Gr2 Liste dexercices n°1 - Moodle Paris Diderot

L2 MIASHS 51EE07MT Université Paris Diderot
Probabilités & Statistiques 2016 - 2017
TD 1 Analyse combinatoire, espaces probabilisés
Exercice 1 (UN PEU D’ÉCHAUFFEMENT).On effectue une suite infinie de lancers d’une pièce. Pour
tout i∈N∗, on note :
Ai={ Pile est obtenu au i-ème lancer }.
1. Ecrire à l’aide des événements Aiet Ac
iles événements :
E5={ la première apparition de Pile a lieu après le cinquième lancer},
F5={ Pile n’apparaît pas au cours des 5 premiers lancers}.
2. Définir par une phrase ne comportant aucun vocabulaire mathématique chacun des événe-
ments :
G5=
+∞
\
i=5
Ai,H5=Ã4
\
i=1
Ac
i!\Ã+∞
\
i=5
Ai!,C5=[
iÊ5
Ai.
3. Comparer les événements E5,F5,G5,H5et C5.
4. On pose Cn= ∪iÊnAipour tout n∈N∗. Montrer que la suite (Cn)nÊ1est décroissante. Décrire
sans vocabulaire mathématique l’événement C= ∩nÊ1Cnainsi que son complémentaire.
5. Exprimer B={ On n’obtient plus que Pile à partir d’un certain lancer} à l’aide de (Ai)i∈N∗.
Comparer Bet C.
Exercice 2 (FONCTIONS INDICATRICES).Soit Ωun ensemble non vide. On note P(Ω) l’ensemble
des parties de Ωet, pour tout A∈P(Ω), 1Al’application de Ωdans Rtelle que :
1A:ω7→ (1 si ω∈A,
0 sinon.
1. Soit (A,B)∈P(Ω)2. Montrer que :
A⊂B⇔1A≤1B, max(1A,1B)=1A∪B,1A.1B=min(1A,1B)=1A∩B.
En déduire que 1A+1B=1A∪B+1A∩B.
Prouver que 1A+1B=1A∪Bsi et seulement si Aet Bsont disjoints, i.e. A∩B= ;.
2. On note Ω\Aou Acle complémentaire de Adans Ω. Montrer que 1Ac=1−1A.
3. Soient n∈N∗et (Ai)1ÉiÉn∈Ωn. Exprimer 1Sn
i=1Aien fonction des applications (1Ai)1Éi≤n.
Indication : notant A= ∪1ÉiÉnAi, on pourra montrer que Q1ÉiÉn(1A−1Ai)=0.
4. Soit S=Pn
i=11Ai. Exprimer à l’aide de Sles événements Sn
i=1Aiet Tn i=1Ai.
Exercice 3. Soient Pune probabilité, Aet Bdeux événements.
Montrer que P(A∩Bc)=P(A)−P(A∩B) et l’inégalité P(A∩B)≥P(A)+P(B)−1.
Exercice 4 (MODÉLISER).Définir l’espace Ωqui modélise au mieux chacune des expériences aléa-
toires suivantes.
1. On jette une pièce 10 fois de suite en s’intéressant à chaque jet à l’apparition de pile ou face.
2. On distribue à un joueur 13 cartes d’un jeu de 52 cartes correctement battues.
3. On joue à pile ou face jusqu’à obtenir face.
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Exercice 5. On choisit un nombre au hasard parmi les entiers compris entre 1 et 100. Quel espace
probabilisé utiliser? Quelle est la probabilité que ce nombre soit divisible par 2, par 5, par 11? Qu’il
soit un nombre premier?
Exercice 6 (JEU DE PILE OU FACE INFINI).On joue à Pile ou Face un nombre infini de fois. Si n∈N∗,
on note Anl’événement «on obtient Pile au coup numéro n». Quel est l’espace fondamental de
cette expérience? Exprimer à l’aide de (An)nÊ1les deux événements suivants : A:«on a obtenu
une infinité de fois Pile (au cours d’un jeu infini)»et B:«on n’a obtenu qu’un nombre fini de Face
(au cours d’un jeu infini) ».
