Électromagnétisme

Préparation Oral 3
l’on se rapproche des pôles en tendant vers 90◦ .
Actuellement, la valeur du champ magnétique est de l’ordre de 47 µT au centre
de la France.
Électromagnétisme
En coordonnées sphériques de centre O, un dipôle magnétique de moment m
~
placé en O crée à grande distance r un champ magnétique de projections :
⋆ Électrostatique - Magnétostatique
1. Attraction électrostatique -

2µ0 m cos θ


Br =


4πr 3
µ0 m sin θ
 Bθ = 4πr 3



Bϕ = 0
RP
Un bâton électrisé par frottement attire les molécules d’eau.
Estimer, grâce aux lois de l’électromagnétisme, la valeur du moment dipolaire m
~
de la Terre.
Évaluer la charge électrique portée par le bâton.
3. Demi-espace chargé - BEOS
2. Dipôle terrestre - RP
Le champ magnétique terrestre est engendré par les mouvements du noyau métallique liquide des couches profondes de la Terre. Il peut être vu comme celui
d’un aimant droit, en première approximation (ou d’un dipôle magnétique, ou
d’une bobine plate parcourue par un courant électrique).
On considère le demi-espace x > 0 avec n+ (x) = ions de charge q > 0 et n− (x)
ions de charge −q par unité de volume. Le demi-espace x < 0 est un conducteur
massif porté au potentiel V
0.
−qV (x)
+qV (x)
On donne n+ (x) = n0 exp
et n− (x) = n0 exp
.
kB T
kB T
1. Grâce au théorème de Gauss, établir une équation différentielle du deuxième
ordre vérifiée par le potentiel V (x) dans le demi-espace x > 0.
2. On suppose que
kB T ε0
.
qV0
~ possède une
En un point donné du champ magnétique terrestre, le vecteur B
~ v (dirigée vers le centre de la Terre) et une composante
composante verticale B
~ 0 . Aux pôles magnétiques, la composante horizontale a une valeur
horizontale B
~ et B
~ 0 est appelé "inclinaison". Il augmente lorsque
nulle. L’angle formé par B
Préparation à l’oral : fiche 3
CCP
qV (x)
≪ 1. Donner alors la forme de V . On posera D 2 =
kB T
3. Déterminer la densité surfacique de charge σ du plan x = 0. On rappelle qu’à
la traversée d’un plan chargé en surface, la composante normale du champ
électrique subit une discontinuité :
MP* Buffon 2016-2017
−
→
→
−
σ(P ) →
−
n 1→2 (P )
E 2 (P ) − E 1 (P ) =
ε0
1
le champ électrique est dirigé suivant (Ox).
4. Force exercée entre deux conducteurs sphériques
l
C2
C1
O1
O2
r
R
1. Expliciter le potentiel électrostatique V (x) dans le barreau.
2. Déterminer la charge Q accumulée sur l’interface x = −e (on admettra que
le champ électrique extérieur au barreau est nul et on appliquera le théorème
de Gauss à une surface bien choisie). On appelle S la section du barreau.
v
Un conducteur sphérique C1 de rayon r maintenu par un générateur au potentiel
v interagit avec un autre conducteur sphérique C2 isolé, de rayon R et de charge
totale Q. On supposera que la distance ℓ qui sépare les centres respectifs O1 et
O2 de ces deux conducteurs est très grande devant leurs rayons :
3. Une charge (−Q) est accumulée sur l’interface x = 0. Comment peut-on
définir la capacité C de ce système ? La calculer, en fonction des paramètres
du problème et de la section S du barreau.
6. Champ magnétique d’un éclair
r ≪ ℓ et
R≪ℓ
de sorte que l’on pourra assimiler les deux conducteurs à deux charges ponctuelles.
Déterminer la force F~ exercée par C2 sur C1 en fonction des données de l’exercice.
La distribution de courants ci-dessous modélise le courant d’un éclair tombant
verticalement sur le sol.
5. Barreau MOS
Un semi-conducteur est formé d’un barreau de grande longueur (0 ≤ x ≤ L)
dont l’extrémité distante x = L est au potentiel V = 0 ; ce milieu, équivalent
au vide au remplacement près de ε0 par ε1 > ε0 , est chargé sur une épaisseur
ℓ ≪ L, avec la densité volumique de charges ρ > 0 uniforme pour 0 ≤ x ≤ ℓ,
puis neutre au-delà (x > ℓ). Ce matériau est surmonté d’une zone (−e ≤ x ≤ 0)
oxydée, considérée comme un isolant de permittivité ε2 , d’épaisseur e. Ce milieu
est neutre.
