I Addition et soustraction de 2 nombres relatifs Une somme Une
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I Addition et soustraction de 2 nombres relatifs Une somme a+b=s Une différence a –b=d a et b s’appellent les termes dans les 2 opérations. 1. calcul d’une somme Pour additionner 2 nombres relatifs de même signe, on garde le même signe on additionne les distances à zéro écriture simplifiée de l’addition Exemples : (+7,5) + (+1,8) = +(7,5 + 1,8) = 9,3 (–4,5) + (–2,3) = – (4,5 + 2,3) = - 6,8 7,5 + 1,8 = 9,3 – 4,5 – 2,3 = – 6,8 Pour additionner 2 nombres relatifs de signes différents : on met le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro on fait la différence des distances à zéro (la plus grande moins la plus petite) Exemples : écriture simplifiée de l’addition (+6) + (-4,25) = +(6 – 4,25) = + 1,75 = 1,75 (+8,2) + (– 10) = – (10 – 8,2) = - 1,8 (-1,5) + (+6,8) = +(6,8 – 1,5) = + 5,3 = 5,3 (– 75) + (+50) = – (75 – 50) = - 25 6 – 4,25 = 1,75 8,2 – 10 = – 1,8 -1,5 + 6,8 = 5,3 –75 + 50 = – 25 (+12,7) + (-12,7) = ± (12,7 – 12,7) = ± 0 = 0 12,7 – 12,7 = 0 La somme de 2 nombres opposés est égale à zéro 2. calcul d’une différence Pour soustraire un nombre relatif, on peut additionner son opposé. Exemples : écriture simplifiée de la soustraction (+1,2) – (+5) = (+1,2) + (– 5) = - (5 – 1,2) = - 3,8 (-3,1) – (-2,5) = (-3,1) + (+2,5) = - (3,1 – 2,5) = -0,6 (-2,5) – (+7) = (-2,5) + ( –7) = - (2,5 + 7) = - 9,5 On peut faire les remarques suivantes pour obtenir les expressions simplifiées : + + – – (+ ((+ (- ou 1,2 – 5 = -3,8 ou –3,1 + 2,5 = –0,6 ou -2,5 – 7 = -9,5 a) = + a a)=– a a)=– a a)=+a A partir de l’expression simplifiée, on peut utiliser le principe de l’ascenseur On part de zéro, + on monte, - on descend +2 – 5 se traduit par : on monte de 2 et on descend de 5 -7 + 12 se traduit par : on descend de 7 et on monte de 12 -3 – 8 se traduit par : on descend de 3 et on descend de 8 7 + 5 se traduit par : on monte de 7 et on monte de 5 on on on on arrive arrive arrive arrive à -3 à +5 à -11 +12 3. Somme algébrique On appelle somme algébrique, une succession d’additions et de soustractions Exemples : S S S S S II = = = = = 7 – 4,5 + 8 – (-3,5) - 9 + (-6,5). 7 – 4,5 + 8 + 3,5 – 9 – 6,5 7 + 8 + 3,5 – 4,5 – 9 – 6,5 18,5 – 20 – 1,5 Ecrivons d’abord l’expression simplifiée On peut ajouter les positifs entre eux et les négatifs entre eux Il faut penser aussi à repérer les opposés Multiplication de nombres relatifs Les nombres a et b de la multiplication s’appellent les facteurs Le nombre p ou le nombre a x b s’appellent un produit axb=p 1. la règle Pour multiplier 2 nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro Le produit sera positif si les 2 nombres ont le même signe Le produit sera négatif si les 2 nombres sont de signes différents 2. exemples (+4) x (+7) = + (4 x 7) = +28 = 28 (- 4) x (- 7) = + (4 x 7) = + 28 = 28 (- 2,5) x (- 10) = + (2,5 x 10 ) = + 25 = 25 (+ 3,5) x (+ 1,1) = + (3,5 x 1,1) = +3,85 = 3,85 (+4) x (- 7) = - (4 x 7) = -28 (- 4) x (+7) = - (4 x 7 ) = -28 (- 2,5) x (+10) = - (2,5 x 10) = - 25 (+3,5) x (- 1,1) = - (3,5 x 1,1) = - 3,85 Les 2 nombres ont le même signe, le produit est positif Les 2 nombres sont de signes différents, le produit est négatif 3. multiplication par -1 18 x (-1) = -18 (-7,25) x (-1) = + 7.25 En multipliant un nombre par (-1) on obtient son opposé 4. carré d’un nombre (+1,2)2 = 1,2 x 1,2 = 1,44 (- 1,2)2 = (-1,2) x (-1,2) = + 1,44 Le carré d’un nombre est toujours positif 5. produit de plusieurs facteurs A A A A = = = = -20 x 1,25 x (-5) x 8 x (-3,7) - 20 x 1,25 x 5 x 8 x 3,7 - (20 x 5) x (1,25 x 8) x 3,7 - 100 x 10 x 3,7 = - 3 700 Il ya 3 facteurs négatifs donc le signe sera On fait des regroupements Un produit est négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair. Un produit est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair. 6. écriture littérale le signe x n’est pas indispensable dans certaines écritures. a, b, c, x, étant des nombres relatifs a x (- 3) se note -3a x x 4 se note 4 x a x b se note a b (a + b)c signifie (a + b) x c III Division numérateur diviseur a:b= dividende dénominateur :b a quotient Error! = q q Ce schéma montre que si q est le quotient de a par b, alors q x b = a xb 1. la règle Pour diviser 2 nombres relatifs a et b, on divise leurs distances à zéro Le quotient Error! aura le même signe que le produit ab. 2. exemples 28 : (-7) = Error! = - 4 -45 : 5 = Error! = - 9 5,4 : 0,18 = car (-4) x (-7) = 28 -24 : (- 6) = Error! = 30 Error! = +4 = 4 comme 24 : 6 quotient en écriture décimale quotient en écriture fractionnaire 5,1 : (-7) = 5 ≈ - 0,7285714…… 1;- 7 ≈ - 0,7 quotient approchée à 0,1 près ≈ - 0,73 quotient approchée à 0,01 près Lorsque la division ne « tombe pas juste », on peut aussi donner un encadrement du quotient 5 Ici au dixième - 0,8 < < - 0,7 1;- 7 au centième - 0,73 < 5 < - 0,72 1;- 7 3. remarques 3 = ??? ce quotient n’existe pas La division par 0 est impossible 5;0 3 3,5 : - 1 = = - 3,5 La division par – 1 donne le nombre opposé 5;- 1 3,5 : 0 = 4. organisation d’un calcul 12 12 12 12 12 12 – 3 : (-5) + 7 x (2 – 11)2 = – 3 : (-5) + 7 x (– 9)2 = – 3 : (-5) + 7 x 81 = – 3 : (-5) + 7 x 81 = – (-0,6) + 567 = + 0,6 + 567 = 579,6 Les calculs dans les parenthèses sont prioritaires Puis le carré Ensuite les produits et quotients En dernier les sommes et différences
