1 Vocabulaire et notations 2 Relations trigonométriques dans le

Collège Elie COUTAREL
Année 2009-2010.
G.MANDALLAZ.
Ecrit avec LATEX
Trigonométrie dans le triangle
rectangle
1
Vocabulaire et notations
On considère un triangle ABC rectangle en B.
b B
b et C
b les angles BAC,
\ ABC
\ et ACB.
\
Lorsqu’il n’y a pas de confusion possible, on note respectivement A,
Le côté [AC] du triangle est particulier, on dit qu’il est l’hypoténuse du triangle.
b:
Relativement à l’angle A
i [BC] est le côté opposé (le côté "en face" de l’angle).
i [AB] est le côté adjacent (le côté qui touche l’angle et qui n’est pas l’hypoténuse).
b :
Relativement à l’angle C
i . . . . . . est le côté opposé.
i . . . . . . est le côté adjacent.
2
Relations trigonométriques dans le triangle rectangle
Dans cette partie, on considère un triangle ABC rectangle en B.
2.1
Cosinus d’un angle aigu
Définition 1
b
b = Côté adjacent de A .
On appelle cosinus de l’angle  le rapport : cos A
Hypoténuse
cos â =
Exercice 1
b
Exprimer cos C.
1
AB
AC
2.2
Sinus d’un angle aigu
Définition 2
b
b = Côté opposé de A .
On appelle sinus de l’angle  le rapport : sin A
Hypoténuse
sin  =
BC
AC
Exercice 2
b
Exprimer sin C.
2.3
Tangente d’un angle aigu
Définition 3
b
b = Côté opposé de A .
On appelle tangente de l’angle  le rapport : tan A
b
Côté adjacent de A
tan  =
BC
AB
Exercice 3
b
Exprimer tan C.
2.4
Procédé mnémotechnique et valeurs remarquables
Pour se rappeler des formules, on peut utiliser le procédé mnémotechnique suivant qui devrait plaire à la plupart
d’entre vous :
CAHSOHTOA
En lisant ce "mot", il est facile de se le rappeler en faisant attention à la place des H.
CAH : Cosinus=Adjacent/Hypoténuse.
SOH : Sinus=Opposé/Hypoténuse.
TOA : Tangente=Opposé/Adjacent.
Les valeurs trigonométriques sont rarement des nombres décimaux, pourtant il est conseillé de connaître certaines valeurs par coeur :
Angle α (en ◦ )
30
√
3
2
1
√2
3
3
cos α
sin α
tan α
45
√
2
√2
2
2
1
60
1
√2
3
2
√
3
Remarque 1
Vous verrez l’année prochaine une extension des lignes trigonométriques à n’importe quel nombre réel.
2
2.5
Exemples
Exemple 1
[
On considère un triangle T RI rectangle en T . Sachant que T
RI = 30◦ et RI = 5, calculer T I.
Indic : Sur le brouillon faites apparaître ce que représentent le côté dont la mesure est donnée ainsi que le côté
cherché (relativement à l’angle donné).
Exemple 2
\ = 60◦ et OG = 2, calculer ON .
On considère un triangle GON rectangle en G. Sachant que GON
Exemple 3
\
On considère un triangle OM E rectangle en O. Sachant que OM
E = 45◦ et OE = 7, calculer OM .
Exemple 4
[
On considère un triangle T RI rectangle en T . Sachant que T R = 4 et RI = 6, calculer T
RI.
Indic : Sur le brouillon faites apparaître ce que représentent les deux côtés dont on connaît la mesure (relativement à l’angle que l’on cherche).
Exemple 5
[
On considère un triangle EIL rectangle en E. Sachant que EL = 3 et EI = 2, calculer EIL.
Exemple 6
\
On considère un triangle OV E rectangle en O. Sachant OE = 3 et V E = 7, calculer OV
E.
3
Propriétés des fonctions trigonométriques
Propriété 1
Si  est un angle aigu alors :
l 0 < cos  < 1.
l 0 < sin  < 1.
l 0 < tan Â.
Démonstration 1
Cet angle correspond à un triangle ABC rectangle en B.
b = AB ; sin A
b = BC et tan A
b = BC .
Ainsi cos A
AC
AC
AB
b ; 0 < sin A
b et 0 < tan A.
b
Comme quotient de longueurs on a déjà 0 < cos A
Comme ABC est rectangle en B, on a AB < AC et BC < AC (AC est l’hypoténuse).
b < 1 et sin A
b < 1.¥
Donc cos A
3
Propriété 2
sin Â
Si  est un angle aigu alors : tan  =
et cos2 Â + sin2 Â = 1.
cos Â
Démonstration 2
Cet angle correspond à un triangle ABC rectangle en B.
BC
b
BC
sin
A
BC
AC
BC
b=
Ainsi tan A
et
= AC =
×
=
.
AB
b
AB
AC
AB
AB
cos A
AC
b
b = sin A .
Donc tan A
b
cos A
µ
¶
µ
¶
AC 2
AB 2
BC 2 AB 2 + BC 2
2 b
2 b
=
= 1 (d’après le théorème de Pythagore).¥
cos A + sin A =
+
=
AC
AC
AC 2
AC 2
4