Électromagnétisme

Préparation Oral 3
Électromagnétisme
⋆Électrostatique - Magnétostatique
1. Attraction électrostatique - RP
Un bâton électrisé par frottement attire les molécules d’eau.
Évaluer la charge électrique portée par le bâton.
2. Dipôle terrestre - RP
Le champ magnétique terrestre est engendré par les mouvements du noyau mé-
tallique liquide des couches profondes de la Terre. Il peut être vu comme celui
d’un aimant droit, en première approximation (ou d’un dipôle magnétique, ou
d’une bobine plate parcourue par un courant électrique).
En un point donné du champ magnétique terrestre, le vecteur ~ Bpossède une
composante verticale ~ Bv(dirigée vers le centre de la Terre) et une composante
horizontale ~ B0. Aux pôles magnétiques, la composante horizontale a une valeur
nulle. L’angle formé par ~ Bet ~ B0est appelé "inclinaison". Il augmente lorsque
l’on se rapproche des pôles en tendant vers 90◦.
Actuellement, la valeur du champ magnétique est de l’ordre de 47 µTau centre
de la France.
En coordonnées sphériques de centre O, un dipôle magnétique de moment ~m
placé en Ocrée à grande distance run champ magnétique de projections :
Br=2µ0mcos θ
4πr3
Bθ=µ0msin θ
4πr3
Bϕ= 0
Estimer, grâce aux lois de l’électromagnétisme, la valeur du moment dipolaire ~m
de la Terre.
3. Demi-espace chargé - BEOS CCP
On considère le demi-espace x > 0avec n+(x) = ions de charge q > 0et n−(x)
ions de charge −qpar unité de volume. Le demi-espace x < 0est un conducteur
massif porté au potentiel V0.
On donne n+(x) = n0exp −qV (x)
kBTet n−(x) = n0exp +qV (x) kBT.
1. Grâce au théorème de Gauss, établir une équation différentielle du deuxième
ordre vérifiée par le potentiel V(x)dans le demi-espace x > 0.
2. On suppose que qV (x)
kBT≪1. Donner alors la forme de V. On posera D2=
kBT ε0
qV0
.
3. Déterminer la densité surfacique de charge σdu plan x= 0. On rappelle qu’à
la traversée d’un plan chargé en surface, la composante normale du champ
électrique subit une discontinuité :
−→
E2(P)−−→ E1(P) = σ(P)
ε0−→
n1→2(P)
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4. Force exercée entre deux conducteurs sphériques
l
v
O1
r
C1
C2
O2R
Un conducteur sphérique C1de rayon rmaintenu par un générateur au potentiel
vinteragit avec un autre conducteur sphérique C2isolé, de rayon Ret de charge
totale Q. On supposera que la distance ℓqui sépare les centres respectifs O1et
O2de ces deux conducteurs est très grande devant leurs rayons :
r≪ℓet R ≪ℓ
de sorte que l’on pourra assimiler les deux conducteurs à deux charges ponctuelles.
Déterminer la force ~ Fexercée par C2sur C1en fonction des données de l’exercice.
5. Barreau MOS
Un semi-conducteur est formé d’un barreau de grande longueur (0≤x≤L)
dont l’extrémité distante x=Lest au potentiel V= 0 ; ce milieu, équivalent
au vide au remplacement près de ε0par ε1> ε0, est chargé sur une épaisseur
ℓ≪L, avec la densité volumique de charges ρ > 0uniforme pour 0≤x≤ℓ,
puis neutre au-delà (x > ℓ). Ce matériau est surmonté d’une zone (−e≤x≤0)
oxydée, considérée comme un isolant de permittivité ε2, d’épaisseur e. Ce milieu
est neutre.
En x=−eet x=L, deux électrodes métalliques imposent les potentiels
V(−e) = U < 0et V(L) = 0. On néglige les effets de bord, de sorte que
le champ électrique est dirigé suivant (Ox).
1. Expliciter le potentiel électrostatique V(x)dans le barreau.
2. Déterminer la charge Qaccumulée sur l’interface x=−e(on admettra que
le champ électrique extérieur au barreau est nul et on appliquera le théorème
de Gauss à une surface bien choisie). On appelle Sla section du barreau.
3. Une charge (−Q) est accumulée sur l’interface x= 0. Comment peut-on
définir la capacité Cde ce système ? La calculer, en fonction des paramètres
du problème et de la section Sdu barreau.
