Gr2 Liste dexercices n°1 - Moodle Paris Diderot

L2 MIASHS 51EE07MT
Probabilités & Statistiques
Université Paris Diderot
2016 - 2017
TD 1
Analyse combinatoire, espaces probabilisés
Exercice 1 (U N PEU D ’ ÉCHAUFFEMENT). On effectue une suite infinie de lancers d’une pièce. Pour
tout i ∈ N∗ , on note :
A i = { Pile est obtenu au i -ème lancer }.
1. Ecrire à l’aide des événements A i et A ci les événements :
E 5 = { la première apparition de Pile a lieu après le cinquième lancer},
F 5 = { Pile n’apparaît pas au cours des 5 premiers lancers}.
2. Définir par une phrase ne comportant aucun vocabulaire mathématique chacun des événements :
!
! Ã
Ã
+∞
+∞
4
[
\
\
\
\
Ai ,
C5 =
Ai .
G5 =
Ai ,
H5 =
A ci
i =5
i =5
i =1
i Ê5
3. Comparer les événements E 5 , F 5 , G 5 , H5 et C 5 .
4. On pose C n = ∪i Ên A i pour tout n ∈ N∗ . Montrer que la suite (C n )nÊ1 est décroissante. Décrire
sans vocabulaire mathématique l’événement C = ∩nÊ1C n ainsi que son complémentaire.
5. Exprimer B = { On n’obtient plus que Pile à partir d’un certain lancer} à l’aide de (A i )i ∈N∗ .
Comparer B et C .
Exercice 2 (F ONCTIONS INDICATRICES). Soit Ω un ensemble non vide. On note P(Ω) l’ensemble
des parties de Ω et, pour tout A ∈ P(Ω), 1 A l’application de Ω dans R telle que :
1 A : ω 7→
(
1 si ω ∈ A,
0 sinon.
1. Soit (A, B ) ∈ P(Ω)2 . Montrer que :
A ⊂ B ⇔ 1 A ≤ 1B ,
max(1 A , 1B ) = 1 A∪B ,
1 A .1B = min(1 A , 1B ) = 1 A∩B .
En déduire que 1 A + 1B = 1 A∪B + 1 A∩B .
Prouver que 1 A + 1B = 1 A∪B si et seulement si A et B sont disjoints, i.e. A ∩ B = ;.
2. On note Ω \ A ou A c le complémentaire de A dans Ω. Montrer que 1 A c = 1 − 1 A .
3. Soient n ∈ N∗ et (A i )1Éi Én ∈ Ωn . Exprimer 1Sn
i =1
Ai
en fonction des applications (1 A i )1Éi ≤n .
Indication : notant A = ∪1Éi Én A i , on pourra montrer que 1Éi Én (1 A − 1 A i ) = 0.
P
S
T
4. Soit S = ni=1 1 A i . Exprimer à l’aide de S les événements ni=1 A i et ni=1 A i .
Q
Exercice 3. Soient P une probabilité, A et B deux événements.
Montrer que P(A ∩ B c ) = P(A) − P(A ∩ B ) et l’inégalité P(A ∩ B ) ≥ P(A) + P(B ) − 1.
Exercice 4 (M ODÉLISER). Définir l’espace Ω qui modélise au mieux chacune des expériences aléatoires suivantes.
1. On jette une pièce 10 fois de suite en s’intéressant à chaque jet à l’apparition de pile ou face.
2. On distribue à un joueur 13 cartes d’un jeu de 52 cartes correctement battues.
3. On joue à pile ou face jusqu’à obtenir face.
1
Exercice 5. On choisit un nombre au hasard parmi les entiers compris entre 1 et 100. Quel espace
probabilisé utiliser ? Quelle est la probabilité que ce nombre soit divisible par 2, par 5, par 11 ? Qu’il
soit un nombre premier ?
Exercice 6 (J EU DE P ILE OU FACE INFINI). On joue à Pile ou Face un nombre infini de fois. Si n ∈ N∗ ,
on note A n l’événement « on obtient Pile au coup numéro n ». Quel est l’espace fondamental de
cette expérience ? Exprimer à l’aide de (A n )nÊ1 les deux événements suivants : A : « on a obtenu
une infinité de fois Pile (au cours d’un jeu infini) » et B : « on n’a obtenu qu’un nombre fini de Face
(au cours d’un jeu infini) ».
