document de revision de l`ensemble du programme de l`annee

DOCUMENT DE REVISION DE L’ENSEMBLE
DU PROGRAMME DE L’ANNEE
Mohamed Ait Lhoussain
16 janvier 2012
Table des matières
1
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6
6
6
6
6
6
2
TOPOLOGIE DE Rd : QUELQUES NOTIONS DE BASE.
2.1 Fiche de Révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
3
FONCTIONS VECTORIELLES
3.1 Fiche de révision . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Limites, continuité, dérivabilité
3.1.2 Operations . . . . . . . . . . .
3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
4
PROGRAMME DE SPE TSI
1.1 Contenu du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Fonctions d’une variable réelle , Calcul différentiel
1.1.2 Algèbre linéaire, Géométrie euclidienne . . . . . . .
1.1.3 Série, Intégrales dépendant d’un paramètre . . . . .
1.1.4 Equations différentielles, Géométrie différentielle .
1.2 Hors programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INTÉGRALES
4.1 Résumé du cours : . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Intégrales sur un segment [a; b] . . . .
4.1.2 Intégrales sur un intervalle quelconque
4.1.3 Fonctions positives . . . . . . . . . .
1
4.1.4 1er exemple standard : x 7! ¸ . . . .
x
4.1.5 2e exemple standard : x 7! e–x . . . .
4.1.6 3e exemple standard : x 7! ln x . . . .
4.2 Fiche de révision . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Méthodes générales . . . . . . . . . .
4.2.2 Tests (x ` a)¸ ; (b ` x)¸ et x¸ . . .
4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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9
ALGÈBRE LINÉAIRE : RAPPELS ET COMPLEMENTS
5.1 Revison de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 noyau,image,injectivité,surjectivité, rang . . . . .
5.1.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Conséquences du théorème du rang . . . . . . . .
5.1.4 Applications linéaires et matrices . . . . . . . . .
5.1.5 Application linéaire canoniquement associée à une
5.1.6 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.7 Quelques propriétés du rang d’une matrice : . . .
5.1.8 Matrices échelonnées . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.9 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.10 Matrices de la base canonique . . . . . . . . . .
5.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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matrice
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34
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35
DETERMINANT
6.1 Résumé de cours . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Determinant, cofacteurs, mineurs
6.1.2 Propriétés du determinant . . . .
6.2 Fiche de révision . . . . . . . . . . . . .
6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
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42
REDUCTION DES ENDOMORPHISMES
7.1 Résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Valeur propre , vecteur propre, sous-espace propre . . . . .
7.1.2 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Valeurs propres et polynôme caractéristique . . . . . . . .
7.1.5 Endomorphisme et matrices digonalisables , trigonalisables
7.2 Fiche de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Cette matrice est elle diagonalisable ? trigonalisable ? . . .
7.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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,comatrice
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SERIES NUMERIQUES :
8.1 Résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3 Séries géométriques et comparaison logarithmique
termes strictement positifs . . . . . . . . . . . .
8.1.4 Séries et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.5 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Fiche de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Cartes Pour Quelques Series . . . . . . . . . . . . . . .
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des
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series à
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FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
9.1 Résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Fiche de révisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 EXERCICES MODELES AVEC REPONSE :
. . . . . . . . . . . . .
2
50
50
50
50
51
52
52
53
58
60
63
63
64
64
10 SERIES ENTIERES
10.1 Résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Fiche de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.2 Comportement au bornes de l’intervalle de convergence . . . .
10.4.3 Toujours D’Alembert pour determiner le rayon de convergence ?
10.4.4 Une mise en garde sur le développement en série entière . . .
10.5 Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
72
72
72
73
73
73
74
74
75
11 INTÉGRALES DEPENDANT D’UN PARAMETRE
11.1 Résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
78
80
12 ESPACES PREHILBERTIENS
12.1 Résumé de cours . . . . . .
12.2 Fiche de révisions . . . . .
12.3 exercices . . . . . . . . . .
83
83
87
92
RELS, ESPACES EUCLIDIENS
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13 SERIES DE FOURIER
96
13.1 Résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
13.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
14 EQUATIONS DIFFERENTIELLES
14.1 Résumé de cours . . . . . . . . . . .
14.2 Fiche . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Système différentiels linéaires . . . .
14.3.1 Equation différentielle linéaire
variables
. . . . . . . . . .
14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . .
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du second ordre avec coefficients
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15 REDUCTION DES QUADRIQUES
15.1 Quadrique à centre . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Cours : Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Exemple de réduction d’une forme quadratique
15.4 Un exemple de réduction d’une conique . . . .
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16 INTÉGRALES MULTIPLES
16.1 Résumé de cours . . . . . . . . . . . .
16.1.1 Définition de l’intégrale double
R2 . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . .
16.1.3 Changement de variables . . .
16.1.4 Intégrale triples . . . . . . . .
16.2 Fiche de révisions . . . . . . . . . . .
16.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
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parties
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3
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sur
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des
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particulières
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de
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112
112
113
115
115
115
116
116
116
117
117
17 COURBES PLANES, COURBES DANS l’ESPACE
17.1 Résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2 Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.3 Branches infinies . . . . . . . . . . . . .
17.1.4 Courbes planes en polaires . . . . . . . .
17.2 Courbes dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.1 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.2 Courbe tracée sur une surface . . . . . .
17.2.3 Courbe intersection de deux surface . . .
17.3 Fiche de révisions . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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120
120
121
121
121
18 ISOMETRIES AFFINES
122
18.1 Résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
18.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
19 NAPPES PARAMETREES ET SURFACES
19.1 Surface, Nappe paramètrée . . . . . . . .
19.1.1 Surface . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.2 Nappe paramètrée
. . . . . . . .
19.2 Surface d’équation z = f(x; y) . . . . . .
19.3 Surface d’équation F (x; y; z) = 0 . . . . .
19.3.1 Théorème des fonctions implicites
19.3.2 Conséquence . . . . . . . . . . . .
19.3.3 Un exemple . . . . . . . . . . . .
19.4 Des surfaces particulières . . . . . . . . .
19.4.1 Cylindre . . . . . . . . . . . . . .
19.4.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . .
19.4.3 Cône . . . . . . . . . . . . . . . .
19.4.4 Surface de révolution . . . . . . .
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20 REVISION SUP
20.1 Calcul integral . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2 Développements limités . . . . . . . . . . . . .
20.2.1 Quelques exemples : . . . . . . . . . .
20.2.2 Calcul de limites . . . . . . . . . . . .
20.3 polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.1 degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.2 multiplicité . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.3 Polynôme interpolateur de Lagrange . .
20.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4 Produit vectoriel dans R3 . . . . . . . . . . . .
20.4.1 Determinant dans une base orthonormale
20.4.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . .
20.4.3 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . .
4
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125
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125
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126
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128
128
128
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directe
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136
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21 REVISION CONCOURS
21.1 Algèbre linéaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.1.1 Matrices, rang,noyau,image ... . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.1.2 Réduction des matrices et endomorphismes en dimension finie
21.1.3 Un mot sur les matrices échelonnées : . . . . . . . . . . . .
21.2 Préhilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2.1 Orthogonal, projection orthogonale : . . . . . . . . . . . . .
21.3 Forme bilinéaire symétrique , forme quadratique , orthogonalité . . .
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138
138
138
139
140
141
141
141
22 EXERCICES EXTRAITS DES CONCOURS AVEC INDICATION
145
22.1 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
22.2 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
23 LES
23.1
23.2
23.3
CLASSIQUES
Intégrales Wallis . . .
Intégrale de Dirichlet
Intégrale de Gauss . .
+1
X
23.4 Somme de la série
148
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
n2
n=1
24 QUESTION RÉPONSES : DES QUESTIONS POSEES
24.1 Question 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.2 Question 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.3 Question 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.4 Question 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.5 Question 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.6 Question 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.7 Question 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.8 Question 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.9 Question 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.10Question 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.11Question 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
PAR
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
MES ELEVES151
. . . . . . 151
. . . . . . 151
. . . . . . 151
. . . . . . 151
. . . . . . 152
. . . . . . 152
. . . . . . 153
. . . . . . 154
. . . . . . 157
. . . . . . 158
. . . . . . 158
1
PROGRAMME DE SPE TSI
1.1
1.1.1
Contenu du programme
Fonctions d’une variable réelle , Calcul différentiel
1. Notions élémentaires de topologie de Rd
2. Limite et continuité des fonctions d’une variable réelle à valeurs dans Rd
3. Dérivation des fonctions d’une variable réelle à valeurs dans Rd
4. Intégration des fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque
5. Continuité des fonctions de Rn dans Rp
6. Fonctions de plusieurs variables ; calcul différentiel
1.1.2
Algèbre linéaire, Géométrie euclidienne
1. Rappels et compléments sur les espaces vectoriels et les applications linéaires
2. Determinants
3. Reduction des endomorphismes en dimension finie
4. Espace préhilbertien réel , espace euclidien
5. Transformations du plan et de l’espace (euclidiens orientés)
1.1.3
Série, Intégrales dépendant d’un paramètre
1. Série de nombres réels ou complexes
2. Séries entières
3. Séries de Fourier
4. Intégrales dépendant d’un paramètre
1.1.4
Equations différentielles, Géométrie différentielle
1. Equations différentielles linéaires
2. Notions sur les equations différentielles non linéaires d’ordre 1
3. Intégrales multiples
4. Géométrie différentielle
1.2
Hors programme
Lorsque vous travaillez dans des livres , vous confronterez certaines notions non traitées
en TSI car elles sont hors programme. On va essayer d’en citer certaines :
– suite de Cauchy
– Critère de Cauchy
– Espace de Banach
– Norme matricielle
– Rayon spectral
– Suite de fonctions
– Série de fonctions
– Convergence uniforme
6
–
–
–
–
Convergence normale
Derivation terme à terme d’une série de fonction
Integration terme à terme d’une série de fonctions
Théorème de convergence dominée
Z
X
– Interversion des symboles
– Interversion des symboles
et
X
(sommes infinies)
et lim (sommes infinies)
Z
– Interversion des symboles
–
–
–
–
–
–
–
et lim
polynôme minimal
Théorème de décomposition des noyaux
Théorème de Cayley-Hamilton
Décomposition de Dunford
Dualité
Repère de Frenet , formules de Frenet
Théorème de Caucy-Lipschitz
7
2
TOPOLOGIE DE Rd : QUELQUES NOTIONS DE
BASE.
2.1
Fiche de Révision
1) Norme dans Rd : rappeler la définition
2) Boules, sphères
3) Ouverts, fermés
Pour démontrer qu’une partie F de Rd est fermée, la méthode la plus pratique est
l’utilisation de la caractérisation séquentielle des fermés :
On considère une suite (un ) à valeurs dans F qui converge vers ‘ 2 Rd et on prouve
que ‘ 2 F .
Exemple : Montrons que F = f(x; y) 2 R2 =x » yg est une partie fermée de R2 .
Pour ce faire soit (un = (xn ; yn )) une suite à valeurs dans F qui converge vers ‘ =
(x; y) 2 R2 . Ceci veut dire que : lim xn = x et
lim yn = y. Comme (xn ; yn ) 2
n!+1
n!+1
F pour tout n 2 N, on a xn » yn pour tout n 2 N et par suite :
lim xn »
n!+1
lim yn ,
n!+1
d’où x » y et par suite (x; y) 2 F .
Autres exemples(faites les) :
A = f(x; y; z) 2 R3 =x » y + zg est un fermé de R3
C = f(x; y) 2 R2 =x2 ` y + x3 y 3 = 0g est un fermé de R2 .
D = f(x; y; z) 2 R3 =x = y 2 + 1 et xyz = 1g est un fermé de R3
Pour démontrer qu’une partie A de Rd est ouverte la méthode des plus simples est de
prouver que Ac = Rd nA est fermée.
Par exemple, soit W = f(x; y) 2 R2 =x2 + y > 1g. Montrons que W est ouvert. On
a W c = f(x; y) 2 R2 =x2 + y » 1g. Soit ((xn ; yn )) une suite d’éléments de W c qui
converge vers ‘ = (a; b) 2 Rd . Cela veut dire que lim xn = a et
lim yn = b.
n!+1
n!+1
Pour tout n 2 N, on a (xn ; yn ) 2 W c , donc : x2n + yn » 1 et par passage la limite on a :
lim (x2n + yn » 1. Or , d’après les operations sur les limites on a : lim (x2n + yn =
n!+1
2
n!+1
a + b, d’où : a2 + b » 1 et par suite : (a; b) 2 W c . On a prouvé donc que W c est un
fermé de Rd , donc W est un ouverts de Rd
4)Point adhérent : A est une partie de Rd et a 2 Rd . On dit que a est un point adhérent
à A si toute boule ouverte de centre a rencontre A en aux moins un point. Tout point
de A est adhérent à A. Il se peut qu’un point soit adhérent à A sans qu’il appartienne à
A. Par exemple : l’ensemble des point adhérents d’un intervalle ]a; b[ avec (a; b) 2 R2
et a < b est le segment [a; b].
5)Suite : une suite (un ) à valeurs dans Rd converge vers ‘ = (‘1 ; :::; ‘d ) si et seulement
si la suite réelle (jjun ` ‘jj)n converge vers 0 si et seulement si pour tout k 2 f1; :::; dg,
la suite réelle (ukn )n converge vers ‘k , où u1 ; :::; ud sont les suites coordonnées de u.
6) Fermeture et suite : une partie F de Rd est fermée si et seulement si pour toute
suite (un ) 2 F N si (un ) converge vers ‘ 2 Rd alors ‘ 2 F .
2.2
Exercices
Exercice 1:
Soit N une application de R vers R+ .Démontrer que N est une norme sur R si seulement
s’il existe un nombre réel strictement positif ¸ tel que :
8x 2 R
N(x) = ¸jxj:
8
Exercice 2:
1. Montrer que l’application N définie de R2 vers R+ par : N(x; y) = jxj + 2jyj pour
tout (x; y) 2 R2 est une norme. Tracer soigneusement la sphère unité associée à
cette norme.
p
2. Même question pour : n(x; y) =
2x2 + y 2 pour tout (x; y) 2 R2 .
Exercice 3:
1. Montrer que la somme de deux normes de Rd est une norme de Rd .
2. Montrer que si N est une norme sur Rd et si – 2 R˜+ alors –N est une norme sur
Rd
3. Montrer que si N désigne l’une des normes : N1 = jj:jj1 + jj:jj2 , N2 = jj:jj1 + jj:jj1 ,
N3 = jj:jj2 + jj:jj1 alors la sphère unité de N est symétrique par rapport aux axes
des abscisses et des ordonnées ainsi que par rapport à la premiere bissectrice.
4. En déduire un tracé des sphères unités S1 ; S2 ; S3 respectives de ces trois normes.
Exercice 4:
Montrer que si N et N 0 sont deux normes parmi les trois normes jj:jj1 ; jj:jj2 et jj:jj1
alors Toute boule ouverte non vide de l’une en contient une non vide de l’autre.
Exercice 5:
1. Soit I un intervalle fermé de R et f une application de I vers R continue sur I et
soit F = fx 2 I=f(x) = 0g. Montrer que F est un fermé de (R; j:j).
2. On considère l’application f définie sur R par
(
ı
si x 6= 0
x sin
f(x) =
x
0 si x = 0
(a) Prouver que f est continue sur R
1
f(x) = 0 () x = 0 ou 9n 2 N˜ x =
n

ff
1
(c) En déduire que l’ensemble A =
=n 2 N˜ [ f0g est une partie fermée de
n
R.

ff
1
3. Prouver par une autre méthode que A =
=n 2 N˜ [ f0g est une partie fermée
n
de R.

ff
1
=n 2 N˜ n’est ni ouvert ni fermé dans R
4. Montrer que B =
n
(b) Montrer que 8x 2 R+
Exercice 6:
1. Soit X = (x; y) 2 R2 . justifier l’existence de N(X) = sup jxt + yj.
t2[0;1]
2
2. Montrer que N comme application de R vers R+ est une norme sur R2
9
3. Tracer sa sphère unité
Exercice 7:
p
Pour quelles valeurs du nombre réel – la relation : N– (X) =
x2 + 2–xy + y 2 , pour
2
2
X = (x; y) 2 R , définit- elle une norme N– sur R
Réponse
Pour que N– soit bien définie in faut que x2 + 2–xy + y 2 soit positif pour tout
(x; y) 2 R2 . En particulier pour y = 1 il faut que : 8x 2 R x2 + 2–x + 1 – 0 et
cela est vrai si et seulement si –2 ` 1 » 0.
Réciproquement, si –2 » 1 alors pour tout (x; y) 2 R2 , si y = 0 alors :
x2 + 2–xy + y 2 = x2 – 0
et si y 6= 0 on a en posant T =
x
:
y
x2 + 2–xy + y 2 = y 2 (T 2 + 2–T + 1) = y 2 (T + –)2 + 1 ` –2 – 0
Alors : N– est bien définie si et seulement si j–j » 1. On va étudier les cas :
› Si – = ˚1 alors N– (x; y) = jx ˚ yj ne définit pas une norme car N– (1; 1) =
0 ou N– (`1; 1) = 0
q
› Si j–j < 1 alors N– (x; y) =
(x + –y)2 + (—y)2 avec — = 1 ` –2 , donc en posant
X = (x; y), on a : N– (X) = jj’(X)jj2 où ’ est l’application linéaire de R2 vers R2
de matrice dans la base canonique :
„
«
1 –
A=
0 —
On a det(A) = — = 1 ` –2 > 0, donc A est inversible et N– est une norme
Exercice 8:
1. Pour tout X = (x; y) 2 R2 , on pose :N(X) = sup
t2R
jx + tyj
. Prouver que N est une
1 + t2
norme sur R2
2. Dessiner la sphère unité associée à cette norme
Réponse
x + ty
étant continue
t2 + 1
fu (t) = 0, elle est bornée sur R, donc sup jfu (t)j est bien
1. Soit u = (x; y) 2 R2 la fonction fu définie par fu (t) =
sur R et vérifie
lim
jtj!+1
t2R
défini, donc N est bien définie.
