Sommaire algèbre

Sommaire de cours : alg`ebre g´en´erale et lin´eaire
Partie I : Alg`ebre g´en´erale
Section A : Sous-structures
•Pour v´erifier qu’une partie Best une sous-structure alg´ebrique d’un groupe, anneau, corps, alg`ebre A, on v´erifie que B
est non vide, stable par les lois d´efinies sur A, et par passage `a l’inverse (oppos´e pour un groupe additif ou anneau).
•Une intersection de sous-structures est une sous-structure ; la sous-structure engendr´ee par une partie Cest l’intersection
des sous-structures contenant C.
•Pour v´erifier que Best la sous-structure engendr´ee par C, on ´etablit que Best une sous-structure contenant C, puis que
toute sous-structure contenant Ccontient aussi B.
•On dit qu’une relation d’´equivalence Rsur un ensemble Eest compatible avec une loi .si et seulement si : ∀(x, x0, y, y0)∈
E4,si xRyet x0Ry0, alors x.x0Ry.y0. Dans ce cas, on peut d´efinir la loi quotient dans l’ensemble E/Rdes classes d’´equivalence
pour R.
Section B : Groupes
•Le sous-groupe engendr´e par xest {xn, n ∈Z}[ou {n.x, n ∈Z}si la loi est additive], et dit monog`ene. Ou bien il est infini
et isomorphe `a (Z,+) ; ou bien il est fini, de cardinal n0=ω(x) (ordre de x), et isomorphe `a (Z/n0Z,+) (groupe cyclique).
Dans ce dernier cas, n0est le plus petit entier naturel non nul tel que xn=e, et xn=esi et seulement si n0|n.
•Tout groupe d’ordre (i.e. de cardinal ) ppremier est cyclique, et isomorphe `a Z/pZ.
•Th´eor`eme de Lagrange (H.P.) : Le cardinal d’un sous-groupe divise le cardinal d’un groupe fini G; en particulier,
tout ´el´ement a un ordre qui divise n=card(G), et ∀x∈G, xn=e[n.x = 0 si la loi est additive].
•(H.P.) Un sous-groupe additif de Rest ou bien monog`ene (de la forme aZ={na, n ∈Z}), ou bien dense dans R. Par
exemple, si αest irrationnel, αZ+Z={nα +m, (n, m)∈Z2}est dense dans R.
•Revoir le groupe des racines n-i`emes de l’unit´e (isomorphe `a Z/nZ), le groupe Sndes permutations d’un ensemble `a n
´el´ements (cardSn=n!), le groupe altern´e, la signature, le sous-groupe des isom´etries du plan ou de l’espace laissant une
figure globalement invariante...
Section C : Anneaux
•Une partie Id’un anneau commutatif Aest un id´eal de Asi et seulement si :
(i) Iest un sous-groupe de (A,+), et
(ii) ∀(x, a)∈I× A, x.a ∈I.
•On dit qu’un id´eal Ide Aest principal si et seulement si ∃x∈ A, I =x.A ={x.a, a ∈ A}; on dit que Aest un anneau
principal si et seulement si tous ses id´eaux sont principaux.
•Si un id´eal Icontient un ´el´ement inversible, alors I=A. Les seuls id´eaux d’un corps Ksont {0}et K.Zet K[X] sont
des anneaux principaux (cela provient de l’existence d’une division euclidienne). Le noyau d’un morphisme d’anneau est un
id´eal.
•Dans un anneau int`egre, on dit que a|bsi et seulement si ∃c∈ A, b =ac.
•La caract´eristique d’un anneau Aest :
(i) 0 si ∀n∈Z∗, n.1A6= 0
(ii) le plus petit entier naturel non nul ntel que n.1A= 0 sinon.
Si Aest int`egre (en particulier si c’est un corps), sa caract´eristique est 0 ou un nombre premier. La caract´eristique de Z/nZ
est n.
•L’ensemble des inversibles pour ×de l’anneau (Z/nZ,+,×) est l’ensemble des {k, k ∧n= 1}; c’est aussi l’ensemble des
g´en´erateurs additifs du groupe (Z/nZ,+).
L’anneau (Z/nZ,+,×) est int`egre si et seulement nest premier si et seulement si cet anneau est un corps.