Exercice 7. Soient Ω = N∗6 et α ∈ R∗+ . Déterminer α pour que l’application P sur P(Ω) telle que
P ({k}) = α(2k−1) si k ∈ Ω soit une probabilité. Calculer la P-probabilité de l’événement A = {2, 4, 6}.
Exercice 8. Soient P et Q deux probabilités sur un même espace Ω telles que, pour tout événement
A ⊂ Ω, P(A) É Q(A). Montrer qu’en fait, P et Q sont égales.
Exercice 9. Soient P1 et P2 deux probabilités sur un espace Ω. On définit l’application Q sur P(Ω)
et à valeurs dans R telle que Q(A) = 31 P1 (A) + 32 P2 (A) pour tout A ∈ P(Ω). Montrer que Q est une
probabilité sur Ω. Généraliser.
Exercice 10 (C ODAGE DES VÉHICULES MOTORISÉS). Combien existe-t-il de plaques minéralogiques
à 7 caractères si
1. les deux nombres ont respectivement 3 et 2 chiffres et le code à lettres en comporte deux ?
2. et si, de plus, les répétitions de lettres ou de chiffres sur la même plaque sont exclues ?
Exercice 11 (A NAGRAMMES).
Combien d’arrangements différents peut-on faire avec les lettres composant les mots suivants :
PINTE, PROPOSE, MISSISSIPPI ?
Exercice 12 (R ANGEMENT). On range p boules dans n cases. Combien y a-t-il de rangements possibles si :
1. boules et cases sont discernables, chaque case pouvant recevoir un nombre quelconque de
boules ?
2. boules et cases sont discernables, chaque case ne pouvant recevoir qu’une seule boule ?
3. boules indiscernables mais cases discernables, chaque case ne pouvant recevoir qu’une seule
boule ?
4. boules indiscernables mais cases discernables, chaque case pouvant recevoir un nombre
quelconque de boules ?
Exercice 13 (C OMMENT S ’ ASSEOIR EN RANG).
1. De combien de façons peut-on asseoir en rang 3 garçons et 3 filles ?
2. Même question si les garçons doivent rester ensemble et les filles aussi.
3. Même question si seuls les garçons doivent rester ensemble.
4. Même question si deux personnes de même sexe ne doivent jamais être voisines.
Exercice 14 (Q.C.M.). Un étudiant doit répondre à 7 des 10 questions d’un examen.
De combien de manières peut-il les choisir ? Même question s’il est obligé de choisir au moins trois
des cinq premières questions.
2
Exercice 15 (AUTOUR DE LA FORMULE DU BINÔME).
1. Combien y a-t-il de réponses possibles à un questionnaire Vrai/Faux comportant n questions ?
2. Combien a-t-il de réponses possibles à ce questionnaire qui comportent k Vrai ?
¡ ¢
P
3. En déduire l’égalité : 0ÉkÉn nk = 2n . La retrouver grâce à la formule du binôme.
¡ ¢
P
4. Donner une preuve combinatoire de l’égalité : nk=1 k nk = n2n−1 .
Exercice 16 (D ISTRIBUTION DE MAINS). On distribue un jeu de 32 cartes.
1. Quelle est la probabilité que la 14-ième carte soit un as ?
2. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucun as parmi les trois premières cartes ?
3. Quelle est la probabilité que le premier as distribué soit la 14-ème carte ?
Exercice 17 (R ÉPARTITION DANS UNE FILE D ’ ATTENTE). On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à n personnes. Quelle est la probabilité que deux amis soient
distants de r places (i.e. séparés par (r −1) personnes) ? Quelle est la distance la plus probable entre
ces deux amis ?
Exercice 18 (D ÉRANGEMENTS). Un secrétaire a tapé N lettres et préparé N enveloppes portant les
adresses des destinataires. Distrait par son téléphone mobile, il répartit au hasard les lettres dans
les enveloppes. Si 1 É j É N , on note A j l’événement « la j -ème lettre se trouve dans la bonne
enveloppe ».
