Une présentation du livre, avec la table des - Henri Lombardi

mathématiques en devenir
Mathématiques en devenir
101. — Jacques Faraut. Analyse sur les groupes de Lie. Une introduction
102. — Patrice Tauvel. Corps commutatifs et théorie de Galois
103. — Jean Saint Raymond. Topologie, calcul différentiel et variable complexe
104. — Clément de Seguins Pazzis. Invitation aux formes quadratiques
105. — Bruno Ingrao. Coniques projectives, affines et métriques
106. — Wolfgang Bertram. Calcul différentiel topologique élémentaire
107. — Henri Lombardi & Claude Quitté. Algèbre commutative. Méthodes
constructives. Modules projectifs de type fini
108. — Frédéric Testard. Analyse mathématique. La maîtrise de l’implicite
109. — Grégory Berhuy. Modules : théorie, pratique. . . et un peu d’arithmétique
110. — Bernard Candelpergher. Théorie des probabilités. Une introduction
élémentaire
111. — Philippe Caldero et Jérôme Germoni. Histoires hédonistes de groupes
et de géométries. Deux tomes.
112. — Gema-Maria Díaz-Toca, Henri Lombardi & Claude Quitté. Modules
sur les anneaux commutatifs.
G.-M. Díaz-Toca, H. Lombardi, C. Quitté
Modules sur les
anneaux commutatifs
Cours et exercices
Calvage & Mounet
Gema-Maria Díaz-Toca. Maître de Conférences à l’Université de Murcia (Espagne) et membre de l’équipe de recherche « Algoritmos y Aplicaciones en Geometría Real y Tropical » (MTM2011-25816-C02-02). Ses recherches concernent le
calcul formel et les mathématiques constructives.
[email protected]
http://webs.um.es/gemadiaz
Henri Lombardi. Maître de Conférences à l’Université de Franche-Comté et
membre de l’Équipe de Mathématiques de Besançon (UMR 6623). Ses recherches
concernent les mathématiques constructives, l’algèbre réelle et la complexité
algorithmique.
[email protected]
http://hlombardi.free.fr
Claude Quitté. Maître de conférences à l’Université de Poitiers et membre
du Laboratoire de Mathématiques et Applications de l’Université de Poitiers
(UMR 6086). Ses recherches concernent l’algèbre commutative effective et le calcul
formel.
[email protected]
Mathematics Subject Classification (2010)
– Primary : 13 Commutative Algebra.
– Secondary :
03F Proof theory and constructive mathematics.
11R04 - Algebraic numbers ; rings of algebraic integers.
13C Theory of modules and ideals.
13F Arithmetic rings and other special rings.
ISBN 978-2-91-635233-6
Imprimé sur papier permanent
c Calvage & Mounet, Paris, 2014
9 782916 352336
Préface
Ce livre est un cours d’algèbre pour le Master 1, consacré à la théorie des
modules sur les anneaux commutatifs.
Nous adoptons le point de vue constructif, pour lequel tous les théorèmes
d’existence ont un contenu algorithmique explicite. En particulier, lorsqu’un
théorème affirme l’existence d’un objet, solution d’un problème, un algorithme de construction de l’objet peut toujours être extrait de la démonstration
qui en est donnée.
L’ouvrage ne réclame comme prérequis que les notions de base concernant
la théorie des groupes, l’algèbre linéaire sur les corps, les déterminants.
Une familiarité avec les anneaux de polynômes, les propriétés arithmétiques
de Z et la théorie de la divisibilité dans les anneaux factoriels est également
souhaitable.
Signalons enfin que nous considérons les exercices (197 en tout) comme une
partie essentielle du livre.
Nous publierons les errata et des exercices supplémentaires sur la page web
de l’un des auteurs :
http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html.
Remerciements.
Nous remercions Lionel Ducos et Claire Tête pour leurs suggestions, ainsi
que notre expert Latex, François Pétiard, pour ses conseils avisés.
G.-M. Díaz-Toca, H. Lombardi, C. Quitté
Juillet 2014.
–v–
Table des matières
Avant-Propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Première partie
Modules sur les anneaux principaux
I Arithmétique de base
Introduction . . . . . . . . . . . . . .
1 On a le droit de calculer modulo n .
2 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . .
3 Théorème des restes chinois sur Z . .
4 Systèmes d’équations linéaires sur Z
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3
4
5
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9
II Groupes et anneaux commutatifs
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Groupes commutatifs . . . . . . . . . . . . . . .
2 Anneaux commutatifs . . . . . . . . . . . . . .
3 Quelques rappels sur la théorie de la divisibilité
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18
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III Calcul matriciel sur un anneau commutatif arbitraire
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Calcul matriciel et systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . .
2 Idéaux déterminantiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Pivot chinois généralisé, splitting off . . . . . . . . . . . . . .
4 Systèmes linéaires sur le corps de fractions . . . . . . . . . . .
5 Systèmes linéaires sur un anneau intègre . . . . . . . . . . . .
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63
64
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71
73
82
IV Systèmes linéaires sur un anneau principal
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Domaines de Bezout et anneaux principaux . . . . . . . .
2 Réduction de Smith d’une matrice sur un anneau principal
3 Systèmes linéaires sur un anneau principal . . . . . . . . .
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– vii –
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viii
Table des matières
V Modules sur un anneau commutatif
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Définitions générales concernant les modules
2 Applications linéaires entre modules libres .
3 Modules de type fini . . . . . . . . . . . . .
4 Sommes et produits de modules . . . . . . .
5 Factorisation d’applications linéaires . . . .
6 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Torsion, annulateurs . . . . . . . . . . . . .
8 Modules monogènes . . . . . . . . . . . . . .
9 Un important résultat d’unicité . . . . . . .
10 Suites exactes . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 Modules de présentation finie . . . . . . . .
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130
131
136
VI Modules de présentation finie sur les anneaux principaux
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Structure des applications linéaires entre modules libres . . . . .
2 Structure des modules de présentation finie . . . . . . . . . . . .
3 Dualité, intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Cohérence d’un module de présentation finie . . . . . . . . . . . .
5 Modules de présentation finie de torsion . . . . . . . . . . . . . .
144
144
149
156
158
161
VII Structure d’un endomorphisme
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Un K[X]-module intéressant . . . . . . . . . . . .
2 Forme réduite de Frobenius . . . . . . . . . . . .
3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Géométrie d’un endomorphisme, premiers pas . .
5 Utilisation du lemme des noyaux . . . . . . . . .
6 Endomorphismes cycliques et sous-espaces stables
7 Endomorphismes semi-simples . . . . . . . . . . .
8 Décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford . . .
VIII Anneaux et modules cohérents,
Introduction . . . . . . . . . . . . . . .
1 Anneaux et modules cohérents . . . . .
2 Méthode modulaire de calcul . . . . . .
3 Définition de la noethérianité . . . . .
4 Propriétés noethériennes élémentaires
5 Les théorèmes de Hilbert et Noether .
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172
176
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186
188
198
204
noethériens
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230
Table des matières
ix
Deuxième Partie
Approfondissements
IX Idéaux inversibles et domaines de Dedekind
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Principe local-global de base . . . . . . . . . . . . .
2 Idéaux inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Un exemple historique . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Petit théorème de Kummer . . . . . . . . . . . . .
5 Domaines de Dedekind à factorisation totale . . . .
6 Domaines de Prüfer . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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X Entiers sur un anneau commutatif
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Extensions d’anneaux, algèbres . . . . . .
2 Extensions finies, entières . . . . . . . . .
3 Extensions libres finies . . . . . . . . . . .
4 Extension d’un anneau intégralement clos
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XI Anneaux d’entiers des corps de nombres
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
1 Corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
2 Un peu plus d’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
XII Anneaux et modules de fractions
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Anneaux et modules de fractions . . . .
2 Principes local-globals pour les modules
3 Principes local-globals pour les anneaux
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295
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XIII Modules projectifs de type fini
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Modules projectifs de type fini sur un anneau arbitraire . . . .
2 Applications linéaires localement simples . . . . . . . . . . . .
3 Principes local-globals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Rang d’un module projectif de type fini sur un anneau intègre
5 Les modules projectifs de type fini sont localement libres . . .
6 Propriété caractéristique d’exactitude . . . . . . . . . . . . . .
7 Annexe : rang d’un module projectif de type fini, cas général .
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301
302
306
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310
312
314
316
x
Table des matières
XIV Modules de présentation finie sur les domaines de
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Un principe local-global pour les domaines de Prüfer . . .
2 Noyau, image et conoyau d’une matrice . . . . . . . . . . .
3 Domaines de Prüfer fortement discrets . . . . . . . . . . .
Prüfer
. . . .
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321
322
323
327
XV Changement d’anneau de base
1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
2 Solution du problème dans quelques cas importants . . . . . . . . 333
3 Somme directe de deux A-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
XVI Dimension 0 et 1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . .
1 Anneaux zéro-dimensionnels . . . . . .
2 Anneaux arithmétiques . . . . . . . . .
3 Anneaux intègres de dimension 6 1 . .
4 Domaines de Prüfer de dimension 6 1
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Prüfer
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405
416
424
444
471
Annexes
A Une approche à la Kronecker des domaines de
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 L’anneau de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Le théorème de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . .
3 Quelques conséquences du théorème de Kronecker .
B Domaines de Dedekind
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Domaines de Prüfer à factorisation partielle . .
2 Problèmes de factorisation dans les domaines de
3 Extensions de domaines de Dedekind . . . . . .
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Dedekind
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Solutions, ou esquisses de solutions, des exercices
Solutions
Solutions
Solutions
Solutions
Solutions
Solutions
Solutions
du
du
du
du
du
du
du
chapitre
chapitre
chapitre
chapitre
chapitre
chapitre
chapitre
I . .
II .
III .
IV .
V .
VI .
VII
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Table des matières
Solutions
Solutions
Solutions
Solutions
Solutions
Solutions
Solutions
Solutions
Solutions
Solutions
xi
du chapitre VIII
du chapitre IX .
du chapitre X .
du chapitre XI .
du chapitre XII
du chapitre XIII
du chapitre XIV
du chapitre XV
du chapitre XVI
de l’annexe B .
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481
484
486
496
501
504
513
515
520
529
Tables et index
Table des théorèmes
Index des notations
Index des termes
535
541
545
Avant-Propos
Quant à moi, je proposerais de s’en tenir aux règles suivantes :
1. Ne jamais envisager que des objets susceptibles d’être définis
en un nombre fini de mots ;
2. Ne jamais perdre de vue que toute proposition sur l’infini doit
être la traduction, l’énoncé abrégé de propositions sur le fini ;
3. Éviter les classifications et les définitions non-prédicatives.
Henri Poincaré
dans « La logique de l’infini » (Revue de Métaphysique et de Morale, 1909).
Réédité dans Dernières pensées, Flammarion
Le contenu de cet ouvrage
L’ouvrage, qui correspond à un cours de niveau M1, est une introduction à
la théorie des modules sur un anneau commutatif.
La notion de module sur un anneau commutatif est entre autres la généralisation aux anneaux commutatifs de la notion d’espace vectoriel sur un
corps.
Comme dans le cas des corps, la théorie des modules peut être vue comme
une abstraction de la théorie de la résolution des systèmes linéaires.
Une insistance toute particulière sur le cas des modules de présentation
finie sur les anneaux principaux est donnée dans la première partie du cours
(chapitres I à VIII).
Voici tout d’abord un bref aperçu de cette première partie.
L’exemple le plus élémentaire d’anneau principal est l’anneau Z des entiers
relatifs. C’est pourquoi le chapitre I est consacré, d’une part au rappel
des propriétés arithmétiques de base de Z, d’autre part à la résolution
des systèmes linéaires à coefficients et inconnues dans Z. Cette résolution
s’appuie sur des transformations élémentaires qui ramènent n’importe quel
système linéaire à un système équivalent1 pour lequel la résolution est tout
à fait claire et simple.
1. Les transformations élémentaires envisagées portent autant sur les lignes que sur
les colonnes de la matrice du système, ce qui sous-entend un éventuel changement
– xiii –
xiv
Avant-Propos
Il s’agit d’une adaptation au cas de l’anneau Z de la réduction d’une matrice
rectangulaire sur un corps à la forme standard
Ik
0
0
0
à laquelle le lecteur est habitué.
Cette nouvelle réduction, sur Z, est l’objet du théorème I -4.1, qui explique
comment ramener une matrice à la forme
D
0
0
0
,
avec pour D une matrice diagonale.
Le chapitre II est constitué de rappels concernant les groupes abéliens et
les anneaux commutatifs, rappels de ce qui est usuellement fait dans les
cours de L3. Les points essentiels sont les théorèmes de factorisation II -1.15
et II -2.17, ainsi que le théorème des restes chinois II -2.25, généralisation à
un anneau commutatif arbitraire du théorème analogue pour Z. Tout au
plus, peut-être, certaines lectrices2 n’auront pas encore entendu parler des
systèmes fondamentaux d’idempotents orthogonaux, mais cette notion ne
présente aucune difficulté. Le théorème les concernant (II -2.22) peut être
considéré comme une variante du théorème des restes chinois.
Le chapitre III est une introduction au calcul matriciel sur un anneau
commutatif. La théorie des déterminants connue du lecteur pour le cas des
corps se généralise pour l’essentiel au cas d’un anneau, mais il faut prendre
garde à quelques variations plus ou moins subtiles. Par exemple, une matrice
carrée injective n’est plus nécessairement surjective. Un outil essentiel pour
la généralisation de la théorie des déterminants est fourni par les idéaux
déterminantiels d’une matrice.
Le chapitre IV est consacré à la résolution des systèmes linéaires sur un
anneau principal, avec le théorème fondamental IV -2.3 pour la réduction
d’une matrice à la forme de Smith : un algorithme tout à fait analogue à
celui que nous avons donné pour les matrices à coefficients entiers fonctionne
dans ce cadre plus général. Signalons que de façon tout à fait étonnante,
on ne sait toujours pas si une matrice sur un domaine de Bezout arbitraire
admet toujours une forme réduite de Smith.
d’inconnues.
2. La personne qui lit ce livre subit la règle inexorable de l’alternance des sexes.
Espérons que les lecteurs n’en seront pas plus affectés que les lectrices. En tout cas, cela
nous économisera bien des (( ou )) et bien des (( (e) )).
Avant-Propos
xv
La lectrice qui maîtrise parfaitement les deux théorèmes cités peut estimer
qu’elle a compris l’essentiel de la première partie du cours.
Mais il lui faudra aussi faire un effort d’abstraction non négligeable pour
faire le lien entre la théorie des systèmes linéaires et celle des modules. Le
reste de la première partie du cours est voué à expliquer cette abstraction.
Le chapitre V est consacré à la définition des A-modules et à quelques
généralités utiles concernant cette notion. Les groupes abéliens sont exactement les Z-modules, et cela facilitera sans doute la tâche du lecteur, car le
chapitre reprend en grande partie, avec quelques modifications nécessaires,
les rappels du chapitre II sur les groupes abéliens.
Deux notions essentielles sont d’une part celle de A-module libre de rang
fini, qui est la généralisation immédiate des espaces vectoriels de dimension
finie sur un corps, et d’autre part celle de A-module de présentation finie,
en relation directe avec la résolution des systèmes linéaires. C’est aussi la
généralisation naturelle de la notion de groupe abélien de présentation finie.
Le chapitre VI concerne le cas où l’anneau A dans lequel se déroule les
calculs est un anneau principal. Ce chapitre est organisé autour du théorème VI -2.1 de structure des A-modules de présentation finie. Auparavant,
on aura donné la structure d’une application linéaire entre modules libres
de rang fini, et la structure d’une inclusion M ⊆ L lorsque L est un module
libre de rang fini et M un sous-module de type fini. En fait, tous les résultats
du chapitre, hormis le théorème VI -2.9 concernant les modules de type fini,
ne sont que des conséquences plus ou moins immédiates de la forme réduite
de Smith des matrices, exprimées sous forme géométrique.
Le chapitre VII est une belle application de la théorie développée au chapitre
précédent. On obtient le décryptage de la structure des endomorphismes
d’un K-espace vectoriel de dimension finie, pour un corps K arbitraire :
l’endomorphisme possède une matrice en forme de Frobenius pour une base
convenable de l’espace vectoriel, et cette forme réduite est unique. Il s’agit