› Inégalité triangulaire : Soit u = (x; y) et v = (x0 ; y 0 ) deux vecteurs de
R2 , alors u + v = (x + x0 ; y + y 0 ) et pour tout t 2 R, on a :
jx + x0 + t(y + y 0 )j » jx + tyj + jx0 + ty 0 j
10
si bien que :
jx + tyj
jx0 + ty 0 j
jx + x0 + t(y + y 0 )j
»
+
t2 + 1
t2 + 1
t2 + 1
Or pour tout t 2 R, on a :
jx + tyj
» N(u)
t2 + 1
et
jx0 + ty 0 j
» N(u0 ). Il en
t2 + 1
résulte que : :
8t 2 R
jx + x0 + t(y + y 0 )j
» N(u) + N(u0 )
t2 + 1
Par passage à la borne supérieure, on a : N(u + u0 ) » N(u) + N(u0 )
› Séparation :
Soit u = (x; y) 2 R2 tel que N(u) = 0. Alors pour tout t 2 R, on a :
jx + tyj
»0
t2 + 1
Donc 8t 2 R xt + y = 0 d’où x = y = 0 (le polynôme P (X) = yX + x étant
nul , ses coefficients son nuls.)
› Homogénéité : Pour tout – 2 R et tout u = (x; y) 2 R2 , on a :
N(–u) = sup
t2R
j–x + t–yj
jx + tyj
= j–j sup 2
= j–jN(u)
t2 + 1
t2R t + 1
Conclusion : N est bien une norme de R2
2. Soit u = (x; y) 2 R2 .
jxj
= jxj, en effet 1 est un minimum absolu
+1
t2R
1
de la fonction t 7! t2 + 1 obtenu pour t = 0, donc
= 1 est un maximum
1
1
et comme jxj – 0, on a jxj est un maximum absolu de
absolu de t 7! 2
t +1
jxj
t 7! 2
.
t +1
On a alors :
Si y = 0 alors N(u) = sup
t2
N(x; 0) = 1 , jxj = 1 , (x; 0) 2 f(`1; 0); (1; 0)g
› Si y 6= 0, étudions les variations de la fonction fu tel que fu (t) =
x + ty
t2 + 1
pour tout t 2 R.
f est derivable sur R et :
8t 2 R
fu0 (t) =
y(1 + t2 ) ` 2t(x + ty)
`yt2 ` 2tx + y
=
(t2 + 1)2
(t2 + 1)2
et fu0 (t) a le même signe que g(t) = `yt2 ` 2xt + y, trinôme de discriminent
réduit ´0 = x2 + y 2 > 0. Le tableau des variations de fu est par suite l’un
des tableaux ci-dessous suivant le signe de y Ceci permet de dire que que
fu possède un minimum absolu ˛1 et un maximum absolu ˛2 non nuls et
de signes contraires, c’est-à-dire ˛1 < 0 < ˛2 atteints une et une seule fois
en ¸1 et ¸2 les deux racines distinctes du trinôme g.On en déduit aussi que
11
sup jfu (t)j = max(`˛1 ; ˛2 ).
t2R
Ainsi on a
N(u) = 1 , (˛2 = 1
et
` 1 » ˛1 » 0)
ou
(˛1 = `1
et
0 » ˛2 » 1)
Considérons les assertions suivantes :
(i) 9!t 2 R fu (t) = 1 et 8t 2 R
` 1 » fu (t)
(ii) 9!t 2 R fu (t) = `1 et 8t 2 R fu (t) » 1
On peut dire que :
N(u) = 1 , (i) ou (ii)
En effet ; N(u) = 1 si et seulement si (˛1 = `1 = `N(u) et 8t 2
R fu (t) » 1) ou (˛2 = 1 = N(u) et 8t 2 R
` 1 » fu (t)). On remarque que parmi toutes les valeurs prises par fu , celles qui sont atteintes
une et une seule fois sont son maximum et son minimum et que son minium
est toujours < 0 et son maximum toujours > 0. Donc le fait que fu atteigne
une et une seule fois un nombre réel strictement positifs ce dernier et son
maximum et de même le faite que fu atteigne une unique fois un nombre réel
strictement négatif, ce dernier est son minimum Ceci démontre l’équivalence
N(u) = 1 , (ii) ou (ii) ci-dessus.
Exercice 9:
1. Soit f 2 L(Rd ) tel que f est bijectif et jj:jj une norme de Rd . Prouver que
N(x) = jjf(x)jj pour tout x 2 Rd définit une norme sur Rd .
2. Application
q : sous-quelle condition sur les nombres réels a; b; c et d la relation :
(ax + cy)2 + (bx + dy)2 avec X = (x; y) 2 R2 définit elle une norme
N(X) =
N sur R2 ?
q
3. Montrer que la relation : jjXjj =
(x + y)2 + (x ` 2y)2 pour X = (x; y) 2
2
2
R définit une norme sur R et représenter soigneusement la boule unité fermée
associée à cette norme .
Exercice 10:
Montrer que , dans R2 , la partie A est un ouvert dans les cas suivants :
1. A =]0; 1[ˆ]0; 3[
2. A = f(x; y) 2 R2 =x > 2g
3. A = f(x; y) 2 R2 =1 < x2 + y 2 < 4g
Exercice 11:
1. Montrer que les parties suivantes sont des ouverts de R : ]0; 1[, ]0; 1[[]5; +1[
2. Montrer que F = f(t; sin t)=t 2 Rg est un fermé de R2
3. Montrer que l’intervalle ]0; 1] n’est ni ouvert ni fermé de R

ff
1
˜
4. Montrer que W =
=n 2 N
n’est ni ouvert ni fermé dans R
n
12
Exercice 12:
Pour toute partie A de Rd , on note A l’ensemble des points adhérents de A.
1. Montrer que pour toute partie A de Rd , on a :
(a) A est un fermé de Rd
(b) A  A
2. Montrer que si A et B sont deux parties de Rd alors on a : A  B ) A  B
3. On suppose dans cette question que d = 1 et soit A = [0; 1] et B =]0; 1]. Comparer
A et B . Qu’en déduisez vous pour ce qui est de l’implication réciproque de la
question 2) ?
4. Montrer que pour toute partie F de Rd , on a : F est fermée si et seulement si
F = F . En déduire que pour toute partie A de Rd , on a : A = A
Exercice 13:
1. Montrer que tout sous-espace vectoriel F de Rd est une partie fermée de Rd
2. Montrer que deux normes de Rd sont égales si et seulement si elles ont même
boule unité ouverte si et seulement si elles ont même boule unité fermée si et
seulement si elles ont même sphère unité
Exercice 14:
On considère un evn (Rd ; jj:jj). Pour toute partie A de Rd , on note A l’ensemble des
points adhérents de A.
1. A et B étant des parties de Rd , montrer que l’on a ce qui suit :
(a) A  A
(b) A  B ) A  B
(c) A est un fermé de Rd
(d) A fermé , A = A
2. Soit A une partie non vide majorée de R. Montrer que si A est fermée alors
sup A 2 A et si A est ouverte alors sup A 2
= A
3. Etablir un résultat similaire pour une partie non vide minorée .
4. Soit X une partie non vide de R à la fois ouverte et fermée . On suppose qu’il
existe un nombre réel b tel que b 2
= X.
(a) Montrer que X n’est ni majorée ni minorée.
(b) Montrer qu’il existe deux nombres réels u et v tel que u < v et ]u; v[\X = ;.
Soit alors B = fx 2 R=u < x et ]u; x[\X = ;g
(c) Montrer que B est non vide majorée. On pose alors ¸ = sup B.
(d) Montrer que ¸ 2
= X et que ¸ 2 X
(e) Déduire de ce qui précède que X = R
5. Quelles sont les parties de R à la fois ouvertes et fermées ?
13
Indication: la question 1)c) : on va montrer que A est fermé.Soit(un )n une suite
d’éléments de A convergeant vers ‘ 2 R.Nous allons démontrer que ‘ 2 A.Pour cela
soit " > 0, Comme lim un = ‘ il existe un entier naturel p tel que pour tout entier
"
n – p on aie : jun ` ‘j < . En particulier on a :
2
"
(1) jup ` ‘j <
2
Comme up 2 A on a par définition : il existe a 2 A tel que
jup ` aj <
(2)
"
2
On a alors en vertu de l’inégalité triangulaire et de (1) et (2) :
ja ` ‘j » ja ` up j + jup ` ‘j <
"
"
+ ="
2
2
. On a donc prouvé que :
(8" > 0)(9a 2 A)
ja ` ‘j < "
Donc ‘ 2 A.
Exercice 15:
1. Soit (a; b; c) 2 R3 tel que a 6= 0. Montrer que :
(9!t 2 R)
at2 + bt + c = 0 () b2 ` 4ac = 0
ut + v
.
+t+1
est bornée , on pose alors :
2. Pour tout (u; v) 2 R2 , on considère la fonction fuv définie par fuv (t) =
(a) Montrer que pour tout (u; v) 2 R2 , la fonction fuv
N((u; v)) = sup jfuv (t)j
t2
t2R
(b) Montrer que N comme application de R2 vers R+ est une norme sur R2
(c) Calculer N(0; 1); N(1; 2); N(`1; 3)
3. Calculer N(0; v) pour tout v 2 R
4. On suppose que u 6= 0. Étudier les variations de fuv et en déduire que fuv admet
un unique maximum et qu’il est atteint en une unique valeur de la variable t et
un unique minimum et qu’il est atteint en une unique valeur de la variable t.
5. Pour tout (u; v) 2 R2 tel que u 6= 0, on considère les assertions suivantes :
(i) N(u; v) = 1
(ii) (9!fi 2 R) sup fuv (t) = fuv (fi ) = 1 et 8t 2 R
` 1 » fuv (t)
t2R
(iii)
(9!fi 2 R
inf fuv (t) = fuv (fi ) = `1
t2R
Prouver que : (i) , ((ii)
ou
et
8t 2 R
fuv (t) » 1
(iii))
6. Déduire de ce qui précède un tracé de la sphère unité de la norme N.
Exercice 16:

jjxjj1 si x1 x2 – 0
. On se propose
jjxjj1 si x1 x2 » 0
2
de prouver que jj:jj est une norme sur R et de tracer sa sphère unité.
2
Pour tout x = (x1 ; x2 ) 2 R , on pose : jjxjj =
14
1. Montrer que pour tout x = (x1 ; x2 ) 2 R2 on a jx1 + x2 j » jjxjj:
2. Prouver que pour tout x 2 R2 et tout ¸ 2 R on a :
(a) jjxjj = 0 , x = 0
(b) jj¸xjj = j¸jjjxjj
3. Soit x = (x1 ; x2 ) et y = (y1 ; y2 ) deux éléments de R2 et soit z1 = x1 +
y1 et z2 = x2 + y2 :
(a) Montrer que si z1 z2 » 0 alors jjx + yjj » jjxjj + jjyjj
(b) En utilisant la question 1) ci dessus , montrer que si z1 z2 – 0 alors jjx + yjj »
jjxjj + jjyjj
4. En déduire que jj:jj une norme et tracer sa sphère unité S et sa boule unité ouverte
B
5. B est elle symétrique par rapports à l’axe des abscisses ? des ordonnées ?
15
3
FONCTIONS VECTORIELLES
3.1
3.1.1
Fiche de révision
Limites, continuité, dérivabilité
Une fonction f à variable réelle est à valeurs dans Rd possède d composantes : f1 ; ::; fd
qui sont des fonctions réelles à variable réelle.
Si ‘ = (‘1 ; :::; ‘d ) 2 Rd alors : lim f(t) = ‘ () lim fk (t) = ‘k pour tout k 2
t!t0
t!t0
f1; :::; dg
f est continue au point t0 si et seulement si toutes les fk sont continues au point t0 .
f est derivable au point t0 si et seulement si toutes les fk sont derivable au point t0
et on a alors f 0 (t0 ) = (f10 (t0 ); :::; fd0 (t0 )).
3.1.2
Operations
D n (I; Rd ) est l’ensemble des fonctions dérivables sur I au moins n fois. C’est un sousespace vectoriel de l’espace vectoriel des applications de I vers Rd .
C n (I; Rd ) l’ensemble des fonctions de classe C n sur I est un sous-espace vectoriel de
D n (I; Rd )
3.2
Exercices
Exercice 1:
I est un intervalle de R non vide non réduit à un singleton.L’espace R3 est supposé
orienté.Soient f1 ; f2 et f3 trois fonctions vectorielles de classe C 1 tel que pour tout
t 2 I la famille Bt = (f1 (t); f2 (t); f3 (t)) est une base orthonormale directe. Soit Mt la
matrice de la famille (f10 (t); f20 (t); f20 (t)) relativement à la base Bt .
1. Montrer que la matrice Mt est antisymétrique.
2. En déduire qu’il existe un vecteur ˙(t) tel que :fk0 (t) = ˙(t) ^ fk (t) pour tout
k = 1; 2; 3
3. On suppose que les fk ; k 2 f1; 2; 3g sont de classe C 2 . Prouver que ˙ est de
classe C 1 et calculer fk00 en fonction de ˙; ˙0 et fk pour tout k 2 f1; 2; 3g
Exercice 2:
I est un intervalle de R non vide non réduit à un singleton .L’espace R3 est supposé
orienté. Soit f 2 F (I; R3 ) une fonction de classe C 2 tel que pour tout t 2 I les
vecteurs f(t) et f 00 (t) sont colinéaires (mouvement à acceleration centrale). On note
ff(t) = f(t) ^ f 0 (t).
1. Montrer que la fonction ff ainsi définie est constante sur I
2. Montrer que s’il existe t0 2 I tel que la famille (f(t0 ); f 0 (t0 )) est libre alors f(I)
est inclus dans un plan (mouvement à trajectoire plane).
Réponse
16
1. Comme Bt = (f1 (t); f2 (t); f3 (t)) est une base orthonormale, la iemme composante de tout vecteur u 2 R3 dans la base Bt est ui = hu; fi (t)i. Il en résulte
que le terme général de la matrice Mt est aij (t) = hfj0 (t); fi (t)i. Comme Bt est
une base orthonormale pour tout t 2 I on a alors :
8t 2 I
hfi (t); fj (t)i = ‹ij
(ici ‹ij est le symbole de Kronecker). ainsi la fonction g : I ! R, définie par
g(t) = hfi (t); fj (t)i est constante sur I. Comme g est derivable sur I on a
g 0 = 0 sur I. Or on sait que :
8t 2 I
g 0 (t) = hfi0 (t); fj (t)i + hfi (t); fj0 (t)i
. Ceci donne aji (t) = `aij (t) pour tout t 2 I. Par suite la matrice Mt est
antisymétrique.
2. Supposons que ˙ existe et posons ˙(t) = (X(t); Y (t); Z(t)) pour tout t 2 I.
Comme la matrice Mt est antisymétrique, alors il existe trois fonction ¸; ˛ et
‚ de I vers R tel que
1
0
0
¸(t) ˛(t)
0
‚(t) A
8t 2 I Mt = @ `¸(t)
`˛(t) `‚(t)
0
Il en résulte que (1) f10 = (0; `¸; `˛) et f20 = (¸; 0; `‚) et f30
et par suite on a pour tout t 2 I :
0
1 0
1
0
X(t)
1
0
f10 (t) = ˙(t) ^ f1 (t) = @ Y (t) A ^ @ 0 A = @ Z(t)
Z(t)
0
`Y (t)
0
1 0
1
0
X(t)
0
`Z(t)
0
f20 (t) = ˙(t) ^ f2 (t) = @ Y (t) A ^ @ 1 A = @
Z(t)
0
X(t)
1 0
1
0
0
X(t)
0
Y (t)
f30 (t) = ˙(t) ^ f3 (t) = @ Y (t) A ^ @ 0 A = @ `X(t)
Z(t)
1
0
Alors : f10 = (0; Z; `Y ) et f20 = (`Z; 0; X) et
compte des relations ci-dessus , on a :
8
< X(t) = `‚(t)
Y (t) = ˛(t)
(8t 2 I)
:
Z(t) = `¸(t)
= (˛; ‚; 0).
1
A
1
A
1
A
f30 = (Y; `X; 0).Tenant
Réciproquement si on pose pour tout t 2 I, on pose : ˙(t) =
(`‚(t); ˛(t); `¸(t)) alors pour tout k 2 f1; 2; 3g, on a : 8t 2 I fk0 (t) =
˙(t) ^ fk (t)
3. Comme les fk sont de classe C 2 , alors les fk0 sont de classe C 1 et par suite
leur composantes sont de classes C 1 et finalement ˙ est de classe C 1 . De
fk0 = ˙ ^ fk , on a :
fk00 = ˙0 ^ fk + ˙ ^ fk0
Or : ˙ ^ fk0 = ˙ ^ (˙ ^ fk ) = hfk0 ; fk i˙ ` jj ˙ jj 2 fk et alors on a :
fk00 = ˙0 ^ fk + hfk0 ; fk i˙ ` jj ˙ jj 2 fk
17
Exercice 3:
I est un intervalle de R non vide et non réduit à un singleton. Soit f 2 F (I; R3 ) de
classe C 1 tel que pour tout t 2 I on aie : f(t) 6= 0 et la famille (f(t); f 0 (t)) est liée.
1
On pose alors g(t) =
f(t) pour tout t 2 I.
jjf(t)jj
1. Montrer que g est de classe C 1 sur I et que , pour tout t 2 I on a : g 0 (t) est à la
fois colinéaire et orthogonal à g(t).
