Problème A Problème B : accélération de convergence

PSI* — 2015/2016
Le 07/11/2015.
D.S. 2 (4 heures)
Le sujet se compose de 4 problèmes indépendants.
Problème A
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie d ≥ 1. Soit G un sous-groupe fini et commutatif du
groupe GL (E) des automorphismes de E. On note n le nombre d’éléments de G.
1) On se propose de montrer que tous les éléments de G ont au moins un vecteur propre en commun.
a) Traiter le cas d = 1.
b) Traiter le cas où tous les éléments de G sont des homothéties.
c) Montrer que, si un automorphisme g de G n’est pas une homothétie et si d > 1, alors g admet au
moins une valeur propre λ et un sous-espace propre associé Eλ de dimension strictement inférieure
à d. Vérifier que Eλ est stable par tous les éléments de G.
d) Démontrer par récurrence sur l’entier d qu’il existe un vecteur propre commun à tous les éléments
de G.
2) À tout élément f de L (E), on associe f défini par : f =
1
·
h ◦ f ◦ h−1 .
n h∈G
Montrer que : ∀g ∈ G g ◦ f ◦ g −1 = f .
3) Un sous-espace vectoriel F de E est dit stable par G s’il est stable par tout élément de G.
Soit F un sous-espace vectoriel stable par G.
a) Montrer que : ∀g ∈ G g (F ) = F .
b) Soit p un projecteur de E d’image F . Montrer que p (défini au 2)) est un projecteur de E d’image
F et dont le noyau est stable par G.
c) En déduire que tout sous-espace vectoriel de E stable par G admet dans E un supplémentaire stable
par G.
4) Déduire des questions précédentes qu’il existe une base de E dans laquelle tous les éléments de G ont
une matrice diagonale.
5) Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour qu’un sous-groupe fini de GL (E) soit commutatif.
Problème B : accélération de convergence
1) Soit k ∈ N∗ . En remarquant que l’on a :
1
1
1
1
=
−
,
∀n ∈ N∗
n(n + 1) · · · (n + k)
k n(n + 1) · · · (n + k − 1) (n + 1) · · · (n + k)
calculer, pour p ∈ N∗ , la somme :
p
Sp (k) =
1
n(n + 1) · · · (n + k)
n=1
et
lim Sp (k).
p→∞
2) On se propose de calculer une valeur approchée de la somme σ de la série de terme général :
2n − 1
, pour n ≥ 1.
an = 3
n +n+2
2
a) Montrer que l’on a an ≤ 2 et, en utilisant une comparaison à une intégrale, donner un majorant du
n
p
∞
reste
an . Quelle valeur de p suffit-il de choisir pour que σp =
an approche σ à 10−4 près ?
n=p+1
n=1
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b) Pour réduire ce nombre de termes, on écrit :
C1
C2
C3
an =
+
+
+ εn .
n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Calculer C1 , C2 , C3 tels que :
C1 = lim n(n + 1)an
n→∞
C2 = lim n(n + 1)(n + 2) an −
n→∞
C1
n(n + 1)
C3 = lim n(n + 1)(n + 2)(n + 3) an −
n→∞
C1
C2
−
n(n + 1) n(n + 1)(n + 2)
c) Donner, pour ces valeurs de C1 , C2 , C3 , l’expression de εn en fonction de n et prouver que :
14
|εn | ≤ 5 .
n
∞
3) a) Calculer, comme au 2)a), une valeur de p pour avoir :
b) Pour cette valeur de p, calculer
|εn | ≤ 2.10−4 .
n=p+1
p
n=1
εn , avec la précision de la machine.
c) En déduire une valeur approchée de σ à 10−4 près.
Problème C : étude d’un procédé de sommation
Notations : pour tout entier naturel n, on note n! la factorielle de n (avec la convention 0! = 1), [[0, n]]
n!
l’ensemble des entiers naturels k vérifiant 0 ≤ k ≤ n, nk =
le nombre de parties ayant k
k! (n − k)!
éléments d’un ensemble à n éléments, pour k ∈ [[0, n]].
n
1
1
1
= 1 + + · · · + et l’on pose σ 0 = 0.
k
2
n
Si n est un entier naturel non nul, on note σn la somme
k=1
Toute application de N dans C étant une suite complexe, si a est une telle suite, on utilise la notation
usuelle a (n) = an .
À toute suite complexe a, on associe la suite a∗ définie par :
∀n ∈ N a∗n =
1
2n
n
n
k
ak .
k=0
L’objet du problème est de comparer les propriétés de la série
n≥0
a∗n aux propriétés de la série
an .
n≥0
Partie I : deux exemples
1) Cas d’une suite constante : soit α ∈ C∗ ; on définit la suite a par : ∀n ∈ N an = α.
Expliciter a∗n pour n ∈ N. La série
an (resp.
a∗n ) est-elle convergente ?
n≥0
n≥0
2) Cas d’une suite géométrique : soit z ∈ C ; on définit la suite a par : ∀n ∈ N an = z n .
a) Exprimer a∗n en fonction de z et de n.
b) On suppose que |z| < 1.
(i) Justifier la convergence de la série
an et expliciter sa somme A (z) =
n≥0
(ii) Justifier la convergence de la série
n≥0
a∗n et expliciter sa somme
+∞
n=0
+∞
n=0
an .
a∗n en fonction de A (z).
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c) On suppose que |z| ≥ 1.
(i) Quelle est la nature (convergente ou divergente) de la série
an ?
n≥0
(ii) Quelle est la nature de la série
n≥0
eiθ ,
(iii) On suppose que z =
a∗n si z = −2 ?
avec θ réel tel que 0 < |θ| < π. Montrer que la série
n≥0
convergente. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de la somme
+∞
n=0
a∗n est
a∗n .