d’un complément substantiel par rapport à la classification de Jordan, qui
ne concerne que les endomorphismes dont le polynôme caractéristique est
scindé.
Le chapitre VIII contient une brève discussion d’une notion fort délicate,
qui est la notion de module ou d’anneau noethérien. Cette discussion est
éclairée par la notion d’anneau cohérent : un anneau est dit cohérent lorsque
le noyau de toute matrice est un module de type fini. La cohérence est
en fait un concept central du point de vue du contenu algorithmique des
théorèmes, mais elle apparaît rarement dans les ouvrages classiques, qui lui
préfèrent le concept de noethérianité.
xvi
Avant-Propos
Les chapitres de la deuxième partie sont plus difficiles. Ils visent à étendre
nombre de résultats que l’on a établis pour les anneaux principaux à des
anneaux plus compliqués, notamment ceux qui interviennent en théorie des
nombres algébriques (c’est-à-dire les nombres complexes qui sont zéros de
polynômes à coefficients entiers).
Le chapitre IX introduit la notion d’idéal inversible dans un anneau intègre.
Ce sont des idéaux de type fini qui sont simplifiables pour le produit des
idéaux. Un idéal inversible sert de (( pgcd idéal )) pour ses générateurs,
quand ceux-ci n’engendrent pas un idéal principal. La théorie algébrique des
nombres, qui étudie l’arithmétique des anneaux d’entiers dans les corps de
nombres, est fondée sur la théorie des idéaux inversibles. Dans la section 3,
nous présentons l’exemple historique de l’anneau Z[ζn ], où ζn est une
racine primitive n-ième de l’unité, exemple développé par Kummer dans
ses recherches sur le grand théorème de Fermat.
Dans la section 4, nous présentons le petit théorème de Kummer, qui donne
la (( décomposition en facteurs premiers )) de la plupart des idéaux de type
fini dans l’anneau des entiers d’un corps de nombres.
Ce chapitre introduit aussi les domaines de Dedekind, les domaines de Prüfer
et les domaines de Dedekind à factorisation totale, qui sont des généralisations des anneaux d’entiers de corps de nombres. Les domaines de Prüfer
sont les anneaux intègres dans lesquels les idéaux de type fini non nuls sont
tous inversibles. Ces anneaux généralisent aussi les domaines de Bezout (les
anneaux intègres dans lesquels les idéaux de type fini sont tous principaux).
Les domaines de Dedekind à factorisation totale sont les domaines de Prüfer
dans lequel tout idéal de type fini admet une décomposition unique en
facteurs premiers.
Le chapitre X introduit les extensions entières d’anneaux et donne leurs propriétés fondamentales. On y démontre notamment qu’une extension entière
et intégralement close d’un domaine de Bezout est un domaine de Prüfer.
Le chapitre XI étudie les anneaux d’entiers de corps de nombres. On y
démontre le théorème fondamental de décomposition unique d’un idéal
de type fini en produit d’idéaux maximaux (théorème XI -1.7), analogue
du théorème fondamental de l’arithmétique pour les entiers naturels. Ce
théorème présente une importance historique particulière, car c’est pour
l’avoir à sa disposition (en vue de démontrer le théorème de Fermat3 ) que
Kummer inventa la notion de pgcd idéal de nombres algébriques.
3. Cette marche d’approche de Kummer pour démontrer le théorème de Fermat fut
couronnée d’un succès seulement partiel, mais cette tentative a fondé la théorie algébrique
des nombres.
Avant-Propos
xvii
Le chapitre XII introduit les anneaux et modules de fractions pour le cas
des anneaux intègres. Il présente ensuite quelques exemples de principes
local-globals.
Le chapitre XIII, préliminaire nécessaire au chapitre XIV, présente une
brève étude des modules projectifs de type fini sur un anneau commutatif
arbitraire. On y met en évidence le fait qu’un module projectif de type fini
n’est autre qu’un module localement libre de rang fini. Ici, le mot (( localement )) est défini de manière élémentaire, simple et précise. C’est également
l’occasion d’introduire les applications linéaires localement simples entre
modules libres de rang fini.
Le chapitre XIV s’intéresse à la structure des modules de présentation finie
sur les domaines de Prüfer. Cette structure est très proche de celle que
l’on a établie pour les anneaux principaux. Certains traits particuliers du
cas des anneaux d’entiers nécessitent cependant pour être généralisés la
notion de (( dimension 6 1 )), qui sera étudiée au chapitre XVI.
Le chapitre XV traite le problème de l’extension des scalaires, ou changement d’anneau de base. C’est un outil fondamental et naturel en algèbre
commutative.
Le chapitre XVI est consacré aux anneaux zéro-dimensionnels et aux anneaux intègres de dimension de Krull 6 1. Ces notions clés sont introduites
de manière directe et algorithmique sans utiliser les idéaux premiers. Pour les
domaines de Prüfer de dimension 6 1, nous démontrons les résultats essentiels concernant la structure des modules de présentation finie, usuellement
établis dans le cadre des domaines de Dedekind.
En annexe, nous proposons deux compléments.
L’annexe A présente de manière succincte le traitement de la théorie algébrique des nombres (( à la Kronecker )). Il s’agit d’une approche à la fois
très algorithmique et très élégante qui ramène la théorie multiplicative des
idéaux inversibles dans un domaine de Prüfer (ou un domaine de Dedekind)
à la théorie analogue dans (( l’anneau de Kronecker correspondant )), qui est
un domaine de Bezout (ou un anneau principal) défini à partir de l’anneau
de départ.
L’annexe B traite des problèmes de factorisation dans les domaines de Prüfer,
avec le cas particulièrement important des domaines de Dedekind. Il s’agit
ici d’examiner dans quelle mesure on peut généraliser le théorème XI -1.7,
établi précédemment pour les anneaux d’entiers (décomposition unique d’un
idéal de type fini non nul en produit d’idéaux maximaux inversibles).
xviii
Avant-Propos
Ce que l’on ne trouve pas dans cet ouvrage
Nous nous sommes limités, pour ce qui concerne la technique de la localisation, au cas des anneaux intègres. Un localisé d’un anneau intègre peut en
effet se voir comme un sous-anneau du corps de fractions de l’anneau, et
cela évite les subtilités inhérentes au cas général. Bien que le cas général
soit d’une extraordinaire fécondité à travers la généralisation du principe
local-global, nous n’en avons pas réellement l’utilité dans le présent ouvrage.
Nous avons évité d’introduire les produits tensoriels de modules. Bien qu’il
s’agisse d’une notion importante et assez naturelle, nous ne lui avons pas
trouvé de place dans l’ouvrage, qui a comme lignes directrices la résolution
des systèmes linéaires et la structure des modules de présentation finie.
Nous avons notamment préféré introduire de manière directe la notion de
changement d’anneau de base sans passer par le produit tensoriel, contrairement à la tradition. Cela nous a semblé plus naturel.
Nous avons évité autant que possible d’utiliser les idéaux premiers et maximaux, ici aussi contrairement à la tradition, sauf dans les cas où l’on maîtrise
la construction de ces idéaux.
En outre, et bien qu’il soit très simple de traiter les anneaux locaux sans
l’utilisation des idéaux premiers et maximaux, nous ne les avons pas introduits non plus. Nous avons défini le radical de Jacobson sans recours aux
idéaux maximaux.
Enfin, nous avons évité autant que possible d’utiliser la noethérianité. Il
s’agit en effet d’un concept délicat, difficile à manipuler d’un point de vue
algorithmique. Il s’agit aussi d’un concept souvent trompeur, dans la mesure
où l’on peut avoir l’impression avec les anneaux noethériens que tout devient
très très simple. Par exemple, tous les modules de type fini sont réputés
être de présentation finie. Mais, ce dernier résultat, par exemple, n’est pas
effectif et ne peut pas être rendu effectif, même pour un anneau aussi simple
que Z.
Sur le contenu algorithmique de l’algèbre
L’algèbre dans la tradition d’al-Khwarismi, Viète, Gauss, Galois, Bezout et
Kronecker est une science de nature algorithmique.
Nous avons pris comme option d’insister sur le contenu algorithmique des
théorèmes présentés dans cet ouvrage. Contenu algorithmique qui a bien
souvent disparu des cours modernes.
Ainsi, nous avons toujours indiqué quel était le contenu concret des hypothèses qui permet d’aboutir à la conclusion de façon algorithmique, comme
résultat d’un calcul effectif.
Avant-Propos
xix
Prenons un exemple simple pour illustrer notre propos. Sur un anneau
principal, un élément arbitraire est réputé se décomposer en produit de
facteurs premiers, de manière unique. Mais, pour que ceci ait la signification
objective d’un calcul, il faut supposer que l’on sache tester la divisibilité
d’un élément par un autre, que l’on sache trouver le quotient quand la
divisibilité a lieu, que l’on ait un test d’irréductibilité, et que lorsque la
réponse à ce test est négative, l’on sache effectivement décomposer l’élément
non irréductible en un produit de deux facteurs.
Il y a cependant dans le cursus usuel certains théorèmes qui n’ont aucun
contenu algorithmique, même lorsque l’on fait l’effort de prendre des hypothèses très précises (comme celles indiquées ci-dessus pour les problèmes
de factorisation). Nous avons choisi d’en donner un minimum, avec leur
démonstration usuelle, tout en indiquant que leur contenu est litigieux,
au moyen d’une astérisque. La signification réelle de ces théorèmes n’est
pas claire, hormis le fait qu’ils ont une démonstration dans le cadre de la
(( théorie formelle des ensembles )) usuelle, laquelle n’a pas de sémantique
claire.
Sur l’importance des exercices
Nous considérons les exercices (197 en tout) comme une partie essentielle
du livre. Les exercices marqués du signe \ sont plus difficiles. Les autres
sont souvent du style (( application directe du cours )). Il est recommandé
de ne pas se précipiter sur les corrections, regroupées à la fin de l’ouvrage,
mais plutôt d’essayer de résoudre les exercices au fur et à mesure qu’ils se
présentent.
Quelques renseignements pratiques
Une table des principaux théorèmes du cours est donnée page 535 et suivantes.
On trouve un index des notations page 541, suivi d’un index des termes.
Les définitions de termes sont mises en italique gras. Elles sont souvent
situées dans le texte du cours plutôt que dans une définition numérotée.
Les démonstrations se terminent par le symbole carré blanc comme ceci : 2
Les remarques, exemples et commentaires se terminent par le symbole carré
noir comme cela :
Toutes les propositions, théorèmes, définitions, etc. sont numérotées les unes
après les autres dans chaque section, à l’exception notable des exercices, qui
sont regroupés à la fin de chaque section, avec une numérotation séparée
qui n’indique pas le numéro de la section.
Quand on cite un résultat ou une définition du chapitre où l’on se trouve,
le numéro du chapitre n’est pas indiqué. Par exemple, à l’intérieur du
chapitre IV, le théorème IV -2.3 est cité comme théorème 2.3.
xx
Avant-Propos
Deux livres de référence pour l’algèbre de licence
– Jacqueline Lelong-Ferrand & Jean-Marie Arnaudiès. Cours
de mathématiques, 1. Algèbre. Réédition, Dunod 2003.
– Mathématiques L3 – Algèbre, coordonné par Aviva Szpirglas. Pearson
2009.
Des livres de référence pour approfondir
– Joël Briançon. Algèbre approfondie. Université de Nice 1990-91.
http://hlombardi.free.fr/publis/CoursBrian.pdf
– Georges & Marie-Nicole Gras.
Algèbre fondamentale. Arithmétique. Ellipses 2004.
– Rémi Goblot. Algèbre Commutative. Dunod 2001.
– [ACMC] Henri Lombardi & Claude Quitté.
Algèbre Commutative. Méthodes constructives. Calvage & Mounet 2011.
– [MRR] Ray Mines, Fred Richman & Wim Ruitenburg.
A Course in Constructive Algebra. Universitext. Springer 1988.
– [MMICA] Jounaïdi Abdeljaoued & Henri Lombardi.
Méthodes Matricielles. Introduction à la Complexité Algébrique.
Collection Mathématiques et Applications. Springer, Vol. 42, 2003.
G.-M. Díaz-Toca, H. Lombardi, C. Quitté
Juillet 2014.
Chapitre VII
Structure d’un
endomorphisme
Sommaire
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
1 Un K[X]-module intéressant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2 Forme réduite de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4 Géométrie d’un endomorphisme, premiers pas . . . . . . . . . . 183
Restriction et extension du corps de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Endomorphismes de petit rang et forme de Frobenius . . . . . . . . . . 184
Critère de diagonalisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5 Utilisation du lemme des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Factorisation partielle d’une famille de polynômes . . . . . . . . . . . . . 187
Se ramener au cas où les invariants de similitude sont des puissances
d’un même polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6 Endomorphismes cycliques et sous-espaces stables . . . . . . . 188
Nouvelles formes réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Commutation d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7 Endomorphismes semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Une propriété caractéristique dans un cas particulier . . . . . . . . . . . 198
Un résultat algorithmique plus général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Polynômes séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Factorisation séparable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
– 167 –
168
VII. Structure d’un endomorphisme
8 Décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford . . . . . . . . . . .
Méthodes d’analyse en algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Des endomorphismes qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le théorème de Chevalley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204
205
206
207
209
Introduction
On fixe le contexte suivant pour tout ce chapitre.
Soit V un K-espace vectoriel de dimension finie
et soient E = (e1 , . . . , en ) une base de V sur K
et ϕ un endomorphisme de V .
Le but du chapitre est d’étudier la structure de ϕ, et en particulier d’expliciter une forme réduite uniquement déterminée pour la matrice de ϕ, après
un changement de base convenable.
Cette étude est facilitée si l’on munit V d’une structure naturelle de module
sur l’anneau K[X] attachée à l’endomorphisme ϕ.
Le grand avantage de la forme réduite de Frobenius (que nous allons expliquer) est d’être calculée par une procédure purement rationnelle : on ne
sort jamais du corps des coefficients de la matrice donnée au départ. En
particulier, contrairement à ce qui se passe avec la réduite de Jordan, il n’est
pas besoin de faire appel aux racines du polynôme caractéristique de ϕ.
Nous précisons maintenant la terminologie des K-algèbres, qui sera utile
dans ce chapitre.
Une K-algèbre est donnée par un anneau B, et un morphisme d’anneaux ρ : K → B. Cela fait de B un K-espace vectoriel. Si B 6= 0, l’homomorphisme ρ est injectif et l’on identifie parfois K à son image dans B.
Sauf mention expresse du contraire, les algèbres que nous considérons sont
commutatives.
ρ0
ρ
Un morphisme de la K-algèbre K −→ B vers la K-algèbre K −→ B0 est
ϕ
un homomorphisme d’anneaux B −→ B0 vérifiant ϕ ◦ ρ = ρ0 , autrement dit
un homomorphisme K-linéaire.
K
ρ
B
ρ0
%
ϕ
/ B0
Nous noterons HomK (B, B0 ) l’ensemble des homomorphismes de K-algèbres
de B vers B0 ; c’est un sous-espace vectoriel de LK (B, B0 ).
§1. Un K[X]-module intéressant
169
Outre les algèbres de polynômes que nous avons déjà rencontrées, nous serons
intéressés ici par les algèbres qui sont des K-espaces vectoriels de dimension
finie, par exemple des algèbres quotients K[X]/hf i ou des sous-algèbres
commutatives de l’algèbre (non commutative) de Mn (K).
1. Un K[X]-module intéressant
On peut voir le K-espace vectoriel V comme un K[X]-module, en définissant
la loi externe (( ·ϕ )) comme suit :
P ·ϕ u = P (ϕ)(u), P ∈ K[X], u ∈ V.
Nous notons Vϕ le K[X]-module ainsi défini.
Si l’endomorphisme ϕ de V est fixé, on notera souvent P · u pour P ·ϕ u.
Nous notons νϕ le polynôme minimal et χϕ le polynôme caractéristique
de ϕ.
Faisons alors quelques remarques de bon sens, que nous regroupons dans
les deux propositions qui suivent.
1.1. Proposition
1. Un sous-K-espace vectoriel E de V est un sous-module de Vϕ si, et seulement si, ϕ(E) ⊆ E, i.e. E est un sous-espace vectoriel ϕ-stable.
2. Des sous-espaces ϕ-stables sont en somme directe comme K-espaces
vectoriels si, et seulement si, ils sont en somme directe comme sousmodules de Vϕ .
3. Le module Vϕ est de type fini et de torsion.
4. L’idéal annulateur AnnK[X] (Vϕ ) = (0 : Vϕ ) ⊆ K[X] est égal à hνϕ i.
N.B. : dans la suite, lorsque V et ϕ sont fixés, on dira simplement (( sousespace stable )) pour (( sous-K-espace vectoriel ϕ-stable de V )).
Démonstration. 1. Clair.
2. En effet, cela signifie dans les deux cas qu’ils sont en somme directe
comme sous-groupes abéliens de V .
3. En effet, le K[X]-module Vϕ est engendré par les vecteurs e1 , . . . , en , et
le polynôme χϕ (X) annule Vϕ , i.e. χϕ ∈ (0 : Vϕ )K[X] .
4. Par définition du polynôme minimal de ϕ.
La sous-K-algèbre de EndK (V ) engendrée par ϕ est notée K[ϕ], et comme
le noyau de l’homomorphisme K[X] → K[ϕ] d’évaluation de X en ϕ est
égal à νϕ , on a K[ϕ] ' K[X]/hνϕ i. Notons que Vϕ peut également être vu
comme un K[ϕ]-module.
170
VII. Structure d’un endomorphisme
1.2. Proposition et définition
Pour tout v ∈ Vϕ , le sous-module K[X] ·ϕ v est le plus petit sous-espace
vectoriel ϕ-stable de V contenant v. On le notera aussi hviϕ ou K[ϕ] · v.
Pk−1
Si ϕk (v) = a0 v + j=1 aj ϕj (v) (ai ∈ K) est la première relation de dépendance linéaire qui se présente entre v, supposé maintenant non nul, et
ses transformés successifs par
ϕ, le sous-espace K[ϕ] · v admet la K-base
Bv,ϕ = v, ϕ(v), . . . , ϕk−1 (v) .
On appelle alors polynôme minimal de v pour ϕ et l’on note νv,ϕ (X)
Pk−1
le polynôme X k − j=0 aj X j . On a alors les résultats suivants1 .
1. L’annulateur (0 : v)K[X] est égal à hνv,ϕ i, ce qui implique que νv,ϕ
divise le polynôme minimal νϕ .
2. Le sous-espace K[ϕ] · v est isomorphe en tant que K[X]-module au
module K[X]/hνv,ϕ i. L’isomorphisme est donné par
K[X]/hνv,ϕ i −→ K[ϕ] · v, g 7−→ g · v.
En particulier, en notant x = X, l’image de (1, x, . . . , xk−1 ) (base
naturelle du K-espace vectoriel K[X]/hνv,ϕ i) est la base Bv,ϕ .
3. La matrice sur la base Bv,ϕ de l’endomorphisme induit ϕhviϕ est la
Pk−1
matrice compagne du polynôme νv,ϕ (X) = X k − j=0 aj X j :


