corrigé

préliminaires:
²L’ensembledespermutations(bijections)d’un ensemblede cardinalnestun groupepourlacomposition de cardinaln!
²En particuliersin=2il yadeuxélèmentsdansSn:Id½1¡>1
2¡>2et¿½1¡>2 2¡>1,d’où deuxmatricesPId=µ1 0 0 1 ¶
etP¿=µ0 1
1 0 ¶
²Iln’estpeut-êtrepasinutiled’écrireles6matricespourn=3,pourvoirce quisepasse.En particuliersi¾8
<
:
1¡>2
2¡>3
3¡>1
Onau(e1)=e2;u(e2)=e3etu(e3)=e1doncP=0
@
001
100
0101
A
²Jenote±i;j=I½1sii=j
0siR6=j, lesymboledeKronecker
²Pourévitertoute confusionjegardelanotation usuelle¾±¾0,sansutiliserlanotationsimpli…ée du sujet.
²AttentionausujetNpne contientpas0.
PREMIEREPARTIE
1.a)
²Pardé…nition delamatrice d’un endomorphismedansunebase,onapourtout(i;j)dansNnl’égalitépi;j=±i;¾(j).
C’estàdirepi;j=½1sii=¾(j)
0sii6=¾(j)
Onaun 1etun seuldanschaque colonne(surlaligneitelleque¾(j)=i),etdeszéros sinon
²En particulierlamatrice PIdestlamatrice unitédansMn;n(R).
²Onvéri…ed’autrepartquesi¾et¾0sontdansSn,pourtoutj2[[1;n]],
u¾(u¾0(ej)) =u¾(e¾0(j))=e¾(¾0(j)) =e¾±¾0(j)=u¾±¾0(ej)
onen déduitlesdeuxendomorphismesétantégauxsurunebasequeu¾±u¾0=u¾±¾0etparconséquentP¾±¾0=P¾P¾0.
1.b)On doitvéri…er:
²quepourtoutebijection¾,P¾estunematrice inversible:commeP¾P¾¡1=P¾±¾¡1=PId=InP¾estbien unematrice
inversible,etP¡1 ¾=P¾¡1
²QueÁ(¾±¾0)=Á(¾)Á(¾0):c’estun résultatdelaquestion1.a).
Áun morphismedegroupesSn!GLn(R):
1.c)Vuela…n delaquestionon doitmontrertP¾=P¡1
¾
SoitQ=tPetR=P¡1,Onadonc
qi;j=pj;i=1,j=¾(i),i=¾¡1(j)
etsiR=P¡1
¾=P¾¡1
ri;j=1,i=¾¡1(j)
Onadoncqi;j=1,ri;j=1.Touslesautrescoe¢cientsvalent0.OnadoncbienQ=R
t
P¾=P¡1
¾
CetterelationestuneC.N.S.pourqu’unematrice carrée soitunematrice orthogonale.Lamatrice P¾estorthogonale
2.)Onaen notantw=u¡1
¾±v±u¾
w(ej)=u¡1
¾±v±u¾(ej)=u¡1 ¾±v(e¾(j))=u¾¡1Ãn
X
i=1
ai;¾(j)ei!=
n
X
i=1
ai;¾(j)e¾¡1(i)
Sivestl’endomorphismedeEdontlamatrice danslabaseBestlamatrice A,tP¾AP¾estlamatrice del’endomorphisme
w=u¡1
¾±v±u¾.DoncsiU=tP¾AP¾onaqueuk;lestlacoordonnée dew(el)surek.donc en posantj=let¾¡1(i)=k
ona
uk;l=ai;¾(l)=a¾(k);¾(l)

Onadoncbienvéri…é:(tP¾AP¾)i;j=a¾(i)¾(j)
3)mêmesi lesujetneleditpas,oncomprend qu’unematriceirréductible estunematricequin’estpas
réductible.
3.a)Sin=3sion prend r=2ona:
A0=µUV
(0)W¶0
@
u1u2v1
u3u4v2
0 0 w1
A
estréductible.Unematrice de ce type estsansdoutetrop”trivial”.on prend doncAtelquetP¾AP¾=A0soitA=P¾A0tP¾
en prenantP¾lamatrice du préliminaire
A=0
@
001
100
0101
AA00 @
010
001
1001
A=0 @
w0 0
v1u1u2
v2u3u41
A
En posantle calculonvoitqueleproduitàdroite e¤ectueun changementdel’ordredesligne,alorsque celuià gauche
échangel’ordredescolonnes.