En x = −e et x = L, deux électrodes métalliques imposent les potentiels
V (−e) = U < 0 et V (L) = 0. On néglige les effets de bord, de sorte que
Préparation à l’oral : fiche 3
Un courant d’intensité I descend l’axe (Oz) et se répand de manière isotrope
dans le demi-espace z < 0.
Déterminer la densité volumique de courant en un point du demi-espace z < 0
situé à une distance r de O. Déterminer le champ magnétique en tout point de
MP* Buffon 2016-2017
2
⋆ Induction
l’espace.
L’aire d’une calotte sphérique de rayon r et de demi-angle au sommet α est
2πr 2 (1 − cos α).
8. Hurakan Condor -
RP
7. Effet Hall
L’article wikipédia Hurakan Condor donne les
informations suivantes :
Hurakan Condor est une attraction située dans la
zone "Mexico" du parc PortAventura, proche de
Barcelone.
Un conducteur ohmique de longueur h, de section carrée de côté a, de conductivité γ est parcouru par un courant d’intensité I uniformément réparti en volume,
de densité de courant ~j = j~ex .
La densité de porteurs de charge est notée n. On applique un champ magnétique
~ = B0~ez perpendiculaire à une de ses faces longues.
uniforme B
Caractéristiques :
1. En raisonnant sur un porteur en régime permanent, montrer qu’il existe un
~
~ = j − RH~j ∧ B
~ et
champ électrique dans le conducteur, qui s’exprime E
γ
exprimer RH .
2. En déduire la tension de Hall qui apparaît entre les faces y = cte en fonction
de la tension d’alimentation U du conducteur ohmique (entre les faces x = 0
et x = h) et de la densité de porteurs de charge n entre autres.
5, 7.107
~ sur les
3. Calculer la force volumique totale exercée par le champ magnétique B
charges fixes du conducteur.
Préparation à l’oral : fiche 3
Hauteur : 100 m (dont 86 de chute libre)
Capacité : 20 personnes
Débit théorique : 650 personnes par heure
Vitesse de chute 115 km · h−1 sur 86 m en 4 s puis freinage magnétique sur
14 m (3g, trois fois la gravité).
Proposer des ordres de grandeur cohérents pour les caractéristiques du dispositif
et montrer qu’un freinage électromagnétique par induction est possible.
9. Déplacement d’un cadre dans un champ extérieur
S · m−1
Application numérique pour le cuivre : γ =
et n =
28
−3
−4
−1
16
−3
8.10 m ; pour le silicium : γ = 3.10 S · m et n = 1.10 m (densité
de trous, supposés porteurs majoritaires). On prendra B0 = 1 T, h = 1 cm,
a = 5 mm, U = 1 V. Conclure et discuter les applications.
4. Retrouver l’expression de la force de Laplace.
–
–
–
–
Un cadre carré, de côté a et de résistance R,
se déplace dans un plan contenant un fil infini
parcouru par un courant constant I.
Déterminer le courant induit dans ce cadre lorsqu’il s’éloigne du fil à la vitesse constante ~v . Que
se passe-t-il si le cadre reste immobile ?
MP* Buffon 2016-2017
a
v
I
(R )
ez
eθ
er
3
10. Charge d’un condensateur par induction - BEOS
On
considère
le
circuit
présenté
sur
le
y
CCP
schéma
suivant
:
~
M
a
θ
r
O
Une tige conductrice de masse m est reliée à une masse M par une poulie parfaite
de masse nulle et un fil idéal inextensible. Elle repose sur des rails conducteurs
et peut se déplacer sans frottements sur ceux-ci. On néglige la résistance interne
du circuit. On note C la capacité du condensateur et ℓ la longueur de la tige.
x
1. Calculer le flux du champ créé par l’aiguille à travers la spire.
2. En déduire le courant parcourant la spire. On veillera notamment à bien préciser le sens conventionnel du courant ainsi défini. Vérifier que la loi de modération de Lenz est bien vérifiée.
3. Déterminer le couple subi par la spire.
1. Expliquer qualitativement ce qui va se passer.
2. Exprimer le courant i parcourant le circuit en fonction de l’accélération de la
tige.
3. En déduire l’accélération de la tige en négligeant l’inductance propre du circuit.
4. Exprimer l’énergie stockée par le condensateur en fonction de la vitesse de la
tige. Est-il cohérent de dire que l’énergie se conserve ?
