TD 1 - Analyse combinatoire. Espaces

L2 MIASHS 51EE07MT
Probabilités Statistiques
I. Giulini : [email protected]
Université Paris Diderot
2016 - 2017
G. Viennet : [email protected]
TD 1 - Analyse combinatoire. Espaces probabilisés.
Exercice 1. On effectue une suite infinie de lancers d’une pièce. Pour tout i entier non nul, on note :
A i = {Obtention de pile au i ème lancer }.
(a) Ecrire à l’aide des événements A i et A ci les événements :
E 5 = { la première apparition de Pile a lieu après le 5 ème lancer},
F 5 = { Pile n’apparaît pas au cours des 5 premiers lancers}.
(b) Définir par une phrase ne comportant aucun vocabulaire mathématique chacun des événements :
¡ 4
¢ ¡ +∞ ¢
c
G 5 = ∩+∞
i =5 A i , H5 = ∩i =1 A i ∩ ∩i =5 A i ,C 5 = ∪i ≥5 A i .
(c) Comparer les événements E 5 , F 5 , G 5 , H5 , et C 5 .
(d) On pose C n = ∪i ≥n A i . Montrer que la suite (C n ) est décroissante. Caractériser d’une phrase ne comportant pas
de vocabulaire mathématique l’événement C = ∩n≥1C n . Décrire son complémentaire.
(e) Ecrire à l’aide des A i l’ événement :
B = { On n’obtient plus que des piles à partir d’un certain lancer}.
Comparer B et C .
Exercice 2. Soit Ω un ensemble et P (Ω) l’ensemble des parties de Ω. Pour A ∈ P (Ω) soit l’application
(
1 si ω ∈ A
1 A : ω 7→
.
0 sinon
(a) Montrer que : A ⊂ B ⇐⇒ 1 A ≤ 1B .
(b) Montrer que 1 Ā = 1 − 1 A et que 1 A∪B = max(1 A , 1B ) et que 1 A∩B = mi n(1 A , 1B ).
(c) Exprimer 1Sn A i en fonction des 1 A i , 1 ≤ i ≤ n.
i =1
(d) Soit S =
Pn
i =1 1 A i . Exprimer à l’aide de S
les événements
Sn
i =1
A i et
Tn
i =1
Ai .
Exercice 3. Définir l’espace Ω ainsi que son cardinal, qui modélise au mieux chacune des expériences aléatoires
suivantes : 1) On jette une pièce de monnaie 10 fois de suite en s’intéressant à l’apparition à chaque jet de pile (P) ou
face (F).
2) On distribue à un joueur 13 cartes d’un jeu de 52 cartes correctement battues.
3) On joue à pile ou face jusqu’à obtenir face.
Exercice 4. On choisit un nombre au hasard parmi les entiers entre 1 et 100. Quel est l’espace probabilisé suggéré par
cet énoncé ?
Exercice 5. On joue à Pile ou Face un nombre infini de fois et on note A n l’événement "on a obtenu Pile au coup
numéro n". Quel est l’espace fondamental ? Exprimer à l’aide des événements A n les deux événements suivants :
A ="on a obtenu une infinité de fois Pile" (au cours d’un jeu infini), et B ="on n’a obtenu qu’un nombre fini de Faces"
(au cours d’un jeu infini).
Exercice 6. Soit P la probabilité sur Ω = {1, . . . , 6} telle que
P ({k}) = α(2k − 1) pour tout k ∈ Ω
où α est une constante.
(a) Calculer α.
(b) Calculer la probabilité de l’événement A = {2, 4, 6}.
Exercice 7. Soit P et Q deux probabilités sur un espace Ω. On suppose que pour tout événement A ⊂ Ω on a P (A) ≤
Q(A).
Montrer que P et Q sont égales.
1
Exercice 8. Soit A et B deux événements.
(a) Montrer que
P (A ∩ B̄ ) = P (A) − P (A ∩ B ).
(b) Démontrer l’inégalité
P (A ∩ B ) ≥ P (A) + P (B ) − 1.
Exercice 9. Soit P 1 et P 2 deux probabilités sur un espace Ω. On définit l’application Q sur l’ensemble des parties P (Ω)
de Ω et à valeurs dans R par
1
2
Q(A) = P 1 (A) + P 2 (A) ∀A ∈ P (Ω).
3
3
Montrer que Q est une probabilité sur Ω.
Exercice 10. Combien existe-t-il de plaques minéralogiques à 7 caractères si
a) les deux nombres ont respectivement 3 et 2 chiffres, et le code à lettres en comporte deux,
b) si, de plus, on suppose que les répétitions de lettres ou de chiffres sur la même plaque sont exclues.
Exercice 11. Combien d’arrangements différents peut-on faire avec les lettres des mots suivants : PINTE ; PROPOSE ;
MISSISSIPPI .
Exercice 12. On range p boules dans n cases, p ≤ n. Combien y a t-il de rangements possibles si :
a) les boules et les cases sont discernables, chaque case pouvant recevoir un nombre quelconque de boules ?
b) les boules et les cases sont discernables, chaque case ne pouvant recevoir qu’une seule boule ?
c) les boules sont indiscernables, les cases sont discernables, chaque case ne pouvant recevoir qu’une seule boule ?
d) les boules sont indiscernables, les cases sont discernables, chaque case pouvant recevoir un nombre quelconque
de boules ?
Exercice 13. a) De combien de faccons peut-on asseoir en rang 3 garccons et 3 filles ?
b) Même question si les garccons doivent rester ensemble et les filles aussi.
c) Même question si seuls les garccons doivent rester ensemble.
d) Même question si deux personnes de même sexe ne doivent jamais être voisins.
