1. Cours 4: Quelques structures algébriques

1. Cours 4: Quelques structures algébriques
1.1. Loi de composition intrene
On appelle loi de composition interne (ou opération binaire) sur un ensemble non
vide E, toute application de EEdans E.
#L’image (x; y)est souvent notée xy.
#est une loi de composition
interne sur E,8x; y 2E; x y2E 8x; y; x0; y02E; (x=x0et y=y0))xy=x0y0
Exemples:
1) On sait que: 8x; y 2N:x+y2Net xy2N
et 8x; y; x0; y02N;(x=x0et y=y0))(x+y=x0+y0et xy=x0y0)
Alors, l’addition usuelle "+" et la multiplication usuelle "" sont des lois de com-
position internes sur N:
Il est clair que l’addition usuelle "+" et la multiplication usuelle "" sont des lois
de composition internes sur N,Z,Q,Ret C.
2) La soustraction usuelle "" est une loi de composition interne sur Z,Q,Ret
C;mais pas sur N.
3) L’addition usuelle "+" sur l’ensemble B=f0;1gn’est pas une loi de composi-
tion interne. En e¤et: (x; y) (0;0) (0;1) (1;0) (1;1)
+ (x; y) 0 1 1 2 =2B
La multiplication usuelle "" sur l’ensemble B=f0;1gest une loi de composition
interne. En e¤et: (x; y) (0;0) (0;1) (1;0) (1;1)
(x; y)0001
4) Le produit scalaire :R2R2!Rdé…ni par x
yx0 y0=xx0+yy0
n’est pas une loi de composition interne.
5) La composition est une loi de composition interne sur l’ensemble A(E; E)
des applications de Edans E: En e¤et: Si f:E!Eet g:E!Esont deux
applications alors, fg:E!Eest une application.
6) L’intersection \est une loi de composition interne sur l’ensemble P(E)des
parties de E.
Dé…nitions: Soit une loi de composition interne sur un ensemble non vide E.

Alors:
1) La loi est dite associative, si 8x; y; z 2E; (xy)z=x(yz)
2) La loi admet un élément neutre si 9e2E; 8x2E; (xe=x)^(ex=x)
L’élément e(s’il existe) est appelé élément neutre de :
3) Dans le cas où admet un élément neutre e, on dit que tout élément de Eest in-
versible (ou symétrisable) par rapport à , si 8x2E; 9x02E; (xx0=e)^(x0x=e)
L’élément x0(s’il existe) est appelé inverse (ou symétrique) de xet est noté x1.
4) La loi est dite commutative, si 8x; y 2E; x y=yx
Remarque:
1) La disposition des parenthèses est inutile si la loi est associative et on peut
écrire xyzau lieu de (xy)zet x(yz)
2) Si x1existe, alors (x1)1=x:
Exemples:
1) On sait que
8x; y; z 2R; x + (y+z) = (x+y) + z, donc l’addition usuelle "+" est associative
dans R.
9e= 0 2R;8x2R;(x+ 0 = x)^(0 + x=x), donc 0est l’élément neutre de "+"
dans R.
8x2R;9x0=x2R;(x+ (x) = 0) ^((x) + x= 0), donc tout élément de R
est inversible par rapport à "+".
8x; y 2R; x +y=y+x, donc l’addition usuelle "+" est commutative dans R.
2) On sait que
8x; y; z 2R; x (yz) = (xy)z, donc la multiplication usuelle "" est associative
dans R.
9e= 1 2R;8x2R;(x1 = x)^(1 x=x), donc 1est l’élément neutre de ""
dans R.
Pour x= 0 on ne peut pas trouver x02Rtel que 0x0= 1; donc x= 0 n’est pas
inversible par rapport à la multiplication usuelle "" :
C.à.d: 9x= 0 2R;8x02R;(xx06= 1) _(x0x6= 1), donc les éléments de Rne
sont pas tous inversibles par rapport à "".
8x; y 2R; x y=yx, donc la multiplication usuelle "" est commutative dans R.
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3) Etudions l’opération |dé…nie sur Zpar n|m=nmpour n; m 2Z:.
Soient n; m; s 2Z:.
(n|m)|s= (nm)|s=n+ms
n|(m|s) = n|(ms) = n+m+s
On a par exemple: (1 |2) |3 = (12) |3 = 3 3 = 0
1|(2 |3) = 1 |(23) = 1 + 5 = 4 6= (1 |2) |3; donc |
n’est pas associative dans Z.
Supposons eest l’élément neutre de l’opération |dans Z:
C.à.d 8n2Z; n |e=n^e|n=n:
n|e=n, ne=n,e=2n
donc |n’admet pas d’élément neutre, car l’élément neutre doit être le même pour
tous les n2Z.