Section D : Arithm´etique
•Dans un anneau principal (en particulier Zet K[X]), on peut d´efinir le p.g.c.d. de (ai)i∈I: c’est un g´en´erateur de l’id´eal
P
i∈I
aiA, et leur p.p.c.m. : c’est un g´en´erateur de Ti∈IaiA. On dispose des :
Th´eor`eme de B´ezout : Les (ai)i∈Isont premiers entre eux dans leur ensemble si et seulement si il existe (bi)i∈I, presque
nulle, telle que P
i∈I
aibi= 1A.
Th´eor`eme de Gauss : Si a|bc et a∧b= 1, alors a|c.
•Th´eor`eme de Fermat (H.P.) : Si pest un nombre premier, alors pour tout a∈Zpremier avec p, on a : p|ap−1−1
(g´en´eralement, p|ap−a).
•Th´eor`eme Chinois : Si n∧m= 1, alors les anneaux Z/nmZet Z/nZ×Z/mZsont isomorphes.
•Indicatrice d’Euler : Soit n∈N, n >2 ; on d´efinit ϕ(n) comme le nombre de g´en´erateurs du groupe additif (Z/nZ,+) ;
c’est aussi le nombre d’entiers naturels 6net premiers avec n. On a :
(i) Si n∧m= 1, alors ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m)
(ii) Si n=Q
16i6r
pαi
iest la d´ecomposition en produit de facteurs premiers de n(les pi´etant premiers distincts, et les αi>1),
alors
ϕ(n) = nQ
16i6r
(1 −1
pi).
(iii) (H.P.) n=P
d|n
ϕ(d).
Section E : Polynˆomes
•Revoir l’arithm´etique polynˆomiale (d´ecomposition en produits d’irr´eductibles sur R[X] et C[X] : th´eor`eme de D’Alembert-
Gauss), les d´ecompositions en ´el´ements simples (par ex. si P=aQ
16i6r
(X−λi)mi, o`u a6= 0, alors P0
P=P
16i6r
mi
X−λi), les
polynˆomes de plusieurs variables (en particulier, degr´e total ou partiel, homog´en´eit´e) les polynˆomes de Tchebytchev...
•Polynˆomes de Lagrange Soit (a1, ..., an)∈Kndeux `a deux distincts ; alors il existe une unique famille (Li)i∈Ide
polynˆomes de degr´e n−1 telle que ∀(i, j)∈ {1, ..., n}2, Li(aj) = δi,j . On a :
(i) ∀i∈ {1, .., n}, Li=Q
j6=i
X−aj
ai−aj,
(ii) (L1, ..., Ln) forme une base de Kn−1[X],
(iii) ∀(b1, ...bn)∈Kn,il existe un unique polynˆome Pde degr´e 6n−1 tel que ∀i∈ {1, ..., n}, P (ai) = bi, et P=P
16i6n
biLi.
•Polynˆome minimal (H.P.) : Soit une K-alg`ebre A; pour tout ´el´ement a∈ A, on peut consid´erer le morphisme
d’alg`ebres ψa:K[X]→ A d´efini par :
∀P=α0+... +αnXn∈K[X], ψa(P) = P(a) = α01A+... +αnan. L’image K[a] de ψaest la sous-alg`ebre de Aengendr´ee
par a; son noyau est un id´eal de K[X]. Il vient :
(i) Ou bien ψaest injectif, et K[a] est isomorphe `a K[X],
(ii) Ou bien ψan’est pas injectif, et il existe un unique polynˆome unitaire, not´e Πatel que Ker(ψa) = Πa.K[X]. Dans
ce cas, Πas’appelle le polynˆome minimal de a, caract´eris´e par : ∀P∈K[X], P (a) = 0 si et seulement si Πa|P, et on a
dimKK[a] = doΠa.
Le deuxi`eme cas se produit si et seulement si dimKK[a]<+∞: par exemple, un endomorphisme en dim. finie (ici, A=L(E))
ou une matrice carr´ee. Si Aest int`egre, Πaest irr´eductible sur K[X] : c’est le cas pour les nombres alg´ebriques.
Partie II : Alg`ebre lin´eaire
Section A : Familles, dimension
•Une famille est libre si et seulement si toutes ses sous-familles finies le sont. Pour montrer qu’une famille infinie est libre,
on peut raisonner par l’absurde et consid´erer une sous-famille finie li´ee de cardinal minimal, puis montrer qu’il existe une
sous-famille li´ee de cardinal strictement inf´erieur.
