Correction - TD n˚7 - Equations locales de l`électromagnétisme 1

Physique Correction - TD no7 : Equations locales de l’électromagnétisme
Correction - TD n˚7 - Equations locales de
l’électromagnétisme
1 Conservation de la charge en présence de sources et de puits de
charges
Considérons un volume élémentaire (V) fixe limité par une surface fermée (Σ). Cherchons à
exprimer la conservation de la charge traversant la surface (Σ) fixe en présence d’une source de
charges avec un débit Dqsource =Isource et un puits de charges avec un débit Dqpuits =Ipuits.
j
dS
(V)
(Σ)
ext
•Ecrivons tout d’abord la charge sous forme d’une intégrale sur le volume :
q(t) = y
(V)
ρ(M, t)dτM
La variation de charge contenue dans (Σ) entre les instant tet t+δt est égale à 1:
δq(Σ) =q(Σ)(t+δt)−q(Σ)(t) = dq(Σ)
dt δt =δt ∂ ∂t 
y
(V)
ρ(M, t)dτM
L’intégration se fait sur les variables d’espace uniquement. Or celles-ce sont indépendantes du
temps car la surface est fixe, et on peut donc intervertir dérivée et intégrale triple pour obtenir :
δq(Σ) =δt y
(V)
∂ρ(M, t)
∂t dτM(1)
•Sachant qu’il y création, et disparition de charges dans le volume (V), la variation de charge
dans le volume (V) est égale à la charge qui entre algébriquement 2dans (V) en traversant (Σ),
plus les charges créées, moins les charges disparues, entre les instants tet t+δt :
δq(Σ) =Ientrantδt +Isourceδt −Ipuitsδt =
Isource −Ipuits −{
(Σ)
−→
j·−→ dSext
δt
où la normale −→ dSext est orientée vers l’extérieur, par convention pour une surface fermée.
1. La première étape correspond en fait à un développement limité au premier ordre en tde la masse.
2. La charge δq(Σ) est comptée positivement si elle entre effectivement dans (V), et négativement si elle sort
effectivement de (V).
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Afin de réexprimer cette intégrale double, appliquons le théorème d’Ostrogradsky au vecteur
−→
jpour la surface fermée (Σ) :
{
(Σ)
−→
j·−→ dSext =y
(V)
Div−→ j dτ
On en déduit donc :
δq(Σ) =
Isource −Ipuits −y
(V)
Div−→ j dτ
δt (2)
En identifiant les deux expressions de δq(Σ), on obtient :
y
(V)∂ρ
∂t +Div−→
jdτ =Isource −Ipuits
Cette équation exprime la conservation globale de la charge dans le volume (V).
2 Relations de passage au niveau de densité surfaciques de charge et
de courant
1.
Considérons une surface en forme de "boîte de camembert"
avec deux faces parallèles à la surface (Σ) de surface δS
suffisamment petite pour que toutes les grandeurs puissent
être uniformes autour du point A. On applique le théorème
de Gauss en régime stationnaire avec cette surface de Gauss :
(Σ)
js
σ
n12
milieu 1
milieu 2
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Φtot = Φ1+ Φ2+ Φlat =Qint
ε0
=σS
ε0
avec 
Φ1=−−→ E1n·δS−→ n12 =−E1nδS
Φ2=−→ E2n·δS−→ n12 =E2nδS
Φlat =−→ Et·δSlat−→ nlat =EtδSlat
En faisant tendre l’épaisseur de la "boîte de camembert" vers 0, le terme Φlat tend vers 0.
De plus, les valeurs des champs sont maintenant prises en A, point de la surface (Σ). On
obtient donc :
E2n(A)−E1n(A)δS =σ(A)δS
E0
En divisant par δS et sachant que toutes les grandeurs sont suivant le vecteur −→ n12 :
−→
E2n(A)−−→ E1n(A) = σ(A)
E0−→
n12
2.
Considérons un contour orienté "à cheval" sur la surface
(Σ) de longueur dL selon la parallèle à la surface (Σ), et de
longueur dℓ selon la perpendiculaire à la surface, suffisam-
ment petit pour que les grandeurs puissent être considérées
comme uniformes autour du point A.
(Σ)
js
σ
n12
milieu 1
milieu 2
A
12
A
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On applique la loi de Faraday au contour en faisant tendre dℓ vers 0, et donc la circulation
du champ sur la longueur dℓ tend vers 0 :
E2t(A)dL −E1t(A)dL = 0
En divisant par dL et sachant que les grandeurs sont vectorielles, on obtient :
−→
E2t(A)−−→ E1t(A) = −→ 0
3.
Considérons à nouveau une surface en forme de "boîte de
camembert" avec deux faces parallèles à la surface (Σ) de
surface δS suffisamment petite pour que toutes les grandeurs
puissent être uniformes autour du point A.
(Σ)
js
σ
n12
milieu 1
milieu 2
A
A
A
A
A
A
A
A
A
En utilisant le fait que −→ Best à flux conservatif, on obtient, en faisant tendre à nouveau
l’épaisseur de la boîte vers 0 de sorte que le flux à travers la surface latérale tend également
vers 0 :
Φtot = Φ1+ Φ2+ Φlat =B2n(A)δS −B1n(A)δS = 0
Donc finalement, en divisant par δS et sachant que les grandeurs sont vectorielles :
−→
B2n(A)−−→ B1n(A) = −→ 0
4.