Engardantn=3on peut (doit) prendreun autre exempleavec r=1,Peut-êtreaussiavec d’autresvaleursde¾.
Sipourtout(i;j)ai;j6=0alorspourtoutepermutation¾(tP¾AP¾)i;j=a¾(i)¾(j)6=0.touslescoe¢cientsdeA0sontnon
nulsetA0nepeutpasêtredu typevouluqui imposea0
n;1=0
8(i;j);ai;j6=0)Aestirréductible
3.b)LesélémentsdeS2sontl’identité etlatransposition¿½1¡>2
2¡>1àlaquelle estassociée lamatrice P=µ0 1 1 0 ¶.
D’autrepartici laseulevaleurderpossible estr=1,puisque0<r<2.PourqueA=µa1;1a1;2
a2;1a2;2¶soitréductible, il
fautetil su¢tquele coe¢cient(2;1)del’unedesmatricesAoutPAP=µa2;2a2;1
a1;2a1;2¶soitnul .
Aestréductiblesietseulementsia2;1=0oua1;2=0.Parlacontraposée
a1;2a2;16=0,Airréductible.
Laréciproquedelaquestiona)n’estpasvraiepuisquelamatrice µ0 1
1 0 ¶estirréductibled’aprèsce quiprécèdemaisa
destermesnuls.
3.c)SiAestréductible,ilexiste¾2SnetelqueA0=tP¾AP¾=µUV
(0)W¶.
CommetP=P¡1,onadesmatrices semblablesettP¾ApP¾=A0p=µUp?
(0)Wp¶d’aprèsleproduitdematrices
triangulairesparblocs.Parconséquent:
siAestréductible,pourtoutp2N,Apestréductible
Sipestun entiernatureltelquetouslescoe¢cientsdeApsont6=0,d’après3.a)Apestirréductible,doncAestirréductible.
Onconstatequesi :
A=0
@
110
111
0111
AalorsA2=0 @
221
232
1221
A
ce quiprouvequelamatrice Aestirréductible.
Lamatrice Mestirréductibled’aprèsle critèredelaquestion3.b).DeplusM2=I2etdoncpourtoutentierpMp=M
ouI2adescoe¢cientsnuls.
Laréciproquedelaquestion précédente estfausse.
4.a)
Remarque: lapermutation proposée existebien.Ilsu¢tde classerlesélémentsdeJparordre croissantj1<j2¢¢¢<jp,
etdemême ceuxdeI:i1<i2<¢¢¢ <in¡petdeprendre¾:½a¡>jasia·p
a¡>ia¡psia>p
On prend unepermutation¾telleque¾(Np)=Jalorspourtoutisii·pona¾(i)2Jetdonc comme¾estunebijection
sii>p¾(i)=2Jetdonc¾(i)2J.
Sion poseA0=tP¾APonadoncd’aprèslaquestion2:a0
i;j=a¾(i);¾(j):
Doncpourj·peti>pa0
i;j=0car(¾(i);¾(j)) 2I£J
2

etdoncsice quiprouvequelebloc constituédescolonnes1::petdeslignes(p+1)::ndelamatrice tP¾AP¾estnul. Par
dé…nition, lamatrice Aestdoncréductible en prenantk=p:
Remarque: lesujetproposéavec ¾(Np)=Ipermetausside conclure,maisdefaçon pluscompliqué.
4.b)RéciproquementsitP¾AP¾=A0alorsA=tP¾¡1A0P¾¡1(carP¡1
¾=P¾¡1)etdonctoujoursavec laformuledu 2)
ai;j=a0
¾¡1(i);¾¡1(j).Doncai;j=0si¾¡1(j)·pet¾¡1(i)>p(formeparblocsdeA0),doncsion poseJ=¾(Np)et
I=¾([[p+1;n]])ona
(i;j)2I£J)¡¾¡1(j)2[[1;p]] et¾¡1(i)2[[p+1;n]]¢)ai;j=0
4.c)Pour¾2Sn, lamatrice depassagedelabaseB=(e1;:::;en)àlabaseB¾=(e¾(1);:::;e¾(n))estlamatrice P¾.Donc
siAestlamatrice del’endomorphismevdanslabaseB=(e1;:::;en),alorsA0=P¡1
¾AP¾estlamatrice devdanslabase
B¾.