2. En déduire que f(t) a une direction constante.
3. Chercher un contre exemple lorsqu’on n’a pas la condition : 8t 2 I
f(t) 6= 0
Réponse
1
f .On sait que f 2 C 1 (I; R3 ) donc d’après le cours on a hf; fi 2
jj f jj
C 1 (I; R). Commep
f(t) 6= 0 pour tout t 2 I , on a alors jj f jj > 0 sur I, et puisque
la fonction t 7! t est de classe C 1 sur R˜+ il en résulte par composition que
q
hf; fi 2 C 1 (I; R) et
jj f jj =
1. on a g =
jj f jj 0 =
hf; fi0
2hf 0 ; fi
hf 0 ; fi
hf 0 ; fi
= p
= p
=
p
jj f jj
2 hf; fi
2 hf; fi
hf; fi
1
La fonction jj f jj est C 1 sur I et ne s’y annule jamais donc son inverse
jj f jj
„
«0
hf 0 ; fi
jj f jj 0
1
1
est C sur I et on a :
=`
Il en résulte que g est
=`
jj f jj
jj f jj 2
jj f jj 3
dérivable et que :
„
«0
hf 0 ; fi
1
1
1
g0 =
f+
f+
f0 = `
f0
3
jj f jj
jj f jj
jj f jj
jj f jj
et qu’alors :
hg; g 0 i = `
hf 0 ; fi
jj f jj
4
hf; fi +
1
jj f jj 2
hf 0 ; fi
Tenant compte de hf; fi = jj f jj 2 , on a : hg; g 0 i = 0 et par suite g(t)?g 0 (t)
pour tout t 2 I.
Montrons maintenant que g(t) et g 0 (t) sont colinéaires pour tout t 2 I.
1
Soit t 2 I. On sait déjà que g(t) = ¸(t)f(t) avec ¸(t) =
, donc
jj f(t) jj
g(t) 2 Vectff(t)g
hf 0 (t); f(t)i
D’autre part on a montré ci-dessus que g 0 (t) = `
f(t) +
jj f(t) jj 3
1
f 0 (t) , et comme par hypothèse f(t) et f 0 (t) sont colinéaires et
jj f(t) jj
que f(t) 6= 0 alors il existe ˛ 2 F (I; R) tel que f 0 (t) = ˛(t)f(t). donc
g 0 (t) 2 Vectff(t)g . Les assertions encadrées montrent que g(t) et g 0 (t) sont
colinéaires.
18
2. Pour tout t 2 I on a montré que g(t) et g 0 (t) sont colinéaires et comme g(t) 6= 0
alors il existe ‚ 2 F (I; R) tel que g 0 (t) = ‚(t)g(t). Comme g(t)?g 0 (t) = 0 on
a ‚(t) jj g(t) jj 2 = 0 d’où ‚ = 0 et par suite g 0 = 0 et alors g est constante sur
l’intervalle I. Ainsi il existe un vecteur non nul U 2 R3 tel que g(t) = U pour
tout t 2 I ce qui veut dire :
8t 2 I
f(t) = jj f(t) jj U
. Alors f(t) garde la même direction à savoir celle de U.
Exercice 4:
Donner un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 de la fonction vectorielle
f pour chacun des cas ci-dessous :
1. f(t) = (cos(sin t); sin(et ` 1)) à valeurs dans R2 et n = 5
1
; ln(1 + t2 ) ` cos(t2 ); e1`cos t ) à valeurs dans R3 et n = 4
2. f(t) = (t3 +
t+1
p
3. f(t) = (tan t; th(t2 ); 1 + t2 ) à valeurs dans R3 et n = 2
19
4
INTÉGRALES
4.1
Résumé du cours :
4.1.1
Intégrales sur un segment [a; b]
Dans tout ce qui suit, [a; b] est un segment de R (a » b).
1. Si f est continue sur [a; b] et si F et G sont deux primitives de f sur [a; b] alors
F (b) ` F (a) = G(b) ` G(a). On le nombre réel F (b) ` F (a) ne dépends que de
Z b
f et a et b. Il est noté
f(t)dt.
a
2. Si f est continue par morceaux sur [a; b] alors pour toute subdivision a = a0 <
n`1
X Z ak+1
f(t)dt ne dépends que de f et
::: < an = b adaptée à f, le nombre réel
k=0
ak
b
Z
f(t)dt
a et b.On le note :
a
b
Z
3. Si f 2 CM([a; b]; K) et c 2 [a; b] alors on a :
c
Z
b
Z
f(t)
f(t)dt +
f(t) =
c
a
a
(relation de Chasles)
4. Pour tout f; g 2 CM([a; b]; K) et tout – 2 R on a :
Z b
Z b
Z
(f + –g)(t)dt =
a
a
f(t)dt > 0
b
Z
et
g(t)dt
a
5. Si f; g 2 CM([a; b]; K) alors on a :
Z b
f –0)
b
f(t)dt + –
f –g)
Z
b
f(t)dt –
a
g(t)dt
a
a
˛
˛Z b
Z b
˛
˛
˛
˛
jf(t)jdt
f(t)dt˛ »
6. Pour tout f 2 CM([a; b]; K) on a : ˛
˛
˛
a
a
˛Z b
˛
˛
˛
˛
˛
7. Pour tout f 2 C([a; b]; K) on a : ˛
f(t)dt˛ » (b ` a) sup jf(t)j
˛
˛
t2[a;b]
a
Z b
8. Pour tout f 2 C([a; b]; K) il existe c 2 [a; b] tel que :
f(t)dt = (b ` a)f(c)
a
(théorème de la moyenne)
9. si g 2 C 1 (I; R) et f continue sur l’intervalle g(I) alors :
Z g(b)
Z b
f(g(t))g 0 (t)dt
f(t)dt =
g(a)
a
10. Si f; g 2 C 1 ([a; b]; K) alors
Z b
0
f (t)g(t)dt =
Z
[f(t)g(t)]ba
a
a
20
b
f(t)g 0 (t)dt
`
4.1.2
Intégrales sur un intervalle quelconque
› Soit I un intervalle de R. Une fonction f : I ! K est dite continue par morceaux
sur I si pour tout (a; b) 2 I 2 tel que a < b, il existe des réels a0 ; :::; an tel que
a = a0 < ::: < an = b et que f est continue sur chaque intervalle ouvert ]ak ; ak+1 [
pour tout k 2 f0; :::; n ` 1g et admet une limite à droite et à gauche en chaque ak
pour k 2 f1; :::; n ` 1g (si n > 1) et une limite à droite an a et une limite à gauche
en b.
› on note CM(I; K) l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur I.
› Soit f 2 CM(I; K). On appelle primitive de f sur I toute fonction F continue sur I
et derivable en tout point x de I où f est continue et réalise F 0 (x) = f(x)
› Soit
Z f 2 CM(I; K) et a 2 I. Toute primitive F de f est de la forme F (x) =
x
c+
f(t)dt où c est une constante appartenant K.
a
› Soit f 2 CM(I; K) et a et b les bornes inférieure et supérieure respectives de I dans
R et soit F une primitive de f sur I. Si les limites lim F (x) et lim F (x) existent dans
x!b`
x!a+
K, on dit que f admet une intégrale impropre convergente et on pose
Z
f = lim F (x) ` lim F (x)
x!b`
I
x!a+
Z
› Si I =]a; b[ alors l’intégrale
Z
limites suivantes : ‘1 = lim
x!a+
Z
I
c
f converge si et seulement si pour tout c 2]a; b[ les
Z x
f(t)dt et ‘2 = lim
f(t)dt existent. Dans ce cas
x!b`
x
c
f = ‘1 + ‘2
I
› Si I = [a; b[ on dit que le problème se pose en b seulement. De même si I =]a; b] le
problème se pose en a uniquement.
4.1.3
Fonctions positives
si f 2 CM(I; K) et si en plus f(x) 2 R+ pour tout x 2 I, on dit que f est positive.
Dans ce cas f admet une intégrale convergente sur I si et seulement si l’ensemble
(Z b
)
f(t)dt=(a; b) 2 I 2
Xf =
et
a<b
a
Z
est une partie majorée de R , dés lors sup Xf =
f
I
4.1.4
1er exemple standard : x 7!
1
x¸
Dans tout ce
Z aqui suit ¸ est un nombre réel et a 2]0; +1[. On a :
1
dx converge si et seulement si ¸ < 1.
l’intégrale
¸
x
Z0 +1
1
l’intégrale
dx converge si et seulement si ¸ > 1.
¸
x
a
21
4.1.5
2e exemple standard : x 7! e–x
Z +1
e–x dx présente un problème à la borne +1. Cette intégrale
Soit – 2 R. Alors
0
converge si et seulement si – < 0
4.1.6
3e exemple standard : x 7! ln x
La fonction ln est continue sur ]0; +1[. Une primitive de ln sur ]0; +1[ est F définie
par F (x) = x ln x ` x. On remarque que lim F (x) = 0. Il en résulte que l’integrale
x!0+
Z 1
Z 1
ln tdt = F (1) ` lim F (t) = `1. Par contre l’integrale
ln t dt converge et
Z0
t!0+
0
+1
ln t dt diverge car
lim F (x) = +1
x!+1
1
4.2
Fiche de révision
4.2.1
Méthodes générales
b
Z
f(t)dt , on peut suivre les étapes
Pour étudier la convergence d’une intégrale
a
suivantes :
› Intervalle I =]a; b[
1. s’assurer que la fonction f est continue par morceaux sur ]a; b[
2. Chercher les bornes où il y’a un problème : il y’a un problème si la borne est
infinie ou si elle est finie mais f n’est pas prolongeable par continuité en cette
borne.
3. Si f se prolonge par continuité en une borne il s’agit d’un ’faux’ problème, et
l’intégrale converge donc au voisinage de cette borne.
4. Si les deux bornes a et b présentent un problème, on fixe c 2]a; b[ et on étudie
Z c
Z b
les intégrales : I1 =
Z b
I =
f(t)dt et I2 =
a
f(t)dt. Si I1 et I2 convergent alors
c
f(t)dt converge et I = I1 + I2 . Si par contre l’une des intégrales I1 ou I2
a
diverge alors I diverge.
› Intervalle I = [a; b[ avec b 2 R
1. Le problème est en b uniquement
2. Si f – 0 sur [a; b[, on cherche à la comparer à une fonction dont le comportement
1
est connu. Par exemple à
. pour ce faire, on peut faire des développements
(b ` x)¸
limités ou chercher des équivalents simples ...
C
au voisinage de b à gauche
Rappelons par exemple que : si f(x) ‰ (
(b ` x)¸
(avec C > 0 ) alors l’intégrale converge si et seulement si ¸ < 1.
3. Si f ne garde pas un signe constant sur [a; b[ on essaye de voir si l’intégrale
converge absolument
4. Si on a ni l’un ni l’autre des cas on essaye d’autres méthodes.
22
› Intervalle I = [a; +1[
1. Le problème est en +1 uniquement
2. Si f – 0 sur [a; b[, on cherche à la comparer à une fonction dont le comportement
1
est connu. Par exemple à ¸ ...
x
C
Rappelons par exemple que : si f(x) ‰ ¸ au voisinage de +1 (avec C > 0 )
x
alors l’intégrale converge si et seulement si ¸ > 1.
3. Si f ne garde pas un signe constant sur [a; b[ on essaye de voir si l’intégrale
converge absolument
4. Si on a ni l’un ni l’autre des cas on essaye d’autres méthodes.
Tests (x ` a)¸ ; (b ` x)¸
4.2.2
x¸
et
I =]a; b] avec `1 < a < b < +1 et f 2 CM(]a; b]; R+ )
(x ` a)¸ f(x) tends
vers :
alors
Z
¸<1
exemple
b
0
f(x)dx converge
a
Z
¸2R
‘>0
¸–1
+1
b
Z
b
f(x) = ln x et a = 0 et b =
1
1, ¸ =
2
1
(x
`
a)¸
a
a
sont de même nature
Z b
f(x)dx et
f(x)dx diverge
a
I = [a; b[ avec `1 < a < b < +1 et f 2 CM(I; R+ )
(b ` x)¸ f(x) tends
vers :
¸<1
alors
Z
b
Za
f(x)dx converge
Z b
b
0
¸2R
‘>0
¸–1
+1
exemple
1
(b ` x)¸
a
a
sont de même nature
Z b
f(x)dx et
f(x)dx diverge
a
I = [a; +1[ avec `1 < a < +1 et f 2 CM(I; R+ )
23
x¸ f(x) tends vers :
¸>1
alors
Z +1
0
Za +1
¸2R
‘>0
exemple
f(x)dx converge
Z +1
f(x)dx et
a
a
1
x¸
sont de même nature
Z +1
¸»1
+1
f(x)dx diverge
a
4.3
Exercices
Exercice 1:
nature
suivantes : Z
Z 1des„intégrales
«
1
1`x
x
dx
ln
dx
21p
1+x
1 ` x2 cos( ıx
)
0
0
2
Z +1
Z +1
2x4 ` x + 3
arctan x
4dx
5p `
´ dx
x4 + x2 + 1
2x 1 + 1
`1
1
x
+1
Z
30
+1
Z
60
1
dx
p
3
x + x + x2
arctan x
dx
x(1 + x2 )
Réponse
1) en 0 , il n y a pas de problème car la fonction à intégrer est continue au point 0
à droite.
1`t
en 1 : pour tout t 2 [0; 1] on a : f(t) = ln
= ln(1 ` t) ` ln(1 + t) . Alors pour
1+t
tout x 2 [0; 1[ on a :
Z x
f(t)dt = [`(t+1) ln(t+1)+(t`1) ln(1`t)+2]x0 = `(x+1) ln(x+1)+(x`1) ln(1`x)
0
Z
x!1`
x
f(t)dt = `2 ln 2
de sorte que : lim
0
x
2)Posons f(x) = p
. Alors f est continue sur [0; 1[ et le problème
1 ` x2 cos( ıx
)
2
se pose en 1 à gauche. On a f – 0 sur [0; 1[ et au voisinage de 1 à gauche on a :
1
f(x) ‰ p p
2 1 ` x cos( ıx
)
2
„
«
ı
ı
ı
ı
ı
si on pose h = 1 ` x on a cos x = cos
` h = sin h ‰ h pour h voisin
2
2
2
2
2
de 0
il en résulte que
p
2
1
f(x) ‰
ı (1 ` x) 32
pour x voisin de 1. D’après les règles de comparaison et comme on a une intégrale
3
de Riemann divergente (car
> 1 et on a un voisinage de 1 ) , l’intégrale demandée
2
est divergente
24
1
alors f est continue et positive sur ]0; +1[ et on
p
3
x + x + x2
Z 1
1
a au voisinage de 0 : f(x) ‰ p donc l’intégrale
f(t)dt est convergente car de
x
0
même nature qu’une inégale de Riemann convergente Z
+1
1
Au voisinage de +1 on a : f(x) ‰ 3 donc l’intégrale
f(t)dt est convergente
x2
1
car de même nature qu’une inégale de Riemann convergente
2x4 ` x + 3
4) posons f(x) = 4
. La fonction f est continue sur R car pour tout x 2 R
x + x2 + 1
on a x4 + x2 + 1 > 0 et donc f est une fonction rationnelle dont le dénominateur
ne s’annule jamais sur R.
Z
3) Posons f(x) =
+1
Au voisinage de +1 on a f(x) ‰ 2 donc
Z +1
f(t)dt diverge et par suite
0
f(t)dt est divergente.
`1
arctan x
5) posons f(x) = p
`
´ . Il est claire que f est continue sur l’intervalle
2x 1 + x1
I = [1; +1[. Le problème de la convergence de l’intégrale demandée se pose donc
ı
en +1 seulement.Or au voisinage de +1 on a f(x) ‰ p 1 et comme l’intégrale
2 2x 2
Z +1
Z +1
1
de Riemann
diverge on a
f(x)dx diverge .
1
x2
1
1
arctan x
6) Posons f(x) =
On a f est continue sur l’intervalle ]0; +1[ et au
x(1 + x2 )
1
voisinage de 0 à droite on a arctan x ‰ x de sorte que f(x) ‰ 2
‰ 1 . Ainsi f
x + 1Z
1
f(x)dx est
est prolongeable par continuité au point 0 à droite donc l’intégrale
0
convergente.
ı
Au voisinage de +1 on a : f(x) ‰
et comme l’intégrale de Riemann
2x3
Z +1
est convergente on a aussi
1
1
+1
1
dx
x3
f(x)dx est convergente
Z 1
Z +1
Conclusion : puisque les intégrales
Z +1
on a : l’intégrale
Z
f(x)dx et
0
f(x)dx sont convergentes
1
f(x)dx est convergente .
0
Exercice 2:
Calculer
Z 1 les valeurs des intégrales suivantes après avoir prouvé qu’elles convergent :
x2
1)
dx (a réel > 0)
p
a2 ` x2
0
25
2
Z
2)
x2
Z1 +1
1
dx
p
4 ` x2
2
xe`x dx
3)
Z0 1
4)
0
x
dx
p
(1 + x2 ) 1 ` x4
Réponse
1)Remarquons que si a < 1 alors la fonction f définie par f(x) = p
x2
n’est
a2 ` x2
pas définie en tout point de [a; 1] si bien qu’il faut supposer que a – 1 pour que la
question aie un sens.
Si a > 1 alors la fonction f est continue sur le
Z segment [0; 1] et elle est par consé1
f(x)dx, on suggère le changement
quent integrable sur [0; 1].Pour calculer donc
»
„ « 0–
x
1
ı
de variable
= cos t avec t 2 arccos
;
a
a
2
si a = 1 , il s’agit d’une intégrale impropre et le problème se pose au point 1 à
1
gauche . On a au voisinage de 1 à gauche : f(x) ‰ p p
, ce qui justifie la
2 1`x
convergence de l’intégrale.