Exercice 14. Un étudiant doit répondre à 7 des 10 questions d’un examen. De combien de manières peut-il les choisir ?
Même question s’il est obligé de choisir au moins trois des cinq premières questions.
Exercice 15. Formule du binôme :
a) Combien y a-t-il de réponses possibles à un questionnaire Vrai/Faux comportant n questions ?
b) Combien a-t-il de réponses possibles à ce questionnaire et comportant k Vrai ?
c) En déduire l’égalité : (n0 ) + (n1 ) + . . . + (nn ) = 2n . La retrouver grâce à la formule du binôme.
P
d) Donner une preuve combinatoire de l’égalité : nk=1 k(nk ) = n2n−1 .
On pourra dénombrer de deux manières le nombre de comités ayant un président dans une assemblée de n personnes.
Exercice 16. Pour chacunes des expériences aléatoires suivantes, vous proposez un modèle probabiliste en précisant
soigneusement chacun des éléments du triplet composant ce modèle.
(a) On lance un dé équilibré.
(b) On lance deux dés équilibrés de couleurs différentes.
(c) On tire trois cartes au hasard dans un jeu de 52 cartes.
Exercice 17. On distribue un jeu de 32 cartes.
a) Quelle est la proba que la 14ème carte soit un as ?
b) Quelle est la proba qu’il n’y ait aucun as parmi les trois premières cartes ?
c) Quelle est la proba que le premier as distribué soit la 14ème carte ?
Exercice 18. On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à n personnes. Quelle est la
probabilité que deux amis soient distants de r places (i.e. séparés par (r − 1) personnes) ? Quelle est la distance la plus
probable entre ces deux amis ?
Exercice 19. Une secrétaire un peu distraite a tapé N lettres et préparé N enveloppes portant les adresses des destinataires, mais elle répartit au hasard les lettres dans les enveloppes. Pour 1 ≤ j ≤ N , on note A j l’événement "la j −ème
lettre se trouve dans la bonne enveloppe".
(a) Définir un espace de probabilité (ΩN , P (ΩN ), P N ) associé à cette expérience aléatoire.
(b) Calculer P N (A j ).
(c) On fixe k entiers i 1 < i 2 < . . . < i k entre 1 et N . Dénombrer toutes les permutations σ sur {1, ..., N } telles que
σ(i 1 ) = i 1 , σ(i 2 ) = i 2 , . . . , σ(i k ) = i k . En déduire P N (A i 1 ∩ A i 2 ∩ . . . ∩ A i k ).
2
(d) On note B l’événement "au moins une des lettres est dans la bonne enveloppe". Exprimer B à l’aide des A j .
(e) Utiliser la formule de Poincaré pour calculer P N (B ) et sa limite quand N tend vers l’infini.
Exercice 20. On lance deux dés distinguables (un bleu et un rouge) bien équilibrés. Soient les événements suivants :
A =“La somme vaut 6" ;
B = “La somme est un multiple de 3" ;
C = “La somme est paire".
Quel est le modèle probabiliste associé à cette expérience ? Calculer P (A), P (B ), P (C ), P (A ∩ B ), P (A ∩C ), P (B ∩C )
et P (A ∩ B ∩C ).
Exercice 21. On joue 4 fois à pile ou face.
(a) Donner un espace de probabilité associé à cette expérience.
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 3 faces ou 3 piles consécutivement ?
Exercice 22. : On observe le nombre d’appels téléphoniques à un standard pendant une minute. On admet que l’esa n −a
pace associé est (N, P ) où P est la probabilité définie par P ({n}) =
e
avec a = 1, 8.
n!
Quelle est la probabilité d’avoir au moins deux appels ?
Exercice 23. : Soit P la probabilité définie sur N par P ({n}) = (1 − p)p n où p ∈]0, 1[. Calculer les probabilités des
événements suivants :
a) {n ∈ N / N ≤ n ≤ M } N ≤ M .
b) {n ∈ N / N ≤ n}.
c) {2n, n ∈ N}
Exercice 24. Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On tire au hasard successivement 3 boules sans
remise.
(a) Définir un espace de probabilité (Ω, P ) correspondant à cette expérience.
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir les 3 boules blanches ?
(c) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule noire au 2ème tirage ?
Exercice 25. I NÉGALITÉS DE B OOLE ET DE B ONFERRONI
∗
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé et (E n )n∈N∗ ∈ A N une famille dénombrable d’événements.
¢ P
¡S
E ≤ ni=1 P(E i ). En déduire que :
(a) Montrer l’inégalité de Boole : pour tout n ∈ N∗ , P n
i =1 i
∞
∞
¢ X
¡[
Ei ≤
P (E i )
P
i =1
i =1
(b) Montrer l’inégalité de Bonferroni : pour tout (A, B ) ∈ A 2 , P(A ∩ B ) ≥ P(A) + P(B ) − 1. En déduire que :
P(∩ni=1 E i ) ≥
n
X
P(E i ) − (n − 1).
i =1
(c) Montrer que, si P(E k ) = 1 pour tout k ∈ N∗ , alors P(∩∞
E ) = 1.
i =1 i
(d) On appelle limite supérieure de la suite (E n )n∈N∗ , et l’on note lim supn∈N E n , la partie de Ω définie par :
lim sup E n =
n∈N∗
∞ [
∞
\
En .
k=1 n=k
Justifier que lim supn∈N E n ∈ A . Interpréter cet événement. Montrer que, si
qu’un nombre infini de E n soient réalisés est nulle.
3
P∞
i =1 P(E i ) < ∞,
alors la probabilité