SiM=matB(f)est triangulaireparblocs,alorslesousespace vectorielengendréparlespremiersvecteursdebase est
stable:M=µUV
(0)W¶,U2Mp(K)alorspourj·k
f(ej)=
n
X
i=1
mi;jei=
p
X
i=1
mi;jei+
n
X
i=p+1
mi;jej=
p
X
i=1
ui;jei+X¡! 02Vect(ei)k
i=1
EtréciproquementsiVect(ei)p
i=1eststablepourj·peti>p,mi;jestlacoordonnée def(ej)sureidoncmi;j=0.
DonciciVect(e¾(1);¢¢¢e¾(p))eststableparvsietseulementsiA0est triangulaireparblocs.
OnvoitdoncqueAestréductiblesi, etseulementsi, il existeL=f¾(1);¢¢¢¾(p)gtelqueVect(ei)i2Lsoitstablepatv.
SecondePartie
1)Soitktelquejxkj=kXk1(doncxk6=0),puisqueAX=¸X,onal’égalité:
n
X
j=1
ak;jxj=¸xkd’où(¸¡ak;k)xk=X
j6=k
ak;jxj
Onen déduit:
j¸¡ak;kj jxkj·X
j6=k
jak;jj jxjj·X
j6=k
jak;jjkXk1=¤kjxkj
Commex6=¡! 0,jxkj6=0(puisquejxkjestlemaximumdesmodules).En divisantparjxkjonobtientl’inégalitéj¸¡ak;kj·
¤k,donc¸2Dk.
¸estélémentdel’un desDjdoncdel’union.¸2 [n
j=1Dj.
2)Onsaitdemanièregénéralequ’unematrice etsatransposée ontmêmedéterminantdoncmêmepolynôme caractéristique,
doncmêmespectre.LesvaleurspropresdeArespectentlesconditionstrouvéesdanslaquestion précédentepourAetaussi
cellesprovenantdu faitque ce sontlesvaleurspropresdet A.
Lesconditionsobtenuesenappliquantlaquestion précédenteàAdonnentj¸¡1j·3ouj¸¡5j·4ouj¸+1j·9(…gure
1)
Lesconditionsobtenuesenappliquantlaquestion précédenteàtAdonnentj¸¡1j·6ouj¸¡5j·6ouj¸+1j·4(…gure
2)
Lapartiedu plan danslaquelledoitsetrouver¸estl’intersection desdeuxdomainesprécédents(…gure3).
3.a)Supposonsqu’il existek2Nntelquej¸¡ak;kj<¤k;on peutposer"=¤k¡j¸¡ak;kj>0;onvoitqueledisque
ouvertde centre¸etderayon",notéB(¸;"),estinclusdansDkpuisque:(cf…gure4)
jz¡¸j<")jz¡ak;kj·jz¡¸j+j¸¡ak;kj<"+j¸¡ak;kj=¤k
Onen déduit:
B(¸;")½Dk½
n
[
j=1
Dj;
ce quicontreditl’hypothèse.
8k;jak;k¡¸j¸¤k
3.b)Ilestsous-entendu qu’ici¸estlavaleurpropredeAassociéauvecteurpropreX.