Partie II : étude du procédé de sommation
Dans cette partie, pour simplifier, on suppose que la suite a est à valeurs réelles, la suite a∗ étant
toujours définie de la même façon.
1) Comparaison des convergences des deux suites
a) Soit n ∈ N∗ . On considère un entier k fixé, k ∈ [[0, n]].
(i) Préciser un équivalent de nk lorsque n tend vers +∞.
(ii) En déduire la limite de
1
2n
n
k
lorsque n tend vers +∞.
b) Soient a une suite réelle et q un entier naturel fixé.
q
ak
.
2n
n
k
On considère, pour n > q, la somme Sq (n, a) =
k=0
Quelle est la limite de Sq (n, a) lorsque n tend vers +∞ ?
c) On suppose que an tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ ; montrer que a∗n tend vers 0 lorsque n tend
vers +∞.
d) On suppose que an tend vers ℓ (limite finie) lorsque n tend vers +∞. Quelle est la limite de a∗n
lorsque n tend vers +∞ ?
e) La convergence de la suite (an )n∈N est-elle équivalente à la convergence de la suite (a∗n )n∈N ?
2) Comparaison des convergences des séries
an et
n≥0
Pour n ∈ N, on note Sn =
n
ak , Tn =
k=0
n
k=0
n≥0
a∗n
a∗k , Un = 2n Tn .
a) Pour n ∈ [[0, 3]], exprimer Un comme combinaison linéaire des sommes Sk , c’est-à-dire sous la forme
n
Un =
λn,k Sk .
k=0
b) On se propose de déterminer l’expression explicite de Un comme combinaison linéaire des sommes
Sk pour k ∈ [[0, n]] :
n
(E) Un =
λn,k Sk
pour n ∈ N.
k=0
(i) À quelle expression des coefficients λn,k (en fonction de n et de k) peut-on s’attendre compte
tenu des résultats obtenus à la question précédente ?
(ii) Établir la formule (E) par récurrence sur n (on pourra remarquer que, pour tout k ∈ [[0, n]],
ak = Sk − Sk−1 , avec la convention S−1 = 0).
an est convergente. Montrer que la série
c) On suppose que la série
n≥0
exprimer la somme
+∞
n=0
n≥0
a∗n en fonction de la somme
d) La convergence de la série
+∞
n=0
a∗n est convergente et
an .
an est-elle équivalente à la convergence de la série
n≥0
n≥0
a∗n ?
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Problème D : inégalités de Hölder et Minkowski
1) Soit I un intervalle de R. Une fonction f de I dans R est dite convexe sur I si et seulement si :
∀ (x, y) ∈ I 2
∀t ∈ [0, 1]
f (1 − t) x + ty ≤ (1 − t) f (x) + tf (y) .
Soit f : I → R dérivable sur I.
On se propose de montrer que f est convexe sur I si et seulement si f ′ est croissante sur I.
f (y) − f (x)
a) Supposant que f est convexe, considérer x, y dans I tels que x < y et comparer f ′ (x) à
y−x
f
(y)
−
f
(x)
h
(on pourra poser t =
pour h > 0 assez petit). Comparer de même f ′ (y) à
.
y−x
y−x
En déduire que f ′ est croissante sur I.
b) Supposant que f ′ est croissante sur I, pour y fixé dans I et t fixé dans [0, 1], étudier le signe de la
fonction φ : x → (1 − t) f (x) + tf (y) − f (1 − t) x + ty . En déduire que f est convexe sur I.
2) Soient a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn des nombres réels strictement positifs.
1 1
a) Soient p, q deux réels supérieurs à 1 tels que :
+ = 1. À l’aide de la convexité de la fonction
p q
exponentielle, établir
x y
2
∀ (x, y) ∈ R+∗
x1/p · y 1/q ≤ + .
p q
En déduire l’inégalité de Hölder :
n
apk
ak bk ≤
k=1
(on pourra utiliser les couples
1/p
n
bqk
·
k=1
λ.apk , µ.bqk
1/q
n
k=1
, λ et µ étant bien choisis).
b) Pour p réel, p ≥ 1, établir l’inégalité de Minkowski :
1/p
n
p
(ak + bk )
1/p
n
apk
≤
k=1
p−1
(on pourra écrire (ak + bk ) = (ak + bk )
bpk
+
k=1
p
1/p
n
k=1
p−1
ak + (ak + bk )
bk et utiliser le a)).
3) Soient n ∈ N∗ , K = R ou C, E = Kn et p réel, p ≥ 1.
n
a) Montrer que l’application Np qui à x = (x1 , . . . , xn ) ∈ E associe Np (x) =
1/p
|xk |p
est une
k=1
norme sur E.
b) Soit q réel tel que 1 ≤ p < q. En utilisant la convexité de t → tq/p , montrer que
∀x ∈ E
Np (x) ≤ n1/p−1/q · Nq (x) .
Montrer par récurrence que, si les ak sont dans R+ et si r est un réel supérieur ou égal à 1, alors
n
k=1
En déduire que : ∀x ∈ E
r
n
ark
≤
ak
.
k=1
Nq (x) ≤ Np (x).
c) N∞ désigne la norme usuelle sur E définie par : ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ E
Établir : ∀x ∈ E N∞ (x) ≤ Np (x) ≤
· N∞ (x).
Que se passe-t-il lorsque p tend vers l’infini ?
n1/p
⋆ ⋆
⋆
N∞ (x) = max |xk |.
1≤k≤n