0 ··· ··· ··· 0
a0
..
 1 ...
.
a1 



.
.. 
.
.
..
..
 0 ..
. 


Mνv,ϕ =  . .
.
.. 
 ..
. . . . . . . . ...
. 


 ..

..
..
 .
.
. 0 ak−2 
0
···
···
0
1 ak−1
4. Le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de ϕhviϕ , c’est-àdire aussi ceux de la matrice compagne Mνv,ϕ , sont tous deux égaux au
polynôme νv,ϕ .
Démonstration. Clair, modulo éventuellement de petits calculs. Par exemple,
pour le point 4 on note que νv,ϕ divise le polynôme minimal de Mνv,ϕ , qui
divise le polynôme caractéristique de Mνv,ϕ . Les trois polynômes sont unitaires et les deux extrêmes sont de même degré, donc ils sont les trois
égaux2 .
1. Lorsque ϕ(v) = av et v 6= 0, on a νv,ϕ = X − a. La base Bv,ϕ est (v) et la matrice
compagne de νv,ϕ est [a]. Dans le cas où v = 0, on a νv,ϕ = 1. La base Bv,ϕ est vide
et la matrice compagne de νv,ϕ est également vide. Son déterminant et son polynôme
caractéristique sont égaux à 1. Les points 1 à 4 restent tous corrects.
2. C’est aussi un exercice amusant de trouver comment calculer sans effort le polynôme
caractéristique d’une matrice compagne.
§1. Un K[X]-module intéressant
171
Le théorème qui suit est un peu plus délicat.
1.3. Théorème. Avec les notations précédentes, soit F = ME (ϕ). Alors,
la matrice caractéristique XIn − F est une matrice de présentation du
module Vϕ pour le système générateur (e1 , . . . , en ).
P
Démonstration. Si F = (aij )i,j∈J1..nK , on a X · ej = i∈J1..nK aij ei .
Autrement dit,
(X − ajj ) · ej −
P
i∈J1..nK,i6=j
aij ei = 0.
Ainsi, la j-ième colonne de XIn − F est une relation de dépendance linéaire
pour le système générateur (e1 , . . . , en ).
Il nous faut ensuite démontrer que toute relation de dépendance linéaire
pour (e1 , . . . , en ) est une combinaison K[X]-linéaire des relations données
par les colonnes de XIn − F .
Puisque X 2 · ej = X · (X · ej ), on voit3 que l’expression de X 2 · ej comme
combinaison K-linéaire de E s’écrit comme combinaison K[X]-linéaire des
relations données par XIn − F .
De même, pour tout g ∈ K[X], l’expression de g · ej sur la K-base E s’écrit
comme combinaison K[X]-linéaire des relations données par XIn − F . Cette
expression est donnée en fait par la j-ième colonne de la matrice g(F ).
P
n
Maintenant, pour (g1 , . . . , gn ) ∈ K[X] , l’expression de i∈J1..nK gi · ei sur
la K-base E s’écrit aussi comme combinaison K[X]-linéaire des relations
données par XIn − F . Et une telle expression est identiquement nulle
P
exactement lorsque i∈J1..nK gi · ei = 0.
Exercices
Exercice 1. Donner une démonstration détaillée des propositions 1.1 et 1.2.
Exercice 2. Soit B un domaine de Bezout et soient a, b ∈ B, g = pgcd(a, b),
et m = ppcm(a, b). Soit enfin V un B-module.
1. Montrer que (a · V ) + (b · V ) = g · V et (a · V ) ∩ (b · V ) = m · V .
2. Montrer que (0 : a)V + (0 : b)V = (0 : m)V et (0 : a)V ∩ (0 : b)V = (0 : g)V .
3. Que donnent les résultats précédents lorsque V est un K-espace vectoriel avec un endomorphisme ϕ, et lorsque l’on considère la structure
de K[X]-module sur V donnée par a · x = a(ϕ)(x) pour a ∈ K[X]
et x ∈ V ?
3. Le lecteur sceptique est vivement encouragé à écrire les détails de ce petit calcul,
par exemple avec n = 3.
172
VII. Structure d’un endomorphisme
Exercice\ 3. Structure de A[X]-module sur An associée à A ∈ Mn (A)
On généralise le théorème 1.3 en remplaçant le corps K par un anneau
arbitraire A. Considérons une matrice A ∈ Mn (A) qui définit un endomorphisme ϕ de V = An .
On munit V d’une structure de A[X]-module en posant
Q ·ϕ b = Q · b = Q(A) b = Q(ϕ)(b),
pour Q ∈ A[X] et b ∈ An . On note Vϕ le A[X]-module ainsi obtenu. Cette
structure sur V est la seule structure (compatible avec celle de A-module)
pour laquelle X · b = A b pour tout b.
n
Soit θϕ : A[X] An l’unique A[X]-morphisme qui transforme la base
n
canonique de A[X] en celle de An . Autrement dit, si l’on note du même
nom (e1 , . . . , en ) ces deux bases canoniques, le morphisme θϕ est défini par
θϕ (Q1 , . . . , Qn ) = θϕ (Q1 e1 + · · · + Qn en )
def
= Q1 · e1 + · · · + Qn · en
= Q1 (A) e1 + · · · + Qn (A) en .
On va montrer que la suite ci-dessous est exacte :
n
XI −A
n
θϕ
A[X] −−−n−−→ A[X] −−→ An → 0.
Autrement dit, An est un A[X]-module de présentation finie, et XIn − A
est une matrice de présentation pour le système générateur (e1 , . . . , en ).
1. Montrer que l’on a une somme directe de A-modules
n
A[X] = Im(XIn − A) ⊕ An .
2. Conclure.
2. Forme réduite de Frobenius
Dans l’anneau euclidien K[X], tout polynôme non nul est associé à un
unique polynôme unitaire (au sens de la relation d’association). Or, dans la
forme réduite de Smith d’une matrice, les éléments diagonaux sont a priori
définis à association près. On obtient cependant dans le cas de l’anneau K[X]
une forme réduite complètement unique en demandant que les éléments
diagonaux non nuls soient des polynômes unitaires.
Rappelons qu’une matrice H ∈ Mn (K[X]) est inversible si, et seulement
si, son déterminant est inversible dans K[X], c’est-à-dire si det(H) ∈ K∗ .
Notons aussi que dans le processus de réduction de Smith d’une matrice sur
un anneau euclidien, les matrices de passage produites sont automatiquement
de déterminant ±1.
§2. Forme réduite de Frobenius
173
2.1. Théorème. (Structure d’un endomorphisme d’un K-espace vectoriel)
Nous gardons les notations précédentes.
1. La réduction de Smith de la matrice XIn − F est du type
L (XIn − F ) C = Diag(1, . . . , 1, f1 , . . . , fk ), k ∈ N∗ et L, C ∈ GLn (K[X]),
avec pour fi des polynômes unitaires 6= 1 vérifiant f1 | · · · | fk .
2. Le K[X]-module Vϕ est isomorphe à
K[X]/hf1 i ⊕ · · · ⊕ K[X]/hfk i .
3. La matrice F est semblable à une matrice diagonale par blocs, dont
les blocs diagonaux sont les matrices compagnes des polynômes fi . Cette
forme réduite de la matrice de ϕ est appelée forme de Frobenius.
4. Le polynôme fk est égal au polynôme minimal νϕ de ϕ. Le polynôme
caractéristique χϕ de ϕ est égal au produit des fi .
5. Si χϕ = νϕ , alors Vϕ = K[ϕ] · y pour un y ∈ V , et la forme réduite de
Frobenius de ϕ est la matrice compagne de χϕ .
Démonstration. Conséquence du théorème VI -2.1 (forme réduite de Smith
d’une matrice sur un anneau principal), du corollaire VI -2.5 (structure
des modules de présentation finie de torsion sur un anneau principal), du
théorème 1.3 (matrice de présentation de Vϕ ) et des propositions 1.1 et 1.2
(remarques de bon sens sur le module Vϕ ). Les détails sont laissés à la
lectrice.
2.2. Corollaire. Pour tout endomorphisme ϕ de V ' Kn , le polynôme
caractéristique divise νϕn . Plus précisément, on obtient les résultats suivants.
– Le polynôme caractéristique χϕ divise νϕm , où m = n + 1 − deg(νϕ ).
– Si la forme réduite de Frobenius (unique d’après le théorème 2.5) comporte k blocs diagonaux, alors :
◦ le polynôme χϕ divise νϕk ;
◦ le polynôme χϕ est multiple d’un polynôme f1k , avec deg(f1 ) > 1.
Démonstration. Clair d’après les points 1 et 4 du théorème 2.1.
2.3. Corollaire. Pour tout endomorphisme ϕ d’un K-espace vectoriel de
dimension finie, il existe un v ∈ V tel que l’on ait :
– le polynôme minimal de v pour ϕ est égal au polynôme minimal de ϕ ;
– le sous-espace stable K[ϕ] · v, qui est de dimension deg νϕ , est facteur
direct d’un autre sous-espace stable.
Démonstration. Clair d’après la forme réduite de Frobenius.
174
VII. Structure d’un endomorphisme
2.4. Corollaire. Si le polynôme minimal d’un endomorphisme ϕ est divisible par un facteur carré (non constant), on peut construire un sous-espace
stable qui n’admet pas de supplémentaire stable.
Démonstration. Supposons que νϕ = f g 2 avec deg(g) > 1. Soit x ∈ V tel
que νx,ϕ = νϕ et soient y = f · x et z = g · y ; alors, g · z = f g 2 · x = 0.
On considère le sous-espace stable U = K[ϕ] · z. Soit T un sous-espace
stable tel que T + U = V . On écrit y = t + h · z avec t ∈ T , d’où
z = g · y = g · (t + h · z) = g · t + hg · z = g · t ∈ g · T ⊆ T,
Ainsi, T = V , et par conséquent U n’a pas de supplémentaire stable.
Les deux théorèmes structurels 1.3 et 2.1 doivent être complétés par le
théorème plus facile qui suit.
Deux endomorphismes d’un même K-espace vectoriel de dimension finie
sont dits semblables s’ils sont conjugués sous l’action du groupe linéaire,
c’est-à-dire encore si leurs matrices sont semblables.
2.5. Théorème et définition. On considère deux endomorphismes ϕ et ψ
du K-espace vectoriel V (de dimension finie n).
1. a. Tout homomorphisme de K[X]-modules, θ : Vϕ → Vψ , est un endomorphisme du K-espace vectoriel V .
b. Pour qu’un θ ∈ EndK (V ) soit un homomorphisme de Vϕ dans Vψ ,
il faut et suffit qu’il entrelace ϕ et ψ, c’est-à-dire que θ ◦ ϕ = ψ ◦ θ.
2. Les endomorphismes ϕ et ψ sont semblables si, et seulement si, les
modules Vϕ et Vψ sont isomorphes.
3. Les polynômes fi dans le théorème 2.1 caractérisent la classe de similitude de l’endomorphisme ϕ. Ils sont appelés les invariants de
similitude de l’endomorphisme ϕ.
4. Les endomorphismes ϕ et ψ sont semblables si, et seulement si, ils ont
la même forme réduite de Frobenius.
Démonstration. 1a. Évident.
1b. Pour g ∈ K[X] et v ∈ V , notons g(ϕ)(v) = g ·ϕ v et g(ψ)(v) = g ·ψ v.
Alors, θ est un homomorphisme de Vϕ dans Vψ si, et seulement si, pour
tout g ∈ K[X] et tout v ∈ V , on a
θ(g ·ϕ v) = g ·ψ θ(v).
Cela implique pour g = X que θ ϕ(v) = ψ θ(v) .
Inversement, si θ ◦ ϕ = ψ ◦ θ, alors par récurrence sur r, on a θ ◦ ϕr = ψ r ◦ θ,
puis, pour tout g ∈ K[X], θ ◦ g(ϕ) = g(ψ) ◦ θ. Donc, θ(g ·ϕ v) = g ·ψ θ(v)
pour tout v.
2. Cela résulte du point 1b appliqué pour les endomorphismes bijectifs.
§2. Forme réduite de Frobenius
175
3. La liste des fi caractérise exactement la classe d’isomorphisme du module Vϕ (corollaire VI -2.5). D’après le point 2, elle caractérise donc exactement la classe de similitude de ϕ.
4. Conséquence du point 3.
Remarques. 1) En dimension n fixée et pour un polynôme caractéristique
donné, les invariants de similitude sont soumis à deux contraintes. D’une
part, leur produit doit être égal au polynôme caractéristique ; d’autre part,
ils doivent se diviser successivement : fi | fi+1 pour 1 6 i < k. On vérifie
facilement qu’il n’y a pas d’autres contraintes. On en déduit qu’il n’y a qu’un
nombre fini de classes de similitudes pour un polynôme caractéristique fixé.
Notons aussi que si k > 2, le polynôme caractéristique possède le facteur
carré f12 dans K[X].
2) Si ϕ est nilpotent, son polynôme caractéristique est X n , et les invariants
de similitude de ϕ sont des polynômes X ri . La forme de Frobenius est alors
identique à la forme de Jordan (à ceci près que dans un bloc de Jordan usuel
les 1 sont au dessus de la diagonale, alors que dans la forme de Frobenius
ils sont en dessous de la diagonale ; il suffit de prendre les vecteurs dans la
numérotation opposée pour passer d’une forme à l’autre).
3) Si ϕ − λId est nilpotent, son polynôme caractéristique est (X − λ)n , et
les invariants de similitude de ϕ sont des polynômes (X − λ)ri . La forme de
Frobenius de ϕ − λId permet de retrouver la forme de Jordan comme dans
la remarque 2) .
4) Si l’on sait calculer la décomposition en facteurs premiers du polynôme
caractéristique χϕ de ϕ, on écrit χϕ = q1 × · · · × qr , où les qi sont des
puissances de polynômes irréductibles pi . On obtient alors par le lemme
des noyaux la décomposition V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vr , où Vi = Ker qi (ϕ). En
notant ϕi l’endomorphisme de Vi induit par ϕ, on peut ensuite calculer la
forme réduite de Frobenius de chaque ϕi . Les invariants de similitude de ϕi
sont alors des puissances de pi .
Ce type de calcul est a priori plus difficile que celui qui donne la forme
de Frobenius. Il est même parfois impossible, car il est fondé sur le calcul
de la décomposition en facteurs premiers du polynôme caractéristique. On
peut néanmoins profiter utilement du lemme des noyaux sans pour autant
décomposer le polynôme caractéristique en produits de polynômes irréductibles. Pour cela, voir les sections 5 à 8.
Exercices
Exercice 4. Expliquer la relation précise entre invariants de similitude et
facteurs invariants.
Exercice 5. Donner les invariants de similitude d’une matrice diagonale.
176
VII. Structure d’un endomorphisme
Exercice 6. Soit A ∈ Mn (K), où K est un corps.
1. Montrer que A et tA ont même polynôme caractéristique et même
polynôme minimal.
2. En utilisant la réduction de Frobenius, montrer que A et tA sont
semblables.
8 2
Exercice 7. Soit A =
∈ M2 (Z).
0 1
– Calculer les vecteurs propres de A et tA dans Q2 .
– Montrer que A et tA ne sont pas semblables sur Z. Autrement dit, on
n’a aucune matrice P ∈ GL2 (Z) vérifiant P AP −1 = tA.
Exercice 8. Soit ϕ ∈ EndK (V ) et soit v ∈ V tel que dimK (K[ϕ] · v) = deg νϕ .
Alors K[ϕ] · v est facteur direct d’un autre sous-espace stable.
3. Un exemple
Les exemples d’application de la théorie précédente sont de deux ordres.
Tout d’abord le plus souvent, un endomorphisme ϕ (d’un espace vectoriel
de dimension finie) a son polynôme minimal égal à son polynôme caractéristique. Dans ce cas la théorie nous dit que, sur une base convenable,
l’endomorphisme admet pour matrice la matrice compagne de son polynôme
caractéristique. La base est du type
(x1 , . . . , xn ), avec x2 = ϕ(x1 ), x3 = ϕ(x2 ), . . . , xn = ϕ(xn−1 ).
En pratique, il suffit de choisir le vecteur x1 (( au hasard )) et cela marche
avec une très bonne probabilité de succès (i.e., les xi sont linéairement
indépendants).
Les exemples plus difficiles sont lorsque le polynôme minimal n’est pas égal
au polynôme caractéristique. Il existe des techniques d’algèbre linéaire pure
qui n’utilisent pas la belle théorie des modules sur les anneaux principaux,
et qui donnent, à partir d’une matrice carrée F , deux matrices H et P , où H
est la forme réduite de Frobenius de F , et P est la matrice de changement
de base : P −1 F P = H.
La théorie que nous avons développée est plus élégante, mais ne fournit
sans doute pas d’algorithme plus performant que ceux fondés sur l’algèbre
linéaire.
Nous proposons ici un exemple que nous avons traité avec le logiciel Maple.
Nous donnons les algorithmes correspondants en pseudocode. Nous indiquons
ensuite les étapes du calcul pour cet exemple.
Pour notre méthode, nous considérons la matrice caractéristique A = uI − F ,
à coefficients dans Q[u] ; et, nous allons lui faire subir des transformations
de lignes et de colonnes légitimes pour l’anneau principal Q[u].
§3. Un exemple
177
À la suite de ces transformations, nous aurons une égalité L A C = A0 ,
avec L et C ∈ GL6 (Q[u]) (en fait, L et C sont de déterminant ±1) et l’image
de A0 sera suffisamment simple (en forme de Smith, à des permutations
près) pour que la structure du module Coker A0 soit claire.
Nous aurons besoin de connaître L−1 pour donner la matrice de changement
de base. Pour cela, nous initialisons V et W = V −1 , avec V = W = I6 .
Au cours du traitement de la matrice A, chaque fois qu’une manipulation
de ligne intervient, nous faisons subir à V la même manipulation de ligne
et à W la manipulation de colonne opposée, de manière à obtenir de
nouveau W = V −1 . En revanche, nous ne nous préoccupons pas de calculer
la matrice C correspondant aux manipulations de colonnes, car cette matrice
n’a pas d’incidence sur l’image de la matrice L A C. Ainsi, les procédures
de manipulations de lignes transforment le triplet (A, V, W ) tandis que
les procédures de manipulations de colonnes opèrent uniquement sur la
matrice A.
La procédure AjoutLigne (dont nous ne donnons pas les détails) appliquée
à une matrice M , avec deux indices de lignes i1 et i2 et un coefficient a
effectue la manipulation élémentaire Li2 ← Li2 + aLi1 sur les lignes de la
matrice M . Même chose pour la procédure AjoutColonne.
La procédure PivotLigne utilise le coefficient en position (m, n), supposé
constant non nul, comme pivot pour tuer tous les coefficients de la colonne n,
sauf le pivot, au moyen de manipulations de lignes.
PivotLigne
Entrée : A, V , W : Mr (Q[u]) ; r, m, n : N.
Sortie : A1 , V1 , W1 : les matrices transformées après traitement du pivot.
Variables locales : piv, coe : Q ; i : N.
Début
A1 ← A ; V1 ← V ; W1 ← W ; piv ← A[m, n] ;
Pour i de 1 à r faire
Si i 6= m alors coe ← A[i, n] ;
AjoutLigne(A1 , m, i, −coe/piv) ;
AjoutLigne(V1 , m, i, −coe/piv) ;
AjoutColonne(W1 , i, m, coe/piv)
fin si
fin pour ;
Fin.
La procédure PivotColonne utilise le coefficient en position (m, n), supposé
constant non nul, comme pivot pour tuer tous les coefficients de la ligne m,
sauf le pivot, au moyen de manipulations de colonnes.
178
VII. Structure d’un endomorphisme
PivotColonne
Entrée : A : Mr (Q[u]) ; r, m, n : N.
Sortie : A1 : la matrice transformée après traitement du pivot.
Variables locales : piv, coe : Q ; j : N.
Début
A1 ← A ; piv ← A[m, n] ;
Pour j de 1 à r faire
Si j 6= n alors coe ← A[i, n] ;
AjoutColonne(A1 , n, j, −coe/piv) ;
fin si
fin pour ;
Fin.
La procédure PivotLiCo enchaîne les deux procédures précédentes.
La procédure QuoPivLi considère les coefficients a et b ∈ Q[u] en positions (m1 , n) et (m2 , n). La division euclidienne du polynôme a par le
polynôme b donne le quotient q = Quotient(a, b) : on retranche q fois la
ligne m2 à la ligne m1 , ce qui remplace a par le reste de la division de a
par b.
QuoPivLi
Entrée : A, V , W : Mr (Q[u]) ; n, m1 , m2 : N.
Sortie : A1 , V1 , W1 : les matrices transformées.
Variables locales : a, b, q : Q[u] ; j : N.
Début
A1 ← A ; V 1 ← V ; W 1 ← W ;
a ← A[m1 , n] ; b ← A[m2 , n] ; q ← Quotient(a, b) ;
AjoutLigne(A1 , m2 , m1 , −q) ;
AjoutLigne(V1 , m2 , m1 , −q) ;
AjoutColonne(W1 , m1 , m2 , q) ;
Fin.
La procédure QuoPivCol est la procédure de manipulations de colonnes
analogue, visant à diviser un coefficient par un autre situé sur la même ligne.
L’exemple a été fabriqué à partir d’une matrice G en forme réduite de
Frobenius.


· · · −1

 1 · ·
0


 · 1 · −2

.
G := 
 · · 1

0



· −1 
1
0
Ses invariants de similitude sont X 2 + 1 et (X 2 + 1)2 .
§3. Un exemple
179
On a construit une matrice inversible T1 , calculé la matrice T2 = T1−1 , puis
la matrice F = T2 G T1 , ce qui a donné




F := 




13 −9 −5 −13 −3 −6
−4
0
0
10
3
5 

26 −14 −8 −36 −9 −18 
.
6
−1
0 −8 −4 −2 

8
−8 −5 −8
0 −6 
−7
1
0
10
5
3
La procédure Frobenius de Maple, appliquée à la matrice F , donne les
matrices suivantes pour P et P −1





P = 




1323
1643
405
− 1643
1566
1643
− 2118
1643
125
53
1839
1643
24965
1643
− 4524
1643
37866
1643
28406
1643
− 125
53
− 28127
1643
− 12960
1643
320
− 1643
− 3470
1643
31940
1643
− 71957
1643
− 1180
1643
− 384
53
1025
1643
405
− 1643
920
1643
− 6907
1643
− 3749
1643
− 40
53
5547
1643
− 2049
1643
− 1269
1643
450
− 1643
632
 0

1643

313
 0 − 1643
= 
 0
136

1643

248
 −1
3445
333
1643
184
− 1643
23
1643
31
689
77
− 689
412
− 1643

P −1
17889
1643
5652
− 1643
35811
1643
6109
1643
384
53
5954
− 1643
1
0
616
− 3445
604
1643
9
− 1643
6026
3445
3813
3445
1566
1643
− 2118
1643
125
53
1839
1643
392
1643
9
− 53
237
1643
0
48
53
9
53
429
− 1643











1 
− 53

284
1643


.
0 


2767 
3445
3351
3445
Autrement dit, la nouvelle base est formée par le vecteur correspondant
à la première colonne de P , ses trois transformés successifs par F , puis le
vecteur correspondant à la colonne no 5 de P et son transformé par F . On
vérifie que l’on a bien P −1 F P = G.
180
VII. Structure d’un endomorphisme
Avec notre méthode, nous créons tous d’abord les matrices A = uI6 − F ,
et V = W = I6 :


u − 13

4


 −26
A = 
 −6


 −8
7
9
u
5
0
13
−10
3
−3
6
−5
14
1
u+8
0
36
u+8
9
4
18
2
8
−1
5
0
8
−10
u
−5
6
u−3




.




La procédure PivotLiCo pour le pivot 1 en position (4, 2) donne des matrices A1 , V1 , W1 , avec


41 + u
0
5

 6u + 4 0
0


0 u+8
 58
A1 = 

0
1
0


 40
0
5

1
0
−9 u − 59
−33
−u2 − 8 u − 10
−4 u − 3
−14 u − 76
−47
−10
0
0
0
−8 u − 56
−32 + u
−10
u−2
−1
−1 + u
0
−12




.





−2 u − 5 
Maintenant, on utilise le pivot 1 en position (6, 1), on obtient des matrices A2 , V2 , W2 , avec


2
2
0





A2 = 





0
5
−48 u − u + 23
u+8
29 − 40 u − u
2
0
0
0
−7 u − 2
2u + 1
−1 − 6 u2
0
0
u+8
−72 u + 40
11
48 − 58 u
0
1
0
0
0
0
0
0
5
−48 u + 24
u+8
30 − 40 u
1
0
0
0
0
0





.





On utilise ensuite le pivot 5 en position (1, 3), et l’on obtient des matrices A3 , V3 , W3 , avec pour A3 :

 0 0 5
0
0
0
 0 0 0

−7 u2 − 2
2u + 1
−1 − 6 u2




3
2
2
3
2
u + 48 u + u + 8 
 0 0 0 u + 56 u + u + 16 − u + 16 u + 9


5
5
5

.
 0 1 0

0
0
0




2
2
 0 0 0

u +1
0
u +1
1
0
0
0
0
0
§3. Un exemple
181
Sur la ligne 2, on utilise les coefficients en position (2, 6) et (2, 5), et l’on
applique la procédure QuoPivCol, qui nous donne la matrice A4 :
 0 0 5

0
0
0











0
0
0
−7 u2 − 2
0
0
0
u3 + 56 u2 + u + 16
5
0
1
0
0
0
0
1
0
0
u2
−
u2 + 16 u + 9
5
0
0
+1
0
0
0
5
2
−
2u + 1




3
2
−4 u + 3 u − 4 u + 43 
.
10


0


2

u +1
0
On utilise ensuite le pivot − 5 en position (2, 6), et l’on obtient des ma2
trices A5 , V5 , W5 , avec
 0 0 5

0
0
0





A5 = 





−
5
2
0
0
0
0
0
0
0
0
f34 (u)
f35 (u)
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
4 u3 + 2 u2 + 4 u + 2
5
0
1
0
0
0
0
−
14 u4 + 13 u2 − 1
5
0





,





28 u5 − 21 u4 + 41 u3 − 27 u2 + 13 u − 6 ,
où f34 (u) =
25
8 u4 + 2 u3 − 10 u2 + 2 u − 2
et f35 (u) = −
·
25
Sur la ligne 5, on utilise les coefficients en position (5, 4) et (5, 5), et l’on
applique la procédure QuoPivCol, qui nous donne la matrice A6 dont nous
donnons la sous-matrice extraite sur les lignes 3 et 5 et les colonnes 4 et 5
 3

4
3
2
2


u −u +u−1
10
−8 u + 2 u − 10 u + 2 u − 2
25
u2 + 1
−
2
4 u3 + 2 u2 + 4 u + 2
5
.

u2 + 1
Enfin, le coefficient −
en position (5, 4) peut servir de pivot pour
2
sa ligne et sa colonne. En utilisant les procédures QuoPivCol et QuoPivLi,
nous obtenons finalement la matrice A8







L F C = A8 = 




0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−
u2
+1
2
0
−
4 (u4
0
0
0
5
2
0




0 
,
0 


0 
0
0
2u2
+
25
0
+ 1)
182
VII. Structure d’un endomorphisme
avec L = V8 , et

L−1
1

0

 u+8


5
= W8 = 
0




1
4 u3
−
0
0
9
0
41 + u

1
0
u
0
6u + 4
1
14
0
1





.




