Correction - TD n˚7 - Equations locales de l`électromagnétisme 1

Correction - TD no 7 : Equations locales de l’électromagnétisme
Physique
Correction - TD n˚7 - Equations locales de
l’électromagnétisme
1 Conservation de la charge en présence de sources et de puits de
charges
Considérons un volume élémentaire (V) fixe limité par une surface fermée (Σ). Cherchons à
exprimer la conservation de la charge traversant la surface (Σ) fixe en présence d’une source de
charges avec un débit Dqsource = Isource et un puits de charges avec un débit Dqpuits = Ipuits .
dSext
(V)
j
(Σ)
• Ecrivons tout d’abord la charge sous forme d’une intégrale sur le volume :
y
q(t) =
ρ(M, t)dτM
(V )
La variation de charge contenue dans (Σ) entre les instant t et t + δt est égale à 1 :

δq(Σ)

dq(Σ)
∂ y
= q(Σ) (t + δt) − q(Σ) (t) =
δt = δt 
ρ(M, t)dτM 
dt
∂t
(V )
L’intégration se fait sur les variables d’espace uniquement. Or celles-ce sont indépendantes du
temps car la surface est fixe, et on peut donc intervertir dérivée et intégrale triple pour obtenir :
δq(Σ) = δt
y ∂ρ(M, t)
dτM
∂t
(1)
(V )
• Sachant qu’il y création, et disparition de charges dans le volume (V), la variation de charge
dans le volume (V) est égale à la charge qui entre algébriquement 2 dans (V) en traversant (Σ),
plus les charges créées, moins les charges disparues, entre les instants t et t + δt :

δq(Σ)

{−
→
→ −
= Ientrant δt + Isource δt − Ipuits δt = Isource − Ipuits −
j · dS ext  δt
(Σ)
−
→
où la normale dS ext est orientée vers l’extérieur, par convention pour une surface fermée.
1. La première étape correspond en fait à un développement limité au premier ordre en t de la masse.
2. La charge δq(Σ) est comptée positivement si elle entre effectivement dans (V), et négativement si elle sort
effectivement de (V).
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Afin de réexprimer cette intégrale double, appliquons le théorème d’Ostrogradsky au vecteur
−
→
j pour la surface fermée (Σ) :
{−
y
→
→ −
−
→
j · dS ext =
Div j dτ
(Σ)
On en déduit donc :
(V )

δq(Σ) = Isource − Ipuits −
y

−
→
Div j dτ  δt
(2)
(V )
En identifiant les deux expressions de δq(Σ) , on obtient :
y
(V )
[
]
∂ρ
−
→
+ Div j dτ = Isource − Ipuits
∂t
Cette équation exprime la conservation globale de la charge dans le volume (V).
2 Relations de passage au niveau de densité surfaciques de charge et
de courant
Considérons une surface en forme de "boîte de camembert"
avec deux faces parallèles à la surface (Σ) de surface δS
1. suffisamment petite pour que toutes les grandeurs puissent
être uniformes autour du point A. On applique le théorème
de Gauss en régime stationnaire avec cette surface de Gauss :
Φtot = Φ1 + Φ2 + Φlat =

→
−
−
→


Φ1 = − E 1n · δS n 12 = −E1n δS
milieu 2
js
σ
n12
A
(Σ)
milieu 1
Qint σS
=
ε0
ε0
−
→
→
Φ2 = E 2n · δS −
n 12 = E2n δS