Exercice 7. Soient Ω=N∗
6et α∈R∗
+. Déterminer αpour que l’application Psur P(Ω) telle que
P({k}) =α(2k−1) si k∈Ωsoit une probabilité. Calculer la P-probabilité de l’événement A={2,4,6}.
Exercice 8. Soient Pet Qdeux probabilités sur un même espace Ωtelles que, pour tout événement
A⊂Ω,P(A)ÉQ(A). Montrer qu’en fait, Pet Qsont égales.
Exercice 9. Soient P1et P2deux probabilités sur un espace Ω. On définit l’application Qsur P(Ω)
et à valeurs dans Rtelle que Q(A)=1
3P1(A)+2 3P2(A) pour tout A∈P(Ω). Montrer que Qest une
probabilité sur Ω. Généraliser.
Exercice 10 (CODAGE DES VÉHICULES MOTORISÉS).Combien existe-t-il de plaques minéralogiques
à 7 caractères si
1. les deux nombres ont respectivement 3 et 2 chiffres et le code à lettres en comporte deux?
2. et si, de plus, les répétitions de lettres ou de chiffres sur la même plaque sont exclues?
Exercice 11 (ANAGRAMMES).
Combien d’arrangements différents peut-on faire avec les lettres composant les mots suivants :
PINTE, PROPOSE, MISSISSIPPI?
Exercice 12 (RANGEMENT).On range pboules dans ncases. Combien y a-t-il de rangements pos-
sibles si :
1. boules et cases sont discernables, chaque case pouvant recevoir un nombre quelconque de
boules?
2. boules et cases sont discernables, chaque case ne pouvant recevoir qu’une seule boule?
3. boules indiscernables mais cases discernables, chaque case ne pouvant recevoir qu’une seule
boule?
4. boules indiscernables mais cases discernables, chaque case pouvant recevoir un nombre
quelconque de boules?
Exercice 13 (COMMENT S’ASSEOIR EN RANG).
1. De combien de façons peut-on asseoir en rang 3 garçons et 3 filles?
2. Même question si les garçons doivent rester ensemble et les filles aussi.
3. Même question si seuls les garçons doivent rester ensemble.
4. Même question si deux personnes de même sexe ne doivent jamais être voisines.
Exercice 14 (Q.C.M.).Un étudiant doit répondre à 7 des 10 questions d’un examen.
De combien de manières peut-il les choisir? Même question s’il est obligé de choisir au moins trois
des cinq premières questions.
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Exercice 15 (AUTOUR DE LA FORMULE DU BINÔME).
1. Combien y a-t-il de réponses possibles à un questionnaire Vrai/Faux comportant nques-
tions?
2. Combien a-t-il de réponses possibles à ce questionnaire qui comportent k Vrai ?
3. En déduire l’égalité : P0ÉkÉn¡n
k¢=2n. La retrouver grâce à la formule du binôme.
4. Donner une preuve combinatoire de l’égalité : Pn
k=1k¡n
k¢=n2n−1.
Exercice 16 (DISTRIBUTION DE MAINS).On distribue un jeu de 32 cartes.
1. Quelle est la probabilité que la 14-ième carte soit un as?
2. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucun as parmi les trois premières cartes?
3. Quelle est la probabilité que le premier as distribué soit la 14-ème carte?
Exercice 17 (RÉPARTITION DANS UNE FILE D’ATTENTE).On constitue une file d’attente en attri-
buant au hasard des numéros d’ordre à npersonnes. Quelle est la probabilité que deux amis soient
distants de rplaces (i.e. séparés par (r−1) personnes)? Quelle est la distance la plus probable entre
ces deux amis?
Exercice 18 (DÉRANGEMENTS).Un secrétaire a tapé Nlettres et préparé Nenveloppes portant les
adresses des destinataires. Distrait par son téléphone mobile, il répartit au hasard les lettres dans
les enveloppes. Si 1 ÉjÉN, on note Ajl’événement «la j-ème lettre se trouve dans la bonne
enveloppe ».
