I Addition et soustraction de 2 nombres relatifs - college

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I A Ad dd di it ti io on n e et t s so ou us st tr ra ac ct ti io on n d de e 2 2 n no om mb br re es s r re el la at ti if fs s
Une somme Une différence
a et b s’appellent les termes dans les 2 opérations.
1. calcul d’une somme
Pour additionner 2 nombres relatifs de même signe,
on garde le même signe
on additionne les distances à zéro
écriture simplifiée de l’addition
Exemples :
(+7,5) + (+1,8) = +(7,5 + 1,8) = 9,3 7,5 + 1,8 = 9,3
(–4,5) + (–2,3) = – (4,5 + 2,3) = - 6,8 – 4,5 – 2,3 = – 6,8
Pour additionner 2 nombres relatifs de signes différents :
on met le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro
on fait la différence des distances à zéro (la plus grande moins la plus petite)
écriture simplifiée de l’addition
Exemples :
(+6) + (-4,25) = +(6 – 4,25) = + 1,75 = 1,75 6 – 4,25 = 1,75
(+8,2) + (– 10) = – (10 – 8,2) = - 1,8 8,2 – 10 = – 1,8
(-1,5) + (+6,8) = +(6,8 – 1,5) = + 5,3 = 5,3 -1,5 + 6,8 = 5,3
(– 75) + (+50) = – (75 – 50) = - 25 –75 + 50 = – 25
(+12,7) + (-12,7) = ± (12,7 – 12,7) = ± 0 = 0 12,7 – 12,7 = 0
2. calcul d’une différence
Pour soustraire un nombre relatif, on peut additionner son opposé.
écriture simplifiée de la soustraction
Exemples :
(+1,2) – (+5) = (+1,2) + (– 5) = - (5 – 1,2) = - 3,8 ou 1,2 – 5 = -3,8
(-3,1) – (-2,5) = (-3,1) + (+2,5) = - (3,1 – 2,5) = -0,6 ou –3,1 + 2,5 = –0,6
(-2,5) – (+7) = (-2,5) + ( –7) = - (2,5 + 7) = - 9,5 ou -2,5 – 7 = -9,5
On peut faire les remarques suivantes
pour obtenir les expressions simplifiées :
A partir de l’expression simplifiée, on peut utiliser le principe de l’ascenseur
On part de zéro, + on monte, - on descend
+2 – 5 se traduit par : on monte de 2 et on descend de 5 on arrive à -3
-7 + 12 se traduit par : on descend de 7 et on monte de 12 on arrive à +5
-3 – 8 se traduit par : on descend de 3 et on descend de 8 on arrive à -11
7 + 5 se traduit par : on monte de 7 et on monte de 5 on arrive +12
a + b = s
a – b = d
La somme de 2 nombres opposés est égale à zéro
+ ( + a) = + a
+ ( - a ) = – a
– (+ a ) = – a
– ( - a ) = + a

3. Somme algébrique
On appelle somme algébrique, une succession d’additions et de soustractions
Exemples :
S = 7 – 4,5 + 8 – (-3,5) - 9 + (-6,5). Ecrivons d’abord l’expression simplifiée
S = 7 – 4,5 + 8 + 3,5 – 9 – 6,5 On peut ajouter les positifs entre eux et les négatifs
S = 7 + 8 + 3,5 – 4,5 – 9 – 6,5 entre eux
S = 18,5 – 20
S = – 1,5 Il faut penser aussi à repérer les opposés
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II I M Mu ul lt ti ip pl li ic ca at ti io on n d de e n no om mb br re es s r re el la at ti if fs s
Les nombres a et b de la multiplication s’appellent les facteurs
Le nombre p ou le nombre a x b s’appellent un produit
1. la règle
2. exemples
(+4) x (+7) = + (4 x 7) = +28 = 28
(- 4) x (- 7) = + (4 x 7) = + 28 = 28
(- 2,5) x (- 10) = + (2,5 x 10 ) = + 25 = 25
(+ 3,5) x (+ 1,1) = + (3,5 x 1,1) = +3,85 = 3,85
(+4) x (- 7) = - (4 x 7) = -28
(- 4) x (+7) = - (4 x 7 ) = -28
(- 2,5) x (+10) = - (2,5 x 10) = - 25
(+3,5) x (- 1,1) = - (3,5 x 1,1) = - 3,85
3. multiplication par -1
18 x (-1) = -18
(-7,25) x (-1) = + 7.25
4. carré d’un nombre
(+1,2)2 = 1,2 x 1,2 = 1,44
(- 1,2)2 = (-1,2) x (-1,2) = + 1,44
5. produit de plusieurs facteurs
A = -20 x 1,25 x (-5) x 8 x (-3,7) Il ya 3 facteurs négatifs donc le signe sera -
A = - 20 x 1,25 x 5 x 8 x 3,7 On fait des regroupements
A = - (20 x 5) x (1,25 x 8) x 3,7
A = - 100 x 10 x 3,7 = - 3 700
6. écriture littérale
le signe x n’est pas indispensable
dans certaines écritures.
a x b = p
Pour multiplier 2 nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro
Le produit sera positif si les 2 nombres ont le même signe
Le produit sera négatif si les 2 nombres sont de signes différents
Les 2 nombres ont le même
signe, le produit est positif
Les 2 nombres sont de signes
différents, le produit est négatif
En multipliant un nombre par (-1) on obtient son opposé
Le carré d’un nombre est toujours positif
Un produit est négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.
Un produit est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair.
a, b, c, x, étant des nombres relatifs
a x (- 3) se note -3a
x x 4 se note 4 x
a x b se note a b
(a + b)c signifie (a + b) x c

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II II I D Di iv vi is si io on n
dividende quotient
: b
a q Ce schéma montre que si q est le quotient de a par b,
alors q x b = a
x b
1. la règle
2. exemples
28 : (-7) = 28
-7 = - 4 car (-4) x (-7) = 28
-45 : 5 = - 45
5 = - 9 -24 : (- 6) = - 24 - 6 = +4 = 4 comme 24 : 6
5,4 : 0,18 = 5,4
0,18 = 30 quotient en écriture décimale
quotient en écriture fractionnaire
5,1 : (-7) = 5,1
- 7 ≈ - 0,7285714……
≈ - 0,7 quotient approchée à 0,1 près
≈ - 0,73 quotient approchée à 0,01 près
Lorsque la division ne « tombe pas juste », on peut aussi donner un encadrement du quotient
Ici au dixième - 0,8 < 5,1
- 7 < - 0,7
au centième - 0,73 < 5,1
- 7 < - 0,72
3. remarques
3,5 : 0 = 3,5
0 = ??? ce quotient n’existe pas
3,5 : - 1 = 3,5
- 1 = - 3,5
4. organisation d’un calcul
12 – 3 : (-5) + 7 x (2 – 11)2 = Les calculs dans les parenthèses sont prioritaires
12 – 3 : (-5) + 7 x (– 9)2 = Puis le carré
12 – 3 : (-5) + 7 x 81 = Ensuite les produits et quotients
12 – 3 : (-5) + 7 x 81 =
12 – (-0,6) + 567 = En dernier les sommes et différences
12 + 0,6 + 567 = 579,6
dénominateur
a : b = a
b = q
diviseur
numérateur
Pour diviser 2 nombres relatifs a et b, on divise leurs distances à zéro
Le quotient a
b aura le même signe que le produit ab.
La division par 0 est impossible
La division par – 1 donne le nombre opposé