−
→
→
Φ = E · δS −
t
lat
lat n lat = Et δSlat
En faisant tendre l’épaisseur de la "boîte de camembert" vers 0, le terme Φlat tend vers 0.
De plus, les valeurs des champs sont maintenant prises en A, point de la surface (Σ). On
obtient donc :
σ(A)δS
E2n (A) − E1n (A)δS =
E0
→
En divisant par δS et sachant que toutes les grandeurs sont suivant le vecteur −
n 12 :
avec
σ(A)→
−
→
→
−
−
E 2n (A) − E 1n (A) =
n 12
E0
Considérons un contour orienté "à cheval" sur la surface
(Σ) de longueur dL selon la parallèle à la surface (Σ), et de
2. longueur dℓ selon la perpendiculaire à la surface, suffisamment petit pour que les grandeurs puissent être considérées
comme uniformes autour du point A.
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milieu 2
js
σ
n12
A
(Σ)
milieu 1
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On applique la loi de Faraday au contour en faisant tendre dℓ vers 0, et donc la circulation
du champ sur la longueur dℓ tend vers 0 :
E2t (A)dL − E1t (A)dL = 0
En divisant par dL et sachant que les grandeurs sont vectorielles, on obtient :
−
→
−
→
→
−
E 2t (A) − E 1t (A) = 0
Considérons à nouveau une surface en forme de "boîte de
camembert" avec deux faces parallèles à la surface (Σ) de
3.
surface δS suffisamment petite pour que toutes les grandeurs
puissent être uniformes autour du point A.
milieu 2
js
σ
n12
A
(Σ)
milieu 1
−
→
En utilisant le fait que B est à flux conservatif, on obtient, en faisant tendre à nouveau
l’épaisseur de la boîte vers 0 de sorte que le flux à travers la surface latérale tend également
vers 0 :
Φtot = Φ1 + Φ2 + Φlat = B2n (A)δS − B1n (A)δS = 0
Donc finalement, en divisant par δS et sachant que les grandeurs sont vectorielles :
−
→
−
→
→
−
B 2n (A) − B 1n (A) = 0
Considérons à nouveau un contour orienté "à cheval" sur
la surface (Σ) de longueur dL selon la parallèle à la sur4. face (Σ), et de longueur dℓ selon la perpendiculaire à la surface, suffisamment petit pour que les grandeurs puissent être
considérées comme uniformes autour du point A.
milieu 2
js
σ
n12
A
(Σ)
milieu 1
A l’aide du théorème d’Ampère appliqué au contour orienté, pour lequel on fait tendre dℓ
vers 0, on obtient :
I
→
−
→ −
B · dℓ = B2t (A)dL − B1t (A)dL = µ0 Ienlacé = µ0 js dL
−
→
où j s est orienté dans le sens positif avec la règle de la main droite par rapport au contour.
En divisant par dL et sachant que les grandeurs sont vectorielles, on obtient :
−
→
→
−
−
→
→
B 2t (A) − B 1t (A) = µ0 j s ∧ −
n 12
5. Les relations précédentes peuvent s’écrire de façon compacte de la façon suivante :
σ(A)−
−
→
→
−
→
E 2 (A) − E 1 (A) =
n 12
ϵ0
La composante tangentielle du champ électrique est toujours continue, et la composante
normale est potentiellement discontinue.
−
→
→
−
−
→
→
B 2 (A) − B 1 (A) = µ0 j s ∧ −
n 12
La composante normale du champ magnétique est toujours continue, et la composante
tangentielle est potentiellement discontinue.
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⃗ créés par des distributions de charges
3 Calculs de champs E
⃗ créés par des distributions de courant
4 Calculs de champs B
5 Champ créé par une charge ponctuelle
1. Le champ électrique créé en M par une charge ponctuelle q fixe en O vaut
−−→
q
q
OM
=
⃗ur
−
−
→
4πε0 ||OM ||3 4πε0 r2
−
→
E =
−−→
OM
−−→
où r = ||OM || et ⃗ur = −−→ .
||OM ||
2. Le champ ne possède qu’une composante suivant ⃗ur (Eθ = Eφ = 0). Sa divergence est
donc de la forme
1 ∂ ( 2 )
1 ∂
−
→
div( E ) = 2
r Er = 2
r ∂r
r ∂r
(
q
4πε0
)
−
→
=⇒ div( E ) = 0
3. Considérons une sphère Σ de rayon r centrée sur la charge ponctuelle. Le flux sortant du
champ électrostatique à travers la sphère vaut
∫∫
−−→
−
→ −−→
Φ = ⃝ E · d2 S avec d2 S = r2 sin θ dθ dφ ⃗ur
Σ
On a donc
∫
π
∫
2π
Φ =
θ=0 φ=0
=
q
4πε0
∫
q
r2 sin θ dθ dφ
4πε0 r2
∫
π
|
θ=0
{z
dφ
φ=0
} | {z }
cos(0)−cos(π)=2
=
2π
sin θ dθ
=2π
q
ε0