Z 1 Pour la calculer on suggère le changement de variable
x2
ı
x = cos t. on trouve :
dx =
p
4
1 ` x2
0
1
2) on pose f(x) =
x2
. f est continue sur [1; 2[. L’intégrale demandée
p
4 ` x2
possède un problème en 2.Or :
8x 2 [1; 2[
f(x) =
x2
1
1
p
p
2+x 2`x
donc au voisinage de 2 à gauche on a : f(x) ‰
est donc convergente.
On a :
Z
2
1
1
. L’intégrale demandée
8 (2 ` x) 21
1
I =
2x2
q
dx
` x ´2
1` 2
»
–
x
ı ı
Le changement de variable sin t =
avec t 2
;
donne :
2
6 2
Z ı
Z ı
p
2
2
1
1
1
3
I =
2 cos tdt =
dt =
2
2
4 ı sin t
4
ı
2:4 sin t cos t
1
6
on rappelle que `
définies ...
6
1
1
est une primitive de
sur tout intervalle où elles sont
tan
sin2
26
2
3) la fonction f définie par f(x) = xe`x est continue sur l’intervalle [0; +1[ par
Z X
+1 est la seule borne qui pose un problème. Or pour tout X > 0 on a
Z X
1
1 h `t2 iX
1
`X 2
f(t)dt =
) et alors lim
`
e
= (1 ` e
0
X!+1
2
2
2
0
1
Conclusion : l’intégrale demandée est convergente et sa valeur est
2
f(t)dt =
0
4) le problème se pose en 1 seulement et il est simple de montrer que l’intégrale
converge en donnant un équivalent de f(x) au voisinage de 1 à gauche : f(x) ‰
1
p
4 1`x
Concernant
le calcul de l’intégrale le changement de variable x2 = sin t donne :
Z ı
2
1
t
1
dt on fait ensuite le changement de variable tan = u il vient du =
2 0 1 + sin t
2
Z 1
2
(u + 1)
1
2u
1
1
(1 + u2 )dt et 1 + sin t = 1 +
=
et alors I =
du =
2
2
1 + u2
u2 + 1
(1
+
u)
2
0
Exercice 3:
Z
+1
1. On rappelle que
0
Z
+1
(a)
0
Z
sin2 x
dx
x2
+1
sin4 x
x4
0
Z
(c)
0
sin x cos x
dx
x
+1
(b)
sin x
ı
dx =
Calculer chacune des intégrales suivantes :
x
2
Z
2. Montrer que l’intégrale
0
+1
sin t
dt n’est pas absolument convergente
t
Réponse
Z +1
1
1
sin 2x
1. (a) on a sin x cos x =
sin 2x et par conséquent I =
dx par le
2
2 0
x
Z +1
sin u
ı
changement de variable 2x = u on a I =
=
u
4
0
Z +1
sin x cos x
dx =
x
Conclusion :
0
ı
4
27
»
–+1
+1
sin2 x
1
2
dx
=
`
sin
x
+
(b) integration par partie donne : I =
x2
x
0
0
Z +1
sin x cos x
ı
ı
dx = 2 =
car le crochet est nul (justifier le) et le
2
x
4
2
0
résultat du 1)
Z +1
sin2 x
ı
Conclusion :
dx =
2
x
2
0
Z
(c) On a :
Z +1
I =
0
sin4 x
dx
x4
Z +1
Z +1
4
4
sin3 x cos x
sin3 x cos x
+
=
dx
=
dx
3 0
x3
3 0
x3
3x3 sin4 x 0
!
Z +1
–+1
»
3 sin2 x cos2 x ` sin4 x
4
sin3 x cos x
1
`
dx
=
+
3
2x2
2 0
x2
0
Z +1
Z +1
sin4 x
sin2 x cos2 x
2
dx
dx
= 2
`
x2
3 0
x2
0
|
|
{z
}
{z
}
»
`
–+1
1
I1
I2
Par le
de variable
Z +1 2x = u, on a :Z +1
Z changement
+1
sin2 u 1
sin2 u
sin2 2x
1
dx
=
du
=
du
I1 =
4x2
u2 2
2 0
u2
0
0
sin2 2x
En écrivant : sin4 x = sin2 x(1 ` cos2 x) = sin2 x `
et en reprenant
4
le changement
de variable
ci-dessus , on a :
Z +1
Z +1
sin2 x
sin2 u
1
I2 =
dx
`
du = I1
x2
2 0
u2
0
Z +1
sin2 t
ı
ı
dt =
il en résulte que I1 =
D’après la question 2) on a
2
t
2
4
0
2
4
ı
Donc : I = 2I1 ` I1 = I1 =
3
3
3
Z +1
sin4 x
ı
Conclusion :
dx =
4
x
3
0
2. j sin tj – sin2 t =
donc :
+1
Z
L’intégrale
1
1 ` cos 2t
.Soit x > 1 alors pour tout t 2 [1; x], on a :
2
j sin tj
1
cos 2t
–
`
t
2t
2t
Z x
Z x
Z x
j sin tj
1
cos 2t
dt –
dt `
dt
t
2t
2t
1
1
1
cos 2t
est convergente car pour tout X > 1, on a :
t
Z X
Z X
»
–X
cos 2t
sin 2t
1
sin 2t
=
`
t
2t
2
t2
1
1
1
28
sin 2
Quand X tends vers +1 le crochet tends vers `
et l’intégrale
2 Z
Z +1
+1
cos 2t
sin 2t
dt est absolument convergente , donc l’intégrale
est
2
t
t
1
0
Z +1
1
dt est divergente on a en vertu de (1)
convergente. Comme l’intégrale
t
1
Z +1
j sin tj
dt est divergente.
ci-dessus, l’intégrale
t
1
Exercice 4:
Soit f une fonction continue et bornée sur un intervalle ]a; b] avec (a; b) 2 R2
b.
et
a<
1. Peut on dire que f est prolongeable par continuité au point a à droite ? Justifier
votre réponse
2. Prouver que f est integrable sur ]a; b]
Réponse
1. Pas forcément.
1
sur ]0; 1]. La fonction f n’admet pas de limite
Contre exemple : f(x) = sin
x
quand x tends vers 0 à droite , donc f n’est pas prolongeable par continuité au
point 0 à droite.
Z b
jf(t)jdt est bien définie sur
2. f étant continue sur ]a; b] la fonction F : x 7!
x
]0; 1].
Puisque f est bornée sur ]a; b] alors il existe un réel positif M tel que :
8x 2]a; b]
jf(x)j » M
Il en résulte que :
b
Z
8x 2]a; b]
jf(t)jdt » M(b ` x) » M(b ` a)
x
F est donc majorée sur ]a; b] . Donc f est integrable sur ]a; b] donc aussi sur
[a; b]
Exercice 5:
Soit a un nombre réel strictement positif.
Z a
1. Montrer que l’intégrale I(a) =
0
1
p
(1 + x2 )(a2 ` x2 )
2. Calculer lim I(a)
a!0+
29
dx est convergente.
Réponse
1
est continue et positive
(1 +
` x2 )
sur l’intervalle [0; a[.On a lim f(x) = +1. L’intégrale est donc impropre et
1. la fonction f définie par : f(x) = p
x2 )(a2
x!a`
le problème se pose à la borne a seulement.
Au voisinage de a à gauche, on a :
C
f(x) ‰
1
(x ` a) 2
où
1
C = p
2a(1 + a2 )
a
Z
1
Par comparaison à l’intégrale de Riemann convergente
1
0
on a I est
(x ` a) 2
convergente.
x
Z
2. Pour le calcul de la limite demandée, Soit x 2]0; a[ et F (x) =
f(t)dt. Par
0
le changement de variable t = au, on a :
x
a
Z
F (x) =
0
Pour tout u 2 [0;
drement :
1
1
du
p
p
2
1`u
1 + a2 u 2
x
1
1
] , on a : p
»
» 1. Ce qui donne l’encaa
1
+
a2 u 2
2
1+x
1
1
1
1
»
» p
p
p
2
2
1+a u
1 ` u2
1 + x2
1 ` u2
et par suite :
arcsin
1
x
x
» F (x) » arcsin
p
a
a
2
1+x
Par passage à la limite lorsque x tends vers a à gauche, on a :
1
p
1+
a2
ı
ı
» I(a) »
2
2
Par le lemme des gendarmes, on a : lim I(a) =
a!0+
ı
2
Exercice 6:
I) Soit E le
Z R ev des applications f continues sur ]0; 1] à valeurs dans R tel que
1
l’integrale
f(t)dt converge. Soit F l’ensemble des applications f continues sur
0
30
1
Z
f 2 (t)dt converge.
]0; 1] à valeurs dans R telles que
0
1. Montrer F  E (on pourra remarque que pour tout réel t on a 8x 2]0; 1] (t +
jf(x)j)2 – 0.)
En déduire que F possède une structure de R espace vectoriel.
1
2. Soit f :]0; 1] ! R définie par f(t) = ¸ ; ¸ > 0. Pour quelles valeurs de ¸ , f estt
elle un élément de E ? de F ?
sin t
3. Soit : f :]0; 1] ! R définie par f(t) = ¸ ; ¸ > 0. Pour quelles valeurs de ¸ , f
t
est- elle un élément de E ? de F ?
4. Soit f :]0; 1] ! R définie par f(t) = (ln t)n , n 2 N. f est-elle élément de E ? de
F?
II) Soit G le Z
R` espace vectoriel des applications f continues sur ]0; 1[ à valeurs dans
1
R telles que
f(t)dt converge.
0
1
1
1. Soit f :]0; 1[! R définie par f(t) = p
`
.
t
2
t 1`t
Z 1
f est elle élément de G ? Si oui, calculer I =
f(t)
0
2. Soit f :]0; 1[! R définie par f(t) =
ln t
p
(1 + t) 1 ` t2
(a) Montrer que f 2 G
Z 1
f(t)dt
(b) Calculer I =
0
((ln t)n
avec ¸ 2 R
(1 ` t)¸
(a) A quelles conditions sur n et ¸ on a f 2 G ?
Z 1
ln t
(b) Calculer I =
dt
p
1`t
0
t¸ ` 1
4. Soit f¸ :]0; 1[! R définie par f¸ (t) =
avec ¸ 2 R
ln t
(a) Determiner l’ensemble U = f¸ 2 R=f¸ 2 Gg
Z x
3. Soit f :]0; 1[! R définie par f(t) =
(b) Soit ¸ 2 U, on pose I¸ (x) =
0
f¸ (t)dt
0
+1
e`x cos x dx est divergente
Démontrer que l’intégrale I =
Z
x
1
(c) En déduire la valeur de I¸ =
Z
n2N
f¸ (t)dt. Montrer que : I¸ (x) =
Z
Exercice 7:
et
0
31
x¸+1
1
du
ln u
Réponse
La fonction f définie sur [0; +1[ par f(x) = e`x cos x est continue positive sur
[0; +1[. Pour démontrer que l’integrale en question est divergente, il suffit de prouver que la partie suivante de R :
(Z x
)
f(t)dt=x – 0
X =
0
n’est pas majorée. Pour cela on peut par exemple penser à intégrer
sur des segments
»
–
ı
ı
où cos est négative comme les segments de la forme : Jn =
+ 2nı; 3 + 2nı
2
2
pour n 2 N
Z
f – ı min f(t). Or comme (8t 2 Jk )
Pour tout k 2 N, on a :
Jk
Z
f – ı. Il en résulte que pour tout n 2 N on a :
on a min f = 1 et alors
Jk
Z
` cos t – 0,
t2Jk
Jk
3ı
+2nı
2
f(t)dt –
0
n Z
X
k=0
Z
3ı
+2nı
2
Z
f – nı et par suite :
f(t)dt = +1
lim
n!+1
Jk
0
3ı
+2nı
2
f(t)dt 2 X, pour tout n 2 N, la partie X n’est pas majorée, d’où
Comme
0
la divergence de l’intégrale I.
32
5
5.1
5.1.1
ALGÈBRE LINÉAIRE : RAPPELS ET COMPLEMENTS
Revison de cours
noyau,image,injectivité,surjectivité, rang
soit E et F deux K` espaces vectoriels et f une application linéaire de E vers F .
Alors :
ker f = fx 2 E=f(x) = 0F g
Imf = fy 2 F =9x 2 E f(x) = yg = ff(x)=x 2 Eg = f(E)
On a : ker f est un sous-espace vectoriel de E et Imf est un sous-espace vectoriel de
F.
On a : f injective si et seulement si ker f = f0E g
On a : f est surjective si et seulement si Imf = F
Si E et F sont de dimension finie on a :
f est injective si et seulement si dim E = dim(Imf)
f est surjective si et seulement si dim F = dim(Imf)
si E et F sont de dimensions finies et si dim E = dim F alors on a :
f injective , f surjective , f bijective
si F est de dimension finie alors Imf est de dimension finie et sa dimension est appelée
rang de f et noté rg f. Alors : rg f = dim Imf
5.1.2
Théorème du rang
si E et F deux K ` espaces vectoriels tel que E est de dimension finie alors pour tout
f 2 L(E; F ) on a :Imf est de dimension finie et : dim E = rg f + dim kerf
5.1.3
Conséquences du théorème du rang
si E et F de dimensions finies et si f 2 L(E; F ) alors :
f injective si et seulement si rg f = dim E
f surjective si et seulement si rg f = dim F
5.1.4
Applications linéaires et matrices
5.1.5
Application linéaire canoniquement associée à une matrice
Soit A 2 Mn;p . L’application f définie de Mp;1 vers Mn;1 par f(X) = AX est appelée
l’application linéaire canoniquement associée à la matrice A.On a si B et C sont les
bases canoniques respectives de Mp;1 et Mn;1 alors on a : matB;C f = A
5.1.6
Rang d’une matrice
Le rang d’une matrice est égal au rang de l’application linéaire canoniquement associée
à cette matrice
33
5.1.7
Quelques propriétés du rang d’une matrice :
Le rang d’une matrice est inférieur ou égal au nombre de ses colones et au nombre de
ses lignes.
Le rang d’une matrice est égal à la dimension de l’espace vectoriel engendré par les
colones de cette matrice.
Le rang d’une matrice est égal à la dimension de l’espace vectoriel engendré par les
lignes de cette matrice.
Une matrice et sa transposée ont le même rang.
5.1.8
Matrices échelonnées
Definition:
Soit M = (aij )1»i»n;1»j»p 2 Mn (K) avec n – 2. Pour toute ligne non nulle Li de M,
on définit : (i) = minfk 2 [[1; p]]=aik 6= 0g. On dit que M est echelonnée en lignes
si on a :
8
< Li = O ) Li+1 = O
8i 2 [[1; n[[
:
Li 6= O et Li+1 6= O ) (i) < (i + 1)
Exemple:
0
B
B
B
M =B
B
B
@
˘
0
0
0
0
0
˜ 0
0 ˘
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
˘
0
0
0
˜
˜
˜
0
0
0
˜
˜
˜
0
0
0
0
0
0
˘
0
0
0 ˜
˜ 0
˜ 0
˜ 0
0 ˘
0 0
1
C
C
C
C
C
C
A
avec ˘ des scalaires non nuls et ˜ des scalaires quelconques
si pour i 2 [[1; n[[, Li 6= O et (i) = k alors le coefficient aik est appelé un pivot de
la matrice M
Definition:
Une matrice échelonné est dite réduite si tous les pivots valent 1 et si en plus tous les
autres termes sur les colones des pivots sont nuls.
Exemple:
0
B
B
B
B=B
B
B
@
1
0
0
0
0
0
˜
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0 ˜ ˜
0 ˜ ˜
1 ˜ ˜
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 ˜
0 ˜
1 ˜
0 0
0 0
˜
0
0
0
1
0
1
C
C
C
C
C
C
A
˜ veut dire un élément quelconque
A est un exemple de matrice échelonnée réduite : Les pivots valent tous 1 et sur les
colones des pivots les autres éléments sont nuls
34
5.1.9
Matrices particulières
Si M est une matrice on note (M)ij son terme général. Avec cette notation on a pour
M 2 Mnr (K) et N 2 Mrp (K) :
(MN)ij =
r
X
(M)ir (N)rj
k=1
5.1.10
Matrices de la base canonique
Pour tout i; j tel que 1 » i » n et 1 » j » p on note Eij la matrice dont les termes
sont nuls sauf celui de la iemme ligne et j emme colonne qui vaut 1.Ce qui veut dire :
(Eij )kl = ‹ik ‹jl
On a : dans Mn (K)
Eij Euv = ‹ju Eiv
En effet :
(Eij Euv )kl =
n
X
(Eij )kr (Euv )rl =
r=1
n
X
‹ik ‹jr ‹ur ‹vl
r=1
› Si j 6= u alors ‹ik ‹jr ‹ur ‹vl = 0 pour tout r 2 f1; :::; ng car on a forcément r 6= j ou
r 6= u pour tout r ...
› Si j = u alors le seul terme non nul de la somme ci-dessus est obtenu pour r = j
de sorte que (Eij Euv )kl = ‹ik ‹vl = (Eiv )kl
5.2
Exercices
Exercice 1:
Soit E l’espace vectoriel réel des applications de R vers R. Montrer que les familles
(fa )a2R , (ga )a2R , (hn )n2N , (kn )n2N , où pour tout a 2 R et tout n 2 N et tout x 2 R,
on a :
fa (x) = eax
et
ga (x) = jx ` aj
et
hn (x) = cos(nx)
et
kn (x) = cosn x
sont des familles libres
Indication:
n 2 N on a
pour la famille (kn ) on pourra démontrer par récurrence que pour tout
Vectfk0 ; :::; kn g = Vectfh0 ; :::; hn g
.
Si on suppose que :
cosn = ¸0 + ¸1 cos +::: + ¸n cosn
remarquer que pour tout m 2 f1; :::; ng et tout x 2 R on a :
cos x: cos mx =
1
(cos(m ` 1)x + cos(m + 1)x)
2
.
