaut 5m.s−2. Est ce que
le véhicule s’arrêtera avant le feu ? Même question si la vitesse initiale est de 80
km/h.
5. Mouvement oscillant sinusoidal
On considère la membrane d’un haut-parleur qui émet un son à la fréquence f. Pour
cela, la membrane oscille de façon sinusoïdale à la fréquence fet cette vibration est
transmise à l’air environnant.
1. Le mouvement d’un point M de la membrane s’écrit x(t) = x0sin(ωt). Quelle est
la relation entre ωet f?
2. Calculer la vitesse v(t)du point M et son accélération a(t). Représenter x(t),v(t)
et a(t)sur un même graphe. Commenter. Comment varient v(t)et a(t)en fonction
de la fréquence f?
3. Citer d’autres exemples de mouvements oscillatoires sinusoïdaux.
6. Voyageur en retard
Un voyageur en retard court le long du quai à vitesse constante V= 6m/s. Quand il est
à 20 m du dernier wagon, le train démarre avec une accélération constante a= 1m.s−2
(le train et le voyageur ont des trajectoires rectilignes parallèles.)
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1. Écrire les équations horaires du voyageur et du dernier wagon considérés comme
des points matériels. Représenter graphiquement leurs positions en fonction du
temps.
2. Montrer que le voyager ne peut pas rattraper le train. Quelle sera la distance
minimale entre le voyageur et le dernier wagon?
7. part
Particule chargée soumise à une accélération constante... (?)
8. Mouvement plan
La figure 1 représente une trajectoire suivie par un objet dans un plan. A l’instant t0
l’objet se trouve au joint M0, à l’instant t1=t0+ ∆t, il se trouve au point M1; plus
généralement, à l’instant ti=t0+i×∆t(∆t= 1s), il se trouve au point Mi.
Figure 1: Trajectoire suivie par un objet, dans un plan. Les points M1(... M10) sont
atteints 1 (... 10) seconde(s) après le passage par le point M0. L’origine des coordonnées est
initialement située en O(voir texte).
(a) Donnez l’expression de la vitesse moyenne entre M1 et M2, puis entre M8 et M9.
Représentez qualitativement la vitesse instantanée ~v en chacun de ces points.
(b) En utilisant un raisonnement analogue, représentez qualitativement le vecteur
accélération ~a aux points M1 et M8.
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(c) Comment les résultats précédents sont-ils modifiés si on prend comme origine des
coordonnées le point O0?
9. 2D
Un objet Aa une trajectoire dans le plan, repérée, dans un repère cartésien (Oxy),
par ses coordonnées en fonction du temps t:
x(t) = αt
y(t) = γt2+δt
(a) Déterminer les dimensions des paramètres α,γet δ.
(b) En éliminant la variable de temps t, déterminer l’équation y(x)de la trajectoire.
(c) Tracer la trajectoire en prenant les valeurs α= 2,γ= 1/2et δ= 1 dans le système
international d’unités (on pourra se limiter à l’intervalle de temps [−3 s,4 s].
(d) Déterminer les coordonnées (vx, vy)du vecteur vitesse instantanée ~v(t).
(e) Quelle est la vitesse de l’objet aux temps t=−1s, t= 0 s, et t= 1 s. Tracer les
vecteurs vitesse correspondants.
(f) Quelle est l’accélération moyenne entre l’intervalle de temps [−1 s,0 s] ? Et dans
l’intervalle [−1 s,1 s] ?
(g) Déterminer le vecteur accélération instantanée ~a(t)et comparer avec la question
précédente.
(h) Dans le cas où les coordonnées de l’objet sont de la forme
x(t) = αt +β
y(t) = γt2+δt +
montrer que l’on peut se ramener au cas précédent en prenant l’origine du système
de coordonnées en un point O0dont on donnera les coordonnées dans le repère
(Oxy).
2 Mise en application
10. fusée
Une fusée miniature est placée sur sa rampe de lancement au niveau du sol (z=0) et
mise à feu à l’instant t= 0. Sa trajectoire est verticale et son accélération s’écrit
a(t) = A+Bt, avec A= 5m.s−2,B= 0.5m.s−3. A l’instant t1= 30s, le moteur de la
fusée s’arrête faute de carburant.
1. Calculer sa vitesse v(t)et son altitude z(t)en fonction du temps, entre t= 0 et
t=t1. Représenter a(t),v(t)et z(t)sur un graphe. Calculer la vitesse v1et
l’altitude z1atteinte à t=t1
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2. Que se passe-t-il pour t > t1? Est ce que la fusée va retomber immédiatement ?
3. Au delà de t1, la fusée n’est plus soumise qu’à l’accélération de la pesanteur dont le
module vaut g= 10m.s−2. Quelle est l’altitude maximale z2atteinte par la fusée
? Au bout de combien de temps retombera-t-elle au sol ?
Note : pour toutes les questions, on donnera l’expression littérale de la réponse
avant de faire l’application numérique
11. Saut à l’élastique...
12. Fête foraine
Dans une fête foraine, une cage est attachée à un grand élastique tendu verticalement.
A l’instant t0= 0 la cage est lâchée à vitesse nulle depuis le sol. Elle prend alors un
mouvement vertical ascendant. A l’instant t1= 2 s, alors qu’elle a atteint une vitesse
v1= 15 m s−1, l’élastique est détaché de la cage.
(a) Calculer l’accélération moyenne de la cage entre t0et t1.
(b) En supposant que la cage est soumise à une accélération constante entre t0et t1,
calculer la hauteur à laquelle elle se trouve à l’instant t1.
(c) La cage continue ensuite à monter sur sa lancée, alors qu’elle est maintenant
soumise à la seule force de la pesanteur. Jusqu’à quelle hauteur monte-t-elle? On
note t2l’instant où elle atteint cette hauteur maximale.
(d) Après t2, la cage retombe. Quelle est sa vitesse à l’instant t3=t2+ 1 s?
(e) A partir de l’instant t3, la cage est freinée par un dispositif adéquat de sorte qu’elle
arrive à vitesse nulle au niveau du sol. A quelle accélération, supposée constante,
la cage doit-elle être soumise pendant le freinage ?
13. Lancer de ballon
Depuis un point Ositué sur sa tête, un joueur lance un ballon. Ce dernier a une vitesse
initiale ~v0faisant un angle θavec l’axe horizontal, noté Ox, orienté dans le sens du
mouvement du ballon. On note Oz l’axe vertical, orienté dans le sens ascendant.
(a) En négligeant les frottements du ballon avec l’air, écrire l’équation qui permet de
déterminer sa trajectoire.
(b) Calculer la portée du lancer du ballon.
(c) Pour quelle valeur de θcette portée est-elle maximale, |v0|étant fixée ?
(d) Quelle est la vitesse minimale |v0|que doit avoir le ballon pour qu’il parvienne
sur la tête d’un autre joueur de même taille, placé à une distance Ddu premier.
(e) Pour une vitesse initiale plus grande que cette vitesse minimale, déterminer en
fonction de |v0|et de Dles deux valeurs possibles de θ(tir "tendu" ou en
"cloche").
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