Chap 9 – Lois de probabilité à densité - Mathématiques 2015-2016

Chap 9 – Lois de
probabilité à densité
Terminale ES
Chap 9 – Lois de probabilité à densité
I. Variables aléatoires continues, loi à densité........................................................................................4
1) Introduction........................................................................................................................................4
2) Fonction densité.................................................................................................................................4
3) Loi de probabilité à densité................................................................................................................4
4) Espérance d'une variable aléatoire continues.....................................................................................5
5) Propriétés............................................................................................................................................5
II. Loi uniforme........................................................................................................................................5
1) Définition...........................................................................................................................................5
2) Propriété.............................................................................................................................................6
3) Espérance mathématiques..................................................................................................................6
III. Loi normale centrée réduite..............................................................................................................6
1) Définition...........................................................................................................................................6
2) Étude et représentation graphique de f...............................................................................................7
3) Espérance...........................................................................................................................................7
4) Propriétés............................................................................................................................................7
5) Loi normale centrée réduite et calculatrice........................................................................................9
6) Résolution d'équations avec la loi normale centrée réduite...............................................................9
A. Gniady – 2015-2016
Chap 9 – Lois de probabilité à densité 1 / 9
A. Gniady – 2015-2016
Chap 9 – Lois de probabilité à densité 2 / 9
Vérifier les acquis p 192
Activités : Feuilles
TES.33
Chap 9 – Lois de probabilité à densité
Exercices
TES.330
Utiliser une loi à densité.
2, 3, 4 p 195 ; 34 p 204
Feuille n° 23 et 27
TES.331
Connaître et utiliser la fonction de densité de la loi
uniforme.
10 p 197
TES.332
Calculer l'espérance d’une variable aléatoire suivant une
loi uniforme.
36 p 204
TES.333
Utiliser une loi uniforme.
12 à 15 p 199 ; 39, 41 p 205
Feuille n° 1 à 4, 28 , 30
TES.334
Connaître la fonction de densité de la loi normale centrée
réduite et sa représentation graphique.
42 p 205
TES.335
Calculer avec la loi normale centrée réduite.
52 à 56 p 26 ; 45, 46 p 205 ; 49 p 206
Feuille n° 5, 34, 36, 37
TES.336
Résoudre des équations avec la loi normale centrée
réduite.
AP p 202-203
Exercices bilan :
77 p 211, 80 p 211, 98 p 215
TP :
73 p 210
A. Gniady – 2015-2016
Chap 9 – Lois de probabilité à densité 3 / 9
I. Variables aléatoires continues, loi à densité
1) Introduction
Jusqu'à présent, nous avions toujours considéré des variables aléatoires prenant un nombre fini de valeurs réelles.
Ces variables aléatoires sont appelées « variables aléatoires discrètes ».
Mais, dans de nombreux domaines, on est amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre, du moins
théoriquement, toute valeur d'un intervalle I. Ces variables aléatoires sont appelées « variables aléatoires continues ».
Ainsi, une variable aléatoire continue est une fonction qui, à chaque issue d'une expérience aléatoire, associe une
nombre réel d'un intervalle I de.
Exemples : La variable aléatoire égale au temps d'attente à un arrêt de bus ou la variable aléatoire égale à la durée
de bon fonctionnement d'un appareil électroménager ou encore la variable aléatoire égale à la durée de vie en heures
d'un disque dur … Ces variables aléatoires ne prennent pas nécessairement des valeurs entières, mais peuvent
prendre toute valeur de l'intervalle. Ce sont des variables continues.
La fonction « Alea() » sur tableur ou « rand# » ou « nbrAleat() » sur calculatrice donnent un nombre au
hasard entre 0 et 1. Ces instructions définissent une variable aléatoire X continue prenant ses valeurs dans. Toutes
ces valeurs peuvent être prises.
Dans le cas d'une variable aléatoire continue qui prend ses valeurs dans un intervalle I, sa loi de probabilité n'est pas
associée à la probabilité de chacune de ses valeurs, mais à la probabilité de tout intervalle inclus dans I. On a ainsi
recours à une fonction définie sur I appelée fonction de densité.
2) Fonction densité
Définition : Soit a et b deux nombres réels tels que a < b .
On appelle fonction densité sur l'intervalle [a ; b] toute fonction f définie, continue et positive sur
l'intervalle [a ; b] et telle que l'intégrale de f sur [a ; b] soit égale à 1.
b
C'est-à-dire
∫ f ( x) dx=1
.
a
Remarque : On parle aussi de fonction de densité de probabilité ou encore fonction densité de probabilité.