On retrouve le théorème de Gauss puisque la surface fermée Σ encercle une charge q.
4. Les résultats précédents semblent incompatibles puisque l’application du théorème de
Green-Ostrogradsky conduit à
∫∫
∫∫∫
−
→ −−→
Φ = ⃝ E · d2 S =
| Σ {z
}
=q/ε0
|
−
→
div( E )d3 V
V (Σ)
{z
}
=0
Mais le théorème de Green-Ostrogradsky ne s’applique que si le champ de vecteur est
défini en tout point intérieur au volume considéré. Or le champ électrique n’est pas défini
en O et le théorème de Green-Ostrogradsky ne peut pas être appliqué.
Le champ électrique possède un flux non-nul mais une divergence nulle.
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Remarque : Cette incompatibilité mathématique peut être résolue en introduisant la théorie mathématique des distributions. La fonction δ(r) appelée fonction de Dirac est nulle
partout sauf en r = 0 où sa valeur est non définie et est telle que
y
δ(r)d3 V = 1
Dans le cas d’une charge ponctuelle, on peut ainsi réconcilier les deux définitions en notant
q
−
→
div E = δ(r) de sorte que :
ε0
∫∫
→ ∫∫∫
−
→ −−
2
Φ =⃝ E · d S =
| Σ {z
}
q
−
→
div( E )d3 V =
ε
V (Σ)
0
∫∫∫
δ(r)d3 V =
V (Σ)
q
ε0
=q/ε0
Les deux définitions sont donc compatibles avec cette nouvelle distribution.
6 Champ magnétique créé par un fil infini
1. D’après le cours, le champ magnétostatique créé en un point M situé à une distance r du
fil rectiligne infini vaut
µ0 I
→
−
B (M ) =
⃗uθ
2πr
⋆ Symétries
Soit un point M situé à la distance r de l’axe.
Le plan passant par M et contenant le fil est un plan de symétrie pour la distribution
de courant.
Le champ magnétique étant un pseudo-vecteur, il est orthogonal, au point M , à tout
plan de symétrie passant par M .
On en déduit que le champ magnétique est orthoradial
−
→
B (M ) = B(M )⃗uθ
⋆ Invariances
La distribution de courant est invariante par rotation d’angle θ autour de l’axe (O, ⃗uz )
du fil : la norme du champ magnétique est donc indépendante de l’angle θ. En coor→
−
données cylindriques : || B (M )|| = B(r, z).
Le fil rectiligne étant infini, la distribution de courant est invariante par translation
−
→
suivant ⃗uz . Le champ magnétique est donc indépendant de z et || B (M )|| = B(r).
Finalement
−
→
B (M ) = B(r)⃗uθ
Les lignes de champ magnétique sont donc des cercles d’axe (O, ⃗uz ), entièrement
définis par leur cote z et leur rayon r.
On cherche le champ magnétique en un point M à la distance r de l’axe (O, ⃗uz ).
Appliquons le théorème d’Ampère sur une ligne de champ C de rayon r passant par
M
I
→
−
→ −
−
→ µ0 I
B · dℓ = 2πrB(r) = µ0 I ⇒ B =
⃗uθ
2πr
C
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→
−
2. Avec B = Bθ (r)⃗uθ , on trouve
1 d
1 d(rBθ )
→
−→ −
⃗uz =
rot( B ) =
r dr
r dr
(
µ0 I
2π
)
→
−→ −
−
→
⃗uz ⇒ rot( B ) = 0
| {z }
cste
3. Le théorème d’Ampère montre que la circulation du champ magnétostatique le long d’une
ligne de champ vaut
I
→ µ0 I
→ −
−
B · dℓ =
2πr = µ0 I ̸= 0
2πr
C
4. On pourrait penser utiliser le théorème de Stockes pour retrouver la forme locale du
théorème d’Ampère :
I
∫∫
→
→
−
→ −
→ −
−→ −
B · dℓ =
rot( B ) · dS
| C {z
}
=µ0 I
|
Σ(C)
{z
}
=0
où
⋆ Σ(C) est une surface (ouverte) s’appuyant sur le contour fermé C ;
−
→
⋆ l’élément de surface dS est porté par la normale à Σ(C) ;
−
→
⋆ l’orientation de dS est induite par celle de C (la règle du tire-bouchon).
Mais le théorème de Stockes s’applique à un champ de vecteur dérivable en tout point de
la surface Σ(C) s’appuyant sur le contour C choisi. Ici, le champ magnétostatique est de la
forme
−
→ cste
⃗uθ non défini et non dérivable en r=0
B =
r
Le théorème de Stockes n’est donc pas applicable dans le cas du fil rectiligne infini.
7 Etude d’un champ électrique à distribution cylindrique
1. Le champ est radial en tout point.
2. En coordonnées sphériques, sachant que seule la composante radiale du champ est non
−
→ 1 ∂(rEr )
nulle, div E =
et donc :
r ∂r
−
→
div E =