Exercice 2:
35
0
1
cos a cos 2a
Soit a 2 R et Ma = @ cos a cos 2a cos 3a
cos 2a cos 3a cos 4a
de Ma suivant les valeurs de a.
1
cos 3a cos 4a
cos 4a cos 5a A. determiner le rang
cos 5a cos 6a
Indication: Remarque que le terme général de la matrice Ma est mij = cos((i+j`2)a)
et trouver une relation simple entre les colones Cj ; Cj+1 et Cj+2 pour j valant : 1; 2; 3
...
Exercice 3:
0
1
`2 1
3 1 A.Prouver qu’il existe des
1 2
n
Y
tel que si on pose T =
Tk et
3
On considère dans M3 (R) la matrice : A = @ `2
`1
0
matrices de transvection T1 ; :::; Tn et T10 ; :::; Tm
k=1
1
1 0 0
T0 =
Tk0 , la matrice T AT 0 est de la forme : T AT 0 = @ 0 a b A où a; b; cetd
0 c d
k=1
sont des nombres réels.
0
m
Y
Exercice 4:
Soit n un entier naturel tel que n – 2 et soit ` l’application de Mn (R) vers lui même
tel que `(X) = `X + tr(X)In pour tout X 2 Mn (R)
1. Verifier que ` est une application linéaire
2. Determiner toutes les valeurs propres de ` et montrer que ` est diagonalisable
3. Montrer que ` est un isomorphisme et définir ``1
Exercice 5:
Soit A une matrice réelle carrée d’ordre 2 de trace nulle. Prouver que A est semblable
à une matrice dont les termes diagonaux son nuls
Exercice 6:
Dites si les applications linéaires suivantes sont injectives, surjectives , bijectives et bien
justifier votre réponse. n est un entier naturel non nul :
1. ffi : Rn [X] ! Rn+1 [X] tel que ffi(P ) = XP
2.
: Rn [X] ! Rn [X] tel que
(P ) = XP 0
3. g : Rn [X] ! Rn [X] tel que g(P ) = XP 0 + P
Indication: On pourra chercher la matrice de g relativement à la base canonique
Exercice 7:
Si E est un K` ev de dimension finie n, on appelle hyperplan de E tout sous-espace
vectoriel de E de dimension n ` 1.
1. Quels sont les hyperplans de K considérés comme K` ev ?
2. Donner des exemples d’hyperpalns du R` ev R3
3. Soit n 2 N˜ et Hn = fM 2 Mn K=tr(M) = 0g. Prouver que Hn est un hyperplan
de Mn (R)
36
Exercice 8:
Soit E un espace vectoriel de dimension fini et (u; v) 2 (L(E))2 tel que rg(u ‹ v ` v ‹
u) = 1:
Prouver que (u ‹ v ` v ‹ u)2 = 0
Exercice 9:
Soit A 2 Mn (K) tel que : 8M 2 Mn (K)
scalaire
AM = MA. Montrer que M est une matrice
Indication
Penser aux matrices de la base canonique de Mn (K) à savoir les matrices Eij dont le
terme général est :
(Eij )kl = ‹ik ‹jl
(symbole de Kronecker )
Une autre façon de voir est de dire que Eij est la matrice carrée d’ordre n dont tous
les termes sont nuls sauf le terme de la i emme ligne et la j emme colonne qui vaut
1.
On aura donc , en particuleire :
Eij M = MEij
pour tout i et j de f1; :::; ng
Poser M = (aij )1»i;j»n et faire ensuite les calculs soigneusement on aura le résultat
demandé.
Exercice 10:
Soit p 2 R.On considère l’application f de R[X] vers lui même définie par :
8P 2 R[X]
f(P ) = (1 ` pX)P + X 2 P 0
1. Montrer que f est un endomorphisme
2. Montrer que f est injective
3. Montrer que f n’est pas surjective
Réponse
1.
2.
f(P ) = (1 ` pX)P + X 2 P 0
37
Soit P =
n
X
ak X k un polynôme quelconque. on a alors
k=0
f(P )
=
=
=
n
X
k
(1 ` pX)ak X + X
k=0
n
X
ak kX k`1
k=1
k
n
X
k=0
k=0
n
X
k
n+1
X
ak X `
ak X `
k=0
pak X
a0 + @
n
X
k+1
+
n
X
ak kX k+1
k=0
k
pak`1 X +
k=1
0
=
n
X
2
n+1
X
ak`1 (k ` 1)X k
k=1
1
(ak + (p + k ` 1)ak`1 )X k A + an nX n+1
k=1
Alors :
f(P ) = 0 , a0 = an = 0
et
8k 2 f1; :::; ng
ak = (p + k ` 1)ak`1
d’où
f(P ) = 0 ,
a0 = ::: = an = 0 , P = 0
alors ker f = f0g
3. Montrons que f n’est pas surjective on va discuter deux cas :
1er cas : p = 0 alors f(P ) = P + X 2 P 0 .
on va montrer que le polynôme X n’a pas d’antecedent .
Sinon , il existe un polynôme P te que X = P + X 2 P 0 , alors P n’est pas nul
et alors son degré est un entier naturel.
Si d‹ P = 0 alors P est constant et P 0 = 0 et (1) ) X = P ce qui est absurde
car P est constant.
Si P n’est pas constant et par suite P 0 n’est pas nul et son degré est un entier
naturel donc d‹ (X 2 P 0 ) = 1 + d‹ P et par suite (1) ) d‹ (X) = 1 + d‹ P )
d‹ P = 0 ce qui est absurde car P est supposé non constant.
2eme
: si p 6= 0
cas
dans ce cas on a d‹ (1 ` pX) = 1 et si P est un polynome non nul quelconque
alors d‹ ((1`pX)P ) = 1+d‹ P si P est constant alors d‹ (f(P )) = 1 et si P n’est
pas constant alors d‹ (X 2 P 0 ) = 1 + d‹ P et par suite d‹ (f(P )) = 1 + d‹ P – 1.
Finalement l’image par f du polynôme nul est le polynôme nul donc en résumé :
f(0) = 0
et
8P 2 R[X]nf0g
d‹ P – 1
ceci montrer que les polynômes constants non nuls n’ont pas d’antecedents.
L’étude qui précède permet de dire que f n’est pas surjective
Exercice 11:
Soit E un K`ev de dimension n avec n – 1 et soient f et g deux endomorphismes de
E tel que rg f = rg g = 1:
38
1. Justifier le fait que rg (f + g) » 2
2. Montrer que :
rg (f + g) = 1 () Imf = Img
ou
ker f = ker g
Réponse
1. On a : rg (f + g) = dim(Im(f + g)). Or : Im(f + g) = (f + g)(E)  f(E) + g(E),
donc : rg (f + g) » dim(f(E) + g(E)) » dim f(E) + dim g(E) = rg f + rg g
2. Supposons que rg (f + g) » 1 alors : rg (f + g) = 0 ou rg (f + g) = 1. On
va discuter les cas :
› si rg (f + g) = 0 alors f + g = 0 et alors g = `f donc Imf = Img
› si rg (f + g) = 1 alors Im(f + g) est une droite vectorielle.
Si ker f = ker g on a terminé car l’implication demandée est démontrée.
Sinon alors


a 2 ker f
b 2 ker g
9(a; b) 2 E 2
et
a2
= ker g
b2
= ker f
car sinon on aurait
ker f  ker g
ou
ker g  ker f
or d’après le théorème du rang et les hypothèses sur f et g on a ker f et ker g
sont de dimension n ` 1 chacun, donc on aurait ker f = ker g, ce qui contredit
l’hypothèse faite sur ker f et ker g.
Ainsi on a (f +g)(a) = g(a) et (f +g)(b) = f(b) et g(a) 6= 0 et f(b) 6= 0
de sorte que l’on a : Im(f + g) \ Imf 6= f0g et Im(f + g) \ Img 6= f0g et
puisqu’il s’agit de droites vectorielles on a : Im(f + g) = Imf = Img
Réciproquement :
Si Imf = Img = Vectfeg alors pour tout x 2 E on a : f +g(x) = f(x)+g(x) =
¸e + ˛e avec (¸; ˛) 2 R2 donc (f + g)(x) = —e avec — = ¸ + ˛ de sorte que :
Im(f + g)  Ke donc dim(Im(f + g) » 1 et par suite rg (f + g) » 1
Si ker f = ker g = H alors H est un sous-espace vectoriel de E de dimension 1
de sorte qu’il admet un supplémentaire de dimension 1. Soit donc e un vecteur
de E non nul tel que H ˘ Ke = E. Pour tout x 2 E, il existe (u; –) 2 H ˆ K
tel que x = u + –e et par suite (f + g)(x) = f(u) + g(u) + –(f(e) + g(e)) =
–(f(e) + g(e)) car u 2 ker f = ker g
Alors Im(f + g)  Vectf(e) + g(e) et par suite rg (f + g) » 1
Exercice 12:
„
On considère dans M2 (R) la matrice : A =
n
Calculer A
pour tout n 2 N
Réponse
39
4
0
6
4
«
.
„
«
„
«
0 1
1 0
et I2 =
de sorte que
0 0
0 1
I2 et N commutent , donc on peut appliquer la formule du binôme de Newton . Or
N 2 = O2 Donc :
On remarque que A = 4I2 + 6N avec N =
n
A =
1
X
Cnk 4n`k I2 6k N k = 4n I2 + 4n`1 6nN =
„
4n
0
6n4n`1
4n
«
k=0
Exercice 13:
1. Montrer que si E est un K` ev de dimension finie et F un sous-espace vectoriel
de E alors toute application linéaire f injective de F vers E est prolongeable en
un isomorphisme g de E vers E.
2. Soit E un K- ev de dimension finie et ffi 2 GL(E). Montrer que si E = A ˘ B avec
A et B des sev de E alors E = ffi(A) ˘ ffi(B)
3. Montrer que si E est un K` ev de dimension finie alors pour tout f 2 L(E), il
existe deux projecteurs p et q et g; h 2 GL(E) tel que f = h ‹ p = q ‹ g
Réponse
1. à faire : utiliser par exemple la théorème de la base incomplète
2. facile : à faire
3. Soit E2 un supplémentaire de E1 = ker f,ce qui veut dire : E1 ˘ E2 = E . La
restriction de f à E2 est une application linéaire injective de E2 vers E. d’après la
question 1) elle admet un prolongement g qui est un isomorphisme de E vers E.
D’après la question 2), on a alors : E = F1 ˘F2 où F1 = g(E1 ) et F2 = g(E2 )
.
Soit x 2 E tel que x = x1 + x2 avec x1 2 E1 et x2 2 E2 . On a f(x) = f(x2 )
car x1 2 ker f et comme f(x2 ) = g(x2 ) et x2 = p(x) avec p la projection sur
E2 parallèlement à E1 on a : f(x) = (g ‹ p)(x) , donc f = g ‹ p.
On a g(x) = g(x1 ) + g(x2 ) Donc si q est la projection sur F2 parallèlement à
F1 on a g(x2 ) = q(g(x)). Or f(x2 ) = g(x2 ) car x2 2 E2 et comme x1 2 ker f
on a f(x) = f(x2 ) de sorte que f(x) = q(g(x)). Ainsi f = q ‹ g
Exercice 14:
„
«
2iı
. On considère les applin
cation F et F de C[X] vers C[X] définies par : Pour tout P 2 C[X] :
Soit n un nombre entier naturel non nul et ! = exp
F (P ) =
n`1
X
k
P (! )X
k
et
k=0
F (P ) =
n`1
X
P (! `k )X k
k=0
1. Verifier que F et F sont des endomorphismes de C[X]
2. Montrer que F (X)(1) = 0
40
3. Calculer F (X n ` 1)
4. Determiner ker F; ker F ; ImF et ImF .
5. Montrer que pour tout j 2 f0; ::; n ` 1g on a F (F (X j )) = nX j . En déduire que
pour tout P 2 Cn`1 [X] on a F (F (P )) = nP
6. Dédire de la question précédente que F induit un isomorphisme de Cn`1 [X] vers
lui même et determiner son isomorphisme réciproque.
Exercice 15:
Soit f l’endomorphisme de K[X] défini par : f(P ) = P (X + 1) ` P (X) pour tout
P 2 K[X].
1. Determiner ker f et Imf
2. Montrer que pur tout 2 N˜ , on a f(Kn [X]) = Kn`1 [X]
3. Determiner une base de Kn [X] tel que la matrice de l’endomorphisme fn =
f=Kn [X] est de la forme :
Mn =
6
DETERMINANT
6.1
Résumé de cours
6.1.1
Determinant, cofacteurs, mineurs ,comatrice
si A = (aij )1»i;j»n 2 Mn (K) alors
det A =
n
X
aij (`1)
i+j
det Aij =
i=1
n
X
aij (`1)i+j det Aij
j=1
où Aij est la matrice carrée de taille n ` 1 obtenue en supprimant la ligne i et la
colonne j de A.
Les scalaires mij = det Aij s’appellent les mineurs de A
Les scalaires cij = (`1)i+j det Aij s’appellent les cofacteurs de A.
On dispose de la matrice Com(A) = (cij )1»i;j»n appelée comatrice de A.
e = t (Com (A))
On a définit la matrice complémentaire de A par A
Alors on a :
e = AA
e = det A:In
AA
1
e
En particulier si A est inversible alors A`1 =
A
det A
6.1.2
Propriétés du determinant
1. Pour toutes matrices carrées de taille n A et B on a :
(a) det(AB) = det A det B
(b) det(t A) = det A
(c) A est inversible si et seulement si det A 6= 0 et alors det(A`1 ) =
41
1
det A
(d) En particulier pour toute matrice carrée A de taille n non inversible on a
det A = 0
(e) Le determinant d’une matrice A ne change pas avec les operations élémentaires :
X
Ci
Ci +
Ck
k=1
k6=i
ou
Li
Li +
X
Lk
k=1
k6=i
(f) Si on multiplie une ligne ou une colonne d’une matrice carrée A par un scalaire
–, alors son déterminant est multiplié par –
2. Le determinant est une forme multilinéaire alternée des colonnes des matrices
carrées.
3. Le determinant multilinéaire alternée des lignes des matrices carrées.
6.2
Fiche de révision
Pour calculer un determinant essayer de découvrir des operations élémentaires sur les
lignes et les colonnes qui permettent de :
1. faire apparaître le maximum de zeros sur une ligne ou une colonne
2. Faire apparaître un facteur multiplicatif dans une ligne ou une colonne afin de
donner le determinant sous forme factoriseé
Determinant de Vandermonde : a0 ; :::; an`1 étant n scalaires on a :
˛
˛
˛ 1
´´´
1 ˛
˛
˛
˛ a0
´ ´ ´ an`1 ˛
Y
˛
˛
..
..
V (a0 ; :::; an`1 ) = ˛
(aj ` ai )
˛=
˛
˛
.
.
˛ n`1
˛
0»i<j»n`1
n`1
˛ a
´ ´ ´ an`1 ˛
0
Il est non nul si et seulement si les ai sont deux à deux distincts.
6.3
Exercices
Exercice 1:
a; b et c étant des nombres complexes quelconques, calculer les determinants suivants :
˛
˛
˛ a`b`c
˛
2a
2a
˛
˛
˛
2b
b`c`a
2b
1. ˛˛
˛
˛
2c
2c
c`a`b ˛
˛
˛
˛ a+b
b+c
c + a ˛˛
˛ 2
2. ˛˛ a + b2 b2 + c2 c2 + a2 ˛˛
˛ a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 ˛
˛
˛
˛ a + b ab a2 + b2 ˛
˛
˛
3. ˛˛ b + c bc b2 + c2 ˛˛
˛ c + a ca c2 + a2 ˛
42
˛
˛ 2
2
˛ a
ab ˛˛
˛ 2 b
ab a2 ˛˛
4. ˛˛ b
˛ ab a2 b2 ˛
Exercice 2:
a; b; c et d étant des elements de K, calculer les déterminants suivants :
˛
˛
˛ a a a a ˛
˛
˛
˛ a b b b ˛
˛
1. ˛˛
˛
˛ a b c c ˛
˛ a b c d ˛
˛
˛
˛ a c c b ˛
˛
˛
˛ c a b c ˛
˛
˛
2. ˛
˛
˛ c b a c ˛
˛ b c c a ˛
Exercice 3:
a; b; c et d étant des nombres réels quelconques , on considère la matrice
1
0
a
b
c
d
B `b a `d c C
C
A=B
@ `c d
a `b A
`d `c
b
a
1. Calculer la matrice t AA.
2. En déduire det A
3. Montrer que pour tous x; y; z; t; x0 ; y 0 ; z 0 ; t0 2 R, il existe x00 ; y 00 ; z 00 ; t00 2 R tel que :
(x2 + y 2 + z 2 + t2 )(x02 + y 02 + z 02 + t02 ) = x002 + y 002 + z 002 + t002
Exercice 4:
a et b étant deux éléments quelconques de K , on considère le determinant ´n suivant
(n lignes et n colonnes) :
˛
˛
˛ a+b
˛
ab
0
0
´´´
0
˛
˛
˛
˛
1
a+b
ab
0
´´´
0
˛
˛
˛
˛
0
1
a + b ab
´´´
0
˛
˛
´n = ˛
˛
..
..
..
..
..
..
˛
˛
.
.
.
.
.
.
˛
˛
˛
˛
0
0
´
´
´
1
a
+
b
ab
˛
˛
˛
0
0
´´´
0
1
a+b ˛
1. Etablir la relation ´n = (a + b)´n`1 ` ab´n`2 pour tout entier n – 4
2. En déduire une expression de ´n ne fonction de a et b et n
Exercice 5:
43
a1 ; :::; an étant des éléments de K, calculer le
˛
˛ a1 a2
˛
˛ ..