Dansle calculdelaquestion1)onaprouvéquesijxkj=kXk1,alorsj¸¡ak;kj·¤k;, oronvientdeprouverjak;k¡¸j¸¤k
.Onadonc:jak;k¡¸j=¤k
3.c)Soiti2I,puisqueAX=¸X,onal’égalité:
n
X
j=1
ai;jxj=¸xisoit(¸¡ai;i)xi=X
j6=i
ai;jxj
3

Onen déduit:
j¸¡ai;ij jxij·X
j6=i
jai;jj jxjj
Maiscommed’aprèsb)¤i=j¸¡ai;ij,onaPi6=jjai;jj=j¸¡ai;ijetdoncPj6=ijai;jj jxij·Pj6=ijai;jj jxjj.iest telque
jxij=kXk1ce quidonnedonc:Pj6=ijai;jj(kXk1¡jxjj)·0
:
Lestermesde cettesomme étant tous¸0,ilsontnécessairement tousnuls:8i6=j:jai;jj(kXk1¡jxjj)
etdoncjai;jj=0oukXk1=jxjj(ce quiéquivautàj2I)
sii2Ietj=2I,alorsi6=jetkXk16=jxjjetdoncai;j=0
3.d)L’ensembleIn’estpasvide car9ijxij=kXk1.Si le complémentaireJdeIestnonvidealorsle cardinaldeJest
un entierptelque0<p<n,doncd’aprèslaquestionI4.a)lamatrice Aestréductible,ce quiestcontraireàl’hypothèse
de cettequestion.
Onen déduitI=Nn; lescoordonnéesdeXont toutesmêmemodule,etd’aprèsb),8k2Nn¤k=j¸¡ak;kj.etdonc
¸2 \n
k=1Ck
TroisièmePartie
1)SiAestàdiagonalestrictementdominante,0n’appartientà aucun desdisquesDkcarjak;k¡0j=jak;kj>¤k,donc0
n’estpasvaleurpropredeA.Celaprouvequelenoyauestréduitauvecteurnul.
SiAestàdiagonalestrictementdominante,Aestinversible
2.a)LespointsintérieursàDksontlespointsdontl’a¢xezvéri…ejz¡ak;kj<¤k.Cen’estpasle caspour0pardé…nition
même(8k,jak;kj¸¤k
2.b)PuisqueAestfortementdominante8kj¸¡ak;kj¸¤kpour¸=0.Si02Sp(A),commeAestirréductible etquele
a)delaquestionI3)estvéri…éavec ¸=0,on peuten déduire commedanscettepartieque0estsurtouslescerclesCk
pourtoutk;maisceciesticiexclu pardé…nition(9jjaj;jj>¤j).Onen déduitque0n’estpasdanslespectredeAetA
estinversible.SiAestàdiagonalefortementdominante etirréductible,Aestinversible
3)Soit¸2Sp(A);d’aprèsII 1),9k2Nnj¸¡ak;kj·¤k·ak;k,
¸estdoncdansledisquede centreak;ktangenten0àl’axedesy.Leseulpointdu disquedepartieréellenégativeou nulle
estl’origine,pointexclu parlaquestion2.DoncRe(¸)>0.(…gure5)
moinsgéométrique:Si¸=x+iy,jx¡ak;kj=jRe(¸¡ak;k)j·j¸¡ak;kj·ak;k.Doncx¡akk ¸ ¡ak;ketx¸0.Si
x=0alors¸¡ak;k=iy¡ak;ketdoncj¸¡akk j2=y2¡a2
k;k.Laconditionj¸¡ak;kj·ak;kdonney=0donc¸=0.
Exclu.doncx>0etRe(¸)>0
Ledéterminantdelamatrice estleproduitdesvaleurspropres(avec multiplicité).Commelamatrice estréelle,son
polynôme caractéristique estàcoe¢cientsréels.Lesvaleurspropresnonréelles sontdoncdeuxàdeuxconjuguésetles
racinesconjuguésontmêmemultiplicité.
Séparonslesvaleurspropresen deux:
²lesvaleurspropresréelles sontstrictementpositives(question précédente),doncleurproduiteststrictementpositif.
²lesvaleurspropresnonréelles seregroupentpardeux.Leproduitd’un complexenon nuletdesonconjugué étantun
réelstrictementpositif, leproduitdesracinesnonréelsestun réelstrictementpositif.
²Parproduitdedeuxréels strictementpositifsdet(A)>0
4)CommeAestsymétriqueréellesesvaleurspropres sont toutesréelles,>0d’après3).
lepolynôme caractéristiquedeAestX2¡6X+1deracines6§p32
2strictementpositives.
Lamatrice Aestsymétrique, irréductibled’aprèsI3)b)etsesvaleurspropres sontréelles strictementpositivesmais sa
diagonalen’estpasdominantepuisquea1;1=1<2=a1;2.
Iln’ypasderéciproqueàlaquestion précédente.
4