 2E0

0
pour
r0
pour
r < r0
r > r0
On notera que la divergence d’un champ peut être nulle même si le champ dépend de la
coordonnée r (si celui-ci est en 1r ).
3. 1ère méthode :
On complète la surface pour obtenir une surface fermée (Σ′ ) de volume (V ′ ) en rajoutant
deux couvercles correspondant à des disques perpendiculaires à l’axe (Oz). Le champ étant
radial, le flux à travers ces deux disques est nul, et donc :
x−
→ −
→ { −
→ −
→
Φ=
E · dS =
E · dS
(Σ′ )
Σ
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La surface étant fermée, on peut appliquer le théorème d’Ostrogradsky, de sorte que :
y
Φ=
→
−
Div E dτ =
(V ′ )


2E0 πr2 h



pour
r0
r < r0

2E0


× πr02 h = 2E0 πr0 h

r0
pour
r > r0
2ème méthode :
On calcule directement la valeur du flux . En tout point de la surface, le champ est colinéaire
−
→
à l’élément dS et d’autre part E(r) est constant sur toute la surface du cylindre, et donc :

2

 2E0 πr h
x
Φ = E(r)
dS = 2πrhE(r) =
Σ
r
0

2E πr h
0
0
pour
r < r0
pour
r > r0
4. La configuration étudiée ici correspond à celle d’une distribution uniforme de charge à
l’intérieur d’un cylindre infini de rayon r0 , avec :
E0
−
→
ρ = E0 div E = 2 E0
r0
Il n’y a pas de charges surfaciques car le champ électrique est continu en tout point de
l’espace, et en particulier en r = r0 .
→ −
→
−→−
5. En utilisant le formulaire d’analyse vectorielle, on montre facilement que : rot E = 0
8 Champ magnétique tourbillonnaire
−
→
On considère le potentiel vecteur A défini en coordonnées cylindriques par :



