énerg.impuls. - Le Repaire des Sciences

1
ENERGIE ET IMPULSION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE
Ce que l'on appelle énergie du champ électrique est l'énergie qu'il a fallu fournir en luttant
contre la répulsion coulombienne pour assembler une distribution de charges statiques
responsable de ce champ électrique :
0


Wel = 2 
E2 ( r ) d( r )
espace
De même, ce que l'on appelle énergie du champ magnétique est l'énergie qu'il a fallu fournir
en luttant contre la fem de Faraday-Lenz pour créer les courants responsables de ce champ
magnétique :
Wmag =

20


espace

B2( r ) d( r )
L'énergie potentielle contenue dans le champ électromagnétique est donc :

WEM = 2

espace
(0 E2 +
 2
B ) d
0
On se propose d'écrire cette énergie de façon plus précise faisant apparaître la loi de
conservation de l'énergie totale.
Par ailleurs, pour compléter l'analogie entre champ électromagnétique et champ de
gravitation, il faut associer une quantité de mouvement aux champs E.M. Ceci s'impose si on
considère l'exemple suivant :
A un instant donné sur leur
trajectoire, deux charges ponctuelles
identiques se dirigent vers un même
1
Fel
point O, à mêmes vitesses et elles
sont à même distance du point O. Les
1
Fmag
deux forces de Coulomb sont égales
et opposées. Chaque charge est
1
équivalente à une portion de ligne de
2
courant et crée un champ magnétique
Fmag
perpendiculaire au plan commun de
leurs
trajectoires.
Les
forces
O
2
x magnétiques sont orthogonales l'une
2
à l'autre. En conséquence, la
Fel
résultante des forces pour ce système
isolé n'est pas nulle. On peut invoquer deux explications :
- la troisième loi de Newton (sur les systèmes isolés) ne s'applique pas,
- on oublie de tenir compte de quelque chose.
Comme la troisième loi de Newton est basée sur le principe de conservation de la quantité de
mouvement (qui est une constante du mouvement alors que la somme des forces n'en est pas
une), qu'il est impératif de respecter, c'est que dans le bilan précédent il faut tenir compte de
la quantité de mouvement du champ E.M., en plus de celle du mouvement mécanique, seule
y
2
prise en compte jusqu'ici.
L'objet de ce chapitre est de retrouver les lois de conservation de l'énergie totale et de la
quantité de mouvement totale sous forme locale c'est-a-dire au moyen des densités
correspondantes dans un champ E.M.
3
I- DENSITÉ D'ENERGIE DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE : VECTEUR DE
POYNTING
On va s'inspirer de la mécanique, pour laquelle les lois de conservation de l'énergie totale et
de la quantité de mouvement totale (en plus de celle du moment cinétique total qui ne joue
pas ici) s'expriment simplement.

Si un objet, ponctuel ou rigide, de masse m, subit l'action d'une force F , il se déplace de


dl pendant un intervalle de temps dt et prend l'accélération a . La force travaille de :

dv 
d 1




dW = F . dl = m a . dl = m
v dt = ( m v2) dt
dt
dt 2
La puissance développée par la force pendant l'intervalle de temps dt est égale à la variation
d'énergie cinétique pendant le même intervalle.
 
De même, dans un espace où règne un champ électromagnétique ( E , B ), le travail des
forces électromagnétiques sur un élément de charge dq contenu dans un élément de volume d


qui se déplace de dl à la vitesse v , est (doublement différentiel, par le volume et par le
temps):
 
   
 


avec dq= d dl = v dt . Comme j =  v la force magnétique ne travaille pas :

 
F . dl = E j .ddt
d2Wmec = F . dl = dq ( E + v  B ) dl
d'où le travail total sur l'ensemble des charges contenues dans le volume et par unité de temps
(puissance) :
 
dWmec
F . dl
 
P = dt
=
=  E . j .d
dt



En prenant j
P=

dans le théorème d'Ampère :
d
 
  
    0  2
E .( rot B - 0 0
E )=  d
E . rot B - 2
E)

0
0
t
t
Pour simplifier cette expression, on doit utiliser les relations entre opérateurs différentiels.
D'une part (relation 6 du formulaire) :



 




.(E B)  B.( E)  E.( B)
d'autre part, d'après la loi de Faraday :

B
 E  
t

d'où :
 
1
E . rot B = - 2

 2
 
B - div ( E  B )
t
et, en utilisant le théorème de Green :
P =
 

E . j d 

 0
 2
- ( 2 E2 +
B )d - S
20
t
 
E
f
( )
B
0

. ds
4
On pose, ce qui définit le vecteur de Poynting :
  

P =
E  B
0
Si UMec est la densité d'énergie mécanique :
dWMec
d

=
dt
dt  UMec d
et UEM est la densité d'énergie électromagnétique :
1
1
UEM = 2 0 E2 +
B2
20
alors (devant l'intégrale, il n'y a plus d'autre variable que le temps et la dérivée partielle sous
l'intégrale devient une dérivée totale):
d
 


dt  (UMec+UEM ) d S f (  ) P . ds
C'est le théorème de Poynting. Il exprime la conservation de l'énergie totale, mécanique et
électromagnétique, au cours du temps. Dans un volume  donné, le travail des forces
électromagnétiques (UMec) sur les charges en mouvement dans ce volume est égal à la
diminution de l'énergie stockée dans le champ (UEM) diminuée de la quantité d'énergie qui
 
passe à travers la surface fermée limitant le volume considéré ( P . ds ). Cette dernière
quantité d'énergie est rayonnée.
La forme différentielle du théorème de Poynting :