•Th´eor`eme de la base incompl`ete : Soit une famile g´en´eratrice (xi)i∈Ide E, et (aj)j∈June famille libre ; alors on
peut compl´eter (aj)j∈Jen une base de Een ajoutant certains vecteurs de la famille (xi)i∈I.
•Une famille (finie) (Ei)i∈Ide sous-espaces d’un K-espace vectoriel Eest en somme directe si et seulement si ∀(xi)i∈I∈
(Ei)i∈I,si P
i∈I
xi= 0 alors ∀i∈I, xi= 0.
•Un K-espace vectoriel est de dimension infinie si et seulement si il admet une famille libre infinie. Ex : dans KN, la
famille de suites (Un)n∈N, o`u ∀n∈N, Un= (δn,p)p∈N.

•Les familles ´echelonn´ees en coordonn´ees (et qui ne contiennent pas 0) sont libres. Ex : les familles de polynˆomes
´echelonn´ees en degr´e.
•Rappelons que :
(i) dim(F+G) = dim(F)+ dim(G)−dim(FTG) (formule de Grassmann) ;
(ii) En dim. quelconque, si u∈ L(E, F ), tout suppl´ementaire du noyau est isomorphe `a l’image.
(iii) Si dim(E)<+∞, et u∈ L(E, F ), alors dim(E) = rg(u) + dimKer(u) (Th´eor`eme du rang) ;
(iv) Si dim(E)<+∞et u∈ L(E), alors uest injectif si et seulement si uest surjectif si et seulement si uest bijectif si et
seulement si uest inversible `a droite si et seulement si uest inversible `a gauche ;
(v) dim(E×F) = dim(E)+ dim(F)
(vi) dimL(E, F ) = dim(E)×dim(F).
(vii) Dans un espace de dim. finie, les (Ei)i∈Isont en somme directe si et seulement si dim(P
i∈I
Ei) = P
i∈I
dim(Ei).
(viii) En dim. finie, tout sous-espace admet (au moins) un suppl´ementaire qui n’est g´en´eralement pas unique. C’est vrai
aussi en dim. quelconque, en admettant l’axiome du choix, et deux suppl´ementaires d’un mˆeme sous-espace sont isomorphes.
•Le rang d’une matrice (non n´ecessairement carr´ee) est la taille maximale d’une sous-matrice carr´ee inversible.
Section B : L(E)
•(H.P., `a savoir red´emontrer) Si un endomorphisme u∈ L(E) v´erifie : ∀x∈E, (u(x), x) est li´e, alors uest une homoth´etie.
•(H.P.) Si un endomorphisme commute avec tous les autres, c’est une homoth´etie (la r´eciproque est vraie, et im´ediate).
•En dim. finie, le groupe lin´eaire GL(E) (groupe pour o des automorphismes de E) est engendr´e par les transvections
et dilatations ; pr´ecis´ement, toute matrice carr´ee inversible est produit de matrices de transvections et d’une (au plus)
dilatation.
•Un endomorphisme uest un projecteur si et seulement si u2=u; en dim. finie, on a alors : rg(u) = tr(u) =
dim(Ker(u−id)). uest une sym´etrie si et seulement si u2= id.
Section C : Dualit´e
•On appelle dual d’un K-espace vectoriel E, l’espace vectoriel E∗=L(E, K) des formes lin´eaires sur E.
•On appelle hyperplan Hde Etout sous-espace qui admet comme suppl´ementaire une droite de E; alors ∀x∈E\H, K.x
est un suppl´ementaire de Hdans E.
•Un sous-espace Hde Eest un hyperplan de Esi et seulement si c’est le noyau d’une forme lin´eaire non nulle ϕ. Alors
les autres formes lin´eaires dont Hest le noyau sont de la forme λϕ, λ ∈K∗.
•En dim. finie, si B= (e1, .., en) est une base de E, il existe une unique base B∗= (e∗
1, ..., e∗
n) de E∗, dite base duale de
B, telle que ∀(i, j)∈ {1, ..., n}2, e∗
i(ej) = δi,j .
R´eciproquement, pour toute base B∗de E∗, il existe une unique base de E, dite ant´eduale de B∗, dont B∗est la base duale.
•En dim. finie, tout sous-espace Fde codim. ppeut ˆetre d´ecrit comme intersection de phyperplans, et dans une base fix´ee
par un syst`eme (non unique ! ) de p´equations cart´esiennes ind´ependantes.