Ar = 0




r





A0
r0





 A r0

0


r


A = 0
z
pour
r ≤ r0
pour
r > r0
Aθ =
1. Le champ est dit tourbillonnaire car le potentiel vecteur est orthoradial en tout point, et
que les lignes de champ sont des cercles. Les lignes de champ s’apparentent donc aux lignes
de courant dans un tourbillon.
−
→
2. Pour exprimer la circulation de A sur le cercle de centre O, d’axe Oz et de rayon r, on
distingue deux cas :
Pour r ≤ r0 :
Pour r > r0 :
H−
→
→ −
A0 r 2πA0 r2
=
r0
r0
H−
→
→ −
A 0 r0
= 2πA0 r0
r
A · dℓ = 2πr ×
A · dℓ = 2πr ×
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3. En utilisant le formulaire d’analyse vectorielle, on obtient :
→ 1 ∂(rAθ )−
−→−
→
rot A =
uz
r ∂r
On peut donc distinguer deux cas :
→ 2A0 →
−→−
−
Pour r ≤ r0 : rot A =
uz
r0
→ −
→
−→−
Pour r > r0 : rot A = 0
−
→ −→−
→
On notera que B = rot A , de sorte que le calcul précédent montre qu’on est en présence
d’une distribution générant un champ magnétique uniforme dans un cylindre de rayon r0 .
Appliquons maintenant le théorème de Stokes sur le cercle de rayon r centré en O, et
−
→
→
orienté dans le sens trigonométrique, de sorte que d S est orienté suivant −
uz :
I
→ x −→−
−
→ −
→ −
→
A · dℓ =
rot A · d S
On doit encore distinguer deux cas :
Pour r ≤ r0 :
H−
→
→ −
A · dℓ =
∫ 2A0
r0
× 2πrdr =
2πA0 r2
r0
Pour r > r0 :
I
x −→−
→
−
→ −
→ −
→
A · dℓ =
rot A · d S
x
=
x
→ −
→
−→−
rot A · d S +
→ −
→
−→−
rot A · d S
couronne entre r = r0 et r
cercle de rayon r < r0
2A0
× πr02 + 0
r0
= 2πA0 r0
=
On retrouve bien les mêmes résultats qu’à la question précédente.
4. L’utilisation du formulaire d’analyse vectorielle permet de montrer directement qu’en tout
point :
→
−
div A = 0
∂V
→
−
Ceci est cohérent avec la jauge de Lorentz, qui s’écrit : div A + µ0 ε0
= 0, et donc qui
∂t
−
→
permet de montrer en statique que : div A = 0
5. Afin de retrouver la distribution volumique de courant correspondante en magnétostatique,
on peut tout d’abord utiliser l’équation de Maxwell-Ampère :
(
1 −→ 2A0 −
1 −→−
→
−
→
→
uz
Pour r ≤ r0 : j = rot B = rot
µ0
µ0
µ0 r0
)
→
−
= 0
1 −→−
1 −→ (−
→
−
→
→) −
→
Pour r > r0 : j = rot B = rot 0 = 0
µ0
µ0
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On obtient donc une distribution volumique de courant nulle en tout point de l’espace.
−
→
Cependant, ceci n’exclut pas la possibilité de la présence d’un courant surfacique j s . Un
tel courant se manifeste par une discontinuité de la composante tangentielle du champ
−
→ −→−
→
magnétique. On note justement que le champ magnétique, qui vaut B = rot A présente
une discontinuité en r = r0 . On peut donc en déduire que :
−
→
−
→
−
→
→ 2A0 −
−
→
→
µ0 j s ∧ −
u r = B (r → r0+ ) − B (r → r0− ) = 0 −
uz
r0
On en déduit donc :
2A0 −
−
→
→
uθ
js=
µ0 r0
La distribution magnétostatique de courant correspond donc à un cylindre infini de rayon
r0 et d’axe z sur lequel s’enroule un courant surfacique orthoradial uniforme de valeur
2A0 −
−
→
→
js=
u θ.
µ 0 r0
9 Champ électromagnétique
1. En combinant l’équation de Maxwell-Gauss, celle de Maxwell-Faraday et celle de MaxwellAmpère, nous pouvons établir l’équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ élec−
→ −
→
trique, sachant que ρ = 0 et j = 0 :
→−
→−
−
→−
−−→ ( −
→)
→) −
→ −−→ ρ −
→
→
−→ (−→−
= grad div E − ∆ E = grad − ∆ E = − ∆ E
rot rot E
E0
 −