(UMec+UEM ) = - div P
t
est à rapprocher de l'expression différentielle de la conservation de la charge totale :


 = - div j
t


Au vecteur densité de courant de charges j correspond le vecteur de Poynting P , que l'on

peut appeler vecteur densité de courant d'énergie. De même que le flux de j à travers une

surface est un courant de charges dq/dt, de même le flux de P est un courant d'énergie
dE/dt. Le transfert de charges a pour équivalent le rayonnement d'énergie.
Exemple:
5
Un conducteur cylindrique de longueur L,
parcouru par un courant continu d'intansité I,
dû à une différence de potentiel V entre ses
bornes. En supposant le champ électrique
O correspondant uniforme : E=V/L. Le champ
magnétique créé en surface du conducteur par
le déplacement des charges est B=0I/2R.
Compte tenu des directions relatives des
L

V

B

E
P
champs


E et B , le vecteur de Poynting
est radial, dirigé vers l'intérieur et :
1 V 0I
VI
=
2RL
0 L 2R
et son flux à travers la surface qui limite le volume du conducteur est :
VI

S f (  ) 
P ,. ds = . 2RL = - V I
2RL
On trouve que l'énergie rayonnée, c'est-à-dire perdue (ce qui se traduit par le signe moins), à
travers la surface est l'énergie perdue par effet Joule.
P =
II- DENSITÉ D'IMPULSION : TENSEUR DE MAXWELL
La définition habituelle de la variation de quantité de mouvement s'applique à la force
électromagnétique agissant sur des charges contenues dans un volume  :


F
d p
  
  
EM = dt =  ( E + v  B ) dq =  ( E + j  B ) d
On utilise les équations de Maxwell convenables pour faire disparaître les densités de charge
et de courant au profit des champs électrique et magnétique :
  
  
     
 E + j  B = 0 E div E +
[ rot B
B - 00(
E ) B ]
0
t
On essaie de reconstituer le vecteur de Poynting, avec :
  
 
( E  B )=0
P
t
t
   
 
    
=(
E ) B + E  (
B )= (
E )  B - E  rot E
t
t
t




Par souci de symétrie entre les deux champs E et B (et puisque div B =0) , on peut



ajouter B div B /0=0, symétrique de 0 E div E , dans l'intégrant qui devient :
 
       
 
0 E div E + B div B - [ B  rot B +0 E  rot E ] - 0 0
P ,
0
0
t
Enfin, pour faire apparaître la densité d'énergie électromagnétique, on utilise une autre
relation entre opérateurs vectoriels (relation 4 du formulaire) :

 




 


 
 E 2  2(E. ).E 2E ( E)  2(E. ).E 2 E rot E
6



B div B ))
et de même pour B . D'où l'intégrant :


(0 E div E
 
P
t
+
0
-
 1
[
0 2

 B2



). B ] - 0
- ( B
1
[2

 E2



). E ]
- ( E
-
00
En dehors du dernier terme, le reste est symétrique entre le champ életrique et le champ
magnétique. On regarde l'un des deux termes, qui a pour i-ème composante dans un
référentiel quelconque :

1
1
 

 
0Eidiv 
E - 0 [2  i E2 - ( E .  ).Ei] = 0[Ei.  . E + ( E .  ).Ei - 2  i E2 ]
Pour simplifier les expressions, on se place en coordonnées cartésiennes, le résultat ne dépend
pas du repère :
3
1
=  0[Ei(  n En)+(En  n )Ei - 2  i ,n  n E2 ]
n1
1
=  0[  n (Ei.En) - 2
 i ,n .  n E2 ]
1
=   n  0[Ei.En - 2
 i ,n .E2 ] 
3
n1
3
n1
En ajoutant la contribution du terme contenant le champ magnétiqueque, on pose :
1
Tn,i = 0[Ei.En - 2
 i ,n .E2 ] +
1
1
[Bi.Bn - 2
0
 i ,n .B2]

Les 9 valeurs de Tn,i sont les composantes du tenseur de Maxwell T et
3



 n Tn,i = (  . T )i
n1
D'où l'expression de la force électromagnétique :

d p
dt =



 . T d- 0 0 

 
P d
t
En utilisant le théorème de Green :

d p
dt =


Sf (  )


T ds - 0 0 

d p
 d
T

Sf (  ) ds - dt
dt

 
P d
t

  P d
0
0

Cette expression est à rapprocher du théorème de Poynting que l'on peut écrire :
dWmec
  d

=

P . ds - dt  UEMd
S
(

)
f
dt
Le théorème de Poynting exprime la conservation de l'énergie totale, de même la relation
précédente exprime la conservation de la quantité de mouvement totale au cours du temps.


00 P dest une quantité de mouvementdonc 00 P est une densité de quantité de
7
mouvement. Cette équation exprime que le gain en impulsion de la matière est égal à la perte
d'impulsion stockée dans le champ électromagnétique diminuée de l'impulsion s'écoulant à
travers la surface. On peut mettre cette expression sous forme locale, à l'aide des densités

d p

d'impulsion mécanique mec
et électromagnétique EM =00 P :
d


 .(- T ) =C'est une équation de continuité analogue à :
 =-  
t
div j

(mec +EM )
t
 = -  (U +U )
Mec
EM
t
et div P
Le vecteur de Poynting apparaît sous trois aspects :
 est un vecteur densité de courant d'énergie, analogue au vecteur densité de courant de


charge j et au tenseur densité de courant d'impulsion T ,

- la divergence de P est une puissance rayonnée par le champ, par unité de volume,

-   P est une quantité de mouvement emmagasinée dans le champ, par unité de volume.
- P
0 0