On obtient un syst`eme d’´equations param´etriques de F(ce qui revient `a en exhiber une famille g´en´eratrice) en r´esolvant le
syst`eme lin´eaire des ´equations cart´esiennes.
R´eciproquement, on obtient un syst`eme d’´equations cart´esiennes de F`a partir d’un syst`eme param´etrique en ”´eliminant”
les param`etres, c’est-`a-dire en ´ecrivant les conditions de compatibilit´e du syst`eme param´etrique.
Section D : Matrices
•Revoir les matrices ´el´ementaires, les op´erations ´el´ementaires (d´ecrites en termes de produit matriciel), la structure de
l’ensemble des matrices sym´etriques, l’expression du produit scalaire canonique en termes matriciels...
•L’ensemble des matrices carr´ees triangulaires sup´erieures (resp. inf´erieures, diagonales) forme une sous-alg`ebre de Mn(K) ;
les coefficients diagonaux du produit de deux telles matrices sont les produits des coefficients diagonaux, et les coeff. diagonaux
d’un polynˆome P(A) en Asont les P(ai,i).
Le d´eterminant d’une telle matrice est le produit de ses coefficients diagonaux ; elle est inversible si et seulement si ses
coefficients diagonaux sont tous non nuls ; alors son inverse est encore triangulaire sup´erieure (resp...).
•Revoir les r`egles du produit par blocs (on fait comme si les blocs ´etaient des coefficients, `a la r´eserve pr`es qu’a priori les
blocs ne commutent pas), le calcul des puissances d’une matrice triangulaire `a coeff. diagonaux nuls (donc nilpotente), d’une
matrice de permutation circulaire, l’utilisation du binˆome en cas de commutation, l’utilisation d’un polynˆome annulateur
non nul (il en existe, cf. supra) pour calculer les puissances ou l’inverse...

•Une matrice carr´ee ∈ Mn(K) est diagonale par blocs si et seulement si Knpeut se d´ecomposer en somme directe de
sous-espaces stables par l’endomorphisme ucanoniquement associ´e ; triangulaire sup´erieure par blocs si et seulement si il
existe un sous-espace non trivial stable par u; triangulaire sup´erieure si et seulement si il existe une base (e1, ..., en) de Kn
telle que : ∀i∈ {1, ..., n},Vect(e1, ..., ei) est stable par u.
•La trace d’une matrice carr´ee est la somme de ses coefficients diagonaux ; la trace est une forme lin´eaire sur Mn(K),
mais elle n’est pas multiplicative.
On a toujours :
∀(A, B)∈ Mn,p(K)× Mp,n(K), tr(AB) = tr(BA).
En particulier, deux matrices semblables ont mˆeme trace : il s’agit donc d’un invariant de similitude, ce qui permet de d´efinir
la trace d’un endomorphisme en dim. finie. comme celle d’une matrice qui le repr´esente dans une base quelconque
•Changement de base : Soit Eun K-espace vectoriel de dim. n. Si P∈GLn(K) est la matrice de passage de B`a B0
(c’est-`a-dire que les colonnes de Psont les coordonn´ees des vecteurs de B0- nouvelle base - dans B- ancienne base) ; soit
x∈Ede coordonn´ees X(vecteur colonne) dans B(resp. X0dans B0) ; on a :
X=P.X0
•Deux matrices (non n´ecessairement carr´ees ! ) (A, B)∈ Mn,p(K) sont dites ´equivalentes si et seulement si ∃(P, Q)∈
GLp(K)×GLn(K), B =Q−1AP . Cela ´equivaut `a ce qu’elles repr´esentent la mˆeme application lin´eaire dans des bases
diff´erentes (au d´epart et `a l’arriv´ee), et `a ce qu’elles aient mˆeme rang r; alors elles sont ´equivalents `a Jn,p,r .
•Deux matrices (A, A0)∈ Mn(K) sont dites semblables sur Ksi et seulement si ∃P∈Gln(K), A0=P−1AP. [Si Aest la
matrice de udans B, et Pest la matrice de passage de B`a B0, alors A0est la matrice de udans B0].
•Pour v´erifier que deux matrices Aet A0sont semblables, on consid`ere u∈ L(Kn) canoniquement associ´e `a A, et on
cherche une base de Kndans laquelle la matrice de uest A0.