6. Champ magnétique d’un éclair
La distribution de courants ci-dessous modélise le courant d’un éclair tombant
verticalement sur le sol.
Un courant d’intensité Idescend l’axe (Oz)et se répand de manière isotrope
dans le demi-espace z < 0.
Déterminer la densité volumique de courant en un point du demi-espace z < 0
situé à une distance rde O. Déterminer le champ magnétique en tout point de
Préparation à l’oral : fiche 3 MP* Buffon 2016-2017 2

l’espace.
L’aire d’une calotte sphérique de rayon ret de demi-angle au sommet αest
2πr2(1 −cos α).
7. Effet Hall
Un conducteur ohmique de longueur h, de section carrée de côté a, de conducti-
vité γest parcouru par un courant d’intensité Iuniformément réparti en volume,
de densité de courant ~ j=j~ex.
La densité de porteurs de charge est notée n. On applique un champ magnétique
uniforme ~ B=B0~ezperpendiculaire à une de ses faces longues.
1. En raisonnant sur un porteur en régime permanent, montrer qu’il existe un
champ électrique dans le conducteur, qui s’exprime ~ E=~
j
γ−RH~
j∧~ Bet
exprimer RH.
2. En déduire la tension de Hall qui apparaît entre les faces y= cte en fonction
de la tension d’alimentation Udu conducteur ohmique (entre les faces x= 0
et x=h) et de la densité de porteurs de charge nentre autres.
Application numérique pour le cuivre :γ= 5,7.107S·m−1et n=
8.1028 m−3;pour le silicium :γ= 3.10−4S·m−1et n= 1.1016 m−3(densité
de trous, supposés porteurs majoritaires). On prendra B0= 1 T,h= 1 cm,
a= 5 mm,U= 1 V. Conclure et discuter les applications.
3. Calculer la force volumique totale exercée par le champ magnétique ~ Bsur les
charges fixes du conducteur.
4. Retrouver l’expression de la force de Laplace.
⋆Induction
8. Hurakan Condor - RP
L’article wikipédia Hurakan Condor donne les
informations suivantes :
Hurakan Condor est une attraction située dans la
zone "Mexico" du parc PortAventura, proche de
Barcelone.
Caractéristiques :
– Hauteur : 100 m (dont 86 de chute libre)
– Capacité : 20 personnes
– Débit théorique : 650 personnes par heure
– Vitesse de chute 115 km ·h−1sur 86 m en 4 s puis freinage magnétique sur
14 m (3g, trois fois la gravité).
Proposer des ordres de grandeur cohérents pour les caractéristiques du dispositif
et montrer qu’un freinage électromagnétique par induction est possible.
9. Déplacement d’un cadre dans un champ extérieur
Un cadre carré, de côté aet de résistance R,
se déplace dans un plan contenant un fil infini
parcouru par un courant constant I.
Déterminer le courant induit dans ce cadre lors-
qu’il s’éloigne du fil à la vitesse constante ~v. Que
se passe-t-il si le cadre reste immobile ?
I
er
ez
eθ
a
(R)
v
Préparation à l’oral : fiche 3 MP* Buffon 2016-2017 3

10. Charge d’un condensateur par induction - BEOS CCP
On considère le circuit présenté sur le schéma suivant :
Une tige conductrice de masse mest reliée à une masse Mpar une poulie parfaite
de masse nulle et un fil idéal inextensible. Elle repose sur des rails conducteurs
et peut se déplacer sans frottements sur ceux-ci. On néglige la résistance interne
du circuit. On note Cla capacité du condensateur et ℓla longueur de la tige.
1. Expliquer qualitativement ce qui va se passer.
2. Exprimer le courant iparcourant le circuit en fonction de l’accélération de la
tige.
3. En déduire l’accélération de la tige en négligeant l’inductance propre du circuit.
4. Exprimer l’énergie stockée par le condensateur en fonction de la vitesse de la
tige. Est-il cohérent de dire que l’énergie se conserve ?
11. Induction créée par un moment magnétique
Une aiguille aimantée de moment magnétique ~ Mplacée en Opeut tourner dans
le plan (xOy)(contenant ~ M). Sa vitesse angulaire est ω=˙ θet on appelle θ
l’angle entre ~ Met (Ox). Une spire circulaire de rayon aet d’axe (Ox)est placée
à une distance rde l’aiguille sur l’axe (Ox)(r≫a). On note Rla résistance
totale de la spire.
