2/ Définition d`un vecteur :

GEOMETRIE ANALYTIQUE
1 / Coordonnées dans un repère :
a) coordonnées d’un point : vu
b) coordonnées du milieu d’un segment : vu
c) distance entre deux points dans un repère orthonormé:
Propriété : A ( xA ; yA ) et B (xB ; yB) sont deux points d’un repère orthonormé (O ; i , j ).
La distance de A à B est donnée par :
AB = (xB – xA)² + (yB – yA)² ou AB2 = ( xB – xA ) ² + (yB - yA)²
2/ Définition d’un vecteur :
B
u
A
Un vecteur u est un objet mathématique caractérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou
norme).
Si AB est un représentant du vecteur u, alors :
- La direction du vecteur u est la droite (AB),
- Le sens du vecteur u est le sens A vers B,
- La longueur du vecteur u est la longueur AB du segment [AB].
Remarques :
-
La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur AB.
Le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB.
u = AA = BB = … est appelé le vecteur nul et est noté 0. Il n’a ni direction, ni sens.
figure :
B
A
tr2
tr1
Le triangle 2 est l’image du triangle 1 par la translation de vecteurAB.
Le triangle 1 est l’image du triangle 2 par la translation de vecteur …….
2/ Propriétés
B
B
Si AB = DC alors ABCD est un parallélogramme
(éventuellement aplati).
C
A
C
A
D
D
B
Si ABCD est un parallélogramme (éventuellement
aplati) alors AB = DC et AD = BC
On écrit :
AB = DC
ABCD est un parallélogramme
Si AB = BC alors B est le milieu de [AC]
Si B est le milieu de [AC] alors AB = BC
On écrit :
AB = BC
B
C
A
C
A
D
D
C
C
B
A
B est le milieu de [AC]
B
A
3/ Somme de vecteurs
B
A
C
tr2
tr1
tr3
On applique ci-dessus la translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur…… ;
Le triangle 2 est l’image du triangle 1 par la translation de vecteurAB.
Le triangle 3 est l’image du triangle 2 par la translation de vecteur…...
On remarque que le triangle 3 est l’image du triangle 1 par la translation de vecteurAC.
A, B et C étant trois points du plan, la translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur BC
est la translation de vecteur AC.
On écrit alors : AB + BC = AC (relation de Chasles) et on dit que AC est la somme de AB et BC .
Construction de la somme de deux vecteurs :
v
u
w
v
w
w=u+v
u
Relation de Chasles
Règle du parallélogramme
Remarques :
Quels que soient u et v : u + v = v + u
La somme de deux vecteurs opposés est égale au vecteur nul.
C
C
B
B
A
A
Si BA + BC = 0 alors B est le milieu de [AC].
Si B est le milieu de [AC] alors BA + BC = 0.
On écrit
BA + BC = 0
B est le milieu de [AC].
4/ Produit d’un vecteur par un réel :
a) Soit u un vecteur et k un nombre réel. On définit le vecteur ku de la façon suivante :
Si k > 0 alors ku est le vecteur qui a la même direction et le même
sens que u et une longueur égale à k fois celle de u.
Si k < 0 alors k u est le vecteur qui a la même direction que u, le
sens opposé à u et une longueur égale à –k fois celle de u.
Si k = 0 alors ku est le vecteur nul.
u
Exemples :
Centre de gravité d’un triangle :
Le centre de gravité du triangle ABC est le point G tel que
2
AG = AI ou GA = -2 GI , lorsque I est le milieu de [BC]
3
(c’est à dire que (AI) est la médiane issue de A).
1
1
Autres traductions : IG = IA ; GI = - GA.
3
2
Le théorème des milieux
ABC est un triangle.
1
Si M est le milieu de [AB] et N celui de [AC] alors MN = BC.
