Problème A Problème B : accélération de convergence

PSI* — 2015/2016 Le 07/11/2015.
D.S. 2 (4 heures)
Le sujet se compose de 4 problèmes indépendants.
Problème A
Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie d≥1. Soit Gun sous-groupe fini et commutatif du
groupe GL (E)des automorphismes de E. On note nle nombre d’éléments de G.
1) On se propose de montrer que tous les éléments de Gont au moins un vecteur propre en commun.
a) Traiter le cas d= 1.
b) Traiter le cas où tous les éléments de Gsont des homothéties.
c) Montrer que, si un automorphisme gde Gn’est pas une homothétie et si d > 1, alors gadmet au
moins une valeur propre λet un sous-espace propre associé E
λ
de dimension strictement inférieure
àd. Vérifier que E
λ
est stable par tous les éléments de G.
d) Démontrer par récurrence sur l’entier dqu’il existe un vecteur propre commun à tous les éléments
de G.
2) À tout élément fde L(E), on associe fdéfini par : f=1
n·
h∈G
h◦f◦h
−1
.
Montrer que : ∀g∈G g ◦f◦g
−1
=f.
3) Un sous-espace vectoriel Fde Eest dit stable par Gs’il est stable par tout élément de G.
Soit Fun sous-espace vectoriel stable par G.
a) Montrer que : ∀g∈G g (F) = F.
b) Soit pun projecteur de Ed’image F. Montrer que p(défini au 2)) est un projecteur de Ed’image
Fet dont le noyau est stable par G.
c) En déduire que tout sous-espace vectoriel de Estable par Gadmet dans Eun supplémentaire stable
par G.
4) Déduire des questions précédentes qu’il existe une base de Edans laquelle tous les éléments de Gont
une matrice diagonale.
5) Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour qu’un sous-groupe fini de GL (E)soit commutatif.
Problème B : accélération de convergence
1) Soit k∈N
∗
.En remarquant que l’on a :
∀n∈N
∗
1
n(n+ 1) · · · (n+k)=1 k1 n(n+ 1) ···(n+k−1) −1 (n+ 1) · · · (n+k),
calculer, pour p∈N
∗
, la somme :
S
p
(k) =
p
n=1
1
n(n+ 1) · · · (n+k)et lim
p→∞
S
p
(k).
2) On se propose de calculer une valeur approchée de la somme σde la série de terme général :
a
n
=2n−1
n
3
+n+ 2,pour n≥1.
a) Montrer que l’on a a
n
≤2
n
2
et, en utilisant une comparaison à une intégrale, donner un majorant du
reste
∞
n=p+1
a
n
. Quelle valeur de psuffit-il de choisir pour que σ
p
=
p
n=1
a
n
approche σà10
−4
près ?

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b) Pour réduire ce nombre de termes, on écrit :
a
n
=C
1
n(n+ 1) +C
2
n(n+ 1)(n+ 2) +C
3
n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) +ε
n
.
Calculer C
1
, C
2
, C
3
tels que :
C
1
= lim
n→∞
n(n+ 1)a
n
C
2
= lim
n→∞
n(n+ 1)(n+ 2) a
n
−C
1
n(n+ 1)
C
3
= lim
n→∞
n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) a
n
−C
1
n(n+ 1) −C
2
n(n+ 1)(n+ 2)
c) Donner, pour ces valeurs de C
1
, C
2
, C
3
,l’expression de ε
n
en fonction de net prouver que :
|ε
n
| ≤ 14
n
5
.
3) a) Calculer, comme au 2)a), une valeur de ppour avoir :
∞
n=p+1
|ε
n
| ≤ 2.10
−4
.
b) Pour cette valeur de p, calculer
p
n=1
ε
n
,avec la précision de la machine.
c) En déduire une valeur approchée de σà10
−4
près.