..
˛ .
.
˛
Dn = ˛
˛ a1 ´ ´ ´
˛
˛ a1 a1
déterminant :
˛
´ ´ ´ an ˛˛
.. ˛
..
.
. ˛˛
˛
..
. a2 ˛˛
´ ´ ´ a1 ˛
Exercice 6:
On pose pour tout x 2 K ;
˛
˛ –1 + x a + x
´´´
˛
˛
..
˛ b + x –2 + x
.
Dn (x) = ˛˛
..
.
.
.
.
˛
.
.
.
˛
˛ b+x
´´´
b+x
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
a + x ˛˛
–n + x ˛
a+x
..
.
où a; b; –1 ; :::; –n sont des éléments de K tel que a 6= b.
1. Prouver que Dn est une fonction affine de x
2. calculer Dn (x) pour tout x 2 K et en déduire Dn (0)
7
REDUCTION DES ENDOMORPHISMES
7.1
7.1.1
Résumé de cours
Valeur propre , vecteur propre, sous-espace propre
Dans tout ce qui suit E est un K` espace vectoriel.
1. Soit f 2 L(E) alors un scalaire – est une valeur propre de f s’il existe un vecteur
non nul x 2 E tel que f(x) = –x. le vecteur x est dit vecteur propre de f associé
à sa valeur propre –.
2. Soit – 2 K et E– = ker(E ` –IdE ). Alors – 2 Sp(f) si et seulement si f ` –IdE
est non injectif si et seulement si det(f ` –IdE ) = 0 si et seulement si A ` –In
n’est pas inversible , A étant une matrice representant f dans une base de E. Si
– 2 Sp(f) alors E– = ker(E ` –IdE ) s’appelle sous-espace propre de associé à la
valeur propre –
7.1.2
Quelques propriétés
1. Si –1 ; :::; –m sont des valeurs propres deux à deux distinctes d’un endomorphisme
f de E alors la somme E1 + :: + Em est directe.
2. Si F = (u1 ; :::; um ) est une famille de vecteurs propres de f associés à des valeurs
propres respectives deux à deux distinctes alors la famille F est libre.
44
7.1.3
Polynôme caractéristique
Dans tout ce qui sui n 2 N˜ et E est un espace vectoriel de dimension n.
1. Soit A 2 Mn (K). Si on pose fflA (x) = det(A ` xIn ) alors fflA est une fonction
polynômiale de degré n et de coefficient dominant (`1)n .On convient de noter
le polynôme associé fflA = det(A ` XIn ).On l’appelle polynôme caractéristique
de la matrice A.
On a :
fflA = (`1)n X n + (`1)n`1 tr(A)X n`1 + ::: + det A
Par exemple si n = 2 alors fflA = X 2 ` tr(A)X + det A, chose qu’on peut vérifier
directement par le calcul
2. Si A 2 M(K) alors fflA = fflt A et si A0 est une matrice semblable à A alors fflA = fflA0
3. Le polynôme caractéristique d’un endomorphisme f de E est fflf = fflA où A est
une matrice carrée representant f relativement à une base quelconque de E. Cette
définition a un sens grâce à l’invariance du polynôme caractéristique d’une matrice
carrée par similitude.
7.1.4
Valeurs propres et polynôme caractéristique
Soit f 2 L(E).
1. Toute valeur propre de f est une racine de son polynôme caractéristique fflf .
Comme conséquence f possède au plus n valeurs propres.Donc : card(Sp(f)) » n
2. Si – est une valeur propre de f alors – est une racine de fflf . L’ordre de multiplicité
— ` –) de – comme racine de fflf s’appelle aussi l’ordre de multiplicité de la valeur
propre – de f. On a alors : dim(E– ) » —(–)
3. Tout ce qu’on a dit à propos des endomorphismes est valable pour les matrices
carrées.
7.1.5
Endomorphisme et matrices digonalisables , trigonalisables
Soit f 2 L(E)
1. On dit que f est diagonalisable s’il existe une base B de E tel que la matrice de
f relativement à B est une matrice diagonale
2. On dit que f est trigonalisable s’il existe une base B de E tel que la matrice de
f relativement à B est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure.
3. Une matrice carrée est diagonalisable si elle est semble à une matrice diagonale
4. Une matrice carrée est trigonalisable si elle est semble à une matrice triangulaire
supérieure ou inférieure
5. Un endomorphisme est diagonalisable (resp. trigonalisable) si et seulement si
sa matrice relativement à une base quelconque de E est diagonalisable (resp.
trigonalisable).
6. Un endomorphisme (resp une matrice carrée) est trigonalisable si et seulement si
son polynôme caractéristique est scindé.
7. Un endomorphisme (resp une matrice carrée) est diagonalisable si et seulement
si son polynôme caractéristique est scindé et l’ordre de multiplicité de chacune
de ses valeurs propres est égale à la dimension du sous-espace vectoriel propre
associé.
45
8. Tout endomorphisme (resp. matrice carrée) dont le polynôme caractéristique est
scindé à racines simples est diagonalisable. Attention ! la réciproque n’est pas
toujours vraie.
9. Si p est un projecteur alors : fflp = (`1)n X (n`r) (X ` 1)r où r = rg (p). Tout
projecteur p est diagonalisable et il existe une base où la matrice de p est :
„
«
Ir
Or;n`r
Mp =
On`r;r On`r
10. Si s est une symétrie alors : ffls = (`1)n (X ` 1)a (X + 1)b où a = dim E1 et
b = dim(E`1 : Toute symétrie s est diagonalisable et il existe une base où la
matrice de p est :
„
«
Ia
Or;n`r
Ms =
On`r;r
`Ib
7.2
Fiche de révision
Que veut dire diagonaliser ?
Que veut dire diagonaliser une matrice diagonalisable ?
Si A est une matrice diagonalisable alors diagonaliser A c’est determiner les matrices
P et D tel que : P est inversible et D est une matrice diagonale et A = P DP `1 . On
rappelle que la diagonale de D est formée des valeurs propres de A et que si B est la
base canonique de Mn1 (K) et B0 une base de Mn1 (K) constituée de vecteurs propres
de A alors P est la matrice de passage de B à B0 . Précisément : si B0 = (!1 ; :::; !n )
alors
0
1
–1 : : : 0
B .
.. C
..
D = @ ..
.
. A
0
:::
–n
avec pour tout i 2 f1; :::; ng , le scalaire –i est la valeur propre associée au vecteur
!i .
Etapes à suivre pour diagonaliser
Pour diagonaliser une matrice A, on suit en général les étapes suivantes :
› Calculer le polynôme caractéristique de A ; à savoir : fflA .
› Determiner les racines de fflA : ce sont les valeurs propres de A.
› pour chaque valeur propre – de A, determiner E– , le sous-espace propre de A associé
à –. Pour ce faire on résout le système linéaire :
(A ` –In )X = O
0
1
x1
B .. C
› Si on pose X = @ . A , la résolution du système en haut revient à exprimer les xk
xn
en fonction d’un nombre minimal d’entre eux : ce nombre est la dimension de E¸ est
les xk utilisés sont les coordonnées de X relativement à une base de Ela qui apparaît
lorsque on écrit X en utilisant seulement ces xk .
› On calcule l’inverse de la matrice P : choisir une méthode suivant le cas ....
46
Un exemple de diagonalisation
0
`3 1
A=@ 0 4
0 0
1
`2
1 A
3
On trouve :
0
1
`3 0 0
D=@ 0 4 0 A
0 0 3
fflA = `(X
0
1
et P = @ 0
0
` 4)(X ` 3)(X + 3)
0
1
`14
1 1
1 @
0
7 2 A et P `1 = `
14
0
0 `2
2
`2
0
1
`5
`2 A
7
mais il est demandé aux élèves de faire eux même le travail nécessaire en suivant les
étapes ci-dessus.
7.2.1
Cette matrice est elle diagonalisable ? trigonalisable ?
1
0
1 2 3
Soit A = @ 1 0 1 A. A est elle diagonalisable ? diagonalisons ?
`1 2 1
Le polynôme caractéristique de A est : fflA = `X 3 + 2X 2 donc Sp(A) = f0; 2g.
Sous-espaces propres :
1
0
x
Soit u = (x; y; z) un vecteur ; alors : si on pose X = @ y A alors
z
8
1
0

0
< x + 2y + 3z = 0
x + 2y + 3z = 0
x+z =0
,
, x = y = `z
u 2 E0 , AX = @ 0 A ,
x+z =0
:
`x + 2y + z = 0
0
Ainsi :
E0 = f(`z; `z; z)=z 2 Rg = Vectfeg
avec e = (`1; `1; 1).
on a dim(E0 ) = 1 tandis que l’ordre de multiplicité de la valeur propre 0 est égal 2
donc la matrice A n’est pas diagonalisable.
La matrice A est trigonalisable car son polynôme caractéristique est scindé.
7.3
Exercices
Exercice 1:
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisable ? si oui diagonaliser les :
„
«
3 `1
1. A =
`2 2
0
1
1 2 3
2. B = @ 1 0 1 A
`1 2 1
0
1
1 `1 0
3. C = @ 2 0 0 A
1 2 3
47
Exercice 2:
Soit
0
1
B 0
B
A=@
1
0
0
0
1
0
1
1 2
1 0 C
C 2 M4 (K)
0 `1 A
1 0
1. On suppose que K = C Montrer que A est diagonalisable.
2. On suppose que K = R. Montrer que A n’est pas diagonalisable. Est elle trigonalisable ?
Exercice 3:
Dans M4 (R), on considère la matrice :
0
0 1 0
B 0 1 0
M =B
@ 0 0 `1
0 0 0
1
0
`1 C
C
1 A
2
1. Sans le moindre calcul, justifier que M est diagonalisable
2. Diagonaliser M
Exercice 4:
Soit E un K espace vectoriel de dimension n avec n 2 N˜
1. Montrer que tout projecteur de E est diagonalisable
2. Montrer que toute symétrie de E est diagonalisable
3. Soit f 2 L(E) tel qu’il existe deux scalaires distincts a et b tel que
(f ` aIdE ) ‹ (f ` bIdE ) = O
prouver que f est diagonalisable.
4. Retrouver les résultats des questions 1) et 2) en utilisant la question 3)
5. On suppose que K = R. Soit Jn la matrice de taille n dont tous les termes valent
1. Montrer que Jn est diagonalisable
Exercice 5:
0
1
0
1 0 0
0 1
Soit(a; b; c) 2 R3 I = @ 0 1 0 A, J = @ 0 0
0 0 1
1 0
objectif est de determiner le rang de A suivant les
1
0
1
0
a b c
1 A et A = @ c a b A. Notre
0
b c a
valeurs de a; b et c.
1. Montrer que J est diagonalisable dans M3 (C). Determiner ses valeurs propres.
2. Calculer J 2 et exprimer A comme combinaison linéaire de I; J et J 2
3. Montrer que A est diagonalisable dans M3 (C). Determiner ses valeurs propres.
2iı
4. Montrer que si j = exp
alors j 2 = j = `1 ` j
3
5. En déduire le rang de A en discutant suivant des cas précis.
48
Exercice 6:
Dans tout ce qui suit K désigne l’un des corps R ou C et E = K2 est le K` espace
vectoriel de dimension 2 muni de sa base canonique (e1 ; e2 ) avec e1 = (1; 0) et e2 =
(0; 1). Pour tout ¸ 2 K , on pose :
„
«
„
«
1 ¸
1 0
M¸ =
et M¸0 =
0 1
¸ 1
Soit ¸ 2 K tel que ¸ 6= 0 et soit f l’endomorphisme de E défini par : f(e1 ) = e1 et
f(e2 ) = e1 + e2
1. Supposons que u1 = (a; b) et u2 = (c; d) sont deux vecteurs de E satisfaisant :
f(u1 ) = u1 et f(u2 ) = ¸u1 + u2 .
(a) Prouver que b = 0 et d = ¸a
(b) Prouver que (u1 ; u2 ) est une base si et seulement si a 6= 0
(c) On prends a = 1 et b = c = 0 et d = ¸. Soit C = (u1 ; u2 ). Prouver que C
est une base de E et determiner la matrice de f relativement à C
2. Déduire de ce qui précédé que : M¸ et M˛ sont semblables pour tout (¸; ˛) 2 K2
tel que ¸˛ 6= 0.
3. Prouver que les matrices M¸ et M¸0 sont semblables pour tout ¸ 2 K
4. Déduire de ce qui précède que toutes les matrices de transvection de taille 2 à
coefficients dans K sont semblables
Exercice 7:
On considère dans M3 (R) les matrices :
0
1
1 4 `2
A = @ 0 6 `3 A
`1 4 0
0
et
Montrer que A et T sont semblables.
49
3
T =@ 0
0
0
2
0
1
0
1 A
2
8
SERIES NUMERIQUES :
8.1
Résumé de cours
La notation (un ) désigne la suite (un )n–0 , suite à valeurs dans K
8.1.1
Définitions, propriétés
1) Soit (un ) une suite à valeurs dans K. La série
n
X
Sn avec Sn =
X
un est la suite de terme général
uk pour tout n 2 N.
k=0
Sn est le terme général de la somme partielle de la série
X
un .
2) Si la suite (Sn ) est convergente de limite S 2 K, on dit que la série
convergente de somme S et on écrit ‘
+1
X
X
un est
un = S
n=0
3) Si une série
X
un est convergente alors son terme général tends vers 0 lorsque n
tends vers +1. Attention : la réciproque est fausse car par exemple
lim
n!+1
mais
1
p =0
n
n
X
1
lim
p = +1
n!+1
k
k=1
car
n
X
p
1
1
p – np = n
n
k
k=1
4) Si une série
X
un est convergente de somme S alors la suite (Rn ) où Rn = S ` Sn
est appelée la suite des restes. Rn est le reste d’ordre n. On a : lim Rn = 0
X
X n!+1
5) Une série
un est absolument convergente si la série
jun j des modules est
convergente.
6) Une série est semi-convergente si elles convergente sans qu’elle soit absolument
convergente.
8.1.2
Séries à termes positifs
1) On appelle série à termes positifs une série numérique
X
un pour laquelle un 2 R+
pour tout
Xn 2 N.
un une série à termes positifs. Cette série est convergente si et seulement
2) Soit
si sa suite des sommes partielles est majorée et on a alors : la somme de cette série
50
est la borne supérieure de l’ensemble des sommes partielles :
+1
X
un = sup Sn
n2N
n=0
3) Soient
X
un et
X
vn deux séries à termes positifs.
1. Si un » vn à partir d’un certain rang alors on a :
X
X
vn converge )
un converge
2. Si un = O(vn ) alors on a :
X
vn converge
)
X
3. Si un = o(vn ) alors on a :
X
vn converge
)
X
4. Si un ‰ vn alors on a :
X
vn converge
On dit que les séries
X
un et
X
()
un converge
un converge
X
un converge
vn sont de même nature
4) Séries de Riemann : Voir la fiche de révision
5)Comparaison avec une série de Riemann d’une série à termes positifs : voir la fiche
de révisions
8.1.3
Séries géométriques et comparaison logarithmique des series à termes
strictement positifs
1) Un série de terme général q n avec q 2 C s’appelle série géométrique. Elle converge
+1
X
1
si et seulement si jqj < 1 dés lors sa somme est S =
qn =
(voir fiche de
1`q
n=0
révision) X
X
2) Soient
un et
vn deux séries à termes strictement positifs. Alors : si
un+1
vn+1
»
un
vn
à partir d’un certain rang alors :
X
X
vn converge )
un converge
3) Si
X
un est une série à terme strictement positifs tel qu’il existe q 2 [0; 1[ tel que
un+1
»q
un
51
X
à partir d’un certain rang alors :
un est convergente.
X
3) Si
un est une série à terme strictement positifs tel qu’il existe q 2 [1; +1[ tel
que
un+1
–q
un
X
à partir d’un certain rang alors :
un est divergente.
4) X
Critère de D’Alembert :
Si
un est une série à terme strictement positifs tel que :
un+1
= ‘ 2 R+
un
lim
n!+1
alors : X
‘<1)
un converge
X
‘>1)
un diverge
si ‘ = 1 on ne peut rien dire à priori
8.1.4
Séries et intégrales
1) Soit f une fonction positivive continue par morceaux et décroissante sur un intervalle
de la forme [a; +1[ avec a – 0 et soit p un entier tel que p – a. Alors la série de
terme général :
Z n+1
f(t)dt pour n – p
wn = f(n) `
n
est convergente et par suite on a :
Z
X
X
1. les série
f(n) et
un avec un =
f(t)dt pour n – p sont de même
n
nature.
2. La série
n+1
X
+1
Z
f(n) est convergente si et seulement si l’intégrale
f(t)dt est
a
n–p
convergente.
8.1.5
Séries alternées
1) On appelle série alternée une série
X
un tel que un 2 R et pour tout n 2 N on
aie : un un+1 » 0
2) Le terme général d’une série alternée est un = (`1)n an où (an ) est une suite
positive (ou l’opposée de celle-ci.On se ramené toujours au premier genre et on va le
considérer
X par la suite.
(`1)n an une série alternée tel que la suite (an ) est décroissante et converX
gente vers 0. Alors la série
(`1)n an est convergente.(c’est le critère spécial des
3)Soit
séries alternées).
52
8.2
Fiche de révision
1
avec ¸ 2 R
n¸
2) Une série de Riemann est convergente si et seulement si ¸ > 1
3) Si une série à termes positifs de terme général un est tel que n¸ un tends vers 0
alors cette série converge si ¸ > 1
4) Si une série à termes positifs de terme général un est tel que n¸ un tends vers +1
alors cette série diverge si ¸ » 1
5) Si une série à termes positifs de terme général un est tel que n¸ un tends vers ‘ > 0
alors
8 X
>
un converge si ¸ > 1
>
<
1) on appelle série de Riemann une série de terme général un =
X
>
>
:
un diverge si ¸ » 1
1
on a
6) Par exemple un = p
n ln n
1
3
4
lim n un =
n!+1
lim
n!+1
n4
= +1
ln n
donc la série diverge
˛
7) Si on a un ‰ ¸ avec ˛ > 0 alors la série de terme général un et la série de
n
X
Riemann sont de même nature c’est à dire
un converge si ¸ > 1 et diverge si
¸ » 1.
