IV. Triangle de Pascal et binôme de Newton - mf-go

IV. Triangle de Pascal et binôme de Newton
1°/ Le triangle de Pascal (Blaise Pascal, , physicien,inventeur, philosophe, moraliste et théologien français,1623,1662).
Rappel : pour  et  entiers naturels,    , et       , on a 
Construction d’un tableau à double entrée, dans lequel, à l’intersection de la ligne  et de la colonne  on place le nombre 
p
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Reprenons le même tableau avec les valeurs des 
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2°/ Le binôme de Newton (Isaac Newton, philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste, astronome et théologien anglais, 1642,1727)
En utilisant les coefficients de ce tableau :
Soit  et  deux réels,   
On montre que, pour tous  et  réels, tout  entier naturel,   
Démonstration par récurrence
Exemples : développer      

V. Lois discrètes
1°/ Loi uniforme discrète
(Liée à des situations d’équiprobabilité )
Définition :
Soit X une variable aléatoire et  les valeurs prises par X, la loi de probabilités définie par   ) = 
 ,
pour   est appelée loi uniforme sur l’ensemble des  valeurs  .
On dit aussi loi équirépartie ; X suit une loi uniforme discrète.
2°/ Loi de Bernoulli
Définition :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, succès et échec,
de probabilités respectives p et 1-p.
La loi de probabilité donnée dans ce tableau
est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.
Propriété
La loi de Bernoulli de paramètre p a pour espérance mathématique : E(X) = p et pour variance : V(X) = p( 1-p)
dém : on peut poser : pour le succès i = 1 , pour l’échec i = 0
E(X) = p1 + (1-p)0 =p ; V(X) = p(1-p)² + ( 1-p)(0-p)² = (1-p) [ p(1-p)+p²] = p(1-p)
Exemple : Une urne contient 10 boules indiscernables numérotées de 1 à 10. On tire une boule de l’urne.
On gagne si on tire le n° 4, on perd sinon.
Un tel tirage est une expérience de Bernoulli, de paramètre p =
Soit X la variable aléatoire associée, la loi de X est définie ainsi :
E(X ) = V(X ) =
3°/ La loi binomiale
Définition et propriété :
Une épreuve de Bernoulli est répétée  fois (   ) dans des conditions identiques et indépendantes
(schéma de Bernoulli).
La variable aléatoire X comptant le nombre de succès associé à chaque liste de  résultats a pour loi de probabilités,
la loi binomiale de paramètres  et , définie ainsi :    
Cette loi peut être notée : 
Dém : une issue est une -liste, formée de  succès et donc de    échecs , et a pour
probabilité :    ( indépendance )
le nombre de telles listes est égal au nombre de façons de place les  succès dans la liste
il y a 
 listes ; donc    
Propriétés (admises)
La loi binomiale de paramètres  et  a pour espérance mathématique :  
et pour variance :    
Exemple : On reprend l’expérience de l’exemple précédent et on répète 8 fois le tirage dans des conditions
identiques et indépendantes (après chaque tirage, on remet la boule dans l’urne, après avoir noté son numéro )
Calculer la probabilité de gagner 3 fois, de gagner 7 fois .
Calculer E(X) et V(X)
issue
succès
échec
probabilité
p
1-p
issue
succès
échec
probabilité

VI. Lois de probabilités continues
1°/ Loi uniforme sur l’intervalle [0 ;1]
Définition : Une variable aléatoire  suit une loi de probabilité uniforme sur l’intervalle [0 ;1] si, pour tout intervalle  
inclus dans  , on a         .
Remarques : 1. L’événement {     } se note souvent  
2. Les trois axiomes d’une probabilité sont vérifiés :
3. Pour une loi uniforme sur un intervalle   pour tout intervalle   inclus dans  , on a 
Exemple : La concentration d’une substance varie entre 0 mg/L et 1 mg/L . Elle est mesurée par une machine déréglée qui
donne au hasard un nombre compris entre 0 et 1 .
Modélisation des résultats : variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ;1]
Par convention, choisir un nombre au hasard entre 0 et 1 , c’est le choisir selon le loi uniforme sur [0 ;1 ].
Calculer la probabilité d’obtenir un résultat entre 0,5 et 0,75 . Même question pour un résultat entre 0,6 et 0,8.
2°/ Densité de probabilité
Définition 1 : Toute fonction définie sur un intervalle  de  et vérifiant les conditions suivantes :
continue sur ,  positive sur , 
 = 1 ( aire sous la courbe égale à 1 )
est appelée densité de probabilité.
Remarque : si est définie sur un intervalle non borné, par exemple : , la condition relative à l’aire devient :
Exemple : la fonction définie sur [0 ;1] par   est une densité de probabilité
Définition 2 : Soit  une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle  de  et une fonction densité
de probabilité sur . La loi de admet  comme densité de probabilité lorsque, pour tout intervalle   inclus dans ,
.
Représentation graphique :
Remarques : Soit I = , on a bien  , en effet 
 =
On a bien     , en effet
On a    
Exemples : 1. La loi uniforme sur [0 ;1] admet comme densité de probabilité la fonction constante égale à 1 sur [0 ;1]
2. On a vu que la fonction définie sur [0 ;1] par   est une densité de probabilité ;  
C’est l’aire sous la courbe de entre les droites d’équations qui visualise la probabilité de l’intervalle  .

3°/ La loi exponentielle
Définition-propriété : Soit  un réel strictement positif et la fonction  définie sur  
Cette fonction est une densité de probabilité ;
la loi de probabilité qui admet cette fonction pour densité de probabilité est appelée loi exponentielle de paramètre 
dém de :  densité de probabilité : immédiate
Propriété :
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre , et  un réel positif,
= -   
Remarque :    
Dém :
Cette propriété se traduit ainsi :
« la probabilité conditionnelle d’un intervalle d’amplitude  ne dépend pas de sa borne inférieure » ;
appliquée à une durée de vie d’un objet, on parle de loi de durée de vie sans vieillissement ( ou sans mémoire ) : quelque soit
l’âge  d’un objet, la probabilité qu’il vive encore une durée supplémentaire ne dépend que de  .
Exemple La durée de vie , en heures, d’un composant électronique a été modélisée par la loi exponentielle de paramètre   .
1. calculer la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, ait une durée de vie strictement inférieure à 1000 heures
2 . calculer la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, soit encore en état de marche au bout de 500 heures .
4°/ Espérance- Variance - Ecart-type
Propriété : Soit  une variable aléatoire continue dont la loi admet une fonction densité  définie sur un intervalle  
 de  est  
 ,
La variance V de  est     
.
-type 
Si  est définie sur un intervalle , sous réserve de l’existence de limite,
et    
Cas de la loi uniforme sur [0 ;1]: 
Dém :
Cas de la loi exponentielle de paramètre    : 
Dém : à faire en exercice .