Mathématiques/Programmes de Colles/Sem_19

Lycée Marceau Mathématiques
Programme de colles semaine du 06/03 au
10/03
I Questions de cours potentielles
1) Soit n∈N∗et Aun polynôme non constant. Si αest racine d’ordre nde A, alors αest racine d’ordre n−1de A0
(Proposition 14.78).
2) tout PGCD Dde Aet de Bvérifie que les diviseurs de Dsont les diviseurs de Aet de B(proposition 14.87) ;
3) existence et unicité du ppcm(A,B) : polynôme M unitaire dont les multiples sont les multiples communs à A et à
B.(Théorème 14.115) ;
4) Existence et unicité de la décomposition en produit de facteurs irréductibles unitaires. (Théorème 14.129).
5) L’intersection de s.e.v. de Eest un s.e.v. de E. (16.23)
6) Vect (ai)i∈J1,nK=(n
X
i=1
λiai,(λ1, λ2, ..., λn)∈Kn)avec (ai)i∈J1,nKfamille d’éléments de E. (16.29)
7) soit u∈ L(E, F ), l’image d’un s.e.v. de Epar uest un s.e.v. de F, l’image réciproque d’un s.e.v. de Fpar uest
un s.e.v. de E. (16.40)
II Programme
•Polynômes :
Anneau des polynômes à une indéterminée : Anneau K[X]. Degré, coefficient dominant, polynôme unitaire.
Degré d’une somme, d’un produit. Composition.
Divisibilité et division euclidienne : Divisibilité dans K[X], diviseurs, multiples. Théorème de la division eucli-
dienne.
Fonctions polynomiales et racines : Fonction polynomiale associée à un polynôme. Racine (ou zéro) d’un poly-
nôme, caractérisation en termes de divisibilité. Le nombre de racines d’un polynôme non nul est majoré par son degré.
Multiplicité d’une racine. Polynôme scindé. Relations entre coefficients et racines.
Dérivation : Dérivée formelle d’un polynôme. Opérations sur les polynômes dérivés : combinaison linéaire, produit.
Formule de Leibniz. Formule de Taylor polynomiale. Caractérisation de la multiplicité d’une racine par les polynômes
dérivés successifs.
Interpolation de Lagrange : Si x1,...,xnsont des éléments distincts de K et y1,...,yndes éléments de K, il
existe un et un seul P∈Kn−1[X]tel que pour tout i : P(xi) = yi.
Arithmétique dans K[X] : PGCD de deux polynômes dont l’un au moins est non nul (Tout diviseur commun à A
et B de degré maximal est appelé un PGCD de A et B). Algorithme d’Euclide. Relation de Bézout. PPCM. Couple
de polynômes premiers entre eux. Théorème de Bézout. Lemme de Gauss. PGCD d’un nombre fini de polynômes,
relation de Bézout. Polynômes premiers entre eux dans leur ensemble, premiers entre eux deux à deux.
Polynômes irréductibles de C[X] et R[X] : Théorème de d’Alembert-Gauss. Polynômes irréductibles de C[X].
Théorème de décomposition en facteurs irréductibles dans C[X]. Polynômes irréductibles de R[X]. Théorème de dé-
composition en facteurs irréductibles dans R[X].
•Fractions rationnelles :
Définitions, propriétés : Corps K(X).Forme irréductible d’une fraction rationnelle. Fonction rationnelle. Degré,
partie entière, zéros et pôles, multiplicités.
Décomposition en éléments simples sur C et sur R : Existence et unicité de la décomposition en éléments
simples sur C et sur R.Si λest un pôle simple, coefficient de 1
X−λ. Décomposition de P0 P.
•Espaces vectoriels et applications linéaires :
Espaces vectoriels : Définition. Vecteurs et scalaires. Structure de K espace vectoriel. Produit d’un nombre fini
d’espaces vectoriels.
Sous-espaces vectoriels : Sous-espace vectoriel : définition, caractérisation. Intersection de s.e.v. Sous-espace vec-
toriel engendré par une famille finie. Droite vectorielle.
Applications linéaires : Opérations sur les applications linéaires : combinaison linéaire, composition, réciproque.
Isomorphismes. Image et image réciproque d’un sous-espace par une application linéaire. Image d’une application
linéaire. Noyau d’une application linéaire. Caractérisation de l’injectivité. Forme linéaire. Hyperplan.
MPSI 1/2

Prévision semaines suivantes
fractions rationnelles, espaces vectorielles et applications linéaires.
MPSI Trigonométrie 2/2