énerg.impuls. - Le Repaire des Sciences

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ENERGIE ET IMPULSION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE
Ce que l'on appelle énergie du champ électrique est l'énergie qu'il a fallu fournir en luttant
contre la répulsion coulombienne pour assembler une distribution de charges statiques
responsable de ce champ électrique :
Wel = 0
2
espace
E2 ( r ) d( r )
De même, ce que l'on appelle énergie du champ magnétique est l'énergie qu'il a fallu fournir
en luttant contre la fem de Faraday-Lenz pour créer les courants responsables de ce champ
magnétique :
Wmag = 
20
espace
B2( r ) d( r )
L'énergie potentielle contenue dans le champ électromagnétique est donc :
WEM = 
2
espace
(0 E2 + 
0
B2) d
On se propose d'écrire cette énergie de façon plus précise faisant apparaître la loi de
conservation de l'énergie totale.
Par ailleurs, pour compléter l'analogie entre champ électromagnétique et champ de
gravitation, il faut associer une quantité de mouvement aux champs E.M. Ceci s'impose si on
considère l'exemple suivant :
A un instant donné sur leur
trajectoire, deux charges ponctuelles
identiques se dirigent vers un même
point O, à mêmes vitesses et elles
sont à même distance du point O. Les
deux forces de Coulomb sont égales
et opposées. Chaque charge est
équivalente à une portion de ligne de
courant et crée un champ magnétique
perpendiculaire au plan commun de
leurs trajectoires. Les forces
magnétiques sont orthogonales l'une
à l'autre. En conséquence, la
résultante des forces pour ce système
isolé n'est pas nulle. On peut invoquer deux explications :
- la troisième loi de Newton (sur les systèmes isolés) ne s'applique pas,
- on oublie de tenir compte de quelque chose.
Comme la troisième loi de Newton est basée sur le principe de conservation de la quantité de
mouvement (qui est une constante du mouvement alors que la somme des forces n'en est pas
une), qu'il est impératif de respecter, c'est que dans le bilan précédent il faut tenir compte de
la quantité de mouvement du champ E.M., en plus de celle du mouvement mécanique, seule
x
y
1
2
F
F
F
F
el
el
1
2
2
1
O
mag
mag

2
prise en compte jusqu'ici.
L'objet de ce chapitre est de retrouver les lois de conservation de l'énergie totale et de la
quantité de mouvement totale sous forme locale c'est-a-dire au moyen des densités
correspondantes dans un champ E.M.

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I- DENSITÉ D'ENERGIE DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE : VECTEUR DE
POYNTING
On va s'inspirer de la mécanique, pour laquelle les lois de conservation de l'énergie totale et
de la quantité de mouvement totale (en plus de celle du moment cinétique total qui ne joue
pas ici) s'expriment simplement.
Si un objet, ponctuel ou rigide, de masse m, subit l'action d'une force F , il se déplace de
dl pendant un intervalle de temps dt et prend l'accélération a . La force travaille de :
dW = F . dl = m a . dl = m
dv
dt
v dt = d
dt (1 2 m v2) dt
La puissance développée par la force pendant l'intervalle de temps dt est égale à la variation
d'énergie cinétique pendant le même intervalle.
De même, dans un espace où règne un champ électromagnétique ( E , B ), le travail des
forces électromagnétiques sur un élément de charge dq contenu dans un élément de volume d
qui se déplace de dl à la vitesse v , est (doublement différentiel, par le volume et par le
temps):
d2Wmec = F . dl = dq ( E + v B ) dl
avec dq= d dl = v dt . Comme j =  v la force magnétique ne travaille pas :
F . dl = E j .ddt
d'où le travail total sur l'ensemble des charges contenues dans le volume et par unité de temps
(puissance) :
P = dWmec
dt =
F . dl
dt =
E . j .d
En prenant j dans le théorème d'Ampère :
P = d 
0
E .( rot B - 0 0
t
E )= d 
0
E . rot B - 0
2
t
E2)
Pour simplifier cette expression, on doit utiliser les relations entre opérateurs différentiels.
D'une part (relation 6 du formulaire) :
.(E B )B. ( E )E .( B )
d'autre part, d'après la loi de Faraday :
E
B
t
d'où :
E . rot B = - 1
2
t
B2 - div ( E B )
et, en utilisant le théorème de Green :
P = E . j d -
t
(0
2 E2 + 
20
B2)d -
Sf( )
E B
0
. ds