8) On appelle série de Bertrand une série de terme général vn =
1
n¸ (ln n)˛
. En
appliquant ce qui précède on a : La série de Bertrand converge si ¸ > 1 ou ¸ = 1 et
˛ >1
Z +1
9) La fonction t 7! ta est integrable sur [1; +1[ si a < `1 et on a alors
ta dt =
1
X
1
a
.On utilise cette propriété pour prouver que la série de Riemann
n est convera+1
X
gente si a < `1 ce qui revient à dire que
1=n¸ converge si ¸ > 1
. Le point ci-dessous donne une généralisation de cette propriété.
10) Soit f une fonction positive décroissante sur un intervalle [a; +1[ alors la série
Z n+1
de terme général f(n) et la série de terme général un =
f(t)dt sont de même
n
nature .
en effet pour tout entier k – a on a f(k + 1) » uk » f(k) obtenue en integrant f sur
[k; k + 1]. Par le critère de comparaison des series à termes positifs, on a le résultat
11) Une conséquence du point ci-dessus est : si f est une fonction positive décroissante
Z +1
X
sur un intervalle [a; +1[ alors la série
f(n) et l’intégrale
f(t)dt sont de même
a
nature.La justification réside dans le faite que la somme partielle : Tn =
n
X
k=p
53
uk =
n+1
Z
f(t)dt et par conséquent la série
X
un et l’intégrale
k
f(t)dt de même
a
nature
12) que dites vous de la série de terme général un =
On fait le test n¸ . On a :
+1
Z
1
.
(ln n)2
lim nun = +1 donc la série diverge.
n!+1
13) même question avec un =
1
(ln n)n
Réponse : Pour tout n – 9, on a : ln n – 2 donc un
„ «n
1
, d’où la convergence
»
2
de cette série
1
14) même question avec un = 2` n .
Rep : le terme général ne tends pas vers zéro ( lim un = 1), donc la série diverge.
„
«nn!+1
1
1+
=e
15) une limite à connaître : lim
n!+1
n
„
«
„
«n
n
n+1
n
1
Conséquence : on a alors : lim
= e et lim
=
n!+1
n!+1
n „
n+1
e
«n
a
a
=e
Remarque : on a aussi (8a 2 C)
lim
1+
n!+1
n
n!
16) On utilise ces limites par exemple pour étudier la série de terme général un = n
n
«n
„
un+1
un+1
(n + 1)!
nn
1
n
de sorte que lim
=
=
=
<
dés lors :
n!+1 un
un
n!
n+1
e
(n + 1)n+1
1. Par la règle de D’Alembert on a la série de terme général un est convergente.
17) C’est l’occasion de rappeler la règle de D’Alembert :
Règle : Soit (un ) une suite à termes réels strictement positifs à partir d’un certain rang
un+1
= ‘ 2 R alors :
. Si lim
8 n!+1 un
si
‘ < 1 la série est convergente
<
si
‘ > 1 la série est divergente
:
si
‘ = 1 Cas douteux : on ne peut rien dire à priori
X
18) Séries alternées : une série de la forme
(`1)n bn où (bn ) est une suite réelle
positive est appelée série alternée .
Critère spécial des series alternées : Si (bn ) est décroissante et tends vers 0 alors
X
la série alternée
(`1)n bn est convergente
19) Faites un grand nombre d’exemples concernant la convergence des séries numériques et pour ce faire suivez les étapes suivantes :
1. Examiner si la série est à termes positifs : si c’est le cas suivez la démarche
concernant ce genre de séries à savoir :
(a) Montrer directement qu’elle converge ou elle diverge
(b) La comparer (comparaison algébrique) à une série dont la nature
X est connue
et dans le bon sens ( je veux dire si on trouve un » an et
an converge
X
X
alors
un converge mais si on a un – bn et
bn converge on ne peut rien
dire à priori
(c) Si on n’arrive pas à comparer algébriquement essayer une comparison asymptotique et commencer par le test n¸
54
(d) si le test ne donne rien essayer de faire des développements limités et trouver
un éventuel équivalent du terme général
(e) Si les terme de la suite sont strictement positifs à partir d’un certain rang
essayer la règle de D’Alembert
(f) Ne pas oublier aussi la comparaison avec des intégrales
2. Sinon passer au module pour tenter si on a l’absolue convergence
3. Si on n a pas l absolue convergence essayer de voir si on a une série alternée
vérifiant le critère spécial des séries alternées
20) Quelques exemples :
› étudier la série de terme général un dans les cas suivants :
3n
n
2n
a) un = n+1
b) un =
c) un =
n+1
(n + 1)2
5
p
n+ n
n3
un =
f) un =
2n3 ` 1
n
X
› Etablir la convergence et calculer la somme de la série
d) un =
ln n
n2
e)
un pour chacun des cas
n–p
suivants
X
X : 1
1
h)
g)
p
p
n(n + 1)
n n + 1 + (n + 1) n
n–1
n–1
X
X
4n
2n
i)
j)
(a 2]1; +1[)
n
4
2
a2X+ 1
Xn + 2n 2+ 9
2n + 1
k)
l)
(`1)n+1
n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
n–1
n–1
› Etudier les séries de termes généraux :
n!
an
ı
o) un =
avec a > 0
m) un = n2 sin n n) un = n
2
n
n!
a 3
2
q) vn = ean (1 ` )n
n
p
x
x
r) un = n! sin x sin p ´ ´ ´ sin p avec x > 0:
n
2
21) J’aimerai
traiter
ici
le
cas
de
la
série de Bertrand où ¸ = 1
X
1
série
. On va considérer la fonction :
n(ln n)˛
f(t) =
p) un =
et
nn (n!)2
(3n)!
˛ 2 R Donc la
1
t(ln t)˛
un calcul simple montrer que :
8t – 2
f 0 (t) = `
˛ + ln t
t2 (ln t)˛+1
donc f 0 (t) » 0 pour t – e`˛ .La fonction f est donc continue décroissante sur l’intervalle [a; +1[ avec a = max(2; e`˛ ). En outre la fonction f admet une primitive F sur
[a; +1[ et on peut choisir :
8
>
< F (t) =
>
:
1
(ln t)1`˛
1`˛
F (t) = ln(ln t)
si
55
si
˛ =1
˛ 6= 1
Ainsi :
› Si ˛ 6= 1 a pour tout x > 2 :
Z x
1
dt =
t(ln t)˛
a
=
–x
1
1`˛
(ln t)
1`˛
a
1
1
(ln x)1`˛ `
(ln a)1`˛
1`˛
1`˛
»
et on voit que :
Z
› › si ˛ > 1 alors l’intégrale
Z +1
› › si ˛ < 1 l’intégrale
a
› Si ˛ = 1 alors
Z
a
Z
x
a
+1
1
dt converge.
t(ln t)˛
1
dt diverge.
t(ln t)˛
1
dt = [ln(ln t)]xa = ln(ln x) ` ln(ln a)
t(ln t)
+1
1
dt diverge
t(ln t)˛
a
Ceci nous donne pour ce qui est de la série de
dans ce cas :
XBertrand
1
Si ¸ = 1 et ˛ 2 R alors la série de Bertrand
converge si ˛ > 1 diverge si
n(ln n)˛
˛ »1
22) Une série alternée qui ne vérifie pas les condition du CSSA : Considérons la série
X
un avec pour tout n – 0 :
et l’intégrale
un =
(`1)n
n + 2 + (`1)n
. On a
un = (`1)n bn
avec
bn =
1
n + 2 + (`1)n
1
On a bn – 0 car (`1)n – `1 donc n + 2 + (`1)n – n + 1 > 0. On a b0 = ; b1 =
3
1
1
; b2 =
donc la suite (bn ) n’est pas croissante. On a même :
2
5
2n + 5
bn+1 ` bn = (`1)n+1
(n + 2 + (`1)n )(n + 3 + (`1)n+1 )
montre que la suite (bn ) n’est pas monotone à partir d’un certain rang .
On a :
un
=
=
=
(`1)n
1
n + 2 1 + (`1)n
n+2
„
„ ««
(`1)n
(`1)n
1
1`
+o
n+2
n+2
n
„
«
(`1)n
1
1
`
+
o
n+2
(n + 2)2
n2
56
X (`1)n
converge car c’est une série alterne qui verifies les condition s du
n +X
2
1
1
CSSA . La série
converge car son terme est équivalent à 2 terme d’une
(n + 2)2
n
X
La série
série de Riemann convergente.Il en résulte que la série
X
23) Série géométrique
q n avec q 2 C :
un est convergente.
elle converge si et seulement si jqj < 1. En effet si jqj – 1 alors jqjn ne tends pas
vers 0 lorsque n tends vers +1 et la série diverge grossièrement. Si jqj < 1 alors
n
X
q n+1
1
n
lim jqj = 0 et l’expression de la somme partielle Sn =
`
qn =
n!+1
1`q
1`q
k=0
1
montre que lim Sn =
n!+1
1`q
57
8.3
Exercices
Exercice 1:
„
Soit ¸ 2 R. Etudier la série de terme general un =
n`1
n+1
«¸
Réponse
On a : un = en
n`1
=
n+1
¸
„
n`1
ln( n+1
)
1
1`
n
. Pour n voisin de +1, on a :
«„
1
1+
n
«`1
„
«„
„
««
1
1
1
1
1`
1`
+ 2 +o
n
n
n
n2
„
«
2
1
2
+ 2 +o
1`
n
n
n2
=
=
donc
„
ln
n`1
n+1
«
„
=
=
=
2
n
2
`
n
`
„
««
2
2
1
+ 2 +o
n
n
n2
„
«
2
2
1
+ 2 ` 2 +o
n
n
n2
„
«
1
+o
n2
1`
ln
«
n`1
= `2n¸`1 + o(n¸`2 )
il en résulte que n ln
n+1
vn
si ¸ >„ 1 alors n2 u„
=
avec vn = 2 ln n ` 2n¸`1 + o(n¸`2 ) =
n
«« e
ln n
1
`2n¸`1 1 ` ¸`1 + o
de sorte que lim n2 un = 0 , donc par les crin!+1
n
n
X
¸
„
tères de comparaison avec les séries de Riemann , la série
un est convergente.
«
„ «
„
1
1
n`1
= `2 + o
de sorte que lim un = 2 et le
Si ¸ = 1 alors n¸ ln
n!+1
n+1
n
e
série diverge grossièrement.
„
«
n`1
¸
Finalement si ¸ < 1 alors n ln
= `2n¸`1 + o(n¸`2 ), donc lim un = 1
n!+1
n+1
et la série diverge grossièrement.
Exercice 2:
„
Nature de la série de terme général un = arccos
n3 + 1
n3 + 2
«
Réponse
1
n3
1 + n23
««
1+
on a un = arccos
„
„
1
1
arccos 1 ` 3 + o
n
n3
„„
=
arccos
58
1
1+ 3
n
«„
2
1` 3 +o
n
„
1
n3
«««
=
On va donner un équivalent de f(x) = arccos(1 ` x) pour x > 0 voisin de 0,
1
1
= p
=
pour cela dérivons cette fonction : On a : f 0 (x) = p
1 ` (1 ` x)2
2x ` x2
p
„
«
p
1
1
2p
1
x
1
= p
x + o( x)
1 + + o(x) = p
+
p
q
4
8
2x 1 ` x
2x
2x
2
en integrant compte tenu de : arccos 1 = 0 on obtient :
p
p
p
2 p
f(x) = 2x +
x x + o(x x)
12
r
p
2
2
=
Il en résulte que : un ‰
et que la série en question converge car son
3
3
n
n2
terme général est équivalent au terme d’une série de Riemann convergente.
Exercice 3:
„
Nature de la série de terme général un = ln
Exercice 4:
Nature de la série de terme général un =
cos
1
n
«
„
ln
sin
1
n
«
(`1)n
où ¸ > 0
(`1)n + n¸
Exercice 5:
n
Nature de la série de terme général un = p
n!
Exercice
X 6:
X
Soient
un et
vn deux séries à termes strictement positifs tel que :
8n 2 N
et que la série
X
un+2
vn+2
»
un
vn
vn est convergente. Montrer que la série
X
un est convergente
Réponse
Pour tout n 2 N, posons : an = u2n et bn = v2n alors pour tout entier n, on a :
an+1
bn+1
»
an
bn
X
La série
bn est convergente car :
8n 2 N
Bn =
n
X
k=0
où V =
+1
X
vn . Comme
X
bk »
2n
X
vk » V
k=0
bn est une série à termes positifs elle converge puisque
n=0
59
sa somme partielles est majorée. Donc
X
an est convergente par comparaison logaX
rithmique. De la même façon on montre que
a0n est convergente où a0n = u2n+1 .
Alors pour tout entier naturel n on a :
An =
n
X
uk »
k=0
où A1 =
+1
X
an
et
n=0
A2 =
2n+1
X
k=0
+1
X
n
X
uk »
ak +
k=0
n
X
a0k » A1 + A2
k=0
a0n , dons la somme partielle de la série
X
un est
n=0
majorée et par suite elle converge.
Exercice 7:
n
Etudier la série de terme général un = tan
»
–
ı ı
et b > 0
réels donnés tel que a 2 ` ;
2 2
„
b
a+
n
«
où a et b sont deux nombres
Exercice 8:
Soit (an )n–0 une suite à termes strictement positifs tel que lim an = +1. Prouver
n!+1
X 1
X
1
que la série
est
convergente.
En
est
il
de
même
pour
la
série
?
(an )n
(an )ln n
8.4
Cartes Pour Quelques Series
Elle s’appelle la série harmonique : c’est un cas particulier des série de Riemann
X 1
n
En effet elle correspond à ¸ = 1 et c’est vraiment la frontière qui sépare les véritables cas de convergence et de divergence mais du coté de
divergence. Pour démontrer qu’elle diverge on suggère par exemple de
n
X
1
la comparer à ln n. Précisément on a ce qui suit : si Sn =
alors
k
k=1
Sn ‰ ln n
ı2
. On peut prouver
6
ceci en utilisant les series de Fourier mais aussi à l’aide d’autres méthodes
utilisant les intégrales. on peut consulter le devoir surveillé numéro un
pour une preuve
C’est une série de Riemann convergente de somme
60
X 1
n2
X (`1)n
n
C’est la série harmonique alternée elle est semi convergente et sa somme
vaut ` ln 2. On verra la preuve dans la leçon des séries entières ou alors
proposer un exercice qui résume les étapes d’un exemple de démonstration
En classe des élèves ont remarqué que cette série n’est pas absolument convergente , en effet njun j tends vers +1 lorsque n tends
vers +1.C’est une série alternée . Des élèves m’ont dit que (jun j)
n’est pas décroissante. En vérité elle est décroissante donc ils n’ont
pas bien fait leur verifications ..Cependant ce n’est pas aisé de faire
de telles vérifications et il est conseillé de faire un développement
limité ...On trouve
„
«
(`1)n
(`1)n
(`1)n
1
+
`
+
o
un =
ln n
ln n
2n2 ln n
n2 ln n
X
(`1)n
1
n–2
(ln n)n n
Je vous laisse le soin de retrouver vous même ce développement et l’utiliser pour faire
une conclusion correcte concernant cette série
Cette série est traitée en classe et un élève a rédigé le corrigé.
Certaines maladresses ont été le sujets de notre discussion en
classe à propos de cette question dont je cite :
„
«n
„ « n2
3n + 1
2n + 1
2
2n + 1 2
2
› Certains disent : on a
‰
donc
‰
,
3n + 1
3
3n + 1
3
chose fausse.
Cela est peut„être confondu
avec
«¸
„
«¸la chose juste suivante : si ¸
2n + 1
2
est une constante réelle fixé alors :
‰
3n + 1
3
› certains ayant besoin de faire un développement limité disent : ln(2n + 1) ‰ 2n Or
c’est faux car ln(1 + x) ‰ x lorsque x est voisin de 0.
X „ 2n + 1 « n2
C’est une série alternée car pour tout n 2 N on a ; un = (`1)n vn
1
(`1)
avec vn =
> 0 La suite (vn ) n’est pas décroisn + 2 + (`1)n
n + 2 + (`1)n
1
1
1
1
n–1
sante car : v0 = ; v1 = ; v2 = ; v3 =
on a v0 < v1 et
3
2
5
4
v1 > v2 , ...On peut montrer même qu’elle n’est pas décroissante
à partir d’un certain rang (faites le, c’est aisé ..). Ainsi cette série alternée ne vérifie pas les hypothèses du théorème des series
alternée (CSSA). On va montrer cependant
qu’elle est „
convergente
: En effet :
„
««
(`1)n
2 + (`1)n
(`1)n 2(`1)n + 1
(`1)n
1
1
=
1`
=
un =
+o
`
+
n 1 + 2+(`1)n
n
n
n
n
n2
n
„
«
1
o
n2
Il en découle que un est la somme de trois termes de series convergentes : le premier
est celui d’une série alternée vérifiant les hypothèses du CCSA, le second est celui
d’une série absolument convergente (Riemann) et le troisième est négligeable devant
X
n
61
le deuxième X
Conclusion ;
un est convergente .
c’est un cas particulier des séries dont le terme général de la
forme un =an bn avec les hypothèses suivantes :
24) La suite (an ) est positive décroissante et tends vers 0.