3 u2
+ 4 u − 43
25
0
2 (u2 + 1)
−
5
0
0
−u + 1
5
0
58
0
0
8
1
40
0
−1
0
1
6
Exprimé sur la base (w1 , . . . , w6 ) de Q[u] formée par les colonnes de W8 ,
l’endomorphisme ψ = uIn − ϕ est représenté par la matrice A8 , donc l’image
de ψ est égale à
Q[u]w1 ⊕Q[u]w2 ⊕(u4 +2u2 +1)Q[u]w3 ⊕Q[u]w4 ⊕(u2 +1)Q[u]w5 ⊕Q[u]w6 .
Or, l’espace vectoriel Q6 , vu comme Q[u]-module via l’action de ϕ, est
isomorphe à Coker ψ.
Donc, lorsque l’on substitue F à u, les vecteurs w1 , w2 , w4 , w6 seront
certainement évalués nuls, les vecteurs w3 et w5 seront évalués non nuls, et
le système
B = w3 , ϕ(w3 ), ϕ2 (w3 ), ϕ3 (w3 ), w5 , ϕ(w5 )
sera une base de Q6 par rapport à laquelle l’endomorphisme ϕ est la
matrice G donnée au départ, en forme réduite de Frobenius pour les polynômes (u2 + 1)2 et u2 + 1. C’est ce qui est confirmé par le calcul. La base B
est donnée par les colonnes de la matrice Q suivante :


0 −5 −10
0
1 −2


 0 0
5
−10 0
2 




32 
9
 1 −8 −21 18
−5 
5

Q=
.
 0 0 −10 −5 0 −2 




 0 −5
0
5
2 −1 


0
0
10
5
0
3
Et le calcul donne bien le résultat attendu Q−1 F Q = G : en effet, les
mathématiques de Q[u] ne sont pas contradictoires, et le logiciel de calcul
formel exécute correctement les algorithmes fournis par notre théorie.
Remarques
1) La matrice de passage obtenue est (( bien meilleure )) que celle donnée
par Maple, du moins si l’on prend comme critère la taille des coefficients.
2) Notre exemple a été fabriqué avec une matrice de passage dans SL6 (Z),
mais nous n’avons pas récupéré un aussi bon résultat. De façon générale,
§4. Géométrie d’un endomorphisme, premiers pas
183
c’est un problème difficile de déterminer s’il existe une matrice de passage
dans SLn (Z) pour ramener une matrice de Mn (Z) à sa forme de Frobenius
sur Q.
4. Géométrie d’un endomorphisme, premiers
pas
Une fois que l’on sait que deux endomorphismes d’un espace vectoriel de
dimension finie sont semblables si, et seulement si, ils ont les mêmes invariants de similitude, donc la même forme réduite de Frobenius, il semble
que l’essentiel soit dit en terme de géométrie d’un endomorphisme.
Cette section et les suivantes montrent qu’il faut modérer cet enthousiasme
et qu’il y a encore beaucoup de belles choses à découvrir. Nous aurons
besoin pour cela de quelques outils classiques, que nous introduirons au fur
et à mesure de nos besoins.
Dans cette section et les suivantes, K désignera toujours un corps et A un
anneau commutatif.
Pour exécuter sans risque les algorithmes proposés, il est nécessaire que
la disjonction (( x = 0 ou ∃y avec 1 = xy )) soit explicite sur le corps K
considéré. Ce n’est par exemple pas le cas avec le corps des réels ou celui des
complexes, comme le savent bien celles qui pratiquent l’analyse numérique.
Commentaire. Les théorèmes 2.1 et 2.5 ramènent l’étude de l’endomorphisme ϕ de V à celle du K[X]-module Vϕ . Le lecteur pourra vérifier que dans la
suite du chapitre, la plupart des énoncés ont une forme équivalente plus générale qui s’applique à n’importe quel module de présentation finie de torsion
d’un anneau principal. Il faut seulement traduire certaines expressions dans
les énoncés où interviennent des endomorphismes g(ϕ), depuis le langage
des K-espaces vectoriels vers le langage de K[X]-modules :
– le sous-espace stable W est traduit en (( le sous-module W )) ;
– le polynôme minimal de v pour ϕ est traduit en (( l’idéal annulateur
de v )), c’est-à-dire (0V : v)K[X] ;
– l’endomorphisme g(ϕ) est traduit en (( l’homothétie v 7→ g · v )) ;
– le sous-espace stable Ker g(ϕ) est traduit en (( le sous-module annulateur
de g )), c’est-à-dire (0V : g)V ;
– le sous-espace stable Im g(ϕ) est traduit en (( le sous-module g · V )) ;
– etc.
184
VII. Structure d’un endomorphisme
Restriction et extension du corps de base
L’algorithme qui construit une base pour la forme normale de Frobenius
d’un endomorphisme ϕ de V ' Kn est un algorithme (( rationnel )) : il part
d’une matrice A de ϕ sur une base arbitraire de V , et construit une nouvelle
base en utilisant uniquement les opérations arithmétiques du corps et le test
à 0. En conséquence, si K1 est le corps engendré par les coefficients de A,
tous les calculs se passent dans K1 . Les invariants de similitude (f1 , . . . , fk )
sont des éléments de K1 [X], et si K0 est le corps engendré par les coefficients
des fi , ce corps K0 est le plus petit sous-corps de K sur lequel on puisse
trouver une matrice qui possède les mêmes invariants de similitude.
Le fait que les invariants de similitude caractérisent le type de ϕ à conjugaison près (le type d’isomorphisme de ϕ) admet donc la conséquence facile,
mais importante, suivante.
4.1. Théorème. (Similitude et extension du corps de base)
Soient A et B deux matrices dans Mn (K) et soit K1 le sous-corps engendré
par les coefficient de A et B. On considère enfin un surcorps arbitraire L
de K1 . Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Les matrices A et B ont les mêmes invariants de similitude.
2. Les matrices A et B sont semblables sur K1 i.e. conjuguées par un
élément P de GLn (K1 ) .
3. Les matrices A et B sont semblables sur K.
4. Les matrices A et B sont semblables sur L.
Endomorphismes de petit rang et forme de Frobenius
Pr−1
La matrice compagne Mf d’un polynôme f (X) = X r − j=0 aj X j de
degré r est de rang r si f (0) 6= 0, et de rang r − 1 si f (0) = 0, car on a4 :


0 ··· ··· ··· 0
a0
..
 1 ...
.
a1 



.
.. 
.
.
..
 0 .. ..
. 


Mf =  . .
.
.. 
 ..
. . . . . . . . ...
. 


 ..

.. ..
 .
.
. 0 ar−2 
0 ···
···
0
1
ar−1
Nous notons (f1 , . . . , fk ) les invariants de similitude de A ∈ Mn (K)(5 ). La
remarque initiale nous donne les résultats suivants.
4. La réduction de Frobenius implique en particulier que le degré du polynôme minimal
de A, qui est la taille du dernier bloc, est majorée par 1 + rg(A).
5. Avec f1 | · · · | fk et fk est le polynôme minimal νA .
§4. Géométrie d’un endomorphisme, premiers pas
185
1. Si rg(A) = 1 et n > 2, on a (f1 , . . . , fk ) = (X, . . . , X, X 2 − aX) ; de
plus, le scalaire a n’est autre que la trace. On constate ainsi que deux
matrices de rang 1 sont semblables si, et seulement si, elles ont même
trace. Notons enfin que la matrice A de rang 1 est diagonalisable si, et
seulement si, sa trace est non nulle.
2. Si rg(A) = 2 et n > 3, les premiers fi sont égaux à X, et les autres
invariants de similitude sont ou bien (X 2 − aX, X 2 − aX), ou bien
(X 3 − aX 2 − bX). En particulier, la classe de similitude de A est caractérisée par n et νA . Autrement dit, deux matrices de Mn (K) de
rang 2 sont semblables si, et seulement si, elles ont le même polynôme
minimal.
3. Si rg(A) = 3 et n > 4, les premiers fi sont égaux à X, et les autres
invariants de similitude sont ou bien (X 2 − aX, X 2 − aX, X 2 − aX), ou
bien X 2 − aX, (X 2 − aX)(X − b) , ou bien (X 4 − aX 3 − bX 2 − cX).
Dans le cas où le polynôme minimal est de degré 2 ou 4, il caractérise
pour de telles matrices leur classe de similitude. En revanche, lorsque
le polynôme minimal est degré
3, il y a ambiguïté entre les deux
cas
X(X − a), X(X − a)(X − b) et X(X − b), X(X − a)(X − b) .
Remarque. Si l’on note ϕ
b l’endomorphisme
induit par ϕ sur son image
Im(ϕ), on a clairement νϕ̂ (ϕ) ϕ(v) = 0 pour tout v ∈ V , de sorte que
νϕ (X) divise Xνϕ̂ (X). En conséquence, le polynôme minimal de ϕ est égal
au polynôme minimal de ϕ
b ou bien au produit de ce dernier par X. On
retrouve en particulier que le degré de νϕ (X) est au plus 1 + rg(ϕ).
Critère de diagonalisabilité
4.2. Théorème. Pour qu’un endomorphisme ϕ soit diagonalisable, il faut
et suffit que son polynôme minimal soit un produit sans carré de facteurs
linéaires.
Démonstration. La condition
clairement nécessaire. Si elle est réalisée, et
Qest
r
le polynôme minimal égal à i=1 (X − ai ) (avec les ai deux à deux distincts),
le lemme des noyaux nous dit que V est somme directe des Ker(ϕ − ai IdV ),
c’est-à-dire somme directe des sous-espaces propres.
Remarque. Voici une autre démonstration, nettement plus savante, qui ne
semble pas utiliser le lemme des noyaux même de manière cachée.
Considérons les invariants de
Qrsimilitude f1 , . . ., fk , le dernier étant égal au
polynôme minimal. Si fk =Q i=1 (X − ai ) (avec les ai deux à deux distincts),
on a nécessairement fj = i∈Lj (X − ai ) avec ∅ =
6 L1 ⊆ · · · ⊆ Lk = J1..rK.
Alors, ϕ admet les mêmes invariants de similitude que la matrice diagonale
qui admet le même polynôme caractéristique que ϕ (voir l’exercice 5). Les
deux matrices sont donc semblables, et donc ϕ admet une base de vecteurs
propres.
186
VII. Structure d’un endomorphisme
5. Utilisation du lemme des noyaux
Rappelons le lemme des noyaux V -5.8, valable pour tout anneau A et
tout A-module V .
Lemme des noyaux. Soit ϕ un endomorphisme du A-module V et soit
p ∈ A[X] un polynôme vérifiant p(ϕ) = 0. On suppose que p = p1 × · · · × p` ,
avec les pi deux à deux comaximaux.
Q
Notons Ki = Ker pi (ϕ) , qi = j6=i pj et Li = Ker qi (ϕ) . Alors, on a les
résultats suivants.
1. Le A-module V se décompose comme somme directe des sous-modules Ki ,
et plus précisément
L
L`
V = j=1 Kj , Ki = Im qi (ϕ) , Li = Im pi (ϕ) = j6=i Kj .
2. Pour chaque i, le sous-module Ki est stable par ϕ ; de plus, si ϕi est
l’endomorphisme induit par ϕ sur Ki , on a pi (ϕi ) = 0.
3. Pour chaque i, la projection πi sur Ki parallèlement à la somme directe
des autres Kj s’exprime comme un polynôme en ϕ.
4. Tout sous-module N stable par ϕ est somme directe des modules Ni
définis par Ni = N ∩ Ki .
Rajoutons les précisions suivantes concernant les invariants de similitude
dans le cas d’un endomorphisme ϕ de V ' Kn , avec A = K[X] et
le A-module Vϕ .
5.1. Lemme. Dans le lemme des noyaux précédent, si h = νϕ (le polynôme
minimal) et h = h1 × · · · × h` , on a hi = νϕi pour chaque i. En outre, le
Q`
polynôme caractéristique est donné par l’égalité χϕ = j=1 χϕj .
Démonstration. Concernant les polynômes minimaux νϕi ils sont deux à
deux étrangers car ils divisent les hi ; donc leur ppcm, qui est égal à νϕ , est
Q`
Q`
égal à leur produit. Enfin, l’égalité j=1 hj = j=1 νϕj force les égalités
des facteurs hj = νϕj .
Q`
Quant à l’égalité χϕ = j=1 χϕj , elle résulte du calcul du déterminant d’une
matrice diagonale par blocs.
5.2. Lemme. On reprend les notations ci-dessus avec h = νϕ .
Si (f1 , . . . , fk ) est la liste des invariants de similitude de ϕ, alors, pour
chaque i ∈ J1..`K, la liste des invariants de similitude de ϕi est donnée par
pgcd(hi , f1 ), . . . , pgcd(hi , fk ) ,
en supprimant les 1 qui se trouvent éventuellement au début de la liste.
Démonstration. Voir l’exercice VI -9.
§5. Utilisation du lemme des noyaux
187
Factorisation partielle d’une famille de polynômes
On rappelle que l’algorithme d’Euclide permet de calculer le pgcd unitaire
de deux polynômes unitaires dans K[X] lorsque K est un corps.
5.3. Proposition et définition. On dispose d’un algorithme de factorisation partielle pour les familles finies de polynômes unitaires dans K[X] :
une factorisation partielle pour une famille finie (f1 , . . . , fr ) est donnée par une famille finie (g1 , . . . , gs ) de polynômes unitaires deux à deux
étrangers et par l’écriture de chaque fi sous la forme
Ys
m
fi =
gk k,i (mk,i ∈ N).
k=1
La famille (g1 , . . . , gs ) s’appelle alors une base de factorisation partielle
pour la famille (f1 , . . . , fr ).
Démonstration. Si les fi sont deux à deux étrangers, il n’y a rien à faire.
Sinon, supposons par exemple que l’on ait
pgcd(f1 , f2 ) = h0 , f1 = h0 h1 et f2 = h0 h2 avec deg(h0 ) > 1.
On remplace la famille (f1 , . . . , fr ) par la famille (h0 , h1 , h2 , f3 , . . . , fr ). On
note que la somme des degrés a diminué. On note aussi que l’on peut
supprimer dans la liste les polynômes égaux à 1, ou les occurrences multiples
d’un même polynôme (tous les polynômes sont unitaires).
L’algorithme procède par étapes. Il consiste à examiner si toutes les paires
dans la liste fournie à l’étape précédente sont étrangères. Si ce n’est pas le
cas, on fait subir à une paire non étrangère de la liste le traitement indiqué
juste avant pour la paire (f1 , f2 ). Comme la somme des degrés diminue à
chaque étape, l’algorithme aboutit au résultat souhaité en un nombre fini
de calculs.
Remarque. La lectrice est invitée à écrire, dans son logiciel de calcul formel
préféré, un algorithme qui prend en entrée une liste (f1 , . . . , fr ) arbitraire,
et qui donne en sortie, d’une part la liste (g1 , . . . , gs ), et d’autre part la
matrice formée par les entiers mk,i (k ∈ J1..sK, i ∈ J1..rK).
Se ramener au cas où les invariants de similitude sont
des puissances d’un même polynôme
Dans le cas où V = Kn et ϕ ∈ EndK (Kn ), on peut calculer la liste des
invariants de similitude6 (f1 , . . . , fk ). On peut calculer ensuite une base de
factorisation partielle7 (h1 , . . . , h` ) pour (f1 , . . . , fk ).
6. En particulier, fi divise fi+1 et fk est le polynôme minimal de ϕ.
7. Si le corps est parfait, ou si sa caractéristique est supérieure à tous les deg(fi ), on
peut même calculer une (( factorisation sans carrés )) (voir l’exercice 7.11). Si le corps
possède un algorithme de factorisation totale des polynômes, on peut aussi prendre
pour hi les facteurs irréductibles du polynôme minimal.
188
VII. Structure d’un endomorphisme
Il est clair que tous les hj figurent avec un exposant > 1 dans fk . Le
Q`
polynôme minimal fk = νϕ annule ϕ et divise une puissance de i=1 hi .
Ainsi, nous obtenons la décomposition suivante en appliquant le lemme des
noyaux.
5.4. Lemme. À partir de la matrice de ϕ, on peut calculer des polynômes hi
et des entiers mi > 0 qui satisfont les propriétés suivantes.
Q`
i
1. Les hi sont deux à deux étrangers, et νϕ = i=1 hm
i .
n
i
2. V = K1 ⊕ · · · ⊕ K` avec Ki = Ker hm
i (ϕ) = Ker hi (ϕ).
3. En notant ϕi l’endomorphisme de Ki induit par ϕ, les invariants de
similitude de ϕi sont tous des puissances de hi .
Démonstration. Seul le point 3 demande une explication. Or, il résulte
clairement du lemme 5.2.
On notera que le calcul proposé avant l’énoncé est rationnel, au sens où il se
déroule entièrement dans le corps engendré par les coefficients de la matrice
de ϕ.
Les endomorphismes satisfaisant à l’hypothèse du corollaire qui suit sont les
endomorphismes semi-simples dont l’étude sera poursuivie dans la section 7.
5.5. Corollaire. Supposons que le polynôme minimal de ϕ ne soit divisible
par aucun carré (de degré > 1). Alors, à partir de la matrice de ϕ, on peut
calculer des polynômes hi qui satisfont les propriétés suivantes.
Qr
1. Les hi sont deux à deux étrangers, et νϕ = i=1 hi .
2. V = K1 ⊕ · · · ⊕ K` avec Ki = Ker hi (ϕ).
3. On note ϕi l’endomorphisme de Ki induit par ϕ, et Ki l’anneau K[ϕi ],
qui est isomorphe à K[X]/hhi i. Alors, chaque Ki est un Ki -module
libre.
Démonstration. Seul le point 3 demande une explication. Par construction,
les invariants de similitude de ϕi sont tous égaux à hi . Cela signifie que ϕi
est représenté par une matrice diagonale par blocs, avec chaque bloc égal
à Mhi . S’il y a ri blocs, cela signifie que Ki est un Ki -module libre de
rang ri .
6. Endomorphismes cycliques et sous-espaces
stables
Un endomorphisme ϕ de V ' Kn est dit cyclique si le K[X]-module Vϕ
est cyclique. Des propriétés équivalentes sont les suivantes.
– Il y a un x ∈ V tel que K[ϕ] · x = V .
§6. Endomorphismes cycliques et sous-espaces stables
189
– La matrice de ϕ sur une K-base de V est semblable à la matrice
compagne de son polynôme caractéristique χϕ .
– L’endomorphisme ϕ n’a qu’un seul facteur invariant.
– Le polynôme minimal est égal au polynôme caractéristique : χϕ = νϕ .
Pour un endomorphisme ϕ arbitraire, mais fixé par le contexte, un sous-espace vectoriel stable W de V est dit cyclique si l’endomorphisme de W induit
par ϕ est cyclique ; autrement dit, si Wϕ est un K[X]-module cyclique.
L’existence d’une forme normale de Frobenius pour un endomorphisme
arbitraire implique entre autres que V est une somme directe de sousmodules cycliques.
6.1. Lemme. Le fait qu’une matrice carrée représente un endomorphisme
cyclique est indépendant du (( corps de base )) considéré (la seule contrainte
est que ce corps doit contenir les coefficients de la matrice).
Démonstration. Les deux polynômes χϕ et νϕ ne dépendent pas du corps de
base considéré, et leur égalité caractérise les endomorphismes cycliques. Nous allons nous intéresser aux sous-espaces stables de V lorsque l’endomorphisme ϕ est cyclique. Cela a déjà été largement traité dans l’exercice V -15.
Il y est question d’un domaine de Bezout A, d’un élément a ∈ A∗ et de la
description des sous-A-modules de type fini de A et de A/hai. Dans notre
cadre, il faut prendre
A = K[X], a = χϕ , et V = K[ϕ] · x ' K[X]/hχϕ i = A/hai .
Voici, à très peu près, ce que l’on a écrit dans la correction de l’exercice.
On sait que les sous-A-modules de type fini de A (i.e. les idéaux de type
fini de A) sont tous de la forme cA, et que l’idéal cA détermine de manière
unique la classe de c modulo l’association (dans A/A× ).
En outre, cette bijection de A/A× vers l’ensemble des idéaux de type fini
de A transforme ppcm, pgcd et produit en intersection, somme et produit.
On en déduit qu’il y a une correspondance bijective entre les diviseurs
de a (vus dans A/A× ) et les sous-A-modules de type fini de A/hai. Cette
bijection transforme ppcm et pgcd en intersection et somme, et fonctionne
comme suit
(
b (A/hai) ' bA/aA
b diviseur de a ←→
sous-A-module de type fini de A/hai.
À gauche, on voit b comme un élément de A/A× : seule compte la classe
d’équivalence de b pour la relation d’association. Si a = bc, on a, en identifiant V et A/hai d’une part, x et la classe de 1 dans A/hai d’autre part :
(0V : bx)A = cA, (0V : b)V = c (A/hai) = A cx et b (A/hai) ' A/hci .
Nous donnons maintenant la transcription de ces résultats dans le contexte
présent.
190
VII. Structure d’un endomorphisme
6.2. Fait. Soit ϕ un endomorphisme cyclique d’un K-espace vectoriel V de
dimension n et soit x ∈ V tel que V = K[ϕ] · x.
1. Tout sous-espace stable W de type fini s’écrit f · V = K[ϕ] · (f · x),
pour un (unique) diviseur unitaire f du polynôme caractéristique χϕ .
En particulier, W est un sous-espace cyclique.
2. En notant g = χϕ /f , on a dim W = deg g et plus précisément,
W = Im f (ϕ) = Ker g(ϕ) et νf ·x,ϕ = g.
3. L’application f 7−→ f · V est une bijection entre les diviseurs unitaires
de χϕ et les sous-espaces vectoriels stables de type fini.
4. Cette bijection transforme pgcd et ppcm en somme et intersection.
Remarque. Le lecteur a sans doute été un peu surpris par l’énoncé des
points 1 et 3, car l’on omet en général la précision selon laquelle le sousespace vectoriel doit être de type fini. Tous les sous-espaces vectoriels d’un
espace vectoriel de dimension finie sont en effet réputés avoir une base.
Mais il n’est pas vrai que l’on sache construire une base (ou, ce qui revient
ici au même, un système générateur fini) pour un sous-espace vectoriel
(( arbitraire )) d’un espace vectoriel donné de dimension finie. Ainsi, lorsque
l’on omet cette précision, on perd le caractère algorithmique du résultat.
En bref, pour un sous-espace vectoriel stable (( arbitraire )), personne ne sait
construire le diviseur f de χϕ correspondant.
Nouvelles formes réduites
Nous donnons maintenant une description purement matricielle des propriétés énoncées dans le fait 6.2.
Examinons tout d’abord ce qui se passe lorsque χϕ = f g, pour deux polynômes unitaires de degrés d et ` > 1. Nous notons B`,d la matrice suivante :
B`,d =
0
1
0
0
∈ M`,d (K).
6.3. Fait. Si ϕ est cyclique avec χϕ = f g, si deg(f ) = d > 1 et si deg(g) = ` > 1,
alors on a des formes réduites de matrices comme suit.
1. Sur une base convenable, l’endomorphisme ϕ admet pour matrice
Mf
0
,
B`,d Mg
et l’on a
– Ker g(ϕ) = Im f (ϕ) et Ker f (ϕ) = Im g(ϕ) ;
– dimK Ker g(ϕ) = deg(g) et dimK Ker f (ϕ) = deg(f ).
§6. Endomorphismes cycliques et sous-espaces stables
191
2. Si f et g sont étrangers, on a V = Ker g(ϕ) ⊕ Ker f (ϕ), et l’endomorphisme admet également (sur une base différente) la matrice
Mf
0
.
0
Mg
3. Si y ∈ V et νy,ϕ = g, alors K[ϕ] · y = Ker g(ϕ) = Im f (ϕ).
Démonstration
1. Considérons une base (x1 , . . . , xn ) sur laquelle la matrice de ϕ est la
matrice compagne Mf g . On a xi+1 = X · xi = ϕ(xi ) pour i < n.
Pd−1
Notons d = deg(f ) et écrivons f (X) = X d − j=0 aj X j .
Considérons un nouveau système (y1 , . . . , yn ) défini comme suit :
– y1 := x1 , . . ., yd := xd = X · yd−1 ;
Pd−1
– yd+1 := f · y1 = f (ϕ)(y1 ) = xd+1 − j=0 aj xj+1
= X · yd −
Pd−1
j=0
aj yj+1 ,
Pd−1
de sorte que ϕ(yd ) = X · yd = yd+1 + j=0 aj yj+1 ;
– yd+2 := X · yd+1 , . . ., yn := X · yn−1 .
Pk−1
Par construction, chaque yk s’exprime sous la forme xk + `=1 bk,` x` , donc
le nouveau système est une base triangulaire par rapport à la précédente.
Et, il est clair que la matrice de ϕ par rapport à cette nouvelle base est la
matrice annoncée, puisque g · yd+1 = g · (f · y1 ) = (g · f ) · x1 = 0.
Les matrices de f (ϕ) et g(ϕ) pour cette base sont alors de la forme
0
g(Mf )
0
f (ϕ) :
0
et g(ϕ) :
D
f (Mg )
,
C
0
ce qui montre que dim Ker g(ϕ) > ` et dim Im f (ϕ) 6 `. Comme les deux
espaces sont égaux8 (fait 6.2), ils sont de dimension `.
Même chose pour Ker f (ϕ) et Im g(ϕ).
8. Pour la lectrice sceptique, voici de nouveau l’argument, précisé dans le contexte
présent. D’une part, f · V = Im f (ϕ) est contenu dans Ker g(ϕ), car g · (f · V ) = gf · V = 0.
D’autre part, soit y ∈ Ker g(ϕ). Puisque ϕ est cyclique, écrivons y = h · x et montrons
que y ∈ f · V . En effet, g(h − f ) · x = g · y − gf · x = 0, donc g(h − f ) est multiple
de νx,ϕ = gf , donc h − f est multiple f , donc h = f q et y = f · z pour z = q · x.
192
VII. Structure d’un endomorphisme
2. D’après le lemme des noyaux, on a
V = Ker f (ϕ) ⊕ Ker g(ϕ) = K1 ⊕ K2 .
D’après le point 1, dim(K1 ) = deg(f ) et dim(K2 ) = deg(g). Notons ϕ1
et ϕ2 les endomorphismes de ces sous-espaces induits par ϕ. Le polynôme
minimal νϕ1 divise f , et νϕ2 divise g.
Comme νϕ est le ppcm de νϕ1 et νϕ2 , et comme f et g sont étrangers, on
obtient νϕ1 = f et νϕ2 = g. Ainsi, ϕ1 et ϕ2 sont cycliques et admettent les
matrices Mf et Mg sur des bases convenables de K1 et K2 .
3. D’après le fait 6.2.
On peut itérer le processus décrit dans le point 1 du fait 6.3 et, par exemple,
si χϕ = f12 f2 avec des polynômes de degrés 3 et 2, on aura une matrice
pour ϕ, semblable donc à Mχϕ , de la forme suivante (les points ou les blancs
représentent des 0)