θ
~
M
x
y
O
a
r
1. Calculer le flux du champ créé par l’aiguille à travers la spire.
2. En déduire le courant parcourant la spire. On veillera notamment à bien pré-
ciser le sens conventionnel du courant ainsi défini. Vérifier que la loi de mo-
dération de Lenz est bien vérifiée.
3. Déterminer le couple subi par la spire.
4. Déterminer le champ créé par la spire en Oet en déduire le couple subi par
l’aiguille.
⋆Ondes électromagnétiques
12. Traitement anti-reflet - RP
Il s’agit d’une ou plusieurs couches extrêmement fines (environ 10 millionièmes
de millimètre) qui annulent la réflexion de la lumière sur les verres correcteurs.
L’image n’est plus perturbée par les reflets. On estime qu’un traitement antireflet
améliore la qualité de l’image d’environ 10 %.
Esthétiquement, ce traitement permet de ne plus "avoir 2 phares de voitures" à
la place des yeux sur les photos prises avec un flash, ce qui n’est pas négligeable.
Mais le véritable plus de ce traitement est de gommer toute réflexion dans la
vie de tous les jours : vos interlocuteurs verront vos yeux, et vous n’aurez pas le
reflet de votre pupille dans vos verres (phénomène qui peut être très gênant pour
certains porteurs de lunettes).
Préparation à l’oral : fiche 3 MP* Buffon 2016-2017 4

Estimer, grâce aux lois de l’électromagnétisme, le pourcentage de l’intensité lu-
mineuse perdue par réflexion avec des lunettes sans traitement anti-reflets.
13. Sous-marin - BEOS CCP
On suppose que l’on peut assimiler l’eau de mer à un milieu conducteur de
conductivité σ= 4,5 S ·m−1et de permittivité ε= 81ε0.
Montrer qu’il est impossible de communiquer, depuis la terre, avec un sous-marin
en utilisant des ondes radio.
14. Guide d’onde - CCP
On considère un guide d’onde de longueur infinie selon z, de hauteur aselon x,
et de largeur bselon y. Les parois sont supposées faites d’un métal parfait. Le
champ se propageant dans le guide est donné par :
~
E=Ensin nπx
a!ei(ωt−kz)~ey
1. (a) Déterminer le champ ~ Bassocié à cette onde.
(b) Quelle relation ~ Evérifie-t-il ? Déterminer la relation de dispersion.
2. On ferme le guide par une paroi parfaitement conductrice en z=L. Que
devient le champ électrique ? Commenter le résultat obtenu.
15. Guide d’onde cylindrique - CENTRALE
On étudie la propagation d’une onde électro-
magnétique dans l’espace vide compris entre les
deux armatures de rayons R1et R2d’un câble
coaxial rectiligne d’axe (Oz). Le champ élec-
trique est radial :
~
E=E(r)ej(kz−ωt)~er
avec E(R1) = E0et R1< R2.
R2
R1
Oz
gaine
ˆame
1. Calculer E(r)et le champ magnétique ~ Bassocié.
2. Quelle est la puissance moyenne transportée par le câble ?
On pourra se référer au formulaire pour l’expression des opérateurs de dérivation
en coordonnées cylindriques.
16. Dispersion dans le plasma interstellaire
Le plasma interstellaire est constitué d’électrons de masse me, de charge −e, de
nombre volumique n0, en mouvement non relativiste, et d’ions supposés fixes. Il
est localement neutre et le reste au passage d’ondes électromagnétiques. Avec
ces hypothèses, on cherche des solutions des équations de Maxwell sous la forme
d’ondes planes progressives monochromatiques (OPPM) de vecteur d’onde ~ k, de
pulsation ω:
−→
E(~r, t) = −→
E0exp[i(~
k·~r −ωt)]; −→ B(~r, t) = −→
B0exp[i(~
k·~r −ωt)]
1. Montrer que de telles solutions n’existent que si la densité de courant ~ jdes
électrons est elle-même une OPPM de même vecteur d’onde et de même
pulsation, c’est-à-dire de la forme −→ j(~r, t) = −→
j0exp[i(~ k·~r −ωt)].
Montrer que −→ jest orthogonal à ~ k.
2. Écrire l’équation du mouvement de l’électron et montrer que l’effet du champ
magnétique y est négligeable. Montrer que les vecteurs −→ jet −→ Esont coli-
néaires et déterminer la conductivité σdu plasma. Commenter.
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