I TRIANGLES ISOMETRIQUES 1° Présentation On dit que deux

I TRIANGLES ISOMETRIQUES
1° Présentation
On dit que deux triangles sont isométriques si et seulement si ils ont leurs côtés respectifs de même longueur.
2° Vocabulaire
On a AB =A'B': les côtés [AB] et [A'B'] se correspondent, ils sont dits homologues.
Les côtés [BC] et [B'C'] sont aussi homologues.
On a : A = A' : les angles A et A' sont dits homologues.
Les sommets A et A' sont homologues.
3° Propriétés
• Si deux triangles sont isométriques, leurs angles homologues sont égaux deux à deux.
• Deux triangles isométriques ont la même aire.
C
D
4° Exemple
AB = AC
AM = CD
BM = AD
Démontrer que ABCD est un trapèze
M
B
A
5° triangle et "isométries"
Une translation, une symétrie, une rotation conservent les longueurs ; on les appelle des isométries, d'où le
théorème suivant
Pour que deux triangles soient isométriques, il suffit que l'un des deux soit l'image de l'autre par une isométrie.
II CARACTÉRISATION DES TRIANGLES ISOMÉTRIQUES
On admet les théorèmes suivants
1° Théorème 1
Si deux triangles ont un côté égal compris entre deux angles respectivement égaux, alors ils sont isométriques.
2° Théorème 2
Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques.
3° Autres caractérisations
Deux triangles sont isométriques s'ils ont leurs côtés respectifs de même longueur.
Deux triangles soient isométriques, si l'un des deux est l'image de l'autre par une isométrie.
D
4° Exemple
ABC est isocèle en A tel que AB > BC
D et E sont tels que BD = AB et BE = CD
avec B, C et D alignes et A, B et E alignés.
En déduire que ADE isocèle.
A
B
C
E
III TRIANGLES SEMBLABLES
1° Agrandissement et réduction
Sur la figure, les droites (BC) et (B'C') sont parallèles.
Le triangle AB'C' est un agrandissement du triangle ABC dans le rapport h
AC'= 2 AC.
A'C' A'B' B'C'
On a, d'après la propriété de Thalès :
=
=
AC
AB BC
Les triangles ABC, AB'C' ont donc leurs côtés proportionnels.
Les angles B et B' d'une part et les angles C et C' d'autre part sont égaux
(angles correspondants formés par les parallèles (BC) et (B'C'».
A
B
B'
C
2° Vocabulaire
Comme précédemment, on dit
Les angles B et C ont respectivement pour homologues B' et C'.
Les côtés [AB], [AC] et [BC] ont respectivement pour homologues [A'B'], [A'C'] et [B'C'].
C'
3° Triangles semblables.
Définition
Deux triangles T et T' sont semblables si et seulement si leurs sont égaux 2 à 2.
4° Conséquences
• Si un triangle T est une réduction ou un agrandissement d'un triangle T', alors ces deux triangles sont
semblables.
• Deux triangles isométriques sont semblables.
• Si deux angles d'un triangle sont égaux respectivement à deux angles d'un autre triangle, alors ces deux
triangles sont semblables.
En effet la connaissance de deux des angles d'un triangle détermine le troisième, puisque leur somme vaut 180°.
IV TRIANGLES SEMBLABLES : PROPORTION DES COTES
1° Exemple
On donne les triangles semblables ABC et EFG, les données sont codées sur la figure.
On repère les éléments homologues.
• angles homologues : A B C
PQR
• côtés homologues : [AB] [BC] [CA]
[PQ] [QR] [RP]
On construit le point B1 du segment [AB ] tel que AB1 = PQ et C1 le point de [AC] tel que AC 1 = PR..
QPR = BAC = B1 AC1 , PQ = AB1 et PR = AC 1 .
Les deux triangles PQR et AB1 C1 ont un angle égal compris entre deux côtés égaux ils sont donc isométriques.
Leurs côtés sont donc égaux 2 à 2 et on a donc : QR = B1 C1
ABC et PQR sont semblables, PQR et AB1 C1 sont isométriques donc semblables donc ABC et AB1 C1 sont
semblables avec A et A homologues, B et B1 homologues, C et C1 homologues.
Leurs angles sont donc égaux 2 à 2 et on a donc ABC = AB1 C1 .
La droite (BB1 ) coupe les droites (BC) et (B1 C1 ). Les angles ABC et AB1 C1 sont en position d'angles
correspondants. ils sont égaux donc les droites (BC) et (B1 C1 ) sont parallèles.
AB AC
BC
On obtient donc une configuration de Thales et on a alors
=
=
.
AB1 AC1 B1 C1
AB AC BC
On obtient
=
=
PQ PR QR
2° Théorèrme
Si deux triangles sont semblables, alors leurs côtés homologues sont proportionnels.
3° Définition
Si ABC et PQR sont semblables
AB AC BC
=
=
=k
PQ PR QR
Le coefficient de proportionnalité ainsi obtenu est appelé rapport de similitude qui transforme PQR en ABC.
Si k est supérieur à 1, on parle de rapport d'agrandissement
Si k est inférieur à 1, on parle de rapport de réduction
aire ABC
Dans tous les cas on a
= k2 .
aire PQR
4° Remarques
- Si les triangles T et T' sont semblables et si les triangles T' et T" sont aussi semblables, alors T et T" sont
semblables.
- Deux triangles isométriques sont semblables et le rapport est égal à 1.
- Si T' est un agrandissement (ou une réduction) de rapport k de T, alors aire (T') = k2 aire (T). ï
IV CARACTÉRISATION DES TRIANGLES SEMBLABLES
On admet les théorèmes suivants
1° Théorème 1
Si deux triangles ont leurs côtés proportionnels, alors ils sont semblables.
Les triangles ABC et PQR sont donc semblables.
2° Théorème 2
Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement proportionnel alors ils sont
semblables.
Etant donné deux triangles ABC et PQR, si on a
• A= P
AB AC
•
=
PQ PR
alors les triangles ABC et PQR sont semblables avec A et P homologues, B et Q homologues et C et R
homologues.
3° Autre caractérisation
Si deux triangles ont deux angles respectivement égaux alors ils sont semblables.