· · a
 1 · b





 · 1 c





1 · · a


.



1 · b




· 1 c





1 · d 
1 e
Si χϕ est une puissance d’un polynôme X − a, on obtient de cette manière
un bloc de Jordan classique (inversez l’ordre des vecteurs de base si vous
voulez faire passer les 1 au dessus de la diagonale)


a · · · · ·
 1 a · · · · 




 · 1 a · · · 


 · · 1 a · · .




 · · · 1 a · 
·
·
·
·
1
a
Forme réduite lorsque le polynôme caractéristique d’un endomorphisme cyclique est une puissance
On considère un endomorphisme cyclique ϕ et l’on suppose que χϕ = f k
pour un polynôme f , avec k > 2. Ce qui suit généralise un résultat habituel
pour les blocs de Jordan qui correspondent au cas où deg(f ) = 1 .
§6. Endomorphismes cycliques et sous-espaces stables
193
6.4. Lemme. On prend les hypothèses ci-dessus et deg(f ) = `.
1. L’endomorphisme cyclique ϕ admet sur une base convenable une matrice
triangulaire par blocs ∈ M` (K) du type suivant (ici k = 5)


Mf ·
·
·
·


·
· 
 B Mf ·


 · B Mf ·
· 

,


· B Mf · 
 ·
·
·
· B Mf
avec B = B`,` et les (( · )) sont mis pour des matrices nulles.
2. La matrice de f (ϕ) sur cette même base est


0` ·
·
·
·
0


·
· 
 I` 0` ·


 · I` 0` ·
· 

=
I(k−1)`


· I` 0 ` · 
 ·
·
·
· I` 0`
0`
0
.
Démonstration
1. Résulte du fait 6.3, par récurrence sur k, en prenant g = f k−1 dans ce
lemme. La base obtenue pour ϕ en fin de compte est une base (y1 , . . . , yn )
telle que
– X · yj = yj+1 pour j 6≡ 0 mod ` ;
– X · y(r+1)` = f · yr`+1 pour r ∈ J0..` − 1K.
2. On obtient alors
– f · yr`+1 = y(r+1)`+1 ;
– si ` > 2, f · y2 = f X · y1 = Xf · y1 = X · y`+1 = y`+2 , . . . ;
– plus généralement, pour 1 6 j < ` et 0 6 r < k :
f · yr`+j = f X j−1 · yr`+1 = X j−1 f · yr`+1 = y(r+1)`+j ;
ce qui donne la matrice voulue pour f (ϕ).
Commutation d’endomorphismes
Le cas le plus simple de deux matrices dans Mn (K) qui ne commutent pas
est sans doute donné par les matrices
0 0
0 1
0 0
1 0
et BA=
.
A=
et B=
, pour lesquelles AB=
1 0
0 0
0 1
0 0
Cela fonctionne d’ailleurs pour
Si l’on veut des matrices A1 et
1
A1 = I2 + A =
1
tout anneau commutatif non trivial.
B1 dans SL2 (K), on prendra
0
1 1
et B1 = I2 + B =
.
1
0 1
194
VII. Structure d’un endomorphisme
Pour ϕ ∈ EndK (V ), nous noterons Com(ϕ) le sous-K-espace vectoriel
de EndK (V ) formé par les ψ qui commutent avec ϕ. On voit facilement
que Com(ϕ) est stable par produit, donc que c’est un sous-anneau, en
général non commutatif, de EndK (V ). Ce sous-anneau est souvent appelé
le commutant de ϕ.
6.5. Proposition. Pour ϕ ∈ EndK (V ) avec V ' Kn , les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. L’endomorphisme ϕ est cyclique.
2. Le commutant Com(ϕ) est égal à K[ϕ].
3. La dimension de Com(ϕ) comme K-espace vectoriel est égale à n.
4. Le commutant Com(ϕ) est un anneau commutatif.
Démonstration. 1 ⇒ 2. Soit ψ un endomorphisme qui commute avec ϕ. On
considère une base (x1 , . . . , xn ) de V sur laquelle la matrice de ϕ est Mχϕ .
En écrivant ψ(x1 ) sur cette base, on obtient ψ(x1 ) = f (ϕ)(x1 ) pour un
polynôme f de degré
< n. Soit g(ϕ) ∈ K[ϕ] ; il commute
avec ψ, donc
ψ g(ϕ)(x1 ) = g(ϕ) ψ(x1 ) = g(ϕ) f (ϕ)(x1 ) = f (ϕ) g(ϕ)(x1 ) .
Ainsi, ψ et f (ϕ) donnent la même image de g(ϕ)(x1 ), qui est un élément
arbitraire de V , donc ψ = f (ϕ).
(1 et 2 ) ⇒ 3 (donc 1 ⇒ 3 ). Comme ϕ est cyclique, la dimension de K[ϕ],
qui est égale au degré de νϕ , est égale à n.
2 ⇒ 4. Clair.
Il reste à montrer que chacun des points 3 et 4 implique que l’endomorphisme est cyclique. Il nous faut pour cela une étude plus précise de Com(ϕ),
donnée dans la proposition 6.6. Ce lemme montre l’implication 3 ⇒ 1.
L’autre implication est renvoyée en exercice.
6.6. Proposition. Soit ϕ un endomorphisme de Kn ayant pour invariants
de similitude (f1 , . . . , fk ). On sait que le K[X]-module Vϕ s’écrit comme
somme directe V1 ⊕ · · · ⊕ Vk , avec Vj = K[ϕ] · zj et νzj ,ϕ = fj . On obtient
alors les résultats suivants.
1. Pour un endomorphisme de V , il revient au même de dire qu’il commute
avec ϕ, ou que c’est un endomorphisme du K[X]-module Vϕ .
2. Un endomorphisme ψ qui commute avec ϕ est entièrement caractérisé
par la donnée des vecteurs uj = ψ(zj ).
3. Les uj en question sont soumis aux seules contraintes fj · uj = 0.
4. Le sous-espace vectoriel Com(ϕ) a pour
P dimension n si ϕ est cyclique ;
sinon, sa dimension est égale à n + j∈J1..k−1K dim Ker fj (ϕ), où chacun des noyaux est non nul.
Plus précisément, en notant dj = deg(fj ) et δj = dim Ker fj (ϕ), on a
Pk
δ1 = kd1 , δ2 = d1 + (k − 1)d2 et, en général, δj = `=1 inf(d` , dj ).
§6. Endomorphismes cycliques et sous-espaces stables
195
5. En tant qu’endomorphisme de Vϕ vu comme K[X]-module, ψ peut se
représenter par une matrice Ψ∈Mk (K[X]) dont les coefficients ψij sont
bien définis modulo fi et soumis aux contraintes fj ψij ≡0modfi .
Démonstration. 1. La relation ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ signifie que pour tout y ∈ V ,
on a X ·ϕ ψ(y) = ψ(X ·ϕ y), c’est-à-dire encore que pour tout f ∈ K[X],
on a f ·ϕ ψ(y) = ψ(f ·ϕ y), autrement dit que ψ est un endomorphisme du
module Vϕ . Cela est d’ailleurs un cas particulier du théorème 2.5.
2. Le K[X]-module Vϕ est engendré par les zj , donc ψ est entièrement défini
par les ψ(zj ) = uj .
3. La condition est nécessaire, car fj ·ϕ zj = 0 implique
fj ·ϕ uj = fj ·ϕ ψ(zj ) = ψ(fj ·ϕ zj ) = ψ(0) = 0.
Montrons qu’elle est suffisante. En effet, lorsque fj ·ϕ uj = 0, le théorème de
factorisation nous dit qu’il y a une application K[X]-linéaire ψj : Vj → V
qui envoie zj sur uj . Ainsi, ψ est bien définie comme endomorphisme de Vϕ .
4. D’après les points précédents, l’espace vectoriel Com(ϕ) = EndK[X] (ϕ)
est caractérisé par la liste des uj , laquelle est un élément arbitraire du
produit des sous-espaces Ker fj (ϕ). La bijection obtenue est un isomorphisme d’espaces vectoriels et le commutant Com(ϕ) admet donc pour
dimension la somme des dimensions de ces noyaux. On note tout d’abord
que Ker fk (ϕ) = V , de dimension n. Comme V est la somme directe des
sous-espaces stables V` , alors pour n’importe quel polynôme f , le sous-espace
Ker f (ϕ) est la somme directe des Ker f (ϕ` ), où chaque ϕ` : V` → V` est
l’endomorphisme induit par ϕ. Enfin, pour j < k, le point 1 de 6.3, appliqué
à l’endomorphisme fj (ϕ` ) du sous-espace cyclique V` , nous donne l’égalité
voulue : dim Ker fj (ϕ` ) = inf(d` , dj ).
5. Pour illustrer l’interprétation matricielle, voyons l’exemple où k = 3. La
matrice F de ψ relativement à la décomposition
Vϕ = V1 ⊕ V2 ⊕ V3 = (K[ϕ] · z1 ) ⊕ (K[ϕ] · z2 ) ⊕ (K[ϕ] · z3 )


g11 g12 g13
est F =  g21 g22 g23 , matrice dans laquelle gij ∈ LK[ϕ] (Vj , Vi ).
g31 g32 g33
Par ailleurs, l’application linéaire gij est avantageusement décrite par un élément ψij ∈ K[X]/hfk i ' K[ϕ] vérifiant gij (zj ) = ψij · zi . D’où la matrice


ψ11 ψ12 ψ13
Ψ =  ψ21 ψ22 ψ23  .
ψ31 ψ32 ψ33
196
VII. Structure d’un endomorphisme
En fait, l’élément ψij est défini modulo fi , car fi · zi = 0 ; autrement dit,
ψij ∈ K[X]/hfi i =: Ki ' K[ϕi ].
En outre, si j < i, alors fj divise fi , ce que l’on écrit fi = fij fj . L’égalité fj · zj = 0 implique fj ψij · zi = 0, c’est-à-dire fj ψij ≡ 0 mod fi . On a
alors ψij = fij θij pour un θij uniquement déterminé modulo fj . En revanche,
si j > i, la contrainte fj ψij ≡ 0 mod fi est automatiquement vérifiée. La
matrice Ψ prend donc la forme


