STRUCTURE DE GROUPE
Cours de mathématique licence 1
UE: Structure algébrique de base
Professeur: Essobiyou KAYOU
Chapitre 2
STRUCTURE DE GROUPE
1. Définitions
Définition 1 :
Soit (G,⋆) un ensemble structuré.
On dit que (G,⋆) est un groupe si
• la loi ⋆est associative sur G ;
• il existe un élément neutre pour la loi ⊤dans G ;
• tout élément de G est symétrisable pour la loi ⋆.
On dit aussi que l ’ensemble G possède une structure de
groupe pour la loi T .
Définition 2 :
Soit (G,⋆) une structure de groupe.
On dit que le groupe (G,⋆) est commutatif (ou abélien) si
la loi ⋆est commutative sur G.
Par abus de langage, on dit souvent « le groupe G »
au lieu de « le groupe (G,⋆) » lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur
la loi ⋆.
Exemples :
✂..................................................................
2. Sous-groupe
2.1 Définition
Définition :
Soit (G,⋆) un groupe.
Une partie H⊂Gest un sous-groupe de G si :
•e∈H,
• pour tout x,y∈H, on a x⋆y∈H,
• pour tout x∈H, on a x−1∈H.
Notez qu’un sous-groupe H est aussi un groupe (H,⋆) avec la loi
induite par celle de G.
Par exemple si x∈Halors, pour tout n∈Z, nous avons x⋆n∈H.
Exemples-définition:
Soi t(G,⋆) un groupe.
G et {e} sont les sous-groupes de G appelés les sous-groupes
triviaux.
Remarque
Pour la suite du cours , nous noterons x y (resp xn) au lieu de x⋆y
( resp x⋆n).
2.2 Propriétés
Propriété 1
Soit (G,⋆) un groupe.
Une partie H⊂Gest un sous-groupe de G si :
• H contient au moins un élément,
• pour tout x,y∈H, on a x⋆y−1∈H,
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Propriété 2
Soit (G,⋆) un groupe.
L’intersection de deux sous-groupes de G est un sous-
groupe de G.
✂..................................................................
2.3 Sous-groupe de Z
Propriété
Les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ, pour n∈Z.
Preuve :
✂..................................................................
2.4 Sous-groupe engendré
Définition
Soit (G,⋆) un groupe et E un sous-ensemble
non vide de G.
L’ensemble H={x⋆y−1,x∈Hou y∈H} est un
sous-groupe de G appelé sous-groupe engendré par H
Propriété
Soit (G,⋆) un groupe et E un sous-ensemble non vide de
G. Le sous-groupe engendré par E est le plus petit
sous-groupe de G contenant E
3. Morphismes de groupes
3.1 Définition
Définition :
Soient (G,⊤) et (G′,⊥) deux groupes.
• On appelle morphisme ou homomorphisme
de groupes ( (G,⊤) et (G′,⊥))
toute application fde G vers G’ telle que
∀(a,b)∈G2,f(a⊤b)=f(a)⊥f(b)
Si fest bijective alors on dit que fest un
isomorphisme de (G,⊤) dans (G′,⊥) .
• On appelle endomorphisme de groupe (G,⊤), un
morphisme de (E,⊤) dans lui-même.
• Un endomorphisme de (G,⊤) bijectif est qualifié d
’automorphisme de (G,⊤) .
3.2 Noyau et image
Propriété 1 :
Soit f:G→G′un morphisme de groupes alors :
• Le noyau de fest K er f =©x∈G/f(x)=e′
Gª.
• L’image de fest Im f =©f(x)/x∈Gª.
3.3 Propriétés
Propriété 1 :
Soit f:G→G′un morphisme de groupes alors :
•f(eG)=e′
G
• pour tout x∈G,f¡x−1¢=¡f(x)¢−1
Propriété 2 :
Soit f:G→G′un morphisme de groupes alors :
•K er f est un sous-groupe de G
•Im f est un sous-groupe de G’
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•fest injectif si et seulement si K er f ={eG}.
•fest surjectif si et seulement si Im f =G′
Preuve :
✂..................................................................
4.Groupe monogène , groupe cyclique.
Définition
On dit que G est monogène s’il existe a∈Gtel que le sous-
groupe engendré par aest égal à G.
G est dit cyclique s’il est monogène et fini.
5. Ordre d’un élément.
Définition
Soit G un groupe d’élément neutre e.
Un élément a∈Gest dit d’ordre fini s’il existe un entier
naturel non nul tel que an=e.
Le plus petit entier nvérifiant cette égalité est alors appelé
l’ordre de a.
Propriété
Soit G un groupe d’élément neutre e.
• Soit a∈Gd’ordre n.Alors ak=esi et seulement si n
divise k.
• L’ordre d’un élément dans un groupe divise l’ordre
du groupe.
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