LIMITES ET CONTINUITÉ ESPACES PROBABILISÉS FINIS

Lycée Dupuy-de-Lôme – 2016/2017 Mathématiques – ECS1
PROGRAMME DE COLLE NO10 – DU 12 AU 16 DÉCEMBRE 2016 (S14)
La colle débutera par une question de cours (voir à la fin du programme).
LIMITES ET CONTINUITÉ
1. Limites d’une fonction : Définitions, opérations sur les limites, théorèmes l’existence.
2. Continuité d’une fonction en un point
.Définition. Continuité à gauche/à droite, fonctions continues sur un intervalle.
.Opérations sur les fonctions continues.
3. Prolongement par continuité en un point. Exemple de x7→ sin(x)
x
4. Théorèmes importants
.Théorème des valeurs intermédiaires : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un inter-
valle.
.L’image d’un segment par une fonction continue est un segment. : toute fonction continue sur un
segment est bornée et atteint ses bornes.
.Théorème de la bijection continue : Toute fonction continue et strictement monotone sur un inter-
valle Iréalise une bijection de Isur l’intervalle f(I). Sa bijection réciproque est elle-même continue
et a le même sens de variation.
5. Fonctions continues par morceaux : définition.
COMPÉTENCES ATTENDUES
.Calculer une limite.
.Justifier la continuité d’une fonction en utilisant les opérations sur les fonctions continues.
.Étudier la continuité d’une fonction définie par morceaux.
.Démontrer qu’une fonction est ou n’est pas prolongeable par continuité en un point.
.Connaitre et utiliser les théorèmes du chapitre.
ESPACES PROBABILISÉS FINIS
1. Prérequis : Chapitre « Ensembles finis et dénombrements. »
2. Vocabulaire et notations : expérience aléatoire, univers Ω(ensemble fini non vide), l’ensemble des évé-
nements est P(Ω), évenement élémentaire, opérations sur les événements, événements incompatibles,
système complet d’événements.
3. Probababilité sur un univers fini
.Définition : application P:P(Ω)→[0,1] additive (si Aet Bsont incompatibles, P(A∪B)=P(A)+
P(B)) et telle que P(Ω)=1.
.Probabilité d’une union finie d’événements deux à deux incompatibles, cas d’un système complet
d’événements. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élé-
mentaires qui le composent.
.Probabilité de l’événement contraire. Formule de Poincaré ou du crible pour deux et trois événe-
ments. Croissance
.Équiprobabilité et probabilité uniforme.
.Existence et unicité d’une probabilité donnée par les probabilités des événements élémentaires.
4. Probabilités conditionnelles
.Définition de la probabilité PBsur Ω, pour Bnon négligeable, appelée probabilité conditionnelle
sachant B.
.Formule des probabilités composées
.Formule des probabilités totales
.Formule de Bayes
5. Indépendance
.Définition de l’indépendance de Aet B:P(A∩B)=P(A)P(B)
.Si P(A)6= 0, Aet Bsont indépendants si et seulement si PA(B)=P(B)
.Indépendance mutuelle de névénements.
.Si névénements A1, ..., Ansont mutuellement indépendants, il en est de même pour les événements
Bi, avec Bi=Aiou Ai.
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COMPÉTENCES ATTENDUES
.Reconnaitre une situation d’équiprobabilité
.Modéliser une expérience aléatoire
.Calculer une probabilité en rédigeant et justifiant précisément :
— On précisera si possible l’univers Ωet s’il est muni ou non de la probabilité uniforme;
— On donnera un nom aux événements;
— On citera précisément les résultats du cours utilisés, sans oublier de vérifier les hyptohèses;
— Dans le cas d’une probabilité uniforme, tout calcul de cardinal (dénombrement) sera justifié précisé-
ment.
QUESTIONS DE COURS
La colle débutera par une question de cours pouvant être :
— toute définition ou tout énoncé d’une proposition ou d’un théorème figurant dans le programme ci-
dessus.
— et/ou une démonstration dans la liste ci-dessous.
DÉMONSTRATIONS À CONNAÎTRE
•Toute fonction polynomiale de degré impair s’annule.
•Définir de la probabilité conditionnelle PBet démontrer que c’est une probabilité sur Ω.
•Probabilité d’une union finie d’événements deux à deux incompatibles (par récurrence).
•Formule de Poincaré (crible) pour deux et trois événements.
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