→
→
−
→
→
−
−→−
∂
B
∂
rot
B
∂
∂
E
∂2 E
→
−
−→ 



= −rot
=−
=−
µ0 j + µ0 E0
= −µ0 E0 2
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
et donc finalement :
→
−
∂2 E
−
→−
→
∆ E = ϵ0 µ0 2
∂t
√
qui est bien satisfaite par le champ donné puisque k = ϵ0 µ0 ω.
−
→
2. On vérifie aisément que div E = 0, ce qui est en accord avec le théorème de Gauss puisque
ce champ règne dans une région vide de charges.
3. Le champ magnétique est donné par l’équation de Maxwell-Faraday (de préférence à celle
de Maxwell-Ampère puisqu’il vaut mieux calculer le rotationnel du champ connu plutôt
que celui du champ que l’on cherche). Nous obtenons :
−
→
∂B
→
−→−
→
→
= −rot E = kE0 cos(ωt + kz)−
u x + kE0 sin(ωt + kz)−
uy
∂t
Et donc en intégrant par rapport au temps :
→
−
−
→
√
√
→
→
u x − ϵ0 µ0 E0 cos(ωt + kz)−
u y + B 0 (x, y, z)
B (M, t) = + ϵ0 µ0 E0 sin(ωt + kz)−
−
→
Il existe a priori une constante d’intégration B 0 (x, y, z) qui peut dépendre des coordonnées
de l’espace puisque l’intégration se fait par rapport au temps.
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Ce champ magnétique statique doit lui aussi vérifier les équations de Maxwell dans le vide,
→
−
→
−
→
−→−
ce qui impose 3 : rot B 0 = 0 et div B 0 = 0.
→
−
→
−→−
Le fait que rot B 0 = 0 prouve qu’il existe donc un potentiel magnétique φB , défini à une
−−→
−
→
constante près, tel que gradφB (= B 0 . )
−−→
→
−
De plus, div B 0 = 0, donc div gradφB = ∆φB = 0. Le potentiel φB vérifie donc une
équation de Laplace, dont la solution est unique à partir de la donnée de conditions limites.
En l’absence de sources statiques, il n’y a aucun champ statique dans l’espace et on peut
choisir φB = cste sur une surface frontière (à l’infini par exemple). Par unicité de la
solution de l’équation de Laplace, φB = cste partout, et on en déduit qu’en tout point de
l’espace :
−−→
−
→
→
−
B 0 = gradφB = 0
√
−
→ −
→
E∧B
ϵ0 2 −
−
→
4. Π =
=−
E →
uz
µ0
µ0 0
→
−
→
−
3. On ne peut pas en déduire pour autant directement que B 0 = 0 car il existe des champs non nuls à
rotationnel et divergence nulle : le champ électrique créé par une charge ponctuelle par exemple. Cependant, de
tels champs sont nécessairement créés par des sources statiques, comme il est montré plus bas.
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10 Ligne coaxiale
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Physique
Correction - TD no 7 : Equations locales de l’électromagnétisme
11 Electromagnétisme et masse du photon
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12 Champ créé par la rotation d’une sphère chargée
−
→
→
→
1. j s (r, θ, φ) = σ −
v (r, θ, φ), où −
v est la vitesse résultant de la rotation de la sphère d’un
point M de coordonnées (R, θ, φ). Chaque point de la sphère ayant un mouvement circu→
laire de rayon Rsinθ autour de l’axe de rotation Oz, suivant le vecteur −
u φ , et sachant que
q
σ=
, on en déduit :
4πR2
qω
−
→
→
sinθ−
uφ
js=
4πR
Cette expression est indépendante du temps, donc le régime est stationnaire.
2. La distribution de courants est invariante par rotation d’un angle φ autour de l’axe Oz.
−
→
On en déduit que A ne dépend que de r et θ.
De plus, tout plan passant par un point M de la sphère et contenant l’axe Oz est plan
−
→
d’antisymétrie de la distribution de courants, le vecteur A étant un vecteur vrai, celui-ci
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−
→
→
→
est perpendiculaire à ce plan en M , défini par (−
u r, −
u θ ). Le vecteur A n’a donc pas de
composantes suivant ces deux vecteurs, et finalement :
−
→
→
A = Aφ (r, θ)−
uφ
−
→
3. En régime stationnaire, la jauge de Lorentz s’écrit simplement : div A = 0, et l’équation
→
→
−
−→−
de Maxwell-Ampère s’écrit : rot B = µ0 j , et à l’extérieur et à l’intérieur de la sphère
→ −
−
→ −
→
→
−→−
chargée, j = 0 , donc rot B = 0 .
−
→ −→−
→ −→ (−→−
→)
Or, d’après la définition de A , rot B = rot rot A .
−
→
→
−
−→−→ −−→
En utilisant la formule d’analyse vectorielle : rotrot = graddiv − ∆, et en utilisant div A =
0, on obtient :
→−
−
→ −
→
∆A = 0
D’après la formule du Laplacien vectoriel, Aφ vérifie l’équation suivante :
(
)
(
)
1 ∂
∂Aφ
1
∂
∂Aφ
Aφ
r2
+ 2
sinθ
− 2 2 =0
2
r ∂r
∂r
r sinθ ∂θ
∂θ
r sin θ
On cherche une solution de cette équation du type Aφ = f (r)sinθ. On remplaçant dans la
formule précédente, on obtient :
]
]
sinθ [
f [ 2
f
′
2 ′′
2
=0
2rf
+
r
f
+
cos
θ
−
sin
θ
− 2
2
2
r
r sinθ
r sinθ
et finalement :
r2 f ′′ + 2rf ′ − 2f = 0
4. On cherche des solutions de cette équation sous la forme f (r) = arα . Les dérivées de f
s’écrivent alors :
f ′ (r) = αarα−1
et
f ′′ (r) = α(α − 1)arα−2
En réinjectant ces deux expressions dans l’équation différentielle vérifiée par f , on obtient :
α2 + α − 2 = 0
qui admet deux solutions évidentes : α = 1 et α = −2.
A l’intérieur de la sphère, le champ doit rester fini, donc seul le champ en r (α = 1)
convient, alors qu’à l’extérieur de la sphère, le champ devant rester fini à l’infini, seul le
1
champ en 2 (α = −2) convient. On obtient donc :
r


