LIMITES ET CONTINUITÉ ESPACES PROBABILISÉS FINIS

Lycée Dupuy-de-Lôme – 2016/2017
Mathématiques – ECS1
P ROGRAMME DE COLLE N O 10 – DU 12 AU 16 DÉCEMBRE 2016 (S14)
La colle débutera par une question de cours (voir à la fin du programme).
L IMITES ET CONTINUITÉ
1. Limites d’une fonction : Définitions, opérations sur les limites, théorèmes l’existence.
2. Continuité d’une fonction en un point
. Définition. Continuité à gauche/à droite, fonctions continues sur un intervalle.
. Opérations sur les fonctions continues.
sin(x)
3. Prolongement par continuité en un point. Exemple de x 7→
x
4. Théorèmes importants
. Théorème des valeurs intermédiaires : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
. L’image d’un segment par une fonction continue est un segment. : toute fonction continue sur un
segment est bornée et atteint ses bornes.
. Théorème de la bijection continue : Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I réalise une bijection de I sur l’intervalle f (I ). Sa bijection réciproque est elle-même continue
et a le même sens de variation.
5. Fonctions continues par morceaux : définition.
C OMPÉTENCES ATTENDUES
. Calculer une limite.
. Justifier la continuité d’une fonction en utilisant les opérations sur les fonctions continues.
. Étudier la continuité d’une fonction définie par morceaux.
. Démontrer qu’une fonction est ou n’est pas prolongeable par continuité en un point.
. Connaitre et utiliser les théorèmes du chapitre.
E SPACES PROBABILISÉS FINIS
1. Prérequis : Chapitre « Ensembles finis et dénombrements. »
2. Vocabulaire et notations : expérience aléatoire, univers Ω (ensemble fini non vide), l’ensemble des événements est P (Ω), évenement élémentaire, opérations sur les événements, événements incompatibles,
système complet d’événements.
3. Probababilité sur un univers fini
. Définition : application P : P (Ω) → [0, 1] additive (si A et B sont incompatibles, P (A ∪ B ) = P (A) +
P (B )) et telle que P (Ω) = 1.
. Probabilité d’une union finie d’événements deux à deux incompatibles, cas d’un système complet
d’événements. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
. Probabilité de l’événement contraire. Formule de Poincaré ou du crible pour deux et trois événements. Croissance
. Équiprobabilité et probabilité uniforme.
. Existence et unicité d’une probabilité donnée par les probabilités des événements élémentaires.
4. Probabilités conditionnelles
. Définition de la probabilité P B sur Ω, pour B non négligeable, appelée probabilité conditionnelle
sachant B .
. Formule des probabilités composées
. Formule des probabilités totales
. Formule de Bayes
5. Indépendance
. Définition de l’indépendance de A et B : P (A ∩ B ) = P (A)P (B )
. Si P (A) 6= 0, A et B sont indépendants si et seulement si P A (B ) = P (B )
. Indépendance mutuelle de n événements.
. Si n événements A 1 , ..., A n sont mutuellement indépendants, il en est de même pour les événements
B i , avec B i = A i ou A i .
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Mathématiques – ECS1
C OMPÉTENCES ATTENDUES
. Reconnaitre une situation d’équiprobabilité
. Modéliser une expérience aléatoire
. Calculer une probabilité en rédigeant et justifiant précisément :
— On précisera si possible l’univers Ω et s’il est muni ou non de la probabilité uniforme ;
— On donnera un nom aux événements ;
— On citera précisément les résultats du cours utilisés, sans oublier de vérifier les hyptohèses ;
— Dans le cas d’une probabilité uniforme, tout calcul de cardinal (dénombrement) sera justifié précisément.
Q UESTIONS DE COURS
La colle débutera par une question de cours pouvant être :
— toute définition ou tout énoncé d’une proposition ou d’un théorème figurant dans le programme cidessus.
— et/ou une démonstration dans la liste ci-dessous.
D ÉMONSTRATIONS À CONNAÎTRE
• Toute fonction polynomiale de degré impair s’annule.
• Définir de la probabilité conditionnelle P B et démontrer que c’est une probabilité sur Ω.
• Probabilité d’une union finie d’événements deux à deux incompatibles (par récurrence).
• Formule de Poincaré (crible) pour deux et trois événements.
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