ψ11
ψ12
ψ13
ψ22
ψ23  ,
Ψ =  f21 θ21
f31 θ31 f32 θ32 ψ33
avec des éléments uniquement déterminés ψij ∈ Ki et θij ∈ Kj . En particulier, on voit que la dimension de LK[ϕ] (Vj , Vi ) comme K-espace vectoriel
est égale à inf(di , dj ). Et l’on trouve la dimension annoncée du commutant Com(ϕ).
Sous-espaces stables
6.7. Fait. L’endomorphisme ϕ est cyclique et de polynôme caractéristique
irréductible si, et seulement si, les seuls sous-espaces ϕ-stables sont {0}
et V . Dans ce cas, K[ϕ] est un corps.
Démonstration, laissée au lecteur.
2
Notez que tout surcorps de K qui est un K-espace vectoriel de dimension
finie est isomorphe à un corps de matrices de cette manière.
6.8. Proposition. Les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. L’endomorphisme ϕ est cyclique.
2. Tout sous-espace ϕ-stable de type fini de V est un sous-espace Im f (ϕ),
pour un polynôme f qui divise χϕ .
3. Tout sous-espace ϕ-stable de type fini de V est un sous-espace Ker g(ϕ),
pour un polynôme g qui divise χϕ .
Démonstration. 1 ⇒ 2 et 3. D’après le fait 6.2.
2 ⇒ 1 et 3 ⇒ 1. On suppose que l’endomorphisme ϕ admet plusieurs
invariants de similitude (f1 , . . . , fk ).
On a V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vk , avec
V1 = K[ϕ] · z1 , V2 = K[ϕ] · z2 , . . . ; νz1 ,ϕ = f1 , νz2 ,ϕ = f2 , . . .
Montrons que le sous-espace
stable Vk n’est pas de la forme f · V .
L
En effet, f · V = i f · Vi . Si f · V contient Vk , on a pgcd(f, fk ) = 1. Et,
dans ce cas, f · V = V .
§6. Endomorphismes cycliques et sous-espaces stables
197
Montrons que le sous-espace stable Vk n’est pas de la forme Ker g(ϕ). En
effet, en notant ϕi : Vi → Vi l’endomorphisme induit par ϕ, on a
L
Ker g(ϕ) = i Ker g(ϕi ).
Si Ker g(ϕ) contient Vk , alors le polynôme g est multiple de fk = νϕk . Et,
dans ce cas, on a Ker g(ϕ) = V .
6.9. Lemme. Si K est infini et si ϕ un endomorphisme de Kn , les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. L’endomorphisme ϕ est cyclique.
2. Les sous-espaces ϕ-stables de type fini forment un ensemble fini.
3. Le nombre de sous-espaces ϕ-stables de type fini est majoré par 2n .
Démonstration, laissée à la lectrice.
2
Exercices
Exercice 9. (Une forme réduite pour les matrices réelles)
On reprend les hypothèses du lemme 6.4, avec f (X) = X 2 + 2bX + c, le
corps R, et le discriminant b2 − c < 0.
1. Montrer que la matrice compagne de f est semblable à une (( matrice
cos θ − sin θ
de similitude )) Sf = a
, avec a > 0 et sin θ > 0.
sin θ
cos θ
2. Montrer que la matrice compagne de f k est semblable à une matrice
analogue à celle apparaissant dans le point 1 du lemme 6.4, pour peu
qu’on y remplace Mf par Sf .
Exercice 10. Démontrer l’implication 4 ⇒ 1 dans la proposition 6.5 :
s’inspirer des exemples de base (pour un produit non commutatif de matrices)
donnés page 193.
Exercice 11. Démontrer le fait 6.7.
Exercice 12. Soit ϕ un endomorphisme cyclique du K-espace vectoriel V
et soit f = χϕ . Pour g ∈ K[X] un polynôme arbitraire, calculer
– un diviseur h de f tel que h · V = g · V ;
– les dimensions des espaces vectoriels Im g(ϕ) et Ker g(ϕ).
Exercice 13. Démontrer le lemme 6.9.
Exercice 14. Démontrer que Com Com(ϕ) = K[ϕ], pour tout endomorphisme ϕ.
198
VII. Structure d’un endomorphisme
7. Endomorphismes semi-simples
Un endomorphisme ϕ de V ' Kn est dit semi-simple si tout sous-espace
vectoriel stable de type fini9 est supplémentaire d’un sous-espace stable.
Il s’agit ici d’une notion (( pas très satisfaisante )) dans la mesure où, nous
le verrons, elle n’est pas nécessairement stable par extension du corps de
base. Il va aussi apparaître le problème qu’il n’y a pas d’algorithme général
pour décider si un endomorphisme est semi-simple.
Ce sont là les raisons pour lesquelles nous consacrons une étude détaillée à
cette délicate notion.
Une propriété caractéristique dans un cas particulier
Toute homothétie ηa : x 7→ ax est un endomorphisme semi-simple, car tous
les sous-espaces vectoriels sont ηa -stables.
Par ailleurs, si l’on a une décomposition V = K1 ⊕· · ·⊕Kn en somme directe
de sous-espaces stables Ki = Ker hi (ϕ), obtenue par application du lemme
des noyaux, alors, comme tout sous-espace stable E est somme directe des
sous-espaces Ei = E ∩ Ki (point 4 du lemme des noyaux), on voit que ϕ est
semi-simple si, et seulement si, chacun des endomorphismes ϕi : Ki → Ki
induits par ϕ est semi-simple.
En conséquence, tout endomorphisme diagonalisable est semi-simple.
7.1. Lemme
1. Un endomorphisme nilpotent semi-simple est nul.
2. Un endomorphisme de polynôme caractéristique (X − a)n est semisimple si, et seulement si, c’est l’homothétie ηa : x 7→ ax.
Démonstration. 1. Cas particulier du corollaire 2.4. Le lecteur est invité à
reprendre la démonstration dans ce cas particulier.
2. Même chose.
De cette brève étude, nous pouvons conclure le résultat important qui suit.
7.2. Théorème. Sur un corps algébriquement clos, un endomorphisme est
semi-simple si, et seulement si, il est diagonalisable.
9. Si l’on n’est pas en situation de connaître une base d’un sous-espace stable, il est
bien peu probable que l’on puisse en construire un supplémentaire, stable ou pas. Il est
donc naturel de restreindre le champ d’investigation aux sous-espaces de type fini. Dans
la suite de cette section, nous ne rappellerons plus cette restriction.
§7. Endomorphismes semi-simples
199
Démonstration. Puisque le corps est algébriquement clos, on peut décomposer le polynôme minimal en produit de facteurs linéaires. En appliquant le
lemme des noyaux, on est ramené à la situation du lemme 7.1.
On obtient un critère plus général, pour un corps arbitraire, lorsque l’on
connaît la décomposition du polynôme caractéristique en produit de facteurs
irréductibles.
7.3. Proposition. Sur un corps arbitraire K, on considère
un endomorQ
i
phisme ϕ de V ' Kn dont le polynôme caractéristique i hm
est décomposé
i
en facteurs irréductibles (les hi unitaires deux à deux distincts).
L’endomorphisme ϕ est semi-simple si, et seulement
si, son polynôme miniQ
mal est sans facteur carré, c’est-à-dire égal à i hi .
Démonstration. Le corollaire 2.4 dit que la condition est nécessaire.
Pour montrer qu’elle est suffisante, on applique le lemme des noyaux, ce
qui nous ramène à la situation où il y a un seul hi , que nous notons h.
Le polynôme minimal de ϕ est alors égal à h ; l’anneau K[ϕ], isomorphe
à K[X]/hhi, est un surcorps L de K. En conséquence, Vϕ peut être vu
comme un L-espace vectoriel de dimension n/ deg(h). Les sous-K-espaces
vectoriels ϕ-stables de V sont alors, très exactement, les sous-L-espaces
vectoriels. Tout sous-espace stable admet donc un supplémentaire stable.
Exemple. Soit K un corps de caractéristique finie p et soit a ∈ K. Le
polynôme f = X p − a est irréductible si, et seulement si, l’élément a n’est
pas une puissance p-ième dans K. Lorsque c’est le cas, toute matrice M de
polynôme caractéristique X p − a définit un endomorphisme semi-simple.
Si, au contraire, a = bp pour un b ∈ K, la matrice compagne Mf est
semblable à un bloc de Jordan de taille p (avec b sur la diagonale), et
l’endomorphisme défini par Mf n’est pas semi-simple.
En conclusion, si l’on n’a pas de test pour décider si un élément arbitraire
de K est, ou n’est pas, une puissance p-ième, on n’a pas non plus de test
pour décider si un endomorphisme arbitraire est semi-simple.
Cet exemple est fondé sur le fait qu’un polynôme, en caractéristique finie,
peut être sans facteur carré tout en admettant un facteur carré dans une
extension du corps.
Un résultat algorithmique plus général
La proposition 7.3 laisse un petit goût amer, car elle ne nous dit rien de
clair lorsque l’on ne connaît pas la factorisation complète du polynôme
caractéristique. En particulier, elle ne nous dit pas comment calculer un
supplémentaire stable d’un sous-espace stable si l’on a vérifié que le polynôme minimal est étranger à sa dérivée, et ne peut donc pas admettre de
facteur carré.
200
VII. Structure d’un endomorphisme
Nous présentons maintenant un lemme de nature complètement algorithmique qui contourne d’une manière satisfaisante la difficulté en question.
Il donne un résultat plus général sans aucun goût amer. Ici, la lectrice est
introduite dans les arcanes de l’(( évaluation dynamique )), une méthode
géniale10 inventée dans les années 80 pour contourner les problèmes de
factorisation complète.
7.4. Lemme. Pour un corps arbitraire K, on considère un endomorphisme ϕ de V ' Kn ; soit S un sous-espace stable de V . On peut certifier de
manière algorithmique au moins une des deux alternatives de la disjonction
suivante :
– le sous-espace S admet un supplémentaire stable T , OU
– le polynôme minimal νϕ admet un facteur carré.
Qm
Dans le premier cas, on a décomposé νϕ en un produit j=1 fj de polynômes
deux à deux étrangers, et l’on obtient, en posant
–
–
–
–
Kj = Ker fj (ϕ) et Kj = K[X]/hfj i ,
Lm
S = j=1 Sj , où Sj = S ∩ Kj ;
Lm
T = j=1 Tj , où Tj = T ∩ Kj ;
les sous-espaces Sj et Tj sont des Kj -modules libres de rang fini ;
pour chaque j, Kj = Sj ⊕ Tj .
N.B. : dans le premier cas, on n’affirme pas pour autant que les fj soient
sans facteur carré.
On a comme corollaire immédiat le théorème convoité, sans faire appel à la
factorisation du polynôme minimal. Notons cependant que le théorème 7.5
est moins précis que le lemme 7.4.
7.5. Théorème. Sur un corps arbitraire K, on considère un endomorphisme ϕ de V ' Kn et son polynôme minimal νϕ .
1. Si νϕ admet un facteur carré (de degré > 1), il y a un sous-espace
stable qui n’a pas de supplémentaire stable.
2. Si νϕ n’admet pas de facteur carré, ϕ est semi-simple. Plus précisément,
on dispose d’un algorithme qui calcule un supplémentaire stable pour
n’importe quel sous-espace stable donné par un système générateur fini.
Démonstration. Le point 1 est donné par le corollaire 2.4. Le point 2 résulte
du lemme 7.4.
10. Cette méthode peut être qualifiée de géniale parce qu’elle est de conception simple
et qu’elle révèle des vérités profondes. L’article remarquable dont il est question ici tient
en deux pages ; il s’agit de « Della Dora J., Dicrescenzo C., Duval D. About a new
method for computing in algebraic number fields – Caviness B.F. (Ed.) EUROCAL’ 85,
Lecture Notes in Computer Science 204, 289–290, Springer (1985) ».
§7. Endomorphismes semi-simples
201
Démonstration du lemme 7.4. On commence par calculer les invariants
de similitude de ϕ et ceux de l’endomorphisme ψ : S → S induit par ϕ.
On calcule ensuite une base de factorisation partielle (g1 , . . . , gs ) pour ces
polynômes. Comme νψ divise νϕ , tous les gi divisent νϕ .
S’il apparaît un facteur carré dans νϕ , on a terminé.
Sinon, on applique le lemme des noyaux avec la décomposition de νϕ que
l’on a obtenue. Notons Ki = Ker gi (ϕ) et Si = S ∩ Ki .
Notons aussi ϕi : Ki → Ki et ψi : Si → Si les endomorphismes induits par ϕ.
Notons enfin Ki = K[X]/hgi i = K[xi ] (où xi est la classe de X modulo gi ).
Il suffit de décider la disjonction pour chacun des triplets (Ki , Si , ϕi ).
La liste des invariants de similitude de ϕi est formée de vi polynômes, tous
égaux à gi . Cela signifie que Ki est un Ki -module libre de rang vi .
La liste des invariants de similitude de ψi est la même liste, mais plus courte,
disons de longueur ui . Le sous-espace Si est un Ki -module libre de rang ui .
On regarde désormais Ki sous la forme Kvi i .
Si ui = 0, on pose Ti = Ki , et si ui = vi , on pose Ti = {0}. En dehors de
ces cas simples, on fait l’étude suivante.
Tout élément x ∈ Ki donne un vecteur colonne de Kvi i . Chacune des coordonnées ainsi obtenue est un élément h(xi ) de Ki . En calculant une base de
factorisation partielle pour h et gi , on peut décider que l’une des alternatives
suivantes a certainement lieu :
– h(xi ) = 0, OU
– h(xi ) est inversible, OU
– le polynôme gi se décompose en un produit de plusieurs facteurs.
En bref, ou bien l’on découvre un facteur carré de gi (et l’algorithme se
termine), ou bien gi se décompose en un produit de facteurs deux à deux
étrangers, ce qui ramène le problème à un problème (( plus simple )) (les
degrés des facteurs sont plus petits, et ne descendront jamais en dessous
de 1), ou bien Ki se comporte au cours du calcul comme s’il était un corps.
Ce que nous venons de dire à propos d’un élément arbitraire de Ki , nous
l’appliquons pour une base de Si comme Ki -module. Nous traitons la
matrice obtenue par la méthode du pivot, du moins si Ki veut bien se
comporter comme un corps au cours du calcul, et nous produisons ainsi un
supplémentaire stable Ti , isomorphe à Kvi i −ui , de Si dans Ki .
2
Polynômes séparables
7.6. Définition. Un polynôme f ∈ K[X] est dit séparable lorsqu’il est
étranger à sa dérivée, i.e. lorsque 1 ∈ hf, f 0 i.
L’énoncé suivant est clair.
202
VII. Structure d’un endomorphisme
7.7. Fait
1. Un polynôme est testé séparable par l’algorithme d’Euclide, lequel n’utilise que le sous-corps engendré par les coefficients.
2. En particulier, pour n’importe quel corps L ⊇ K, un polynôme f ∈
K[X] est séparable dans K[X] si, et seulement si, il est séparable dans
L[X].
3. Si un polynôme f est divisible par le carré d’un polynôme h de degré > 1,
alors h divise f et f 0 , donc f n’est pas séparable.
Du point 2, on déduit une caractérisation simple dans un cas particulier
fréquent.
7.8. Lemme. Si l’on a un corps L ⊇ K sur lequel le polynôme f ∈ K[X] se
décompose en facteurs linéaires, la séparabilité de f équivaut au fait que f
n’a pas de racine multiple dans L.
Démonstration. En effet, f est étranger à f 0 si, et seulement si, les deux
polynômes ont pour pgcd 1 dans K[X], ou aussi bien dans L[X], c’est-à-dire
s’ils n’ont pas de racine commune dans L, ou encore si f n’a pas de racine
multiple.
Exemple. On pourrait penser pouvoir déduire du lemme précédent qu’un
polynôme est séparable dans K[X] si, et seulement si, il n’admet pas de
facteur carré. Voici un contre exemple.
Sur le corps Fp (t), le polynôme f (X) = X p − t est irréductible, donc sans
facteur carré, mais il est de dérivée nulle et donc non séparable. En fait, si
1
l’on introduit formellement la racine p-ième de t, notée t p , le corps obtenu
1
1 p
est Fp t p , et l’on a dans ce nouveau corps X p − t = X − t p .
Voici deux propriétés élémentaires rassurantes valables sur tout corps.
7.9. Lemme
1. Tout diviseur d’un polynôme séparable est séparable. Plus généralement,
un produit f = gh est séparable si, et seulement si, les polynômes g
et h sont séparables et étrangers.
2. Le ppcm de deux polynômes séparables est séparable.
Démonstration. 1. Implication directe. Puisque f 0 = gh0 + hg 0 , l’idéal hf, f 0 i
est contenu dans les idéaux hg, hi, hg, g 0 i et hh, h0 i.
1. Implication réciproque. On a hg, g 0 i hg, hi ⊆ hg, g 0 hi = hg, g 0 h + gh0 i.
De même, hh, h0 i hg, hi ⊆ hh, g 0 h + gh0 i. En faisant le produit, il vient :
2
hg, g 0 i hh, h0 i hg, hi ⊆ hg, g 0 h + h0 gi hh, g 0 h + h0 gi ⊆ hgh, g 0 h + h0 gi .
2. Si f et g désignent les deux polynômes séparables, on pose h = pgcd(f, g).
On a f = hf1 , g = hg1 , avec 1 ∈ hf1 , g1 i.
§7. Endomorphismes semi-simples
203
Puisque g est séparable, 1 ∈ hh, g1 i, et donc 1 ∈ hhf1 , g1 i = hf, g1 i.
Les polynômes f et g1 sont séparables, étrangers, donc leur produit, qui
n’est autre que le ppcm de f et g, est séparable.
7.10. Théorème. Sur un corps arbitraire K, tout endomorphisme dont le
polynôme minimal est séparable est semi-simple.
Démonstration. Cas particulier du théorème 7.5 puisqu’un polynôme séparable est sans facteur carré.
En raison du résultat précédent, un endomorphisme dont le polynôme
minimal est séparable est parfois appelé absolument semi-simple.
Factorisation séparable
Pour les corps parfaits, que nous allons introduire, on peut obtenir pour
toute famille de polynômes une base de factorisation partielle formée de
polynômes séparables. Cette factorisation est importante d’un point de vue
algorithmique.
Un corps K est dit de caractéristique > n si n! · 1K est inversible dans K.
Un corps de caractéristique > n pour tout n > 0 est dit de caractéristique
infinie, ou encore de caractéristique nulle. On peut alors le considérer
comme un surcorps de Q.
Pour un corps K de caractéristique finie p (i.e., p est un nombre premier,
et p · 1K = 0), l’application x 7→ xp est un homomorphisme injectif.
Un corps K est dit parfait s’il est de caractéristique infinie, ou si, étant de
caractéristique finie p, le morphisme x 7→ xp est un isomorphisme.
Les corps premiers, en l’occurrence le corps des rationnels Q et les corps Fp
pour p premier, et plus généralement les extensions finies des corps premiers,
sont parfaits.
Le corps non parfait le plus simple est sans doute le corps Fp (t) ; dans ce
corps de caractéristique p, l’élément t n’est pas une puissance p-ième.
7.11. Proposition et définition. (Factorisation séparable)
1. Si K est un corps parfait, on dispose d’un algorithme de factorisation
séparable des listes de polynômes de K[X] au sens suivant.
Une factorisation séparable d’une famille (f1 , . . . , fr ) est donnée par :
– une famille (g1 , . . . , gs ) de polynômes séparables deux à deux étrangers ;
Qs
m
– l’écriture de chaque fi sous forme fi = k=1 gk k,i (mk,i ∈ N).
2. L’algorithme fonctionne également sans supposer le corps parfait lorsque
la caractéristique du corps est supérieure aux degrés de tous les polynômes fi de la famille de départ.
204
VII. Structure d’un endomorphisme
N.B. : sur un corps parfait, on parle indifféremment de factorisation séparable
ou de factorisation sans carré.
Démonstration. 1. On commence par calculer une base de factorisation
partielle (g1 , . . . , gs ) pour la famille (fi )i∈J1..rK (voir la proposition 5.3). Il
suffit d’établir ensuite le résultat suivant.
Pour un polynôme unitaire g ∈ K[X] de degré > 1, on peut calculer une
décomposition de g comme produit de polynômes séparables.
Ce résultat s’établit par récurrence sur le degré de g. Concernant le polynôme g, trois possibilités se présentent :
– ou bien g 0 = 0, on l’écrit sous forme g = h(X p ) = h1 (X)p et l’on
applique l’hypothèse de récurrence avec le polynôme h1 ;
– ou bien g est séparable (par exemple, s’il est de degré 1) ;
– ou bien le polynôme h = pgcd(g, g 0 ) est un diviseur strict, de degré
> 1, de g ; on écrit g = hq, et l’on applique l’hypothèse de récurrence à
h et q.
2. L’algorithme fonctionne à l’identique si l’on traite une famille de polynômes de degrés inférieurs à la caractéristique du corps, à ceci près que l’on
ne tombe jamais sur le cas d’un polynôme de dérivée nulle.
Exercices
Exercice 15. On s’intéresse à la propriété suivante de l’endomorphisme ϕ.
(( Chaque fois que f g = νϕ , on a Ker f (ϕ) = Im g(ϕ) )).
Comme Im g(ϕ) ⊆ Ker f (ϕ), l’égalité des dimensions implique l’égalité des
sous-espaces.
1. Montrer que la propriété est vérifiée si l’endomorphisme ϕ est semi-simple,
s’il est cyclique, ou si tous les invariants de similitude de ϕ sont égaux.
2. Donnez un exemple où la propriété n’est pas vérifiée.
Exercice 16
1. Si K est un corps parfait, un polynôme f est séparable si, et seulement
si, il est sans facteur carré.
2. Si K est un corps de caractéristique supérieure au degré de f , le
polynôme f est séparable si, et seulement si, il est sans facteur carré.
8. Décomposition de Jordan-Chevalley
Le théorème 8.5, qui donne la version algorithmique de la décomposition
d’un endomorphisme en somme d’un endomorphisme semi-simple et d’un endomorphisme nilpotent qui commutent, semble avoir établi pour la première
fois par Claude Chevalley. Mais cette décomposition, qui dans le cas d’un
§8. Décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford
205
corps algébriquement clos remonte à Jordan (et à sa forme réduite), est
souvent appelée (( décomposition de Dunford )). Pour quelques détails supplémentaires, on pourra consulter l’article suivant.
Couty D., Esterle J., Zarouf R. Décomposition effective de JordanChevalley. Gazette des mathématiciens no 129, juillet 2011.
Méthodes d’analyse en algèbre
En analyse, la méthode de Newton pour approcher un zéro d’une fonction
différentiable f : R → R est la suivante. On part d’un point x0 qui est
(( proche d’une racine )), en lequel la dérivée est (( loin de 0 )) et l’on construit
une suite (xm )m∈N par récurrence en posant
f (xm )
·
f 0 (xm )
La méthode se généralise pour un système de p équations à p inconnues.
Une solution d’un tel système est un zéro d’une application f : Rp → Rp .
On applique (( la même formule )) que ci-dessus :
xm+1 = xm −
xm+1 = xm − f 0 (xm )−1 · f (xm ),
où f 0 (x) est la différentielle (la matrice jacobienne) de f au point x ∈ Rp ,
laquelle doit être inversible dans un voisinage de x0 .
Cette méthode, comme d’autres méthodes du calcul infinitésimal, s’applique