On ne peut pas chercher l’inverse d’un élément, car |n’admet pas d’élément
neutre
n|m=nm=mn=m|n, donc |est commutative dans Z:
1.2. Structure de groupe
Dé…nition: Soit une loi de composition interne sur un ensemble non vide G.
On dit que (G; )est un groupe si est associative, admet un élément neutre e
et tout élément de Gest inversible par rapport à .
Si en plus, est commutative, le groupe est dit commutatif ou abélien.
Exemples :
1) Les structures (Z;+),(Q;+),(R;+) et (C;+) sont des groupes commutatifs.
2) Les structures (Q;),(R;)et (C;)ne sont pas des groupes (Car 0n’a pas
d’inverse pour la multiplication usuelle "")
3) Les structures (Q;),(R;)et (C;)sont des groupes commutatifs.
4) Les structures (N;+),(N;),(Z;)ne sont pas des groupes.
5) (Z;|)telle que n|m=nm, n’est pas un groupe.
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1.2.1. Sous groupe
Dé…nition: Soit (G; )un groupe et Hune partie de G:
On dit (H; )est un sous groupe de (G; )si (H; )est lui même un groupe pour
la loi restreinte à H.
Proposition: Soit Hune partie d’un groupe (G; )d’élément neutre e. Alors,
((H; )est un sous groupe de (G; )),e2H
8x; y 2H:xy12H
Preuve: a) Supposons que (H; )est un sous groupe de (G; )et montrons que
e2H
8x; y 2H:xy12H
Soit x,y2H;
On a x,y12H(Car tout élément de Hadmet un inverse par rapport à dans H)
et xy12H(Car est une loi de composition interne dans H)
Donc 8x,y2H:xy12H
Mais H6=?;donc 9x02G:x02H, d’où x0x1
02H. C.à.d e2H:
b) Supposons que e2H
8x; y 2H:xy12Het montrons que (H; )est un sous
groupe de (G; )
On a H6=?car e2H.
et comme 8x2G:xe=x=ex: En particulier 8x2H:xe=x=ex
C.à.d: eest l’élément neutre de dans H:
Soit y2Het x=e2H, alors xy1=ey1=y12H, donc 8y2H:y12H:
C.à.d: Tout élément de Hadmet un inverse par rapport à dans H:
Soit x,y2H, alors x; y12Hd’où x(y1)1=xy2H; donc 8x; y 2H:xy2H:
C.à.d: est une loi de composition interne dans H:
Soit x; y; z 2H, alors x; y; z 2Gd’où (xy)z=x(yz), donc
8x; y; z 2H: (xy)z=x(yz). C.à.d: est une loi associative dans H:
Ainsi (H; )véri…e toutes les conditions d’un groupe, donc c’est bien un sous
groupe de (G; ).
Exemples :
1) Zest une partie de Qet (Q;+) est un groupe.
On a 02Z
8x; y 2Z:x+ (y)2Z;alors (Z;+) est un sous groupe de (Q;+) :
De même (Q;+) est un sous groupe de (R;+) et de (C;+) :
2) Si (G; )est un groupe d’élément neutre e.
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On a e2G
8x; y 2G:xy12G;alors (G; )est un sous groupe de (G; ):
On a e2 feg
8x; y 2 feg:xy12 feg;alors (feg;)est un sous groupe de (G; ):
feget Gsont appelés sous groupes triviaux de (G; ):
3) Le cercle unité S1=fz2C=jzj= 1gest une partie de Cet (C;)est un
groupe.
On a j1j= 1 donc 12S1:
Soit z; z02S1;on a z(z0)1=jzj
jz0j= 1;donc z(z0)12S1
Donc 12S1
8z; z02S1:z(z0)12S1;alors (S1;)est un sous groupe de (C;):
4) R+est une partie de Ret (R;)est un groupe.
On a 12R+:
Soit x; x02R+;on a x(x0)1=x
x0>0;donc x(x0)12R+
Donc12R+
8x; x02R+:x(x0)12R+;alors (R+;)est un sous groupe de (R;):
1.3. Homomorphismes de groupes
Dé…nition: On appelle homomorphisme du groupe (G; )dans le groupe (G0;0),
toute application f:G!G0telle que:
8x; y 2G:f(xy) = f(x)0f(y)
Exemples :
1) Soit l’application h:R!R+telle que h(x) = exet soit x; y 2R:
On a h(x+y) = ex+y=exey=h(x)h(y):
Alors hest un homorphisme du groupe (R;+) dans le groupe (R+;)
2) Soit l’application f:C!Rtelle que f(z) = jzjet soit z; z02C:
On a f(zz0) = jzz0j=jzjjz0j=f(z)f(z0):
Alors fest un homorphisme du groupe (C;)dans le groupe (R;)
Théorème: Soit f:G!G0un homomorphisme du groupe (G; )dans le groupe
(G0;0)d’éléments neutres respectifs eet e0, alors
1) f(e) = e0:
2) 8x2G; (f(x))1=f(x1):
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