•(H.P., `a savoir red´emontrer) Deux matrices r´eelles semblables sur C(c’est-`a-dire avec une matrice de passage complexe)
sont semblables sur R.
•La seule matrice semblable `a une matrice scalaire (i.e. λIn) est elle-mˆeme.
•Savoir calculer l’inverse d’une matrice `a l’aide du pivot de Gauss (en r´esolvant AX =Y). La formule A.tcom(A) =
d´et(A)In, vraie pour une matrice `a coefficients dans un anneau commutatif, poss`ede une vertu essentiellement th´eorique :
elle permet de caract´eriser, par exemple, les matrices inversibles dans Mn(Z) (ce sont celles de d´et 1 ou −1).
•Un d´eterminant triangulaire par blocs est ´egal au produit des d´eterminants des blocs diagonaux. Savoir retrouver le
d´eterminant de Vandermonde, de Cauchy (H.P.), le d´eterminant circulant (cf. r´eduction des endomorphismes)...
•(H.P.) Pour les E.N.S. ou l’X, avoir quelques notions sur les r´eseaux de Znet leurs Z-bases.
Partie III : R´eduction des endomorphismes
Section A : El´ements propres
•Soit Eun K-espace vectoriel, et u∈ L(E) (resp. M∈ Mn(K)) ; on dit que λ∈Kest valeur propre de u(resp. M) si
et seulement si Ker(u−λid)6={0E}si et seulement si ∃x∈E\ {0E}, u(x) = λx (resp. ∃X∈ Mn,1(K)\ {0}, M.X =λX) :
on dit alors que x(resp. X) est vecteur propre associ´e `a λ.
•Le spectre de u(resp. spectre sur K de M) est l’ensemble des valeurs propres (resp. des valeurs propres ∈K), not´e Sp(u)
(resp. SpK(M)). En dim. finie, c’est {λ∈K, d´et(u−λid) = 0}.
•Si λ∈Sp(u) (resp. SpK(M)), on appelle sous-espace propre associ´e `a λ:Eλ={x∈E, u(x) = λx}= Ker (u−λid)
(resp. {X∈ Mn,1(K), M.X =λX).
Rem : Un vecteur propre est toujours non nul, et le sous-espace propre Eλ(6={0E}) est l’ensemble des vecteurs propres
asoci´es `a λ, auxquels s’adjoint 0E.
Pour une matrice carr´ee, on pr´ecisera soigneusement sur quel corps (Q,Rou C, par exemple) on recherche son spectre.
•Propri´et´es g´en´erales : En dim. quelconque, on a :
(i) Des sous-espaces propres associ´es `a des valeurs propres distinctes sont en somme directe.
(ii) Si u(x) = λx, alors ∀P∈K[X],(P(u))(x) = P(λ).x et Sp(P(u)) = {P(λ), λ ∈Sp(u)}. (Rappelons que si
P=P
06k6m
αkXk, alors P(u) = α0.id +... +αmum∈ L(E)).
(iii) Si Pest un polynˆome annulateur non nul de u, les valeurs propres de ufigurent parmi les racines de P.
(iii) (H.P.) Si Πuest le polynˆome minimal de u(Πuexiste toujours en dim. finie), alors Sp(u) est exactement l’ensemble
des racines de Πu.
(iv) Si deux endomorphismes uet vcommutent, alors ∀P∈K[X], Ker(P(u)) et Im(P(u)) sont stables par v; en particulier
(pour P=X−λ), tout sous-espace propre de uest stable par v.

(v) La seule valeur propre d’une homoth´etie est son rapport ; la seule valeur propre d’un endomorphisme nilpotent est 0.
(vi) Les valeurs propres d’une matrice triangulaire (ou diagonale) sont ses coefficients diagonaux.
(vii) Tout endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dim. finie admet au moins une valeur propre (et donc un vecteur
propre associ´e) ; toute matrice carr´ee complexe admet au moins une valeur propre complexe.
(viii) Si K=Ret dim(E) est impaire, tout endomorphisme de Eadmet au moins une valeur propre r´eelle (voir les limites
en +/− ∞ du p.c.).
(ix) En dim. finie n, un endomorphisme admet au plus nvaleurs propres distinctes.
(x) Si un sous-espace Fest stable par u, alors Sp(uF)⊂Sp(u), et le polynˆome minimal de uFdivise celui de u(s’il existe).