dans certains cas également en algèbre, en remplaçant les infiniment petits
leibniziens par des éléments nilpotents.
8.1. Théorème. (Méthode de Newton en algèbre, en une variable)
p
Soient f ∈A[X] et a∈A. Soit a un idéal tel que f (a)∈a⊆ A h0i et f 0 (a)∈A× .
1. Posons a1 = a − f 0 (a)−1 f (a) ; alors, f (a1 ) ∈ a2 et f 0 (a1 ) ∈ A× .
2. En outre, a1 donne l’unique élément de A/a2 qui annule f et qui est
congru à a modulo a2 .
3. On peut définir par récurrence une suite (xn )n∈N comme suit :
x0 := a et xm+1 := xm − f 0 (xm )−1 f (xm ).
Cette suite converge vers un zéro x de f en un nombre fini d’étapes.
4. En outre, x est l’unique élément de A qui annule f et qui est congru à a
modulo a.
k
5. Si f (a)2 = 0, l’algorithme de Newton décrit au point 3 converge en k
étapes.
Démonstration
1 et 2. On a f (a + ε) = f (a) + f 0 (a)ε + g(a, ε)ε2 , pour un polynôme g
convenable. Cela montre que ε = −f 0 (a)−1 f (a) est l’unique élément de a
modulo a2 pour lequel f (a + ε) ∈ a2 .
206
VII. Structure d’un endomorphisme
Il reste à montrer que f 0 (a1 ) ∈ A× . Or, f 0 (a1 ) ≡ f 0 (a) mod a, et un élément
inversible modulo les nilpotents est inversible (exercice 17).
3 et 5. Immédiat d’après les points 1 et 2 (le lecteur scrupuleux pourra
faire une démonstration par récurrence).
4. L’égalité f (x + ε) = ε f 0 (x) + g(x, ε)ε montre que tout zéro de f qui
est égal à x modulo a est égal à x. Or, x ≡ a mod a.
Un énoncé plus général se trouve dans [ACMC] (théorème III-10.3).
Autres exemples, non directement reliés à la méthode de Newton.
Si A est un anneau contenant Q, et si x ∈ A est nilpotent, la série formelle
1 + x + x2 /2 + x3 /6 + . . . ,
qui définit exp(x) n’a qu’un nombre fini de termes non nuls dans A, et
définit donc un élément 1 + y, avec y nilpotent. Comme l’égalité
exp(x + x0 ) = exp(x) exp(x0 ),
parce qu’elle a lieu en analyse, valide la même formule au niveau des séries
formelles sur Q, on obtiendra, lorsque x et x0 sont nilpotents dans A, la
même égalité dans A.
De même, la série formelle
y − y 2 /2 + y 3 /3 − . . . ,
qui définit log(1 + y), n’a qu’un nombre fini de termes dans A lorsque y est
nilpotent et permet de définir log(1 + y) comme un élément nilpotent de A.
En outre, pour x et y nilpotents, on obtient les égalités log exp(x) = x
et exp log(1+y) = 1+y comme conséquences des égalités correspondantes
pour les séries formelles.
De même, on peut considérer ensuite la série formelle correspondant au
développement en série de (1 + y)r pour un r ∈ Q. Lorsque y est nilpotent
cette série est finie et sa somme est égale à exp r log(1 + y) , calculé selon
les indications précédentes.
Des endomorphismes qui commutent
8.2. Fait. Si ϕ et ψ sont deux endomorphismes de V ' Kn qui commutent,
et si h ∈ K[X], alors le sous-espace Ker h(ϕ) est stable pour ϕ et pour ψ.
Démonstration. Soit x ∈ Ker h(ϕ), i.e. h · x = 0.
On doit montrer que h · ψ(x) = 0. Or, ψ est un endomorphisme de Vϕ
(proposition 6.6), donc h · ψ(x) = ψ(h · x) = 0.
§8. Décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford
207
8.3. Théorème. Soient des endomorphismes ϕ1 , . . ., ϕr de V ' Kn qui
commutent deux à deux. On suppose que les polynômes minimaux des ϕi
ont toutes leurs racines dans K. Les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Il existe une base commune de vecteurs propres pour les ϕj .
2. Les polynômes minimaux νϕi sont séparables.
Démonstration. 1 ⇒ 2. D’après le critère 4.2.
2 ⇒ 1. Cela se fait par récurrence sur l’entier r. Pour r = 1, le critère de
séparabilité 7.8 implique que νϕ1 admet ses racines simples, et l’endomorphisme est diagonalisable, d’après le critère 4.2.
Pour passer de r − 1 à r, on commence par décomposer V en somme directe
des sous-espaces propres de ϕr (d’après le cas r = 1) :
Lmr
V = i=1
Ki ,
avec Ki = Ker(ϕr − λr,i IdV ), pour les valeurs propres λr,i de ϕr . Chacun
de ces sous-espaces Ki est également stable pour les autres ϕk (fait 8.2).
Pour chaque i ∈ J1..mr K, on applique l’hypothèse de récurrence à la famille
des endomorphismes ϕk,i induits sur Ki , pour k ∈ J1..r − 1K.
8.4. Corollaire. Soient des endomorphismes ϕ1 , . . ., ϕr de V ' Kn qui
commutent deux à deux. On suppose que les polynômes minimaux des ϕi ont
leurs racines dans un corps L ⊇ K et que les νϕi sont séparables. Alors, tout
ψ ∈ K[ϕ1 , . . . , ϕr ] ⊆ EndK (V ) est absolument semi-simple (son polynôme
minimal est séparable). En particulier, si ψ est nilpotent, il est nul.
Démonstration. Le polynôme minimal de ψ est le polynôme minimal d’une
matrice de ψ et ne dépend pas du corps où on le calcule. La séparabilité
d’un polynôme est également indépendante du corps. Il suffit donc de
démontrer que ψ a son polynôme minimal sur L qui est séparable. Mais,
sur L, l’endomorphisme ψ est diagonalisable ; on conclut par le critère 4.2.
Remarque. On ne sait pas toujours construire un corps L comme dans le
corollaire ci-dessus. Il est cependant possible de démontrer le corollaire en
supprimant l’hypothèse concernant l’existence du corps L. L’hypothèse est
alors simplement que les polynômes νϕi sont séparables. Des indications
sont données dans l’exercice X -8. Nous nous contenterons ici d’admettre ce
résultat sous sa forme générale (celle qui n’utilise pas le corps L).
Le théorème de Chevalley
8.5. Théorème. (Décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford)
Soit M ∈ Mn (K). On suppose que le polynôme minimal de M divise une
puissance d’un polynôme f (X) séparable.
208
VII. Structure d’un endomorphisme
Alors, il existe des matrices D, N ∈ Mn (K) telles que :
– M =D+N;
– DN = N D ;
– la matrice N est nilpotente ;
– le polynôme minimal de D est séparable.
En outre, la décomposition ci-dessus est unique, et l’on a :
– D et N ∈ K[M ] ;
– f (D) = 0.
Démonstration. Existence. On cherche un zéro D de f , (( voisin de M )) (i.e.,
avec M − D nilpotent), dans l’anneau commutatif K[M ].
On a par hypothèse f (M )k = 0 pour un k 6 n, et si uf k + vf 0 = 1, on
obtient v(M )f 0 (M ) = In .
En conséquence, la méthode de Newton, démarrant avec x0 = M , donne la
solution dans K[M ] en dlog2 (k)e itérations.
Unicité. La solution est unique, sous la condition f (D) = 0, dans tout
anneau commutatif contenant K[M ], par exemple dans l’anneau K[M, N ]
si le couple (D, N ) résout le problème posé.
Lorsque l’on suppose seulement que le polynôme minimal de D est séparable,
l’unicité est plus délicate.
Un solution serait de démontrer directement que le polynôme caractéristique
de D est nécessairement égal à celui de M , mais ce n’est pas si simple11 .
Appelons (D1 , N1 ) la solution dans K[M ] donnée par la méthode de Newton.
Puisque les matrices D et N commutent, elles commutent avec M = D + N
et donc avec D1 et N1 , car ces dernières appartiennent à K[M ]. On en
déduit que la matrice D − D1 est nilpotente : en effet, elle est égale à la
matrice N1 − N avec N et N1 nilpotentes qui commutent. Donc D = D1
d’après le corollaire 8.4.
Remarques. 1) Si le corps est algébriquement clos, l’existence de la décomposition résulte immédiatement de la forme réduite de Jordan.
2) On a présenté un calcul dans la K-algèbre K[M ], et cette algèbre
est
isomorphe à K[X]/hνM i, qui est un quotient de K[x] = K[X] f k si νϕ
divise f k . En conséquence, l’essentiel du calcul ne consiste pas à traiter des
matrices mais des polynômes modulo f k , ce qui est beaucoup plus simple.
La méthode de Newton dans K[x] s’initialise à x0 = x et continue avec
xr+1 = hr+1 (x) = xr − v(xr )f (xr ) mod f k
(avec uf k + vf 0 = 1). Au bout de j = dlog2 (k)e étapes, on obtient le zéro
de f convoité sous la forme xj = hj (x), et l’on conclut avec un seul calcul
matriciel : D = hj (M ).
11. En caractéristique nulle, une astuce consiste à récupérer le polynôme caractéristique
d’une matrice A à partir des Tr(Ak ) en suivant la méthode de Le Verrier.
§8. Décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford
209
Exemples. 1) On a deux écritures M + 02 = D + N sous la forme suivante
0 d
0 d
0 0
M=
=
+
= D + N.
1 c
0 c
1 0
Si c 6= 0 et c2 + 4d 6= 0, les matrices M et D sont semi-simples.
Mais, DN =
6 N D ! Si c 6= 0 et d = 0, les matrices M et D sont même
semblables.
2) Pour un corps arbitraire, si l’on connaît la décomposition en facteurs
premiers du polynôme minimal, on peut, en utilisant le lemme des noyaux,
se ramener au cas traité dans le point 1 du lemme 6.4.
Dans ce cadre, prenons le cas où k et ` sont > 2. Cela donne une décomposition D + N , avec D = Diag(Mf , Mf , . . .) semi-simple (sans que nécessairement f soit séparable) et N 2 = 0. Mais le calcul montre que DN 6= N D.
Exercices
Exercice 17. (Lemme des éléments résiduellement inversibles)
Soit A un anneau commutatif arbitraire.
1. Si z ∈ A est nilpotent (z n = 0), alors 1 − z est inversible dans A.
2. Si x ∈ A est inversible
p modulo le nilradical de A, i.e. si l’on a un y tel
que z = 1 − xy ∈ A h0i, alors x est inversible et
P
x−1 = y k>0 z k .
3. Une matrice carrée G ∈ Mn (A) inversible modulo le nilradical
p de A
A
est inversible. Précisément, supposons que d det(G) ≡ 1 mod
h0i.
e (où G
e est la matrice cotransposée de G). Alors, G−1
Posons F = dG
est dans le sous-anneau de Mn (A) engendré par d, G et par les coefficients du polynôme caractéristique de G on regarde ici A comme un
sous-anneau de Mn (A) via l’injection a 7→ aIn .
Plus précisément, la matrice InP
−GF = 1−d det(G)
In est nilpotente et
k
G−1 = F
1
−
d
det(G)
.
k>0
Exercice 18. (Lemme des éléments résiduellement idempotents)
1. Pour un anneau arbitraire A, montrer
p que :
a. deux idempotents égaux modulo h0i sont égaux ;
p
b. tout élément e qui est idempotent modulo un idéal N ⊆ h0i se
relève de manière unique en un idempotent e0 modulo N2 . L’itération
de Newton quadratique est donnée par e 7→ 3e2 − 2e3 .
p
2. De même, toute matrice E ∈ Mn (A) idempotente modulo N ⊆ h0i
se relève en une matrice F idempotente modulo N2 . Le (( relèvement ))
F est unique si l’on exige que F ∈ A[E]. L’itération de Newton quadratique est donnée par E 7→ 3E 2 − 2E 3 .
Tables et index
Table des théorèmes
Nom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
no page
I. Arithmétique de base
Algorithme d’Euclide, théorème de Bezout pour Z . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1
Théorème des restes chinois (pour Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1
Forme réduite (( diagonale )) d’une matrice à coefficients entiers . . . . . 4.1
5
8
11
II. Groupes et anneaux commutatifs
Théorème de factorisation, groupes abéliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sous-groupes et quotients d’un groupe quotient. (Voir aussi 1.17.) . . .
Homomorphisme d’évaluation (polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polynômes symétriques élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de factorisation, pour un morphisme d’anneaux . . . . . . . . . .
Système fondamental d’idempotents orthogonaux, (1) . . . . . . . . . . . . . .
Lemme de l’idéal de type fini idempotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème des restes chinois, généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemme des noyaux (première forme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemme de Gauss pour un anneau à pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anneau de polynômes sur un anneau à pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15
1.16
2.8
2.9
2.10
2.17
2.22
2.24
2.25
2.26
3.4
3.7
26
27
35
35
36
40
44
44
45
46
54
55
1.3
2.3
2.6
3.1
3.2
65
68
69
72
72
1.1
1.7
2.3
3.1
86
89
93
95
III. Calcul matriciel sur un anneau commutatif arbitraire
Système linéaire de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Idéaux déterminantiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Critères d’injectivité et de surjectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemme du mineur inversible, pivot généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemme de la matrice simple (lemme de la liberté) . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV. Systèmes linéaires sur un anneau principal
Théorème de Bezout pour un anneau intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anneaux principaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forme réduite de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Système linéaire sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
536
Table des théorèmes
V. Modules sur un anneau commutatif
Le rang d’un module libre est bien défini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Application linéaire surjective sur un module libre . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Cayley-Hamilton, module de type fini . . . . . . . . . . . . . . . .
Surjectif implique bijectif, module de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de factorisation, modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sous-modules et quotients d’un module quotient. (Voir aussi 5.4.) . . .
Surjection scindée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Système fondamental d’idempotents orthogonaux, (2) . . . . . . . . . . . . . .
Lemme des noyaux (deuxième forme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemme des noyaux (forme usuelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemme du mineur inversible, précisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unicité d’une décomposition en somme directe de modules monogènes
Changement de système générateur pour un module de présentation
finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
2.5
3.3
3.4
5.1
5.3
5.5
5.6
5.7
5.8
6.1
9.1
106
106
110
111
117
118
119
119
120
121
124
130
11.3 138
VI. Modules de présentation finie sur les anneaux principaux
Théorème de la base adaptée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sous-groupes de type fini de Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Structure des modules de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcul d’une intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
1.3
2.1
3.2
145
146
149
157
VII. Structure d’un endomorphisme
Structure d’un endomorphisme d’un K-espace vectoriel . . . . . . . . . . . .
Invariants de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Similitude et extension du corps de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Factorisation partielle d’une famille de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . .
Commutant d’un endomorphisme cyclique. (Voir aussi 6.6.) . . . . . . . .
Sous-espaces stables et endomorphisme cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Endomorphismes semi-simples sur un corps algébriquement clos . . . . .
Endomorphismes semi-simples sur un corps arbitraire . . . . . . . . . . . . . .
Factorisation séparable d’une famille de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode de Newton en algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford, théorème de Chevalley
2.1
2.5
4.1
5.3
6.5
6.8
7.2
7.5
7.11
8.1
8.5
173
174
184
187
194
196
198
200
203
205
207
VIII. Anneaux et modules cohérents, noethériens
Caractérisation des modules cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modules de présentation finie sur un anneau cohérent . . . . . . . . . . . . . .
Méthode modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modules noethériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modules de présentation finie sur un anneau noethérien cohérent . . . .
Théorème de la base de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de la base de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7
1.10
2.1
3.1
4.5
5.1
5.2
215
216
218
223
229
230
230
Table des théorèmes
IX. Idéaux inversibles et domaines de Dedekind
Principe local-global de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Idéaux inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrice de localisation principale sur un anneau intègre . . . . . . . . . . . .
Matrice de localisation principale sur un anneau arbitraire . . . . . . . . .
Propriétés caractéristiques des idéaux inversibles d’un anneau intègre
Principe local-global pour les idéaux inversibles d’un anneau intègre .
Décomposition d’un idéal en produit d’idéaux maximaux inversibles .
Un théorème magistral de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discriminant d’un polynôme qui se factorise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dénominateurs des entiers algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le petit théorème de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Domaines de Dedekind à factorisation totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractérisation des domaines de Prüfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe local-global no 1 pour les domaines de Prüfer . . . . . . . . . . . . .
Idéaux de type fini d’un domaine de Prüfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Noyau d’une matrice sur un domaine de Prüfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X. Entiers sur un anneau commutatif
Caractérisation des éléments entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Clôture intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un anneau à pgcd intègre est intégralement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un domaine de Prüfer est intégralement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Une extension entière et intégralement close d’un domaine de Bezout
est un domaine de Prüfer. (Voir aussi le théorème 2.16.) . . . . . . .
Lying over . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Radical de Jacobson et unités dans une extension entière . . . . . . . . . . .
Discriminant tracique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algèbres libres finies monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extension entière et intégralement close d’un anneau intégralement clos
XI. Anneaux d’entiers des corps de nombres
L’anneau d’entiers d’un corps de nombres est un domaine de Prüfer .
Anneau d’entiers comme Z-module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discriminant d’un corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’anneau d’entiers d’un corps de nombres est un domaine de Dedekind
à factorisation totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème un et demi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XII. Anneaux et modules de fractions
Principe local-global pour les suites exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe local-global pour les modules de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe local-global pour les modules de présentation finie . . . . . . . . .
Principe local-global pour les anneaux cohérents, noethériens, fortement
discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
537
1.3
2.2
2.3
2.5
2.6
2.8
2.9
3.7
4.1
4.6
4.7
5.3
6.1
6.3
6.4
6.9
234
235
236
237
238
240
240
246
248
251
251
253
254
255
256
259
2.4
2.5
2.8
2.9
265
265
266
267
2.13
2.17
2.18
3.10
3.11
4.2
268
270
270
277
277
280
1.4 285
1.6 285
2.2 289
1.7 286
2.3 290
2.1 298
2.2 299
2.3 299
3.1 300
538
Table des théorèmes
XIII. Modules projectifs de type fini
Tout module projectif de type fini sur un domaine de Bezout est libre
Lemme d’élargissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Systèmes de coordonnées. (Voir aussi 1.5.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dual d’un module projectif de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrices de présentation d’un module projectif de type fini . . . . . . . . .
Principe local-global pour les applications localement simples . . . . . . .
Principe local-global pour le saturé d’un sous-module . . . . . . . . . . . . . .
Principe local-global pour les modules projectifs de type fini . . . . . . . .
Rang d’un module projectif de type fini sur un anneau intègre . . . . . .
Les modules projectifs de type fini sont localement libres . . . . . . . . . . .
Les applications linéaires localement simples sont, localement, simples
Décomposition canonique d’un module projectif de type fini . . . . . . . .
Modules de rang constant sur un anneau commutatif arbitraire . . . . .
1.2
1.3
1.4
1.7
2.2
3.1
3.2
3.3
4.1
5.1
5.2
7.4
7.5
302
303
303
305
306
309
309
309
310
313
313
318
319
XIV. Modules de présentation finie sur les domaines de Prüfer
Principe local-global no 2 pour les domaines de Prüfer . . . . . . . . . . . . . 1.2
Noyau, image et conoyau d’une matrice sur un domaine de Prüfer . . . 2.3
Modules de présentation finie sur un domaine de Prüfer . . . . . . . . . . . . 2.4
Domaines de Prüfer fortement discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6
Extensions entières de domaines de Prüfer fortement discrets . . . . . . . 3.1
322
325
326
258
327
XV. Changement d’anneau de base