2
En effet : MN = MA + AN d’après la relation de Chasles
1
1
= BA + AC car M est le milieu de [AB]
2
2
et N celui de [AC]
1
1
= (BA + AC ) = BC d’après la relation de Chasles
2
2
3u
v
3
– v
2
b)
règles de calcul
Propriétés :
k u = 0 équivaut à k = 0 ou u = 0
Pour tous réels k, k’ et tous vecteurs u , v :
k( u + v ) = k u + k v
k(k’ u ) = (kk’) u
(k + k’) u = k u + k’ u
1. u = u
Exemples :
2AB + 3AB = (2 + 3)AB = 5AB
2
2
-3
u = -3
u = -2 u
3
3
3 AM = 0 équivaut à AM = 0 , c’est à dire A = M.
5/ repères :
a) Coordonnées dans un repère :
Étant donné un repère (O ; i ; j ) :
Tout vecteur u s’écrit de façon unique en fonction de i et j :
u = x i + y j . Le couple (x ; y) est le couple de coordonnées de u.
x est l’abscisse de u et y est l’ordonnée de u.
x
On note u(x ; y) ou u
y
x
x'
x + x’
kx
Si u y et v y' alors u + v y + y’ et ku ky
3
j
2
j
–2 i
i
u = –2 i + 3 j donc u –2 , 3
2
B
2
–1 O
3
A (3 ; –2) et B (–1 ; 2)
donc AB (–1 – 3 ; 2 – (–2))
l
AB (– 4 ; 4) l
–2
2
Exemples :
Si u (2 ; 5) et v (4 ; –1)
alors u + v (2 + 4 ; 5 + (–1)) donc u + v (6 ; 4)
–3 v (–3 4 ; –3 (–1)) donc –3 v (–12 ; 3)
Quel que soit le point M du plan, le vecteur OM s’écrit de façon
unique en fonction de i et j : OM = x i + y j . Le couple (x ; y) est
le couple de coordonnées de M. x est l’abscisse de M et y est
l’ordonnée de M. On note M(x ; y).
Si A(xA ; yA), B(xB ; yB)
alors AB(xB – xA ; yB – yA).
u
A
6/ Colinéarité
a) Définition
Deux vecteurs sont dits colinéaires s’ils ont la même direction. Par
convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
u et v sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que
u = kv ou tel que v = ku.
u
j
v
i
u = –2 v donc u et v sont colinéaires
i et j ne sont pas colinéaires
b) Caractérisation de la colinéarité
x
x'
Soient u y et v y' .
u et v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
u et v sont colinéaires si et seulement si xy’ – x’y = 0.
Remarque : La quantité xy’ – x’y est appelée déterminant des vecteurs u et v.
Exemples :
Les vecteurs u (6 ; –9) et v (–8 ; 12) sont-ils colinéaires ?
xy’- yx’= 6 12 – (–8) (–9) = 72 – 72 = 0
u et v sont donc colinéaires.
Les vecteurs w(2 ; –6) et z (–3 ; 7) sont-ils colinéaires ?
xy’- yx’= 2 7 – (–6) (–3) = 14 – 18 = – 4 0
w et z ne sont donc pas colinéaires.
c) Applications
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Exemple :
Dans un repère (O ; i ; j ), on a A(4 ; 2), B 3 ,
B
7
5
1
, C 1 , et D 1 , .
2
2
2
Démontrer que ABCD est un trapèze.
1
3
5 7
– 2 donc AD –3 , –
BC 1 – 3 , – donc BC (–2 ; –1)
2
2
2 2
3
–3 (–1) – (–2)
– = 3 – 3 = 0. Les vecteurs AD et BC sont donc colinéaires.
2
Ainsi les droites (AD) et (BC) sont parallèles donc ABCD est un trapèze.
C
A
AD 1 – 4 ,
D
j
O
i
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Exemple :
Dans un repère (O ; i ; j ), on a A(–1 ; 5), B(0 ; 3) et C(2 ; –1).
Démontrer que A, B et C sont alignés.
AB (0 – (–1) ; 3 – 5) donc AB (1 ; –2)
AC (2 – (–1) ; –1 – 5) donc AC (3 ; – 6)1
On remarque que AC = 3 AB (ou on calcule le déterminant : 1 (–6) – 3 (–2) = 0)
On en déduit que AB et AC sont colinéaires. l
Les points A, B et C sont donc alignés.
A
B
j
O i
C