11. Induction créée par un moment magnétique
~ placée en O peut tourner dans
Une aiguille aimantée de moment magnétique M
~ Sa vitesse angulaire est ω = θ̇ et on appelle θ
le plan (xOy) (contenant M).
~ et (Ox). Une spire circulaire de rayon a et d’axe (Ox) est placée
l’angle entre M
à une distance r de l’aiguille sur l’axe (Ox) (r ≫ a). On note R la résistance
totale de la spire.
Préparation à l’oral : fiche 3
4. Déterminer le champ créé par la spire en O et en déduire le couple subi par
l’aiguille.
⋆ Ondes électromagnétiques
12. Traitement anti-reflet -
RP
Il s’agit d’une ou plusieurs couches extrêmement fines (environ 10 millionièmes
de millimètre) qui annulent la réflexion de la lumière sur les verres correcteurs.
L’image n’est plus perturbée par les reflets. On estime qu’un traitement antireflet
améliore la qualité de l’image d’environ 10 %.
Esthétiquement, ce traitement permet de ne plus "avoir 2 phares de voitures" à
la place des yeux sur les photos prises avec un flash, ce qui n’est pas négligeable.
Mais le véritable plus de ce traitement est de gommer toute réflexion dans la
vie de tous les jours : vos interlocuteurs verront vos yeux, et vous n’aurez pas le
reflet de votre pupille dans vos verres (phénomène qui peut être très gênant pour
certains porteurs de lunettes).
MP* Buffon 2016-2017
4
15. Guide d’onde cylindrique - CENTRALE
On étudie la propagation d’une onde électromagnétique dans l’espace vide compris entre les
deux armatures de rayons R1 et R2 d’un câble
coaxial rectiligne d’axe (Oz). Le champ électrique est radial :
Oz
âme
R1
Estimer, grâce aux lois de l’électromagnétisme, le pourcentage de l’intensité lumineuse perdue par réflexion avec des lunettes sans traitement anti-reflets.
13. Sous-marin -
gaine
R2
~ = E(r)ej(kz−ωt)~er
E
avec E(R1 ) = E0 et R1 < R2 .
BEOS CCP
~ associé.
1. Calculer E(r) et le champ magnétique B
On suppose que l’on peut assimiler l’eau de mer à un milieu conducteur de
conductivité σ = 4, 5 S · m−1 et de permittivité ε = 81ε0 .
Montrer qu’il est impossible de communiquer, depuis la terre, avec un sous-marin
en utilisant des ondes radio.
2. Quelle est la puissance moyenne transportée par le câble ?
On pourra se référer au formulaire pour l’expression des opérateurs de dérivation
en coordonnées cylindriques.
16. Dispersion dans le plasma interstellaire
14. Guide d’onde -
CCP
On considère un guide d’onde de longueur infinie selon z, de hauteur a selon x,
et de largeur b selon y. Les parois sont supposées faites d’un métal parfait. Le
champ se propageant dans le guide est donné par :
~ = En sin
E
nπx
a
!
→
−
→
−
→
−
−
→
E (~r, t) = E 0 exp[i(~k · ~r − ωt)]; B (~r, t) = B 0 exp[i(~k · ~r − ωt)]
ei(ωt−kz)~ey
~ associé à cette onde.
1. (a) Déterminer le champ B
~ vérifie-t-il ? Déterminer la relation de dispersion.
(b) Quelle relation E
2. On ferme le guide par une paroi parfaitement conductrice en z = L. Que
devient le champ électrique ? Commenter le résultat obtenu.
Préparation à l’oral : fiche 3
Le plasma interstellaire est constitué d’électrons de masse me , de charge −e, de
nombre volumique n0 , en mouvement non relativiste, et d’ions supposés fixes. Il
est localement neutre et le reste au passage d’ondes électromagnétiques. Avec
ces hypothèses, on cherche des solutions des équations de Maxwell sous la forme
d’ondes planes progressives monochromatiques (OPPM) de vecteur d’onde ~k, de
pulsation ω :
1. Montrer que de telles solutions n’existent que si la densité de courant ~j des
électrons est elle-même une OPPM de même vecteur d’onde et de même
→
−
→
−
pulsation, c’est-à-dire de la forme j (~r, t) = j 0 exp[i(~k · ~r − ωt)].
→
−
Montrer que j est orthogonal à ~k.