a1 r
f (r) =
pour
a2


r2
pour
r<R
r>R
et on ne retient que les solutions physiquement satisfaisantes respectivement pour r < R
(région 1) et pour r > R (région 2). On aura besoin de deux constantes d’intégration qu’on
notera a1 , et a2 .
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−
→
5. Le potentiel vecteur A étant nécessairement continu au niveau de la surface chargée en
r = R, donc :
a2
a1 R = 2
R
6. L’utilisation de la formule d’analyse vectorielle du rotationnel en coordonnées sphériques
permet de montrer que
−
→ −→−
→
B = rot A =
−
→
−
→
→
−

 B 1 (r, θ) = 2a1 (cosθ u r − sinθ u θ )
pour
a1 R3
−
→
→
→

 B 2 (r, θ) =
(2cosθ−
u r + sinθ−
u θ)
r3
pour
r<R
r>R
En r = R, on obtient une discontinuité à la traversée de la surface donnée par :
−
→
−
→
→
B 2 − B 1 = 3a1 sinθ−
uθ
→
La composante normale du champ (suivant −
u r ) est donc bien continue, et la composante
−
→
→
tangentielle est discontinue, avec une discontinuité qui vaut µ0 j s ∧ −
n d’après le cours.
On en déduit donc que :
qω
→
→
→
3a1 sinθ−
u θ = µ0
sinθ−
uφ∧−
ur
4πR
et donc :
a1 =
µ0 qω
12πR
et
a2 =
µ0 qωR2
12π
→
7. Le vecteur −
ω est donné par :
−
→
→
→
ω = ω (cosθ−
u r − sinθ−
u θ)
donc le champ à l’intérieur de la sphère est donné par :
µ0 q −
−
→
→
B 1 (r, θ) =
ω
6πR
Le champ magnétique à l’intérieur de la sphère est donc uniforme.
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