Problème C : étude d’un procédé de sommation
Notations : pour tout entier naturel n, on note n!la factorielle de n(avec la convention 0! = 1), [[0, n]]
l’ensemble des entiers naturels kvérifiant 0≤k≤n,
n
k
=n!
k! (n−k)! le nombre de parties ayant k
éléments d’un ensemble à néléments, pour k∈[[0, n]].
Si nest un entier naturel non nul, on note σ
n
la somme
n
k=1
1
k= 1 + 1 2+· · · +1 net l’on pose σ
0
= 0.
Toute application de Ndans Cétant une suite complexe, si aest une telle suite, on utilise la notation
usuelle a(n) = a
n
.
À toute suite complexe a, on associe la suite a
∗
définie par :
∀n∈Na
∗
n
=1
2
n
n
k=0
n
k
a
k
.
L’objet du problème est de comparer les propriétés de la série 
n≥0
a
∗
n
aux propriétés de la série 
n≥0
a
n
.
Partie I : deux exemples
1) Cas d’une suite constante : soit α∈C
∗
; on définit la suite apar : ∀n∈Na
n
=α.
Expliciter a
∗
n
pour n∈N. La série 
n≥0
a
n
(resp. 
n≥0
a
∗
n
) est-elle convergente ?
2) Cas d’une suite géométrique : soit z∈C; on définit la suite apar : ∀n∈Na
n
=z
n
.
a) Exprimer a
∗
n
en fonction de zet de n.
b) On suppose que |z|<1.
(i) Justifier la convergence de la série 
n≥0
a
n
et expliciter sa somme A(z) =
+∞
n=0
a
n
.
(ii) Justifier la convergence de la série 
n≥0
a
∗
n
et expliciter sa somme
+∞
n=0
a
∗
n
en fonction de A(z).

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c) On suppose que |z| ≥ 1.
(i) Quelle est la nature (convergente ou divergente) de la série 
n≥0
a
n
?
(ii) Quelle est la nature de la série 
n≥0
a
∗
n
si z=−2?
(iii) On suppose que z=e
iθ
, avec θréel tel que 0<|θ|< π. Montrer que la série 
n≥0
a
∗
n
est
convergente. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de la somme
+∞
n=0
a
∗
n
.
Partie II : étude du procédé de sommation
Dans cette partie, pour simplifier, on suppose que la suite aest à valeurs réelles, la suite a
∗
étant
toujours définie de la même façon.
1) Comparaison des convergences des deux suites
a) Soit n∈N
∗
. On considère un entier kfixé,k∈[[0, n]].
(i) Préciser un équivalent de 
n
k
lorsque ntend vers +∞.
(ii) En déduire la limite de 1
2
n
n
k
lorsque ntend vers +∞.
b) Soient aune suite réelle et qun entier naturel fixé.
On considère, pour n > q, la somme S
q
(n, a) =
q
k=0
n
k
a
k
2
n
.
Quelle est la limite de S
q
(n, a)lorsque ntend vers +∞?
c) On suppose que a
n
tend vers 0 lorsque ntend vers +∞; montrer que a
∗
n
tend vers 0 lorsque ntend
vers +∞.
d) On suppose que a
n
tend vers ℓ(limite finie) lorsque ntend vers +∞. Quelle est la limite de a
∗
n
lorsque ntend vers +∞?
e) La convergence de la suite (a
n
)
n∈N
est-elle équivalente à la convergence de la suite (a
∗
n
)
n∈N
?
2) Comparaison des convergences des séries 
n≥0
a
n
et 
n≥0
a
∗
n
Pour n∈N, on note S
n
=
n
k=0
a
k
,T
n
=
n
k=0
a
∗
k
,U
n
= 2
n
T
n
.
a) Pour n∈[[0,3]], exprimer U
n
comme combinaison linéaire des sommes S
k
, c’est-à-dire sous la forme
U
n
=
n
k=0
λ
n,k
S
k
.
b) On se propose de déterminer l’expression explicite de U
n
comme combinaison linéaire des sommes
S
k
pour k∈[[0, n]] :
(E)U
n
=
n
k=0
λ
n,k
S
k
pour n∈N.