3) Loi de probabilité à densité
Définition : Variable aléatoire à densité
Une variable aléatoire à densité X sur un intervalle I est une variable aléatoire continue définie par la donnée
d'une fonction densité de probabilité f définie sur I.
Propriété : Soit X une variable aléatoire à densité à valeurs dans un intervalle I, de fonction densité f .
La probabilité pour que X appartiennent à un intervalle [c ; d ] inclus dans I est égale à l'aire située sous la
d
courbe C f sur l'intervalle [c ; d ] , c'est-à-dire P (c≤ X ≤d )=∫ f ( x )dx .
c
A. Gniady – 2015-2016
Chap 9 – Lois de probabilité à densité 4 / 9
d
Remarque : On note aussi P ( X ∈[c ; d ])=∫ f ( x )dx .
c
4) Espérance d'une variable aléatoire continues
Définition : Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité
f
sur un intervalle [a ; b] .
b
L'espérance mathématique de X est le réel noté E ( X ) défini par E ( X )=∫ t f (t )dt .
a
5) Propriétés
Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur un intervalle I .
• Pour tout réel c ∈ I , on a P ( X =c ) = 0
• Pour tous réels a et b de l'intervalle I , on a
P (a≤ X ≤ b )=P (a≤ X <b)=P (a <X ≤ b)=P (a <X <b )
C
Preuve :
P ( X =c )=∫ f (t) dt=0 par propriété des intégrales.
C
Exercice 1 : Une entreprise produit des dalles en plâtre suivant une variable aléatoire continue X , en tonnes,
qui prend ses valeurs dans [0 ; 20] avec une densité de probabilité f définie par
f (x )=0,015 x− 0,00075 x 2 .
a. Démontrer que f est bien une densité de probabilité sur [0 ;20 ] .
b. Calculer la probabilité de l'événement E : « la production quotidienne est supérieure ou égale à 12
tonnes ».
c. Calculer l'espérance mathématique de X.
Exercice 2 : La production quotidienne X d'un produit en tonnes est une variable aléatoire continue qui
prend ses valeurs dans l'intervalle [0 ; 10] avec la densité de probabilité f définie par
f (x )=0,006(10 x − x 2 ) .
a. Vérifier que f est bien une densité de probabilité sur [0 ; 10] .
b. Calculer la probabilité des événements A : « X ≤ 7 » et B : « la production quotidienne dépasse 6
tonnes ».
c. Calculer P B ( A) à 0,001 près.
II. Loi uniforme
1) Définition
Soit a et b deux réels distincts (avec a < b ).
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme
sur [a ; b] lorsque la densité de probabilité de la loi
de X est la fonction constante définie sur [a ; b] par f (x )=
b
Remarque : On peut vérifier aisément que l'on a
1
∫ b− a dx=1
1
.
b− a
.
a
A. Gniady – 2015-2016
Chap 9 – Lois de probabilité à densité 5 / 9
2) Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a ; b] .
Pour tout intervalle [c ; d ] inclus dans [a ; b] , on a P (c ≤ X ≤ d )=
d
Preuve :
P (c≤ X ≤ d )=∫
c
d− c
.
b− a
d
1
1
d
c
d−c
dx=
x =
−
=
.
b− a
b− a c b− a b− a b− a
[
]
3) Espérance mathématiques
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a ; b] .
a+b
L'espérance mathématique de X est E ( X )=
.
2
b
[
Preuve : on a E ( X )=∫ t × 1 dt= 1 t 2× 1
a
b− a
2
b− a
b
]
1
1
1 ( b− a )( b+a ) a +b
= ×
[b 2− a 2]= ×
=
2 b− a
2
b− a
2
.
a
Remarques :
• Par convention, choisir un nombre au hasard dans l'intervalle [a ; b] , c'est le choisir selon la loi uniforme
sur l'intervalle [a ; b] .
•
En particulier, pour la loi uniforme sur [0 ; 1] et pour tous nombres réels c et d de [0 ; 1] , on a
d− c
P (c ≤ X ≤ d )=
=d − c ; Donc, la probabilité de choisir un nombre au hasard entre c et d est
1− 0
égale à la longueur de l'intervalle [c ; d ] .
Exercice 3 : Caroline a dit qu'elle passait voir Julien à un moment quelconque entre 18h30 et 20h45.
Quelle est la probabilité qu'elle arrive pendant le feuilleton préféré de Julien qui dure de 19h à 19h30 ?
Exercice 4 : La durée de communication téléphonique entre Claire et Alice ne dépasse jamais 1 heure.