Extension des scalaires pour un module de présentation finie . . . . . . .
Extension des scalaires à un anneau quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extension des scalaires à un anneau de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extension des scalaires à un anneau localisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Somme directe de deux algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.3
2.4
2.5
3.4
333
335
335
335
338
1.2
1.4
1.5
1.6
343
344
345
347
XVI. Dimension 0 et 1
Caractérisation des anneaux zéro-dimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractérisation des anneaux zéro-dimensionnels réduits . . . . . . . . . . . .
Le paradis des anneaux zéro-dimensionnels réduits . . . . . . . . . . . . . . . .
Presque le paradis pour les anneaux zéro-dimensionnels généraux . . .
Réduction de Smith d’une matrice sur un anneau arithmétique zéro-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réduction de Smith d’une matrice sur un anneau de Bezout de dimension 6 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Factorisation d’idéaux de type fini en dimension 6 1 . . . . . . . . . . . . . . .
Un anneau intègre à pgcd de dimension 6 1 est un anneau de Bezout
Groupe élémentaire en dimension 6 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème un et demi. (Voir aussi le théorème 4.1.) . . . . . . . . . . . . . . . .
Un anneau intégralement clos, cohérent, de dimension 6 1 est un
domaine de Prüfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modules de présentation finie sur un domaine de Prüfer de dimension 6 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 352
2.5
3.5
3.6
3.7
3.8
352
356
356
357
357
4.3 359
4.5 360
4.7 362
Table des théorèmes
539
A. Une approche à la Kronecker des domaines de Prüfer
Anneau de Kronecker associé à un domaine de Prüfer . . . . . . . . . . . . . . 1.3 369
Théorème de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 370
B. Domaines de Dedekind
Factorisation en produits d’idéaux deux à deux comaximaux, (1) . . . .
Factorisation en produits d’idéaux deux à deux comaximaux, (2) . . . .
Un domaine de Dedekind est un domaine de Prüfer à factorisation
partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Une caractérisation des domaines de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Une caractérisation des domaines de Dedekind à factorisation totale .
Structure multiplicative des idéaux de type fini d’un domaine de Dedekind à factorisation totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extension séparable d’un domaine de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 378
1.2 378
2.1 380
2.2 382
2.3 383
2.4 383
3.2 385
Index des notations
N
Z
Q
R
C
Q>0
R>0
Jk..`K
ensemble des entiers naturels (y compris 0)
ensemble, ou groupe additif, ou anneau, des entiers
corps des nombres rationnels
corps des nombres réels
corps des nombres complexes
sous-groupe multiplicatif des rationnels > 0
sous-groupe multiplicatif des réels > 0
[k, . . . , `], liste des entiers de k à ` (vide si k > `)
Z/nZ
Z/nZ
Fp ' Z/pZ
groupe cyclique à n éléments, quotient de Z
anneau quotient de Z, correspondant aux calculs modulo n
p est un nombre premier, corps fini à p éléments
Mm,n (A)
Mn (A)
GLn (A)
SLn (A)
(ou Am×n ) matrices à m lignes et n colonnes à coefficients
dans A
Mn,n (A)
groupe des matrices inversibles
groupe des matrices de déterminant 1
Ker(ϕ)
Im(ϕ)
Coker(ϕ)
ϕ−1 (0) ⊆ E : noyau du morphisme ϕ : E → F
image du morphisme ϕ : E → F
F/ Im(ϕ) : conoyau du morphisme ϕ : E → F
II. Groupes et anneaux commutatifs
E/ ∼
G/H
ensemble quotient de E par la relation d’équivalence ∼. . .
groupe abélien quotient de G, correspondant aux calculs
modulo le sous-groupe H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
HomGroupes (G, H) groupe des homomorphismes du groupe abélien G vers
le groupe abélien H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A∗
ensemble des éléments 6= 0 de l’anneau A . . . . . . . . . . .
A×
groupe des éléments inversibles (ou unités) de l’anneau A .
EndGroupes (G) anneau des endomorphismes du groupe abélien G . . . . . .
AutGroupes (G) groupe des automorphismes du groupe abélien G . . . . . .
P`
listes extraites de J1..`K en ordre croissant . . . . . . . . . . .
Pk,`
sous-ensemble des listes à k éléments . . . . . . . . . . . . . .
A/I
anneau quotient de A, correspondant aux calculs modulo
l’idéal I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cA,X (f )
ou c(f ) : idéal contenu du polynôme f ∈ A[X] (idéal
engendré par ses coefficients) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
A
a
nilradical de l’idéal a de l’anneau A . . . . . . . . . . . . . . .
A A×
monoïde de la divisibilité dans A . . . . . . . . . . . . . . . .
25
26
21
29
29
32
32
36
36
38
48
50
51
542
Index des notations
ou G(f ) : contenu du polynôme f ∈ A[X] (pgcd de ses
coefficients) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
ou encore Adj(B), comatrice (ou matrice cotransposée) de B
B
Diag(a1 , . . . , an ) matrice diagonale de Mn (A) avec ai en position (i, i) . .
Aα,β
matrice extraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tr(A)
trace de la matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
polynôme caractéristique (en l’indéterminée X) de la
χA (X)
matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ΓA (X)
χA (X) = X ΓA (X) + (−1)n det(A) . . . . . . . . . . . . . . .
DA,k (A)
idéal déterminantiel d’ordre k de la matrice A . . . . . . . .
Ik,n
matrice de projection standard . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GA (f )
55
64
65
67
66
66
67
67
94
V. Modules sur un anneau commutatif
LA (M, N )
EndA (M )
ME,F (ϕ)
rgA (M )
χϕ (X)
aM
M?
GA (M )
Gn (A)
TA (M )
SatM (N )
(0 : x)A,M
AnnA (M )
AnnM (a)
(N : P )A,M
Ik,q,m
FA,k (M )
A-module d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . .
LA (M, M ), anneau des endomorphismes du A-module M .
matrice del’application linéaire ϕ sur les bases E et F . . .
ou rg(M ) rang d’un A-module libre . . . . . . . . . . . . .
polynôme caractéristique de l’endomorphisme ϕ . . . . . . .
sous-module de M engendré par les ax pour a ∈ a et x ∈ M
module dual de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ensemble des sous-modules en facteur direct dans M . . . .
GA (An ) : grassmannienne d’ordre n . . . . . . . . . . . . . .
sous-module de torsion de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
saturé de N dans M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ou (0 : x)A , ou (0 : x) : idéal annulateur de x (x ∈ M ) . . .
ou Ann(M ), ou (0 : M ), ou (0 : M )A : idéal annulateur du
module M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ou (0 : a)M : sous-module de M annulateur de l’idéal a . . .
ou (N : P ), ou (N : P )A : idéal transporteur de P dans N
(sous-modules de M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
matrice simple standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
idéal de Fitting d’ordre k de M . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
102
105
106
108
122
123
124
124
128
128
128
128
128
128
136
141
VI. Modules de présentation finie sur les anneaux
principaux
G◦
M◦
ou LZ (G, Q/Z), groupe dual (fini) . . . . . . . . . . . . . . . . 161
ou LZ (M, K/Z), module dual (de présentation finie de
torsion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
VII. Structure d’un endomorphisme
Vϕ
K[ϕ] · v
νϕ
νv,ϕ (X)
Mf
Com(ϕ)
l’espace vectoriel V vu comme K[X]-module . . . . . . . . .
ou hviϕ , sous-espace ϕ-stable engendré par v . . . . . . . . .
polynôme minimal de l’endomorphisme ϕ . . . . . . . . . . .
polynôme minimal du vecteur v pour l’endomorphisme ϕ . .
matrice compagne du polynôme f . . . . . . . . . . . . . . . .
(sous-anneau) commutant de ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
169
169
170
170
193
Index des notations
543
VIII. Anneaux et modules cohérents, noethériens
En (A)
sous-groupe élémentaire de SLn (A)
. . . . . . . . . . . . . . . 217
IX. Idéaux inversibles et domaines de Dedekind
aB
e
Q
e
Z
φ
Un
Φn
idéal de B engendré par a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
corps des nombres algébriques complexes . . . . . . . . . . .
anneaux des entiers algébriques complexes . . . . . . . . . . .
indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
groupe des racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . .
polynôme cyclotomique (racines primitives n-ièmes de l’unité)
238
242
242
244
244
244
X. Entiers sur un anneau commutatif
0
HomA (B, B ) ensemble des homomorphismes de A-algèbres de B vers B0
Rad(A)
radical de Jacobson de l’anneau A . . . . . . . . . . . . . . .
discT (g)
discriminant du polynôme unitaire g ∈ A[T ] . . . . . . . . .
µM,b
multiplication par b dans le B-module M . . . . . . . . . . .
[B : A]
rgA (B) : rang de B comme A-module libre . . . . . . . . . .
TrB/A (b)
trace de µB,b , vu comme endomorphisme du A-module B .
NB/A (b)
déterminant de µB,b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
χB/A (b)
polynôme caractéristique de µB,b . . . . . . . . . . . . . . . .
x
e
élément cotransposé de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
discB/A (x1 , . . . , xk ) discriminant de (x1 , . . . , xk ) . . . . . . . . . . . . . . . .
DiscB/A
discriminant de l’extension B/A . . . . . . . . . . . . . . . .
262
270
248
273
273
273
273
273
275
276
276
XI. Anneaux d’entiers des corps de nombres
ZK
MinQ,x (T )
anneau d’entiers du corps de nombres K . . . . . . . . . . . . 284
polynôme minimal de x sur Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
XIII. Modules projectifs de type fini
RM (t)
polynôme rang d’un module projectif de type fini sur un
anneau arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
XVI. Dimension 0 et 1
AltrA (M )
module des formes r-linéaires alternées sur M
. . . . . . . . 360
Index des termes
algèbre
de présentation finie, 263
de type fini, 263
entière, 264
finie, 263
sur un anneau, 262
sur un corps, 168
algèbre de Boole, 59
algèbre de décomposition universelle
de f sur A, 278
algébrique
corps — sur un sous-corps, 264
élément — sur un corps, 264
entier —, 284
nombre —, 284
algorithme
d’Euclide, 5
algorithme de factorisation séparable,
203
algorithme de factorisation partielle,
187
anneau, 29
à divisibilité explicite, 52
arithmétique, 350
cohérent, 212
connexe, 348
de Bezout, 87
de Bezout intègre, 87
de Dedekind, 252
de fractions (d’un anneau intègre), 295
de nombres, 284
de Prüfer intègre, 252
de Prüfer intègre à factorisation
partielle, 379
de valuation, 322
entier sur un sous-anneau, 264
euclidien, 52
factoriel, 56
intégralement clos, 266
intégralement clos dans . . ., 264
intègre, 30
intègre de dimension 6 1, 354
noethérien, 224
nul (ou trivial), 29
principal, 88
quotient (par un idéal), 38
réduit, 50
zéro-dimensionnel, 342
anneau de Kronecker
associé au domaine de Prüfer Z,
368
annulateur, 128
application A-linéaire
entre A-modules, 101
application linéaire
localement simple, 306
simple, 108
application transposée, 123
applications linéaires
équivalentes, 108
associés
éléments , 51
association, 51
automorphisme
d’un groupe, 20
automorphisme de modules, 102
Bareiss, 73
base
d’un groupe abélien libre, 146
d’un module, 103
base adaptée, 145
base canonique, 101
Binet-Cauchy
formule de — , 65
changement d’anneau de base de A
à B pour M , 330
clôture intégrale
de A dans B ⊇ A, 265
cohérent
– 545 –
546
anneau —, 212
module —, 212
comatrice, 64
comaximaux
éléments — dans un anneau, 7,
234
idéaux — dans un anneau, 40
combinaison linéaire
d’éléments d’un module, 104
commutant, 194
compagne
matrice, 170
complexe, 131
conducteur, 129
connexe
anneau, 348
conoyau
d’une application linéaire, 131
contenu d’un polynôme, 55
coordonnée, 114
corps, 30
de fractions d’un anneau intègre,
34
de nombres, 284
cotransposé
élément — (dans une algèbre
libre), 275
cyclique
endomorphisme, 188
module, 129
cyclotomique
polynôme, 244
de présentation finie
groupe abélien —, 150
module —, 137
décomposition LU, 74
Dedekind, 238, 252, 254, 377
domaine de —, 252
domaine de — à factorisation
totale, 253
diagramme commutatif, 24
différente
d’un élément dans une algèbre
libre finie, 277
dimension 6 1
Index des termes
anneau intègre de —, 352, 354
discriminant
d’un corps de nombres, 289
d’un polynôme unitaire, 248
d’une extension libre finie, 276
diviseur de zéro, 30
diviseurs élémentaires
d’un module, 453
Dodgson, 73
Dodgson-Jordan-Bareiss
algorithme de —, 76
domaine d’intégrité, 30
domaine de Bezout, 87
domaine de Dedekind, 252
à factorisation totale, 253
domaine de Prüfer, 252
dual
d’un groupe abélien fini, 161
d’un Z-module de présentation
finie de torsion, 164
module —, 123
élément
unimodulaire (dans un module),
126
élément de torsion
dans un module, 127
élémentairement équivalentes
matrices —, 217
endomorhisme
absolument semi-simple, 203
semi-simple, 198
endomorphisme
d’un anneau, 30
d’un groupe, 20
d’un module, 102
endomorphismes
semblables, 108
entier
anneau — sur un sous-anneau,
264
élément — sur un anneau, 264
entier algébrique complexe, 242
équivalentes
applications linéaires —, 108
matrices —, 68
Index des termes
étrangers
éléments — dans un anneau, 7
Euclide
algorithme d’—, 5
lemme d’—, 9
exposant
d’un groupe abélien fini, 128
extension
d’anneaux, 262
extension des scalaires, 331
facteur direct
sous-module —, 112
facteurs invariants
d’un module de présentation finie
sur un anneau principal, 150
d’une inclusion (sur un anneau
principal), 145
d’une matrice (sur un anneau
principal), 93
de certains modules, 130
factorisation
partielle, 187, 379
sans carré, 203
séparable, 203
factorisation partielle
base de —, 187, 378
faiblement équivalentes
matrices —, 141
fidèle
idéal —, 69
module —, 128
forme de Frobenius, 173
forme linéaire, 123
forme réduite de Smith, 94
fortement discret
anneau —, 214
module —, 214
fractions
anneau de —, 295
module de —, 296
Frobenius, 172
grassmannienne, 124
groupe des unités, 30
groupe élémentaire, 217
547
groupe quotient, 26
Hermite, 289
forme réduite de —, 394
homomorphisme
d’évaluation (en (x1 , . . . , xn )), 35
d’anneaux, 29
d’inclusion (anneaux), 32
d’inclusion (groupes), 21
de groupes, 20
idéal
annulateur, 128
contenu d’un polynôme, 48
d’un anneau, 38
de Fitting, 141
de MacRae, 151
de type fini, 39
fidèle, 69
fractionnaire, 363
intégralement clos, 267
inversible, 235
localement principal, 238, 350
maximal, 47
premier, 47
principal, 39
idéaux déterminantiels
d’une matrice, 67
idempotent, 18
élément — dans un anneau, 42
image
d’une application linéaire, 104
indice
d’un sous-groupe d’un groupe
abélien, 146
injection canonique, 21
intégralement clos
anneau —, 266
anneau — dans . . ., 264
idéal —, 267
interpolation de Lagrange, 35
invariants de similitude
d’un endomorphisme d’un espace
vectoriel, 174
inverse généralisé, 308
inversible
548
idéal, 235
irréductible
élément —, 51
isomorphisme
de groupes, 20
de modules, 102
Jacobson
radical de — d’un anneau, 270
Jordan, 73
Jordan-Bareiss
calcul de la comatrice à la —, 79
résolution d’un système linéaire
à la —, 79
Kronecker, 50, 368, 370
astuce de —, 373
théorème de —, 370, 373, 374
Kummer, 242, 251
petit théorème de —, 247
Lagrange
interpolation de —, 35
Lemme
d’Euclide, 9
de Gauss (anneau à pgcd), 54
de Gauss (contenu d’un produit),
55
de Gauss (domaine de Bezout),
87
de Gauss (forme élémentaire), 9
de Krull, 520
de l’idéal de type fini idempotent,
44
de Nakayama, 271
Lemme de la fourchette, 287
Lemme de la matrice simple, 72, 126
Lemme des noyaux, 186
deuxième forme, 120
forme usuelle, 121
première forme, 46
Lemme du mineur inversible, 72, 124
Lewis Carroll
calcul d’un déterminant à la —,
77
linéairement indépendants
éléments — dans un module, 103
Index des termes
localement principal, 238, 350
localement simple
application linéaire —, 306
localisation, 296
matrice de — principale, 237
manipulation élémentaire stricte, 10
manipulation élémentaire, 10
manipulation de Bezout, 90
matrice
compagne, 170
cotransposée, 64
d’une application linéaire sur des
bases, 105
d’une base sur une autre, 107
de Bezout, 90
de localisation principale, 237
de présentation d’un module, 138
de projection, 70
de projection simple, 72
de projection standard, 72
de rang 6 k, 69
diagonale par blocs, 173
simple, 72
simple standard, 72
matrices
élémentairement équivalentes, 217
équivalentes, 68
faiblement équivalentes, 141
maximal
idéal —, 47
méthode de Jordan-Bareiss, 75
méthode modulaire, 217
mineur
d’une matrice, 67
principal, 310
principal dominant, 74
modulaire
méthode, 217
module, 101
cohérent, 212
cyclique, 129
de fractions, 296
de présentation finie, 137
de torsion, 128
de type fini, 104
Index des termes
dual, 123
étendu, 331
indécomposable, 384
monogène, 129
noethérien, 224
projectif de type fini, 115, 302
quotient, 104
sur un anneau, 101
monogène
module —, 129
monoïde, 18
de la divisibilité dans un anneau,
51
morphisme
d’anneaux, 29
d’extension des scalaires, 331
d’inclusion (modules), 103
de groupes, 20
de modules, 101
Nakayama
lemme de —, 271
nilpotent, 50
nilradical, 50
noethérien
anneau —, 224
module —, 224
nombre algébrique complexe, 242
norme
d’un élément, 274
noyau
d’une application linéaire, 104
orthogonal
sous-module —, 124
parfait
corps —, 203
partie multiplicative, 295
pgcd, 51
polynôme
caractéristique d’un élément, 274
cyclotomique, 244
G-primitif, 55
primitif, 48
séparable (sur un anneau), 272
séparable (sur un corps), 201
549
polynôme rang
d’un module projectif de type fini,
316
ppcm, 52
premier
élément —, 51
idéal —, 47
primitif
polynôme —, 48
principe local-global
de base, 234, 239, 255, 309, 323,
508, 513
pour les anneaux cohérents, 300
pour les anneaux de Prüfer, 255
pour les anneaux noethériens
cohérents, 300
pour les anneaux noethériens cohérents fortement discrets,
300
pour les applications localement
simples, 309
pour les domaines de Prüfer, no 2,
322
pour les idéaux inversibles, 240
pour les modules de présentation
finie, 299
pour les modules de type fini, 299
pour les modules projectifs de
type fini, 309
pour les suites exactes, 298
produit
d’une famille de modules, 113
de deux idéaux, 40
projecteur, 115
projectif de type fini
module —, 115, 302
projection
sur un sous-module parallèlement
à un autre, 426
projection canonique
d’un produit sur un de ses facteurs, 22
proportionnels
vecteurs — (anneau arbitraire),
236
propre
550
idéal —, 38
Prüfer
anneau de — intègre, 252
domaine de —, 252
domaine de — à factorisation
partielle, 379
quasi-inverse, 349
radical
de Jacobson, 270
idéal —, 50
nilpotent, 50
rang
d’une matrice de projection, 316
rang constant
module projectif de —, 316
régulier
élément — dans un anneau, 30
relation de Bezout, 6
relation de dépendance
algébrique, 264
intégrale, 264
linéaire, 138
sans torsion, 128
saturé
d’un idéal par une partie multiplicative, 297
d’un sous-module, 128
saturée
partie multiplicative —, 297
scindable
application linéaire surjective,
119
suite exacte courte —, 131
surjection —, 119
scindée
application linéaire surjective,
119
suite exacte courte, 132
section
d’une surjection scindée, 119
semblables
endomorphismes —, 174
matrices —, 108
semi-simple
Index des termes
endomorhisme —, 198
endomorhisme absolument —,
203
séparable
factorisation —, 203
séparable
polynôme — (sur un corps), 201
polynôme unitaire —, 272
simple
application linéaire —, 108
matrice —, 72
Smith
forme réduite de —, 94
réduction de —, 94
somme
d’une famille de sous-modules,
112
de deux sous-modules, 112
directe interne de sous-modules,
112
somme directe
d’une famille de sous-modules,
112
dans une catégorie, 336
externe d’une famille de modules,
113
sous-modules en —, 112
somme directe interne, 112
sous-anneau, 32
sous-anneau de . . . engendré par . . .,
34
sous-module, 103
engendré par une partie, 104
sous-module de torsion, 128
splitting off, 72, 125, 126, 155, 347
splitting off de Serre, 360
stable
sous-espace —, 169
stathme
euclidien, 52
suite exacte
courte, 131
scindée, 132
d’applications linéaires, 131
suite exacte courte
scindable, 131
Index des termes
surjection
scindable, 119
surjection canonique
d’un ensemble sur un ensemble
quotient, 25
Sylvester, 75
système complet d’invariants, 150
système générateur
d’un module, 103, 104
système de coordonnées, 305
système fondamental d’idempotents
orthogonaux, 43
test à zéro, 30
test d’appartenance, 48
module fortement discret, 214
test d’inversibilité, 52
test d’irréductibilité, 56
test de divisibilité, 52
test de maximalité, 383
torsion, 128
trace
d’un élément, 274
transporteur, 128
transposée, 123
treillis, 114
un et demi
Théorème —, 290, 357, 359
unimodulaire, 126
vecteur —, 126
unité (dans un anneau), 30
zéro-dimensionnel
anneau —, 342
551
Imprimé en Belgique et achevé sur les presses de SNEL Grafics, à Liège
Dépôt légal octobre 2014