Etudier la courbe paramétrée par x(t) = tcost − sint , y(t) = 1 + cos t

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Etudier la courbe paramétrée par
x(t) = t cos t − sin t ,
y(t) = 1 + cos t .
Domaine de définition
Les fonctions x et y sont définies partout. On a donc D = R.
Réduction du domaine d’étude
L’application Φ1 : t 7→ −t est une bijection de I1 = [ 0, +∞ [ sur I1′ = ] −∞, 0 ] et l’on a,
x(−t) = −x(t) et y(−t) = y(t) .
La courbe est symétrique par rapport à Oy. On l’étudie sur I1 et on complètera par la symétrie
S1 par rapport à Oy.
Dérivées
On a
x′ (t) = −t sin t et y ′ (t) = − sin t .
Les dérivées x′ et y ′ s’annulent lorsque t = nπ (avec n entier) et tous ces points sont singuliers.
On remarque que
1
y ′ (t)
= .
′
x (t)
t
Points singuliers
On effectue des développements limités à l’ordre 3 de x et y au voisinage de nπ. On pose
h = t − nπ. Alors
x(t) = (h + nπ)(−1)n cos h − (−1)n sin h
h3
h2
n
3
= (−1) (h + nπ) 1 −
− h−
+ ◦(h )
2
6
h2 h3
h3
n
3
= (−1) nπ + h − nπ
−
−h+
+ ◦(h )
2
2
6
h2 h3
−
+ ◦(h3 ) .
= (−1)n nπ − nπ
2
3
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et
h2
+ ◦(h3 ) .
2
y(t) = 1 + (−1)n cos h = (1 + (−1)n ) − (−1)n
Donc
où
−
→
−
→
−−→
−−→
OM (t) = OM (nπ) + h2 U2 + h3 U3 + ◦(h3 ) ,
−
→ (−1)n+1
−
→ (−1)n+1 −
→
→
→
(nπ −
ı +−
 ) et U3 =
ı .
U2 =
2
3
−
→
−
→
Les vecteurs U2 et U3 n’étant pas colinéaires, tous les points sont des points de rebroussement
de première espèce. Le coefficient directeur de la tangente en nπ vaut 1/nπ si n n’est pas nul. La
tangente est verticale si n = 0. Les coordonnées des points sont (nπ, 2) si n est pair et (−nπ, 0) si
n est impair. Les points sont situés sur l’axe Ox dans le deuxième cas et sur la droite d’équation
y = 2 dans le premier.
Tableau de variation
On peut donner l’allure du tableau de variation sur un intervalle [ 2nπ, (2n + 2)π ] où n est
entier positif.
t
2nπ
x′
0
(2n + 1)π
0
−
(2n + 2)π
+
2nπ
0
>
(2n + 2)π
x
~
−(2n + 1)π
2
2
>
y
~
y′
0
y ′ /x′
1
2nπ
−
0
0
1
(2n+1)π
+
0
1
(2n+2)π
Points doubles
On considère le système

 t1 cos t1 − sin t1 = t2 cos t2 − sin t2

1 + cos t1 = 1 + cos t2
,
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avec t1 différent de t2 .
La deuxième équation donne
cos t1 = cos t2 .
Il y a donc deux cas possibles.
(1) t1 = t2 + 2kπ avec k entier non nul.
En remplaçant dans la première équation, on obtient
(t2 + 2kπ) cos t2 − sin t2 = t2 cos t2 − sin t2 ,
ce qui donne
cos t2 = 0 ,
et donc
π
+ rπ ,
2
t2 =
avec r entier. Dans ce cas
x(t2 ) = (−1)r
et
y(t2 ) = 1 .
On trouve les points (−1, 1) et (1, 1) qui sont obtenus pour une infinité de valeurs du paramètre r.
(2) t1 = −t2 + 2kπ avec k entier.
On obtient cette fois
(−t2 + 2kπ) cos t2 + sin t2 = t2 cos t2 − sin t2 ,
ce qui équivaut à
2kπ cos t2 = 2t2 cos t2 − 2 sin t2 .
Si cos t2 était nul, on en déduirait alors que sin t2 le serait aussi ce qui n’est pas possible. On
peut donc diviser par 2 cos t2 et l’équation devient
tan t2 = t2 − kπ .
Or la fonction s 7→ tan s − s + kπ a une dérivée positive. Elle est strictement croissante dans
tout intervalle ] −π/2 + pπ, π/2 + pπ [ où p est entier. Comme elle varie de −∞ à +∞ sur cet
intervalle, l’équation
tan s = s − kπ
possède une solution et une seule sp,k dans cet intervalle. On a alors
y(sp,k ) = 1 + cos sp,k
et x(sp,k ) = kπ cos(sp,k ) .
Lorsque k est fixé, ces points sont situés sur la droite d’équation
x
+ 1.
y=
kπ
Ces points sont tous distincts. On a donc une infinité de points doubles.
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Tracé de la courbe
Il n’est bien sûr pas possible de tracer une telle courbe. Voici une représentation de l’arc obtenu
lorsque t varie de −3π à +3π (il n’y a pas la même échelle sur les deux axes).
2
6
-
π