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On pose, ce qui définit le vecteur de Poynting :
P = 
0
E B
Si UMec est la densité d'énergie mécanique :
dWMec
dt = d dt
UMec d
et UEM est la densité d'énergie électromagnétique :
UEM = 1
2 0 E2 + 1
20
B2
alors (devant l'intégrale, il n'y a plus d'autre variable que le temps et la dérivée partielle sous
l'intégrale devient une dérivée totale):
d
dt
(UMec+UEM ) d
Sf( )
P . ds
C'est le théorème de Poynting. Il exprime la conservation de l'énergie totale, mécanique et
électromagnétique, au cours du temps. Dans un volume  donné, le travail des forces
électromagnétiques (UMec) sur les charges en mouvement dans ce volume est égal à la
diminution de l'énergie stockée dans le champ (UEM) diminuée de la quantité d'énergie qui
passe à travers la surface fermée limitant le volume considéré ( P . ds ). Cette dernière
quantité d'énergie est rayonnée.
La forme différentielle du théorème de Poynting :
t
(UMec+UEM ) = - div P
est à rapprocher de l'expression différentielle de la conservation de la charge totale :
t
 = - div j
Au vecteur densité de courant de charges j correspond le vecteur de Poynting P , que l'on
peut appeler vecteur densité de courant d'énergie. De même que le flux de j à travers une
surface est un courant de charges dq/dt, de même le flux de P est un courant d'énergie
dE/dt. Le transfert de charges a pour équivalent le rayonnement d'énergie.
Exemple:

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Un conducteur cylindrique de longueur L,
parcouru par un courant continu d'intansité I,
dû à une différence de potentiel V entre ses
bornes. En supposant le champ électrique
correspondant uniforme : E=V/L. Le champ
magnétique créé en surface du conducteur par
le déplacement des charges est B=0I/2R.
Compte tenu des directions relatives des
champs E et B , le vecteur de Poynting
est radial, dirigé vers l'intérieur et :
P = 1
0 V
L 0I
2R = V I 2RL
et son flux à travers la surface qui limite le volume du conducteur est :
Sf( )
P ,. ds = - V I
2RL . 2RL = - V I
On trouve que l'énergie rayonnée, c'est-à-dire perdue (ce qui se traduit par le signe moins), à
travers la surface est l'énergie perdue par effet Joule.
II- DENSITÉ D'IMPULSION : TENSEUR DE MAXWELL
La définition habituelle de la variation de quantité de mouvement s'applique à la force
électromagnétique agissant sur des charges contenues dans un volume  :
F EM = d
p
dt =
( E + v B ) dq = ( E + j B ) d
On utilise les équations de Maxwell convenables pour faire disparaître les densités de charge
et de courant au profit des champs électrique et magnétique :
E+ j B = 0 E div E + 
0
[ rot B B - 00(
t
E ) B ]
On essaie de reconstituer le vecteur de Poynting, avec :
t
( E B )=0
t
P
= (
t
E ) B + E (
t
B ) = (
t
E ) B - E rot E
Par souci de symétrie entre les deux champs E et B (et puisque div B=0) , on peut
ajouter B div B /0=0, symétrique de 0 E div E , dans l'intégrant qui devient :
0 E div E + 
0
B div B - [ 
0
B rot B +0 E rot E ] - 0 0
t
P ,
Enfin, pour faire apparaître la densité d'énergie électromagnétique, on utilise une autre
relation entre opérateurs vectoriels (relation 4 du formulaire) :
E22(E . ).E 2E ( E )2(E . ).E 2E rot E
V
L
E
B
 O
P