Considérons à nouveau un contour orienté "à cheval" sur
la surface (Σ) de longueur dL selon la parallèle à la sur-
face (Σ), et de longueur dℓ selon la perpendiculaire à la sur-
face, suffisamment petit pour que les grandeurs puissent être
considérées comme uniformes autour du point A.
(Σ)
js
σ
n12
milieu 1
milieu 2
A
12
A
A l’aide du théorème d’Ampère appliqué au contour orienté, pour lequel on fait tendre dℓ
vers 0, on obtient :
−→
B·−→ dℓ =B2t(A)dL −B1t(A)dL =µ0Ienlacé=µ0jsdL
où −→ jsest orienté dans le sens positif avec la règle de la main droite par rapport au contour.
En divisant par dL et sachant que les grandeurs sont vectorielles, on obtient :
−→
B2t(A)−−→ B1t(A) = µ0−→ js∧−→ n12
5. Les relations précédentes peuvent s’écrire de façon compacte de la façon suivante :
−→
E2(A)−−→ E1(A) = σ(A)
ϵ0−→
n12
La composante tangentielle du champ électrique est toujours continue, et la composante
normale est potentiellement discontinue.
−→
B2(A)−−→ B1(A) = µ0−→ js∧−→ n12
La composante normale du champ magnétique est toujours continue, et la composante
tangentielle est potentiellement discontinue.
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3 Calculs de champs ⃗ Ecréés par des distributions de charges
4 Calculs de champs ⃗ Bcréés par des distributions de courant
5 Champ créé par une charge ponctuelle
1. Le champ électrique créé en Mpar une charge ponctuelle qfixe en Ovaut
−→
E=q
4πε0
−−→
OM
||−−→ OM||3=q
4πε0r2⃗ur
où r=||−−→ OM|| et ⃗ur=−−→
OM
||−−→ OM||.
2. Le champ ne possède qu’une composante suivant ⃗ur(Eθ=Eφ= 0). Sa divergence est
donc de la forme
div(−→ E) = 1
r2
∂
∂r r2Er=1 r2
∂
∂r q 4πε0=⇒div(−→
E) = 0
3. Considérons une sphère Σde rayon rcentrée sur la charge ponctuelle. Le flux sortant du
champ électrostatique à travers la sphère vaut
Φ =  ⃝
Σ−→
E·−−→ d2Savec −−→ d2S=r2sin θdθdφ ⃗ur
On a donc
Φ = π
θ=0 2π φ=0
q
4πε0r2r2sin θdθdφ
=q
4πε0π
θ=0
sin θdθ
cos(0)−cos(π)=2
2π
φ=0
dφ
=2π
=q
ε0
On retrouve le théorème de Gauss puisque la surface fermée Σencercle une charge q.
4. Les résultats précédents semblent incompatibles puisque l’application du théorème de
Green-Ostrogradsky conduit à
Φ =  ⃝
Σ−→
E·−−→ d2S
=q/ε0
=V(Σ) div(−→ E)d3V
=0
Mais le théorème de Green-Ostrogradsky ne s’applique que si le champ de vecteur est
défini en tout point intérieur au volume considéré. Or le champ électrique n’est pas défini
en Oet le théorème de Green-Ostrogradsky ne peut pas être appliqué.
Le champ électrique possède un flux non-nul mais une divergence nulle.
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Remarque : Cette incompatibilité mathématique peut être résolue en introduisant la théo-
rie mathématique des distributions. La fonction δ(r)appelée fonction de Dirac est nulle
partout sauf en r= 0 où sa valeur est non définie et est telle que
yδ(r)d3V= 1
Dans le cas d’une charge ponctuelle, on peut ainsi réconcilier les deux définitions en notant
div−→ E=q
ε0
δ(r)de sorte que :
Φ =  ⃝
Σ−→
E·−−→ d2S
=q/ε0
=V(Σ) div(−→ E)d3V=q
ε0V(Σ)
δ(r)d3V=q
ε0
Les deux définitions sont donc compatibles avec cette nouvelle distribution.
6 Champ magnétique créé par un fil infini
1. D’après le cours, le champ magnétostatique créé en un point Msitué à une distance rdu
fil rectiligne infini vaut
−→
B(M) = µ0I
2πr ⃗uθ
⋆Symétries
Soit un point Msitué à la distance rde l’axe.
Le plan passant par Met contenant le fil est un plan de symétrie pour la distribution
de courant.
Le champ magnétique étant un pseudo-vecteur, il est orthogonal, au point M, à tout
plan de symétrie passant par M.
On en déduit que le champ magnétique est orthoradial
−→
B(M) = B(M)⃗uθ
⋆Invariances
La distribution de courant est invariante par rotation d’angle θautour de l’axe (O, ⃗uz)
du fil : la norme du champ magnétique est donc indépendante de l’angle θ. En coor-
données cylindriques : ||−→ B(M)|| =B(r, z).
Le fil rectiligne étant infini, la distribution de courant est invariante par translation
suivant ⃗uz. Le champ magnétique est donc indépendant de zet ||−→ B(M)|| =B(r).
Finalement −→
B(M) = B(r)⃗uθ
Les lignes de champ magnétique sont donc des cercles d’axe (O, ⃗uz), entièrement
définis par leur cote zet leur rayon r.
On cherche le champ magnétique en un point Mà la distance rde l’axe (O, ⃗uz).
Appliquons le théorème d’Ampère sur une ligne de champ Cde rayon rpassant par
M
C
−→
B·−→ dℓ= 2πrB(r) = µ0I⇒−→ B=µ0I
2πr ⃗uθ
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