121 - 1 Etudier la courbe paramétrée par x(t) = t cos t − sin t , y(t) = 1 + cos t . Domaine de définition Les fonctions x et y sont définies partout. On a donc D = R. Réduction du domaine d’étude L’application Φ1 : t 7→ −t est une bijection de I1 = [ 0, +∞ [ sur I1′ = ] −∞, 0 ] et l’on a, x(−t) = −x(t) et y(−t) = y(t) . La courbe est symétrique par rapport à Oy. On l’étudie sur I1 et on complètera par la symétrie S1 par rapport à Oy. Dérivées On a x′ (t) = −t sin t et y ′ (t) = − sin t . Les dérivées x′ et y ′ s’annulent lorsque t = nπ (avec n entier) et tous ces points sont singuliers. On remarque que 1 y ′ (t) = . ′ x (t) t Points singuliers On effectue des développements limités à l’ordre 3 de x et y au voisinage de nπ. On pose h = t − nπ. Alors x(t) = (h + nπ)(−1)n cos h − (−1)n sin h h3 h2 n 3 = (−1) (h + nπ) 1 − − h− + ◦(h ) 2 6 h2 h3 h3 n 3 = (−1) nπ + h − nπ − −h+ + ◦(h ) 2 2 6 h2 h3 − + ◦(h3 ) . = (−1)n nπ − nπ 2 3 121 - 2 et h2 + ◦(h3 ) . 2 y(t) = 1 + (−1)n cos h = (1 + (−1)n ) − (−1)n Donc où − → − → −−→ −−→ OM (t) = OM (nπ) + h2 U2 + h3 U3 + ◦(h3 ) , − → (−1)n+1 − → (−1)n+1 − → → → (nπ − ı +− ) et U3 = ı . U2 = 2 3 − → − → Les vecteurs U2 et U3 n’étant pas colinéaires, tous les points sont des points de rebroussement de première espèce. Le coefficient directeur de la tangente en nπ vaut 1/nπ si n n’est pas nul. La tangente est verticale si n = 0. Les coordonnées des points sont (nπ, 2) si n est pair et (−nπ, 0) si n est impair. Les points sont situés sur l’axe Ox dans le deuxième cas et sur la droite d’équation y = 2 dans le premier. Tableau de variation On peut donner l’allure du tableau de variation sur un intervalle [ 2nπ, (2n + 2)π ] où n est entier positif. t 2nπ x′ 0 (2n + 1)π 0 − (2n + 2)π + 2nπ 0 > (2n + 2)π x ~ −(2n + 1)π 2 2 > y ~ y′ 0 y ′ /x′ 1 2nπ − 0 0 1 (2n+1)π + 0 1 (2n+2)π Points doubles On considère le système t1 cos t1 − sin t1 = t2 cos t2 − sin t2 1 + cos t1 = 1 + cos t2 , 121 - 3 avec t1 différent de t2 . La deuxième équation donne cos t1 = cos t2 . Il y a donc deux cas possibles. (1) t1 = t2 + 2kπ avec k entier non nul. En remplaçant dans la première équation, on obtient (t2 + 2kπ) cos t2 − sin t2 = t2 cos t2 − sin t2 , ce qui donne cos t2 = 0 , et donc π + rπ , 2 t2 = avec r entier. Dans ce cas x(t2 ) = (−1)r et y(t2 ) = 1 . On trouve les points (−1, 1) et (1, 1) qui sont obtenus pour une infinité de valeurs du paramètre r. (2) t1 = −t2 + 2kπ avec k entier. On obtient cette fois (−t2 + 2kπ) cos t2 + sin t2 = t2 cos t2 − sin t2 , ce qui équivaut à 2kπ cos t2 = 2t2 cos t2 − 2 sin t2 . Si cos t2 était nul, on en déduirait alors que sin t2 le serait aussi ce qui n’est pas possible. On peut donc diviser par 2 cos t2 et l’équation devient tan t2 = t2 − kπ . Or la fonction s 7→ tan s − s + kπ a une dérivée positive. Elle est strictement croissante dans tout intervalle ] −π/2 + pπ, π/2 + pπ [ où p est entier. Comme elle varie de −∞ à +∞ sur cet intervalle, l’équation tan s = s − kπ possède une solution et une seule sp,k dans cet intervalle. On a alors y(sp,k ) = 1 + cos sp,k et x(sp,k ) = kπ cos(sp,k ) . Lorsque k est fixé, ces points sont situés sur la droite d’équation x + 1. y= kπ Ces points sont tous distincts. On a donc une infinité de points doubles. 121 - 4 Tracé de la courbe Il n’est bien sûr pas possible de tracer une telle courbe. Voici une représentation de l’arc obtenu lorsque t varie de −3π à +3π (il n’y a pas la même échelle sur les deux axes). 2 6 - π