Etudier la courbe paramétrée par x(t) = tcost − sint , y(t) = 1 + cos t

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Etudier la courbe paramétrée par
x(t) = tcos t−sin t , y(t) = 1 + cos t .
Domaine de définition
Les fonctions xet ysont définies partout. On a donc D=R.
Réduction du domaine d’étude
L’application Φ1:t7→ −test une bijection de I1= [ 0,+∞[sur I′
1= ] −∞,0 ] et l’on a,
x(−t) = −x(t) et y(−t) = y(t).
La courbe est symétrique par rapport à Oy. On l’étudie sur I1et on complètera par la symétrie
S1par rapport à Oy.
Dérivées
On a
x′(t) = −tsin tet y′(t) = −sin t .
Les dérivées x′et y′s’annulent lorsque t=nπ (avec nentier) et tous ces points sont singuliers.
On remarque que
y′(t)
x′(t)=1 t.
Points singuliers
On effectue des développements limités à l’ordre 3de xet yau voisinage de nπ. On pose
h=t−nπ. Alors
x(t) = (h+nπ)(−1)ncos h−(−1)nsin h
= (−1)n(h+nπ)1−h2
2−h−h3 6+◦(h3)
= (−1)nnπ +h−nπ h2
2−h3 2−h+h3 6+◦(h3)
= (−1)nnπ −nπ h2
2−h3 3+◦(h3).

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et
y(t) = 1 + (−1)ncos h= (1 + (−1)n)−(−1)nh2
2+◦(h3).
Donc −−→
OM(t) = −−→ OM(nπ) + h2−→
U2+h3−→
U3+◦(h3),
où
−→
U2=(−1)n+1
2(nπ−→
ı+−→ ) et −→ U3=(−1)n+1
3
−→
ı .
Les vecteurs −→ U2et −→ U3n’étant pas colinéaires, tous les points sont des points de rebroussement
de première espèce. Le coefficient directeur de la tangente en nπ vaut 1/nπ si nn’est pas nul. La
tangente est verticale si n= 0. Les coordonnées des points sont (nπ, 2) si nest pair et (−nπ, 0) si
nest impair. Les points sont situés sur l’axe Ox dans le deuxième cas et sur la droite d’équation
y= 2 dans le premier.
Tableau de variation
On peut donner l’allure du tableau de variation sur un intervalle [ 2nπ, (2n+ 2)π]où nest
entier positif.
t
x′
x
y
y′
y′/x′
2nπ (2n+ 1)π(2n+ 2)π
−+0 0 0
0 0 0−+
1
2nπ
1
(2n+1)π
1
(2n+2)π
2nπ
−(2n+ 1)π
(2n+ 2)π
0
22
~
>
~
>
Points doubles
On considère le système
t1cos t1−sin t1=t2cos t2−sin t2
1 + cos t1= 1 + cos t2
,

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avec t1différent de t2.
La deuxième équation donne
cos t1= cos t2.
Il y a donc deux cas possibles.
(1) t1=t2+ 2kπ avec kentier non nul.
En remplaçant dans la première équation, on obtient
(t2+ 2kπ) cos t2−sin t2=t2cos t2−sin t2,
ce qui donne
cos t2= 0 ,
et donc
t2=π
2+rπ ,
avec rentier. Dans ce cas
x(t2) = (−1)ret y(t2) = 1 .
On trouve les points (−1,1) et (1,1) qui sont obtenus pour une infinité de valeurs du paramètre r.
(2) t1=−t2+ 2kπ avec kentier.
On obtient cette fois
(−t2+ 2kπ) cos t2+ sin t2=t2cos t2−sin t2,
ce qui équivaut à
2kπ cos t2= 2t2cos t2−2 sin t2.
Si cos t2était nul, on en déduirait alors que sin t2le serait aussi ce qui n’est pas possible. On
peut donc diviser par 2 cos t2et l’équation devient
tan t2=t2−kπ .
Or la fonction s7→ tan s−s+kπ a une dérivée positive. Elle est strictement croissante dans
tout intervalle ]−π/2 + pπ, π/2 + pπ [où pest entier. Comme elle varie de −∞ à+∞sur cet
intervalle, l’équation
tan s=s−kπ
possède une solution et une seule sp,k dans cet intervalle. On a alors
y(sp,k) = 1 + cos sp,k et x(sp,k) = kπ cos(sp,k).
Lorsque kest fixé, ces points sont situés sur la droite d’équation
y=x
kπ + 1 .
Ces points sont tous distincts. On a donc une infinité de points doubles.

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Tracé de la courbe
Il n’est bien sûr pas possible de tracer une telle courbe. Voici une représentation de l’arc obtenu
lorsque tvarie de −3πà+3π(il n’y a pas la même échelle sur les deux axes).
-
6
2
π