2. Écrire l’équation du mouvement de l’électron et montrer que l’effet du champ
→
−
→
−
magnétique y est négligeable. Montrer que les vecteurs j et E sont colinéaires et déterminer la conductivité σ du plasma. Commenter.
MP* Buffon 2016-2017
5
→
−
→
−
3. À l’aide des équations de Maxwell, exprimer j 0 en fonction de ω, ~k, E 0 et
→
−
B 0 . En déduire une nouvelle expression de σ.
s
µ0 n0 e2
, établir
me
les expressions des vitesses de phase et de groupe des ondes électromagnétiques dans le plasma. Quelle relation vérifient-elles ?
4. En déduire la relation de dispersion ω(k). En posant K =
5. Deux trains d’onde de longueurs d’onde respectives λ1 et λ2 > λ1 sont émis
au même instant par un objet stellaire situé à une distance L. En supposant
K 2 λ21 ≪ 1 et K 2 λ22 ≪ 1, montrer que le terme principal dans la différence
δt = t2 − t1 des temps de réception des deux signaux est donné par :
δt =
LK 2 2
(λ − λ21 ).
8π 2 c 2
Application numérique : des mesures de dispersion à partir de signaux émis par
le pulsar du Crabe conduisent à une limite supérieure égale à 2, 8.104 m−3 pour
le nombre volumique n des électrons du plasma interstellaire. Quelle serait dans
ces conditions la limite supérieure de δt pour λ1 = 0, 4 µm et λ2 = 0, 8 µm
et des signaux émis par une étoile située à L = 103 annees − lumiere ?
17. Pression de radiation
Une OPPM de pulsation ω tombe en incidence normale sur la surface (plan z = 0)
d’un métal de conductivité γ. Elle donne naissance à une onde réfléchie et une
onde transmise dans le métal dont le champ magnétique est, dans l’approximation
des basses fréquences :
z
−
→
z
B t = B0 exp −
cos ωt −
~uy avec δ =
δ
δ
Préparation à l’oral : fiche 3
r
2
.
µ0 γω
1. Déterminer la densité volumique de courant ~j dans le métal (on négligera le
courant de déplacement).
2. On considère que le métal contient des ions de charge qi = +e fixes et dont le
nombre par unité de volume est ni , ainsi que des électrons de charge qe = −e,
animés localement tous de la même vitesse ~ve et dont le nombre par unité de
volume est ne .
→ −
−
→
(a) Exprimer la force exercée par le champ électromagnétique ( E t , B t ) sur
un ion et sur un électron.
(b) Pourquoi a-t-on localement ne = ni ?
(c) Montrer que la force électromagnétique s’exerçant sur un élément de vo−→ −
→
−
→
→
−
lume du métal est dF = fV dτ avec fV = ~j ∧ B t (densité volumique de
force électromagnétique).
−
→
−
→
(d) Exprimer < fV >, moyenne temporelle de fV en fonction de B0 , γ, δ et
z.
3. On considère, à l’intérieur du métal, un petit parallélépipède de longueur dx
et de base de surface dS parallèle à l’interface. Exprimer la force moyenne
−−
→
d2 F qui s’exerce dessus. En déduire l’expression de la force moyenne totale
−→
dF s’exerçant sur tout le métal s’appuyant sur dS en fonction de B0 .
4. Dans la limite δ → 0, on peut considérer que cette force s’applique sur la
surface dS. Exprimer la pression correspondante, appelée pression de radiation, en fonction de < uem > densité volumique d’énergie électromagnétique
MP* Buffon 2016-2017
6
moyenne dans le vide au niveau de la surface du métal,
ωz en
admettant que le
→
−
champ magnétique dans le vide est B vide = B0 cos
cos(ωt)~uy .
c
⋆ Dipôle rayonnant
18. WiFi -
RP
On s’interroge sur l’effet des émetteurs d’ondes électromagnétiques sur la santé.
L’antenne tige basique omnidirectionnelle à 2, 4 GHz (1/4 d’onde) ressemblant
à un stylo est la plus rencontrée. Elle est omnidirectionnelle, et est dédiée à la
desserte de proximité.
tivement avoir un DAS inférieur à 2 W · kg−1 pour pouvoir être commercialisés.
Le DAS émis par les appareils WiFi est généralement de l’ordre de 0, 2 W · kg−1 .
Quant au Bluetooth, avec une puissance d’émission limitée de 1 à 2, 5 mW
(Classe 2 ou 3), l’intensité de son rayonnement est négligeable par rapport à
celui d’un téléphone portable.
