IV. Triangle de Pascal et binôme de Newton - mf-go

IV. Triangle de Pascal et binôme de Newton
1°/ Le triangle de Pascal
Rappel : pour
et
(Blaise Pascal, , physicien,inventeur, philosophe, moraliste et théologien français,1623,1662).
entiers naturels,
, et
, on a
Construction d’un tableau à double entrée, dans lequel, à l’intersection de la ligne
p
0
1
2
3
4
5
et de la colonne
6
on place le nombre
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Reprenons le même tableau avec les valeurs des
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2°/ Le binôme de Newton (Isaac Newton,
En utilisant les coefficients de ce tableau :
Soit
et
deux réels,
On montre que, pour tous
Démonstration par récurrence
Exemples : développer
et
réels, tout
,
philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste astronome et théologien anglais, 1642,1727)
entier naturel,
V. Lois discrètes
1°/ Loi uniforme discrète
(Liée à des situations d’équiprobabilité )
Définition :
Soit X une variable aléatoire et
les valeurs prises par X, la loi de probabilités définie par
pour
est appelée loi uniforme sur l’ensemble des
On dit aussi loi équirépartie ; X suit une loi uniforme discrète.
valeurs
)=
.
2°/ Loi de Bernoulli
Définition :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, succès et échec,
de probabilités respectives p et 1-p.
issue
succès
échec
La loi de probabilité donnée dans ce tableau
probabilité
p
1-p
est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.
Propriété
La loi de Bernoulli de paramètre p a pour espérance mathématique : E(X) = p et pour variance : V(X) = p( 1-p)
dém : on peut poser : pour le succès i = 1 , pour l’échec i = 0
E(X) = p 1 + (1-p) 0 =p ;
V(X) = p(1-p)² + ( 1-p)(0-p)² = (1-p) [ p(1-p)+p²] = p(1-p)
Exemple : Une urne contient 10 boules indiscernables numérotées de 1 à 10. On tire une boule de l’urne.
On gagne si on tire le n° 4, on perd sinon.
Un tel tirage est une expérience de Bernoulli, de paramètre p =
Soit X la variable aléatoire associée, la loi de X est définie ainsi :
E(X ) =
V(X ) =
issue
probabilité
succès
échec
3°/ La loi binomiale
Définition et propriété :
Une épreuve de Bernoulli est répétée fois (
) dans des conditions identiques et indépendantes
(schéma de Bernoulli).
La variable aléatoire X comptant le nombre de succès associé à chaque liste de résultats a pour loi de probabilités,
la loi binomiale de paramètres et , définie ainsi :
Cette loi peut être notée :
Dém : une issue est une
probabilité :
-liste, formée de succès et donc de
( indépendance )
échecs , et a pour
le nombre de telles listes est égal au nombre de façons de place les
il y a
listes ; donc
succès dans la liste
Propriétés (admises)
La loi binomiale de paramètres
et
a pour espérance mathématique :
et pour variance :
Exemple : On reprend l’expérience de l’exemple précédent et on répète 8 fois le tirage dans des conditions
identiques et indépendantes (après chaque tirage, on remet la boule dans l’urne, après avoir noté son numéro )
Calculer la probabilité de gagner 3 fois, de gagner 7 fois .
Calculer E(X) et V(X)
,
VI. Lois de probabilités continues
1°/ Loi uniforme sur l’intervalle [0 ;1]
Définition : Une variable aléatoire
inclus dans
suit une loi de probabilité uniforme sur l’intervalle [0 ;1] si, pour tout intervalle
, on a
.
Remarques : 1. L’événement {
} se note souvent
2. Les trois axiomes d’une probabilité sont vérifiés :
3. Pour une loi uniforme sur un intervalle
pour tout intervalle
inclus dans
, on a
Exemple : La concentration d’une substance varie entre 0 mg/L et 1 mg/L . Elle est mesurée par une machine déréglée qui
donne au hasard un nombre compris entre 0 et 1 .
Modélisation des résultats : variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ;1]
Par convention, choisir un nombre au hasard entre 0 et 1 , c’est le choisir selon le loi uniforme sur [0 ;1 ].
Calculer la probabilité d’obtenir un résultat entre 0,5 et 0,75 . Même question pour un résultat entre 0,6 et 0,8.
2°/ Densité de probabilité
Définition 1 : Toute fonction
de ℝ et vérifiant les conditions suivantes :
définie sur un intervalle
continue sur
,
positive sur
,
= 1 ( aire sous la courbe égale à 1 )
est appelée densité de probabilité.
Remarque : si
est définie sur un intervalle non borné, par exemple :
Exemple : la fonction
Définition 2 : Soit
définie sur [0 ;1] par
, la condition relative à l’aire devient :
est une densité de probabilité
une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle de ℝ et
de probabilité sur . La loi de
admet
comme densité de probabilité lorsque, pour tout intervalle
une fonction densité
inclus dans ,
.
Représentation graphique :
Remarques : Soit I =
, on a bien
On a bien
,
,
en effet
=
en effet
On a
Exemples : 1. La loi uniforme sur [0 ;1] admet comme densité de probabilité la fonction constante égale à 1 sur [0 ;1]
2. On a vu que la fonction définie sur [0 ;1] par
C’est l’aire sous la courbe de
entre les droites d’équations
est une densité de probabilité ;
qui visualise la probabilité de l’intervalle
.
3°/ La loi exponentielle
Définition-propriété : Soit un réel strictement positif et la fonction définie sur
Cette fonction est une densité de probabilité ;
la loi de probabilité qui admet cette fonction pour densité de probabilité est appelée loi exponentielle de paramètre
dém de :
densité de probabilité : immédiate
Propriété :
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre , et
un réel positif,
=-
Remarque :
Dém :
Cette propriété se traduit ainsi :
« la probabilité conditionnelle d’un intervalle d’amplitude ne dépend pas de sa borne inférieure » ;
appliquée à une durée de vie d’un objet, on parle de loi de durée de vie sans vieillissement ( ou sans mémoire ) : quelque soit
l’âge d’un objet, la probabilité qu’il vive encore une durée supplémentaire ne dépend que de .
Exemple
La durée de vie , en heures, d’un composant électronique a été modélisée par la loi exponentielle de paramètre
1. calculer la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, ait une durée de vie strictement inférieure à 1000 heures
2 . calculer la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, soit encore en état de marche au bout de 500 heures .
4°/ Espérance- Variance - Ecart-type
Propriété : Soit une variable aléatoire continue dont la loi admet une fonction densité définie sur un intervalle
L’es érance
de
est
La variance V de
est
,
.
L’écart-type
Si est définie sur un intervalle
, sous réserve de l’existence de limite,
et
Cas de la loi uniforme sur [0 ;1]:
Dém :
Cas de la loi exponentielle de paramètre
Dém : à faire en exercice .
:
.