(i) À quelle expression des coefficients λ
n,k
(en fonction de net de k) peut-on s’attendre compte
tenu des résultats obtenus à la question précédente ?
(ii) Établir la formule (E)par récurrence sur n(on pourra remarquer que, pour tout k∈[[0, n]],
a
k
=S
k
−S
k−1
, avec la convention S
−1
= 0).
c) On suppose que la série 
n≥0
a
n
est convergente. Montrer que la série 
n≥0
a
∗
n
est convergente et
exprimer la somme
+∞
n=0
a
∗
n
en fonction de la somme
+∞
n=0
a
n
.
d) La convergence de la série 
n≥0
a
n
est-elle équivalente à la convergence de la série 
n≥0
a
∗
n
?

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Problème D : inégalités de Hölder et Minkowski
1) Soit Iun intervalle de R. Une fonction fde Idans Rest dite convexe sur Isi et seulement si :
∀(x, y)∈I
2
∀t∈[0,1] f(1 −t)x+ty≤(1 −t)f(x) + tf (y).
Soit f:I→Rdérivable sur I.
On se propose de montrer que fest convexe sur Isi et seulement si f
′
est croissante sur I.
a) Supposant que fest convexe, considérer x,ydans Itels que x < y et comparer f
′
(x)àf(y)−f(x)
y−x
(on pourra poser t=h
y−xpour h > 0assez petit). Comparer de même f
′
(y)àf(y)−f(x)
y−x.
En déduire que f
′
est croissante sur I.
b) Supposant que f
′
est croissante sur I, pour yfixé dans Iet tfixé dans [0,1], étudier le signe de la
fonction φ:x→ (1 −t)f(x) + tf (y)−f(1 −t)x+ty. En déduire que fest convexe sur I.
2) Soient a
1
, . . . , a
n
, b
1
, . . . , b
n
des nombres réels strictement positifs.
a) Soient p, q deux réels supérieurs à 1 tels que : 1
p+1 q= 1. À l’aide de la convexité de la fonction
exponentielle, établir
∀(x, y)∈R
+∗
2
x
1/p
·y
1/q
≤x
p+y q.
En déduire l’inégalité de Hölder :
n
k=1
a
k
b
k
≤
n
k=1
a
p
k
1/p
·
n
k=1
b
q
k
1/q
(on pourra utiliser les couples λ.a
p
k
, µ.b
q
k
,λet µétant bien choisis).
b) Pour préel, p≥1, établir l’inégalité de Minkowski :
n
k=1
(a
k
+b
k
)
p
1/p
≤
n
k=1
a
p
k
1/p
+
n
k=1
b
p
k
1/p
(on pourra écrire (a
k
+b
k
)
p
= (a
k
+b
k
)
p−1
a
k
+ (a
k
+b
k
)
p−1
b
k
et utiliser le a)).
3) Soient n∈N
∗
,K=Rou C,E=K
n
et préel, p≥1.
a) Montrer que l’application N
p
qui à x= (x
1
, . . . , x
n
)∈Eassocie N
p
(x) = 
n
k=1
|x
k
|
p
1/p
est une
norme sur E.
b) Soit qréel tel que 1≤p < q. En utilisant la convexité de t→ t
q/p
, montrer que
∀x∈E N
p
(x)≤n
1/p−1/q
·N
q
(x).
Montrer par récurrence que, si les a
k
sont dans R
+
et si rest un réel supérieur ou égal à 1, alors
n
k=1
a
r
k
≤
n
k=1
a
k
r
.
En déduire que : ∀x∈E N
q
(x)≤N
p
(x).
c) N
∞
désigne la norme usuelle sur Edéfinie par : ∀x= (x
1
, . . . , x
n
)∈E N
∞
(x) = max
1≤k≤n
|x
k
|.
Établir : ∀x∈E N
∞
(x)≤N
p
(x)≤n
1/p
·N
∞
(x).
Que se passe-t-il lorsque ptend vers l’infini ?
⋆ ⋆
⋆