Niveaux de référence pour l’exposition de la population générale :
Ces niveaux sont donnés pour les conditions de couplage maximal du champ à la
personne exposée, assurant ainsi une protection maximale.
Domaine de fréquence
GHz
E
V · m−1
B
µT
densité de puissance
W · m−2
2 - 300
61
0,20
10
Quelle doit être la puissance maximale d’une antenne WiFi pour être sûr qu’elle
vérifie les normes en vigueur ?
19. Modèle élémentaire d’antenne
On pourra utiliser le résultat du cours pour le champ électromagnétique rayonné
par un dipôle ~p = p(t)e~z à grande distance, en coordonnées sphériques :
Le DAS (Débit d’Absorption Spécifique ou SAR en anglais) dont la mention doit
figurer obligatoirement dans la notice du fabricant, exprimé en W · kg−1 , représente la puissance absorbée par kilogramme de tissus et représente généralement
un DAS local correspondant à l’absorption d’énergie au niveau de la tête. Elle
est mesurée par rapport à un "fantôme", qui consiste en une tête moulée en
résine et contenant un liquide aux propriétés d’absorption proches de celle d’une
tête humaine. Une sonde plongée dans ce liquide permet de recueillir des mesures sur le mobile testé à émission maximale et dans diverses positions, selon un
protocole validé par le CENELEC (Comité Européen de la Normalisation Électrotechnique). Le consensus adopté par l’ICNIRP (International Commission on
Non-Ionizing Radiation Protection) évalue à 4 W · kg−1 le seuil de puissance à
partir duquel des effets nocifs peuvent apparaître.
La législation internationale a établi que les téléphones portables doivent impéraPréparation à l’oral : fiche 3
µ0 sin θ d2 p
~ =
e~θ
E
4π r dt2 t−r/c
2
µ sin θ d p
~ = 0
B
e~ϕ
4π rc dt2 t−r/c
Deux dipôles oscillants de moments dipolaires p~1 = p0 cos (ω(t − a/c))e~z et
p~2 = p0 cos (ω(t + a/c))e~z sont placés aux points O1 et O2 de l’axe Oz de cotes
respectives z1 = a et z2 = −a. En un point M éloigné, on peut considérer que
les champs ont été émis par O pour exprimer tous les facteurs géométriques, mais
pas pour exprimer les retards de propagation r1 /c = O1 M/c et r2 /c = O2 M/c.
1. Exprimer le champ électrique rayonné en M en fonction de p¨1 , p¨2 , r1 , r2 , θ et
r.
2. Exprimer r1 et r2 en fonction de r, a et θ au premier ordre en l’infiniment
petit a/r.
MP* Buffon 2016-2017
7
3. En déduire l’expression de la puissance moyenne rayonnée par unité d’angle
solide en fonction de θ. Le graphe de la figure ci-dessous donne l’indicatrice
de rayonnement pour une antenne quart d’onde, telle que 2ωa/c = π. Commenter.
⋆ Éléments de réponse
1. Attraction électrostatique Q≈
20. Positionnement par comparaison de puissance
Un téléphone portable capte les signaux émis par des antennes relais A, B, C,
D, E et F réparties sur un réseau carré de demi-diagonale d, comme représenté
sur la figure. Il s’agit d’une vue de dessus, et le plan (Oxy) correspond au plan
horizontal. Au point M , la puissance du signal provenant d’une antenne est
inversement proportionnel à la distance de M à cette antenne, la constante de
proportionnalité étant la même pour toutes les antennes, qui sont identiques. La
position M du téléphone portable est repérée par ses coordonnées (x, y).
RP
4 π ε0 r 3 M g
≈ 10−12 C
2 p NA
2. Dipôle terrestre - RP
m=
µ0
√
4πBR3T
4 sin2 λ+cos2 λ
= 1022 A · m2
3. Demi-espace chargé (BEOS CCP)
4. Force exercée entre deux conducteurs sphériques
Qq
rQ
Q
~
F =
~u = 2 v −
~u.
4πε0 ℓ2
ℓ
4πε0 ℓ
5. Barreau MOS
2. Q =
1
1
−
PA PC
en fonction de x et y, puis K2 =
1. Exprimer simplement K1 =
1
1
−
PB
PD
1
1
−
PE
PB
en fonction de d, x et y.
1
1
−
PF
PA
2. Exprimer x et y en fonction de d, K1 et K2 .
ε2 S ρℓ2 + 2ε1 U − 2Lρl
×
< 0.
