Chap 9 – Lois de probabilité à densité - Mathématiques 2015-2016

Chap 9 – Lois de probabilité à densité
I. Variables aléatoires continues, loi à densité........................................................................................4
1) Introduction........................................................................................................................................4
2) Fonction densité.................................................................................................................................4
3) Loi de probabilité à densité................................................................................................................4
4) Espérance d'une variable aléatoire continues.....................................................................................5
5) Propriétés............................................................................................................................................5
II. Loi uniforme........................................................................................................................................5
1) Définition...........................................................................................................................................5
2) Propriété.............................................................................................................................................6
3) Espérance mathématiques..................................................................................................................6
III. Loi normale centrée réduite..............................................................................................................6
1) Définition...........................................................................................................................................6
2) Étude et représentation graphique de f...............................................................................................7
3) Espérance...........................................................................................................................................7
4) Propriétés............................................................................................................................................7
5) Loi normale centrée réduite et calculatrice........................................................................................9
6) Résolution d'équations avec la loi normale centrée réduite...............................................................9
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Chap 9 – Lois de
probabilité à densité
Terminale ES

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Vérifier les acquis p 192
Activités : Feuilles
TES.33 Chap 9 – Lois de probabilité à densité Exercices
TES.330 Utiliser une loi à densité. 2, 3, 4 p 195 ; 34 p 204
Feuille n° 23 et 27
TES.331 Connaître et utiliser la fonction de densité de la loi
uniforme. 10 p 197
TES.332 Calculer l'espérance d’une variable aléatoire suivant une
loi uniforme. 36 p 204
TES.333 Utiliser une loi uniforme. 12 à 15 p 199 ; 39, 41 p 205
Feuille n° 1 à 4, 28 , 30
TES.334 Connaître la fonction de densité de la loi normale centrée
réduite et sa représentation graphique.
42 p 205
TES.335 Calculer avec la loi normale centrée réduite. 52 à 56 p 26 ; 45, 46 p 205 ; 49 p 206
Feuille n° 5, 34, 36, 37
TES.336 Résoudre des équations avec la loi normale centrée
réduite.
AP p 202-203
Exercices bilan :
77 p 211, 80 p 211, 98 p 215
TP :
73 p 210
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I. Variables aléatoires continues, loi à densité
1) Introduction
Jusqu'à présent, nous avions toujours considéré des variables aléatoires prenant un nombre fini de valeurs réelles.
Ces variables aléatoires sont appelées « variables aléatoires discrètes ».
Mais, dans de nombreux domaines, on est amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre, du moins
théoriquement, toute valeur d'un intervalle I. Ces variables aléatoires sont appelées « variables aléatoires continues ».
Ainsi, une variable aléatoire continue est une fonction qui, à chaque issue d'une expérience aléatoire, associe une
nombre réel d'un intervalle I de.
Exemples : La variable aléatoire égale au temps d'attente à un arrêt de bus ou la variable aléatoire égale à la durée
de bon fonctionnement d'un appareil électroménager ou encore la variable aléatoire égale à la durée de vie en heures
d'un disque dur … Ces variables aléatoires ne prennent pas nécessairement des valeurs entières, mais peuvent
prendre toute valeur de l'intervalle. Ce sont des variables continues.
La fonction « Alea() » sur tableur ou « rand# » ou « nbrAleat() » sur calculatrice donnent un nombre au
hasard entre 0 et 1. Ces instructions définissent une variable aléatoire X continue prenant ses valeurs dans. Toutes
ces valeurs peuvent être prises.
Dans le cas d'une variable aléatoire continue qui prend ses valeurs dans un intervalle I, sa loi de probabilité n'est pas
associée à la probabilité de chacune de ses valeurs, mais à la probabilité de tout intervalle inclus dans I. On a ainsi
recours à une fonction définie sur I appelée fonction de densité.
2) Fonction densité
Définition : Soit
a
et
b
deux nombres réels tels que
a<b
.
On appelle fonction densité sur l'intervalle
[a ; b]
toute fonction
f
définie, continue et positive sur
l'intervalle
[a ; b]
et telle que l'intégrale de
f
sur
[a ; b]
soit égale à 1.
C'est-à-dire
∫
a
b
f(x)dx=1
.
Remarque : On parle aussi de fonction de densité de probabilité ou encore fonction densité de probabilité.
3) Loi de probabilité à densité
Définition : Variable aléatoire à densité
Une variable aléatoire à densité X sur un intervalle I est une variable aléatoire continue définie par la donnée
d'une fonction densité de probabilité
f
définie sur I.
Propriété : Soit X une variable aléatoire à densité à valeurs dans un intervalle I, de fonction densité
f
.
La probabilité pour que X appartiennent à un intervalle
[c ; d ]
inclus dans I est égale à l'aire située sous la
courbe
Cf
sur l'intervalle
[c ; d ]
, c'est-à-dire
P(c≤X≤d)=∫
c
d
f(x)dx
.
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Remarque : On note aussi
P(X∈[c ; d ])=∫
c
d
f(x)dx
.
4) Espérance d'une variable aléatoire continues
Définition : Soit
X
une variable aléatoire continue de fonction de densité
f
sur un intervalle
[a ; b]
.
L'espérance mathématique de
X
est le réel noté
E(X)
défini par
E(X)=∫
a
b
t f (t)dt
.
5) Propriétés
Soit
X
une variable aléatoire continue de fonction de densité
f
sur un intervalle
I
.
•Pour tout réel
c∈I
, on a
P(X=c)= 0
•Pour tous réels
a
et
b
de l'intervalle
I
, on a
P(a≤X≤b)=P(a≤X<b)=P(a<X≤b)=P(a<X<b)
Preuve :
P(X=c)=∫
C
C
f(t)dt=0
par propriété des intégrales.
Exercice 1 : Une entreprise produit des dalles en plâtre suivant une variable aléatoire continue
X
, en tonnes,
qui prend ses valeurs dans
[0;20]
avec une densité de probabilité
f
définie par
f(x)=0,015 x−0,00075 x2
.
a. Démontrer que
f
est bien une densité de probabilité sur
[0;20]
.
b. Calculer la probabilité de l'événement
E
: « la production quotidienne est supérieure ou égale à 12
tonnes ».
c. Calculer l'espérance mathématique de X.
Exercice 2 : La production quotidienne
X
d'un produit en tonnes est une variable aléatoire continue qui
prend ses valeurs dans l'intervalle
[0;10]
avec la densité de probabilité
f
définie par
f(x)=0,006(10 x−x2)
.
a. Vérifier que
f
est bien une densité de probabilité sur
[0;10]
.
b. Calculer la probabilité des événements
A
: «
X≤7
» et
B
: « la production quotidienne dépasse 6
tonnes ».
c. Calculer
PB(A)
à 0,001 près.
II. Loi uniforme
1) Définition
Soit
a
et
b
deux réels distincts (avec
a<b
).
On dit qu'une variable aléatoire
X
suit une loi uniforme
sur
[a ; b]
lorsque la densité de probabilité de la loi
de
X
est la fonction constante définie sur
[a ; b]
par
f(x)= 1
b−a
.
Remarque : On peut vérifier aisément que l'on a
∫
a
b1
b−adx=1
.
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