Feuille 5 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Année universitaire 2016-2017
Licence 2 de mathématiques
Structures algébriques 1 - Feuille 5
Exercice 1
Soient G un groupe et g un élément de G. Soit H un sous-groupe de G d’indice
fini n. Démontrer qu’il existe k ∈ {1, · · · , n} tel que g k ∈ H.
Exercice 2
Soit G un groupe. Prouver que l’application G → G qui à g associe g 2 est un
morphisme de groupes si et seulement si G est abélien.
Exercice 3
On munit l’intervalle I =] − 1, +∞[ de la loi de groupe ⊗ définie par la formule x ⊗ y = xy + x + y (cf exercice 8 de la feuille 1). Montrer que l’application
f : R → I qui à x associe ex − 1 est un isomorphisme de groupes.
Exercice 4
Soient G un groupe et N un sous-groupe de G d’indice 2.
a. Démontrer que N est distingué dans G.
b. Soit H un sous-groupe simple de G d’ordre ≥ 3. Prouver que H ⊂ N .
c. Soit n un entier ≥ 2. Montrer que si G = Sn , alors N = An ; indication :
on pourra utiliser l’exercice 3.2 de la feuille 3.
Exercice 5 : normalisateur
Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. On note N l’ensemble des
g ∈ G tels que gHg −1 = H.
a. Vérifier que N est un sous-groupe de G contenant H et que H est distingué
dans N .
b. Soit K un sous-groupe de G contenant H. Montrer que K ⊂ N si et seulement si H est distingué dans K.
1
Exercice 6
Soit G un groupe. Soient H et K deux sous-groupes finis distingués de G. On
suppose #H et #K premiers entre eux.
a. Soient h ∈ H et k ∈ K. Démontrer que hk = kh ; indication : on pourra
commencer par établir que hkh−1 k −1 ∈ H ∩ K.
b. Construire un morphisme injectif de groupes H × K → G.
Exercice 7 : structure de certains p-groupes
Soient p un nombre premier et (A, +) un groupe abélien tel que px = 0 pour
tout x ∈ A.
a. Prouver que A peut être muni d’une structure de Z/pZ-espace vectoriel.
b. En déduire que si A est de plus fini, alors A est isomorphe à (Z/pZ)n pour
un certain entier naturel n.
Exercice 8
Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. On suppose H
d’ordre 2. Montrer que H est contenu dans le centre de G.
Exercice 9
a. Soit n un entier ≥ 1. Déterminer le centre du groupe GLn (R).
b. Soit n un entier ≥ 4. Démontrer que le centre de An est trivial ; indication :
on pourra commencer par le cas n = 4.
Exercice 10
Soient m un entier impair ≥ 3 et G un groupe d’ordre 2m. On choisit un
élément g ∈ G d’ordre 2 (cf exercice 14 de la feuille 1).
a. Prouver que l’application σ : G → G qui à x associe gx est une permutation
impaire de G.
b. En déduire que le groupe G n’est pas simple ; indication : on pourra d’abord
construire un morphisme injectif G → S2m .
2