2
ε1 (e + L)
6. Champ magnétique d’un éclair


 µ0 I ~uϕ
→
−
I
2πr sin θ
~j =
~ur ; B (M ) = µ

2πr 2
 0 I(1 + cos θ) ~uϕ
2πr sin θ
π
si 0 < θ <
2
π
si < θ < π
2
7. Effet Hall
1. RH =
Ra
1
dF~L ~ ~
γU B0 a
. 2. VH = − 0 EH dy = −
. 3. f~L =
=j∧B
nq
nqh
dV
8. Hurakan Condor -
RP
Pour une décélération initiale de l’ordre de 5g, il faut environ 400 boucles de
cuivre, avec une constante de temps caractéristique τ = 0, 4 s.
Préparation à l’oral : fiche 3
MP* Buffon 2016-2017
8
9. Déplacement d’un cadre dans un champ extérieur
!
µ0 Iav 1
1
i=
.
−
2πR r0 r0 + a
5. δt = L
11. Induction créée par un moment magnétique
2
sin (θ)ωa
θa
. 2. i = µ0 M2Rr
.
1. Φm = µ0 M2rcos
3
3
µ20 M2 a4 ω sin2 θω
µ20 M2 a4 ω sin2 θω
′
~
~
3. Γ =
(−~ez ). 4. Γ =
(−~ez )
6
6
8Rr
4Rr
12. Traitement anti-reflet -
1
vg,2
−
1
vg,1
6 0, 19 ps.
17. Pression de radiation
zh
z
z i
B0
cos ωt −
− sin ωt −
~ux .
exp −
1. ~j =
µ0 δ
δ δ
δ
−
→
B02
2z
2. < fV >=
exp −
~uz .
2µ0 δ
δ
B2
4. Prad = 0 .
4µ0
10. Charge d’un condensateur par induction (BEOS CCP)
2
18. WiFi -
RP
RP
2
Coefficients de réflexion des champs : rE = −rB =
Coefficients de réflexion en énergie : R =
(n1 −n2 )2
.
(n1 +n2 )2
2
Avec E : Pmax = 4 π rmin
c ε0 E2max = 4 π × 0, 042 × 3 × 108 × 8, 85 × 10−12 ×
0, 5 × 612 ≈ 0, 1 W
−7 2
2
2
2 × 3 × 108 × 0, 5 × (2×10 ) ≈
Avec B : Pmax = 4 π rmin
c B2max
=
4
π
×
0,
04
µ0
4π×10−7
0, 1 W
n1 −n2
n1 +n2 .
Le pourcentage de l’intensité perdue est donc
I0 − (1 − R)2 I0
(n1 − n2 )2
= 1 − (1 − R)2 ≈ 2R = 2
I0
(n1 + n2 )2
19. Modèle élémentaire d’antenne
13. Sous-marin (BEOS CCP)
14. Guide d’onde
~ = En k sin nπx cos(ωt − kz)~ex − En nπ cos nπx sin(ωt − kz)~ez ,
1a. B
ω
a
a
nπx aω
2π2
2
n
ω
~ = −2En sin
sin(kL − kz) sin(ωt)~ey .
1b. k2 = 2 − 2 , 2. E
c
a
a
15. Guide d’onde cylindrique
~ =
1. B
k R1
j(kz−ωt)~
eθ .
ω r E0 e
2. < P >t =
kπE02 R21
µ0 ω
ln
R2
R1
.
~ = [p¨1 (t − r1 /c) + p¨2 (t − r2 /c)] µ0 sin θ e~θ . 2. r1 = r − a cos θ, r2 = r +
1. E
4πr
a cos θ.
dP
2ωa
µ0 p20 ω 4
2
>=
sin θ 1 + cos
(1 − cos θ) .
3. <
dΩ
16π 2 c
c
20. Positionnement par comparaison de puissance
x=d×
K1 (K2 − 1)
K2 − 1
et y = d ×
.
K2 − K1
K2 − K1
16. Dispersion dans le plasma interstellaire
→
−
n0 e2
iε0 2
→
−
. 3. j 0 =
(ω − c2 k2 ) E 0
mr
ω
eω
c
K2
; vϕ × vg = c2
4. vϕ = c 1 + 2 ; vg = r
2
k
K
1+ 2
k
2. σ = i
Préparation à l’oral : fiche 3
MP* Buffon 2016-2017
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