On suppose que sa durée, en heures, est un nombre aléatoire compris entre 0 et 1.
Claire appelle Alice au téléphone.
Déterminer la probabilité que la durée de communication soit :
a) de 30 minutes ;
b) d'au moins 10 minutes ;
c) comprise entre 20 et 40 minutes.
III. Loi normale centrée réduite
L'observation des représentations graphiques de certaines lois binomiales conduit à une nouvelle loi appelée loi
normale centrée réduite.
1) Définition
A. Gniady – 2015-2016
Chap 9 – Lois de probabilité à densité 6 / 9
La loi normale centrée réduite, notée ℵ(0 ; 1), est la loi continue ayant pour densité de probabilité la fonction
t
2
1 −2
f définie sur ℝ par f (t)=
.
e
√2 π
2) Étude et représentation graphique de f
t
2
1 −2
On considère la fonction f définie sur ℝ par f (t)=
.
e
√2 π
La fonction f est dérivable sur ℝ car c'est le produit d'une constante par l'exponentielle d'une fonction
polynôme donc dérivable sur ℝ .
t
t
−
1
−t − 2
Et on a : f ' (t)=
.
×(−t )e 2 =
e
√2 π
√2 π
t
−
1
>0 et e 2 >0 .
Sur ℝ , cette dérivée est du signe de − t car
√2 π
Ainsi, on a f ' ( t)>0 sur ]− ∞; 0 [ et f ' (t)<0 sur ] 0 ; +∞[ .
D'où : la fonction f est strictement croissante sur ]− ∞; 0 ] et strictement décroissante sur [ 0 ;+∞[ .
2
2
2
La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est une courbe « en cloche », symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées, appelée courbe de Gauss.
3) Espérance
Propriété : L'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite est 0.
4) Propriétés
Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite ℵ(0,1). La fonction densité de probabilité de
t
2
1 −2
X est f (t)=
.
e
√2 π
On a les propriétés suivantes (qui découlent des définitions d'une loi continue et d'une fonction densité de
probabilité) :
•
Pour tous réels a et b , on a :
b
P (a≤ X ≤ b)=∫ f (t )dt
a
ou encore l'aire sous la courbe C f sur l'intervalle [a ; b] .
A. Gniady – 2015-2016
Chap 9 – Lois de probabilité à densité 7 / 9
•
L'aire du domaine « illimité » compris entre la courbe C f
et l'axe des abscisses sur ℝ est égale à 1 puisque f
+∞
est une densité de probabilité. On note cette aire
+∞
On a donc
∫
−∞
∫
−∞
f (t) dt .
f (t)dt=1 ,
ce que l'on note P ( X ∈ℝ)=P ( X ∈]− ∞;+ ∞[ )=1 .
•
La courbe C f étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, on a :
P ( X ≤ 0)=P ( X ∈]− ∞; 0 ])=
•
•
1
2
et
P ( X ≥ 0)=P ( X ∈[ 0 ;+∞[)=
1
.
2
La courbe C f étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, pour tout nombre réel a , on a
P ( X ≤− a)=P ( X ≥ a ) .
P (−1,96≤ X ≤ 1,96)≈ 0,95 .
Remarques : Pour calculer P ( X <a ) ou P ( X >a ) , on peut utiliser l'une des méthodes suivantes :
Pour calculer P (− a <X <a ) :
On a
P (− a <X <a )=1−( P ( X ≤− a)+P ( X ≥ a ))=1− 2 P ( X ≤− a )=1− 2 P ( X ≥ a)
A. Gniady – 2015-2016
Chap 9 – Lois de probabilité à densité 8 / 9
5) Loi normale centrée réduite et calculatrice
Exercice 5 : La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite.
Les résultats seront arrondis au millième.
1) Calculer :
a. P ( X =1)
b. P (− 1,5≤ X ≤ 2,2)
c. P ( X <1,3)
d. P ( X >0,22)
2) On note A l'événement « X >− 0,38 » et B l'événement « X <1,02 ».
Calculer P A (B) .
6) Résolution d'équations avec la loi normale centrée réduite
Exercice 6 : La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite.
En utilisant la calculatrice, déterminer des valeurs approchées au millième des réels suivants :
a. Le réel b tel que P ( X ≤ b)=0,4856 .
b. Le réel c tel que P ( X >c)=0,2347 .
c. Le réel a tel que P (− a <X <a )=0,8462 .
A. Gniady – 2015-2016
Chap 9 – Lois de probabilité à densité 9 / 9