1. Définir un espace de probabilité (ΩN , P(ΩN ), PN ) associé à cette expérience aléatoire.
2. Calculer PN (A j ).
3. On fixe k entiers i 1 < i 2 < . . . < i k entre 1 et N . Dénombrer les permutations σ de N∗N telles
que σ(i 1 ) = i 1 , σ(i 2 ) = i 2 , . . . , σ(i k ) = i k . En déduire PN (A i 1 ∩ A i 2 ∩ . . . ∩ A i k ).
4. On note B l’événement « au moins une des lettres est dans la bonne enveloppe ». Exprimer
B à l’aide des A j .
5. Utiliser la formule de Poincaré pour calculer PN (B ) et sa limite quand N tend vers l’infini.
Exercice 19 (C HAPEAUX DÉRANGÉS). Soit n ∈ N∗ . n personnes vont à une soirée et laissent leur
chapeau dans un panier à l’entrée. En repartant, elles prennent un chapeau au hasard dans le
panier. On appelle A k l’évènement « la personne k a récupéré son propre chapeau à la sortie ».
Quelle est la probabilité qu’aucune ne parte avec son propre chapeau ?
Exercice 20 (L ANCERS SIMULTANÉS). On lance deux dés distinguables (un bleu et un rouge) bien
équilibrés. Considérons les événements suivants : A : la somme vaut 6, B : la somme est un multiple de 3 et C : la somme est paire. Quel modèle probabiliste (Ω, A, P) associer à cette expérience ?
Calculer les probabilités suivantes : P(A), P(B ), P(C ), P(A ∩ B ), P(A ∩C ), P(B ∩C ) et P(A ∩ B ∩C ).
Exercice 21 (R ÉPÉTITIONS). On joue 4 fois à pile ou face. Quel espace de probabilités associer à
cette expérience ? Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 3 faces ou 3 piles consécutivement ?
Exercice 22 (S TANDARD TÉLÉPHONIQUE). On observe le nombre d’appels téléphoniques à un standard pendant une minute. On admet que l’espace probabilisé associé à cette expérience est (P(N), P)
où P est la probabilité telle que
a n −a
e
∀n ∈ N
P({n}) =
n!
où a = 1, 8. Quelle est la probabilité d’avoir au moins deux appels ?
3
Exercice 23 (G ÉOMÉTRIQUE). Soient p ∈ ]0, 1[ et P la probabilité sur N telle que, pour tout n ∈ N,
P({n}) = (1 − p)p n . Calculer la probabilité des événements : {n ∈ N | N É n É M }, {n ∈ N | N É n} et
∪n∈N {2n} où (N , M ) ∈ N2 .
Exercice 24 (T IRAGE DE BOULES). Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire
au hasard successivement 3 boules sans remise.
1. Définir un espace de probabilité (Ω, A, P) correspondant à cette expérience.
2. Quelle est la probabilité d’obtenir les 3 boules blanches ?
3. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule noire au deuxième tirage ?
Exercice 25 (I NÉGALITÉS DE B OOLE ET DE B ONFERRONI). Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et
∗
(E n )n∈N∗ ∈ AN une famille dénombrable d’événements.
¡S
¢ P
1. Montrer l’inégalité de Boole : pour tout n ∈ N∗ , P ni=1 E i É ni=1 P(E i ). En déduire que :
∞
∞
¡[
¢ X
P
Ei É
P (E i )
i =1
i =1
2. Montrer l’inégalité de Bonferroni : pour tout (A, B ) ∈ A2 , P(A ∩ B ) Ê P(A) + P(B ) − 1.
En déduire que :
Ã
P
n
\
!
Ei Ê
i =1
n
X
P(E i ) − (n − 1).
i =1
3. Montrer que, si P(E k ) = 1 pour tout k ∈ N∗ , alors P(∩∞
E ) = 1.
i =1 i
4. On appelle limite supérieure de la suite (E n )n∈N∗ , et l’on note lim supn∈N E n , la partie de Ω
définie par :
∞
∞ [
\
lim sup E n =
En .
n∈N∗
k=1 n=k
Justifier que lim supn∈N E n ∈ A. Interpréter cet événement.
P
Montrer que, si ∞
i =1 P(E i ) < ∞, la probabilité qu’un nombre infini de E n soient réalisés est
nulle.
4