1. Définir un espace de probabilité (ΩN,P(ΩN),PN) associé à cette expérience aléatoire.
2. Calculer PN(Aj).
3. On fixe kentiers i1<i2<... <ikentre 1 et N. Dénombrer les permutations σde N∗
Ntelles
que σ(i1)=i1,σ(i2)=i2,...,σ(ik)=ik. En déduire PN(Ai1∩Ai2∩...∩Aik).
4. On note Bl’événement «au moins une des lettres est dans la bonne enveloppe ». Exprimer
Bà l’aide des Aj.
5. Utiliser la formule de Poincaré pour calculer PN(B) et sa limite quand Ntend vers l’infini.
Exercice 19 (CHAPEAUX DÉRANGÉS).Soit n∈N∗.npersonnes vont à une soirée et laissent leur
chapeau dans un panier à l’entrée. En repartant, elles prennent un chapeau au hasard dans le
panier. On appelle Akl’évènement «la personne ka récupéré son propre chapeau à la sortie ».
Quelle est la probabilité qu’aucune ne parte avec son propre chapeau?
Exercice 20 (LANCERS SIMULTANÉS).On lance deux dés distinguables (un bleu et un rouge) bien
équilibrés. Considérons les événements suivants : A:la somme vaut 6, B:la somme est un mul-
tiple de 3 et C:la somme est paire. Quel modèle probabiliste (Ω,A,P) associer à cette expérience?
Calculer les probabilités suivantes : P(A), P(B), P(C), P(A∩B), P(A∩C), P(B∩C) et P(A∩B∩C).
Exercice 21 (RÉPÉTITIONS).On joue 4 fois à pile ou face. Quel espace de probabilités associer à
cette expérience? Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 3 faces ou 3 piles consécutivement?
Exercice 22 (STANDARD TÉLÉPHONIQUE).On observe le nombre d’appels téléphoniques à un stan-
dard pendant une minute. On admet que l’espace probabilisé associé à cette expérience est (P(N),P)
où Pest la probabilité telle que
∀n∈N P({n}) =an
n!e−a
où a=1,8. Quelle est la probabilité d’avoir au moins deux appels?
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Exercice 23 (GÉOMÉTRIQUE).Soient p∈]0,1[et Pla probabilité sur Ntelle que, pour tout n∈N,
P({n}) =(1 −p)pn. Calculer la probabilité des événements : {n∈N|NÉnÉM}, {n∈N|NÉn} et
∪n∈N{2n} où (N,M)∈N2.
Exercice 24 (TIRAGE DE BOULES).Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire
au hasard successivement 3 boules sans remise.
1. Définir un espace de probabilité (Ω,A,P) correspondant à cette expérience.
2. Quelle est la probabilité d’obtenir les 3 boules blanches?
3. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule noire au deuxième tirage?
Exercice 25 (INÉGALITÉS DE BOOLE ET DE BONFERRONI).Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé et
(En)n∈N∗∈AN∗une famille dénombrable d’événements.
1. Montrer l’inégalité de Boole : pour tout n∈N∗,P¡Sn
i=1Ei¢ÉPn
i=1P(Ei). En déduire que :
P¡
∞
[
i=1
Ei¢É
∞
X
i=1
P(Ei)
2. Montrer l’inégalité de Bonferroni : pour tout (A,B)∈A2,P(A∩B)ÊP(A)+P(B)−1.
En déduire que :
PÃn
\
i=1
Ei!Ê
n
X
i=1
P(Ei)−(n−1).
3. Montrer que, si P(Ek)=1 pour tout k∈N∗, alors P(∩∞
i=1Ei)=1.
4. On appelle limite supérieure de la suite (En)n∈N∗, et l’on note limsupn∈NEn, la partie de Ω
définie par :
limsup
n∈N∗
En=
∞
\
k=1
∞
[
n=k
En.
Justifier que limsupn∈NEn∈A. Interpréter cet événement.
Montrer que, si P∞
i=1P(Ei)< ∞, la probabilité qu’un nombre infini de Ensoient réalisés est
nulle.
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