•Lemme des noyaux : Soit Eun K-espace vectoriel, u∈ L(E),(P, Q)∈K[X]2; si P∧Q= 1, alors Ker(P Q(u)) =
Ker(P(u)) LKer(Q(u)).
Il s’ensuit que si P=Q
16i6r
Pαi
iest la d´ecomposition en produit de puissances de polynˆomes irr´eductibles d’un polynˆome
annulateur Pde u, alors E= Ker(P(u)) = L16i6rKer(Pαi
i(u)).
Section B : Polynˆome caract´eristique
•On consid`ere dans cette section Eun K-espace vectoriel de dim. finie net u∈ L(E), Bune base fix´ee de E, et M∈ Mn(K)
la matrice de udans B.
On d´efinit le polynˆome caract´eristique de u:χu(X) = χM(X) = d´et(XIn−M) (d´eterminant d’une matrice `a coefficients
dans l’anneau K[X]).
•Propri´et´es du p.c. : On a :
(i) Les racines (∈K) de χu=χMsont exactement les valeurs propres de u(resp. de Msur K).
(ii) do(χu) = n= dim(E) ; son coefficient dominant est 1, et si χu=a0+... +an−1Xn−1+Xn, alors an−1=−tr(u), et
a0= (−1)nd´et(u).
(iii) Si Aet A0sont semblables, alors χA=χ0
A(la r´eciproque est fausse ! Il existe des matrices qui ont mˆeme polynˆome
caract´eristique, et qui ne sont pas semblables : cf. 0 et une matrice nilpotente).
(iv) χA=χtA.
(v) Si Aest triangulaire sup´erieure (a fortiori diagonale), de coefficients diagonaux (ai,i)16i6n, alors χA(X) = Q
16i6n
(X−ai,i).
(vi) Le polynˆome caract´eristique de l’homoth´etie de rapport λest (en dim. n) (X−λ)n; d’un endomorphisme nilpotent :
Xn.
(vii) Si n= 2, χM=X2−tr(M)X+ d´et(M).
(viii) Si Fest un sous-espace stable par u, alors χuFdivise χu; Si F=Eλ= Ker(u−λid), alors χuF= (X−λ)dim(F).
(ix) Si E=L16i6rEiest somme directe de sous-espaces stables par u, alors, en notant ui=uEi:χu=Q
16i6r
χui(et Πu
et le p.p.c.m. des Πui(H.P.)).
•Multiplicit´e : Pour λ∈Sp(u), je note nλla dimension de Eλ, et mλla multiplicit´e de λen tant que racine de χu
(c’est-`a-dire que (X−λ)mλ|χu, mais χun’est pas divisible par (X−λ)mλ+1). On a :
(i) 1 6nλ6mλ;
(ii) Si mλ= 1 (λest donc racine simple du p.c.), alors dim(Eλ) = 1.
•(H.P.) Si P∈K[X]\ {0}, on lui associe la matrice-compagnon de P, dont le polynˆome caract´eristique vaut Painsi que
le polynˆome minimal, et les sous-espaces propres sont de dimension 1.
Section C : Diagonalisation
•On dit que u∈ L(E) (resp. M∈ Mn(K)) est diagonalisable (resp. sur K) si et seulement si
(i) E=Lλ∈Sp(u)Eλ(Eest la somme directe des sous-espaces propres),
si et seulement si (ii) il existe une base de vecteurs propres,
si et seulement si (iii) (en dim. finie) il existe une base de Edans laquelle la matrice de uest diagonale (resp. Mest semblable
`a une matrice diagonale).
•Th´eor`eme (Diagonalisabilit´e avec le p.c.) : en dim. finie, uest diagonalisable (resp. Msur K) si et seulement si χu
(resp. χM) est scind´e sur K, et ∀λ∈Sp(u), nλ=mλ. En particulier, si χu(resp. χM) est scind´e `a racines simples sur K,
alors u(resp. M) est diagonalisable (sur K), et les sous-espaces propres sont de dim. 1.
•Th´eor`eme (Diagonalisabilit´e avec un polynˆome annulateur) : uest diagonalisable (resp. Msur K) si et seulement si
il admet un polynˆome annulateur (non nul) scind´e `a racines simples (sur K) si et seulement si son polynˆome minimal est
scind´e `a racines simples (sur K).
•Les sym´etries, projections, affinit´es sont diagonalisables, mais pas les nilpotents non nuls.