25) La suite (Bn ) des sommes partielles de (bn ) estX
bornée
X cos n
p
n
n–1
. Ses hypothèses suffisent pour dire que la série
an bn est
convergente.C’est vrai pour des suites (bn ) à termes complexes
...On se base pour prouver cela sur la transformation d’Abel qui consiste à écrire :
bk = Bk+1 ` Bk`1 pour tout k – 2 dés lors pour tout n – 2 on a :
n
X
k=1
X
n–1
„
ln
(`1)n
1+ p
n
«
ak bk = an B n +
n`1
X
Bk (ak ` ak`1 )
k=1
cette série illustre un contre exemple important : son terme
(`1)n
général un est équivalent à p
. Ce dernier est le terme
n
d’une série alternée convergente. Cependant la premiere série
est divergente
. En «
effet :
„
„
«
(`1)n
(`1)n
1
1
un= ln 1 + p
= p
+O
`
p
2n
n
n
n n
| {z } |{z} |
{z
}
an
bn
cn
an est le terme d’une série convergente
bn est le terme d’une série divergente
cn est le terme X
d’une série convergente
par conséquent
un est divergente
C’et une occasion pour mettre le point sur la chose suivante : si deux série à termes
positifs ont les termes équivalents alors elles
X sont de même nature.
On peut ajouter : si un ‰ vn et la série
vn est à termes positifs alors il en est de
X
même pour la série
un et elles sont de même nature.
62
9
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
9.1
Résumé de cours
› Une fonction f de Rp vers Rn associe à x = (x1 ; :::; xp ) 2 Rp un élément y =
(y1 ; :::; yn ) = y de Rn . Ainsi il existe n fonctions f1 ; :::; fn réelles à variable dans Rp
tel que f(x) = (f1 (x); :::; fn (x)) pour tout x 2 Rp . Les fonctions f1 ; :::; fn s’appellent
les fonctions coordonnées de f ou les composantes réelles de f.
› Soit a 2 Rp . f admet une limite ‘ = (‘1 ; :::; ‘n ) lorsque x tends vers a si et seulement
si : pour tout k 2 f1; :::; ng on a : lim fk (x) = ‘k . f est continue au point a si et
x!a
seulement si fk est continue au point a pour tout k 2 f1; :::; ng. f est d classe C m sur
un ouvert U de Rp si et seulement si fk est de classe C m sur U, pour tout k 2 f1; :::; ng.
Soit f une application de U vers Rn avec U un ouvert d R2 . Soit u = (a; b) 2 U alors
il existe une boule ouverte de centre u et de rayon r > 0 tel que B(a; r)  U. Soit
alors les intervalles I =]a ` r; a + r[ et J =]b ` r; b + r[.
On dispose de deux applications fu;1 rt fu;2 définies respectivement de I et J vers Rn
par : 8t 2 I fu;1 (t) = f(t; b) et 8t 2 J fu;2 (t) = f(t; b).
Remarquons que ces applications sont bien définies sur I et J respectivement. En effet,
si t 2 I alors (t; b) 2 U car
jj(t; b) ` (a; b)jj = jj(t ` a; 0)jj = jt ` aj < r
donc (t; b) 2 B(a; r)  U. De la même façon , si t 2 J alors (a; t) 2 U. Si la fonction
fu;1 est derivable au point a alors on note :
0
(a) =
fu;1
@f
(u)
@x
et si fu;2 est derivable au point b on note aussi :
0
fu;2
(b) =
Ainsi :
@f
(u)
@y
f(t; b) ` f(a; b)
@f
(u) = lim
t!a
@x
t`a
et
f(a; t) ` f(a; b)
@f
(u) = lim
t!b
@y
t`a
› Soit k 2 N˜ . Une fonction f : U  Rp ! Rn est de classe C k si les dérivées partielles
de la forme
@ k fi
@ k1 x1 :::@ kp xp
où i 2 f1; :::; ng et fi la i emme composante réelle de f et (k1 ; :::; kp ) 2 f1; :::; pgp
p
X
tel que
ki = k sont définies et continues sur U.
i=1
› Si f : U  R2 ! R de classe C 2 d’un ouvert U de R2 vers R alors pour tout a 2 U il
existe r > 0 tel que pour tout (x; y) 2 B(a; r) on ait :
„
«
2
2
@f
1
@ 2f
@f
2@ f
2@ f
f(x; y) = f(a)+h
(a)+k
(a)+
h
(a) + 2hk
(a) + k 2 (a) +jj(h; k)jj2 "((h; k))
@x
@y
2
@x2
@x@y
@ y
63
avec a = (a1 ; a2 ); k = x ` a1 ; k = y ` a2 et
lim
"((h; k)) = 0
(h;k)!(0;0)
› Soit f de classe C 2 d’un ouvert U de R2 vers R. Pour que f admette un extremum
@f
@ 2f
@f
(a)
(a) =
(a) = 0. Si c’est le cas soit : r =
en un point a 2 U il faut que
@x
@y
@x2
@ 2f
@ 2f
et s =
(a) et t = 2 (a) et soit ´ = s2 ` rt.
@x@y
@ y
- Si ´ < 0 alors f admet un extremum local au point a et c’est un minimum si r > 0
et un maximum si r < 0
- Si ´ > 0 alors il s’agit d’un point selle au point a
- Si ´ = 0 il faut pousser l’étude pour determiner la nature du point critique.
9.2
Fiche de révisions
Pour dériver une fonction d’une variable réelle et à valeurs réelles construite à partir
d’autres fonctions à plusieurs variables , on utilise les dérivées partielles. Par exemple
si f(t) = g(u(t); v(t)) où u et v sont des fonctions de classe C 1 sur un intervalle
ouvert I et g de classe C 1 sur un ouvert U de R2 tel que 8t 2 I (u(t); v(t) 2 U alors
f est derivable sur I et
8t 2 I
f 0 (t) = u0 (t)
@g
@g
(u(t); v(t)) + v 0 (t)
(u(t); v(t))
@x
@y
Pour calculer les dérivées partielles de f définie par f(x; y) = g(h(x; y)) où h : R2 ! R
et g : R ! R , on a :
@f
@g
(x; y) = g 0 (h(x; y)
(x; y)
@x
@x
et
@f
@g
(x; y) = g 0 (h(x; y)
(x; y)
@y
@y
Maintenant f(x; y) = g(h(x; y)) avec g et f de R2 vers R et h de R2 vers R2 on a :
@u
@g
@v
@g
@f
(x; y) =
(x; y)
(h(x; y)) +
(x; y)
(h(x; y))
@x
@x
@x
@x
@y
et
@f
@u
@g
@v
@g
(x; y) =
(x; y)
(h(x; y)) +
(x; y)
(h(x; y))
@y
@y
@x
@y
@y
9.3
EXERCICES MODELES AVEC REPONSE :
Exercice 1:
Soit f la fonction définie sur R2 par f(x; y) =
1 ` exy
xy + x2 + 1
Réponse
l’ensemble de définition de f est D = R2 n
„
x; `
x2 + 1
x
«
ff
=x 2 R˜ . Géométrique-
t2 + 1
t
D est un ouvert car c’est le complémentaire dans R2 d’un fermé (essayer de prouver
ment, D est le plan privé du graphe de la fonction ffi : t 7! `
64
que le graphe de ffi est un fermé)
f est continue sur D car c’est le rapport de deux fonctions continues sur D et celle
du dénominateur ne s’annule jamais sur D.
Une bonne question est de chercher si f se prolonge par continuité en des points de
ff
«
„
x2 + 1
=x 2 R˜
`=
x; `
x
a2 + 1
a
On va montrer par l’absurde que f ne peut pas se prolonger par continuité au point
(a; b).
Supposons donc que :
lim
f(x; y) = ‘ avec ‘ 2 R.
Soit (a; b) 2 ` donc a 2 R˜ et b = `
(x;y)!(a;b)
On a 8(x; y) 2 D
(xy +x2 +1)f(x; y) = exy `1 et comme
lim
(xy +x2 +1) =
(x;y)!(a;b)
0 il en résulte que 0‘ = eab ` 1.
On a ab = `(a2 + 1) 6= 0, donc eab 6= 1. Absurde.
Ainsi f ne peu être prolongée par continuité en aucun point de `.
Exercice 2:
Soit f la fonction définie sur R2 par : f(x) =
8
>
>
<
x2 y
x2 + y 2
>
>
:
0
si
(x; y) 6= (0; 0)
sinon
1. Étudier la continuité de f
2. Montrer que f est de classe C 1 sur l’ouvert R2 nf(0; 0)g.
3. f est elle de classe C 1 sur R2 ?
Réponse
1Les fonctions (x; y) 7! x2 y et (x; y) 7! x2 + y 2 sont continues sur R2 et
comme la deuxième fonction ne s’annule jamais sur l’ouvert U = R2 nf(0; 0)g alors
f considérée comme leur rapport est continue sur U.
Il reste à étudier la continuité de f au point (0; 0).
x2
jyj » jyj et comme
lim
jyj = 0,
Pour tout (x; y) 2 U on a : jf(x; y)j = 2
(x;y)!(0;0)
x + y2
on a
lim
f(x; y) = 0
(x;y)!(0;0)
Conclusion : f est continue sur R2 .
2- Les fonctions (x; y) 7! x2 y et (x; y) 7! x2 + y 2 sont de classe C 1 sur l’ouvert
U car elles sont obtenues à partir de fonctions usuelles par les operations usuelles.
Comme la deuxième fonction ne s’annule jamais sur U alors f qui est leur rapport
est de classe C 1 sur U.
On a pour tout (x; y) 2 U :
8
2xy(x2 + y 2 ) ` 2x:x2 y
2xy 3
> @f
>
(x;
y)
=
=
>
>
< @x
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
>
>
x2 (x2 + y 2 ) ` 2y:x2 y
@f
x4 ` x2 y 2
>
>
:
(x; y) =
=
2
2
2
@y
(x + y )
(x2 + y 2 )2
3- Cherchons d’abord les dérivées partielles au point (0; 0) si celles-ci existent :
65
On a : lim
x!0
f(x; 0) ` f(0; 0)
0
@f
@f
= lim
= 0 Donc
(0; 0) = 0. De même :
(0; 0) =
x!0 x
x
@x
@y
0.
@f
Ainsi la fonction
est définie sur R2 par :
@x
8
2xy 3
>
>
<
@f
(x2 + y 2 )2
(x; y) =
>
@x
>
:
0 sinon
@f
On va chercher si
est continue au point (0; 0).
@x
1
Considérons les suites xn = yn =
n
les deux suites tendent vers 0 lorsque n tends vers +1.
2
@f
1
n2
On a
(xn ; yn ) = 4 =
6= 0
@x
2
n4
@f
@f
Ainsi : lim (xn ; yn ) = (0; 0) et lim
(xn ; yn ) 6= 0 =
(0; 0)
n!+1
n!+1 @x
@x
@f
Donc
est discontinue au point (0; 0).
@x
Il en résulte que f n’est pas de classe C 1 sur R2
@f
@f
Cependant, il est claire que les fonctions
et
sont continues sur U. Donc
@x
@y
f est de classe C 1 sur U.
Exercice 3:
8
xyz
< p
3
Soit f : R ! R par : f(x; y; z) =
x2 + y 2 + z 2
:
0
sinon
3
Montrer que f est continue sur R
si
(x; y; z) 6= (0; 0; 0)
.
Réponse
p
Les fonctions (x; y; z) 7! xyz et (x; y; z) 7!
x2 + y 2 + z 2 sont continues sur
R3 sont continues sur R3 car elles sont obtenues par les operations usuelles et la
composition à partir de fonctions usuelles.
Et comme la seconde ne s’annule jamais sur l’ouvert U = R3 nf(0; 0; 0)g alors la
fonction f comme rapport de ces deux fonctions est continue sur U.
Au point (0; 0; 0) :
jzj
Pour tout (x; y; z) 2 U, on a : jf(x; y; z)j = p
jxyj » jxyj
x2 + y 2 + z 2
Or :
lim
jxyj = 0, donc
lim
f(x; y; z) = 0 = f((0; 0; 0))
(x;y;z)!(0;0;0)
(x;y;z)!(0;0;0)
Ainsi f est continue au point (0; 0; 0) et par conséquent f est continue sur R2
Exercice 4:
On considère la fonction f définie sur R2 par : f(x; y) =
66
8 2
x
>
2
>
>
< 2 +y `1
>
2
>
>
: `x
2
sinon
si
x2 + y 2 > 1
1R3
234-
Montrer que U = f(x; y) 2 R2 =x2 + y 2 > 1
ou
x2 + y 2 < 1g est un ouvert de
Montrer que f est continue sur R2
Montrer que f est de classe C 1 sur U
f est-elle de classe C 1 sur R3 ?
Réponse
1- On remarque que U = R2 n´ où ´ est le cercle de centre (0; 0) et de rayon 1 .
´ est un fermé de R2 ; en effet si un = (xn ; yn ) est une suite d’éléments de ´
convergeant vers ‘ = (‘1 ; ‘2 ) 2 R2 alors lim xn = ‘1 et
lim yn = ‘2 donc
n!+1
n!+1
lim (xn 2 + yn 2 ) = ‘1 2 + ‘2 2 et comme un 2 ´ on a xn 2 + yn 2 = 1. D’où :
n!+1
‘1 2 + ‘2 2 = 1, ce qui veut dire ‘ 2 ´. D’après la caractérisation séquentielle des
fermés on a prouvé que ´ est un fermé de R2 et par suite U est un ouvert de R2
x2
+ y 2 ` 1 est continue sur l’ouvert
2La fonction (x; y)
7!
2
x2
U1 = f(x; y) 2 R2 =x2 + y 2 > 1g et la fonction (x; y) 7! `
est continue
2
2
2
2
sur l’ouvert U2 = f(x; y) 2 R =x + y < 1g. Ainsi f est continue sur U.
Il nous reste la continuité en tout point de ´. Soit alors ¸ = (a; b) 2 ´.
Soit (x; y) 2 R2 tel que : jj(x; y) ` (a; b)jj < 1.
Alors : jj(x; y)jj » 1 + jj(a; b)jj » 2 (car a2 + b2 = 1
En particulier,on a : jxj » 2 et jyj » 2.
› Si (x; y) 2 U1 alors (en tenant compte de : a2 + b2 = 1) , on a :
˛ 2
˛
˛x
a2 ˛˛
2
˛
jf(x; y) ` f(a; b)j = ˛
+y `1+
=
2
2˛
˛ 2
˛
˛ x ` a2
˛
= ˛˛
+ y 2 ` b2 ˛˛
2
˛ 2
˛
˛x
a2 ˛˛
2
2
2
˛
˛ 2 +y `a `b + 2 ˛
de sorte que :
jf(x; y) ` f(a; b)j
1
jx + ajjx ` aj + jy + bjjy ` bj
2
1
»
(jxj + jaj)jx ` aj + (jyj + jbj)jy ` bj
2
» 2jx ` aj + 4jy ` bj » 6jj(x; y) ` (a; b)jj
»
(les deux dernières inégalités sont justifiées par : jxj » 2 et jyj »
2 et jaj » 2 et jbj » 2 obtenues ci-dessus et par le fait que :
max(jx ` aj; jy ` bj) » jj(x; y) ` (a; b)jj )
› si (x; y) 2
= U1 alors :
˛
˛
˛ 1 2
1 2 ˛˛
˛
jf(x; y) ` f(a; b)j = ˛` x + a ˛ »
2
2
»
1
(jxj + jaj)jx ` aj
2
jj(x; y) ` (a; b)jj
» 6jj(x; y) ` (a; b)jj
67
Ceci nous permet de dire que :
(8(x; y) 2 R2 ) jj(x; y) ` `a; b)jj » 1 ) jjf(x; y) ` f(a; b)jj » 6jj(x; y) ` (a; b)jj
D’où :
lim
f(x; y) = f(a; b)
(x;y)!(a;b)
Exercice 5:
Soit f une fonction de classe C 1 sur R et soir g la fonction définie sur R2 par g(x; y) =
f(x2 + y 3 ).
1. Prouver que g est de classe C 1 sur R2 et exprimer ses dérivées partielles.
2. On suppose dans cette question que f(t) = et . Calculer les dérivées partielles de
g
(a) directement
(b) En utilisant le résultat de la question 1)
Réponse
1- On a : g = f ‹ h avec h : R2 ! R tel que h(x; y) = x2 + y 3 . Puisque h est de
classe C 1 sur R2 et f de classe C 1 sur R alors la composée f est de classe C 1 sur
R2 .
Soit m = (a; b) 2 R2 , alors la matrice jacobienne de g au point m est : Jg (m) =
Jf (h(m))Jh (m) , ce qui donne :
„
«
„
«
@g
@g
@h
@h
(m)
(m) = f 0 (h(m))
(m)
(m)
@x
@y
@x
@y
D’où :
@g
(a; b) = 2f 0 (a2 + b3 )a
@x
Ainsi :
(8(x; y) 2 R2 )
2-
@g
(a; b) = 3f 0 (a2 + b3 )b2
@y
8
@g
>
>
(x; y) = 2f 0 (x2 + y 3 )x
>
< @x
>
>
@g
>
:
(x; y) = 3f 0 (x2 + y 3 )y 2
@y
2 +y 3
On a alors g(x; y) = ex
a)2
et
donc :
@g
@g
2
3
(x; y) = 2xex +y et
(x; y) =
@x
@y
3
3y 2 ex +y
b)- . Pour tout t 2 R on a : f 0 (t) = et de sorte que pour tout (x; y) 2 R2 on a :
@g
@g
2
3
2
3
f 0 (x2 + y 3 ) = ex +y et alors d’après 1) :
(x; y) = 2ex +y x et
(x; y) =
@x
@y
2
3
3ex +y y 2 ce qui est conforme aux résultats de 2)a) .
Exercice 6:
Soit V : R2 ! R une application de classe C 1 et soit ’ l’application de R2 vers R2
définie par ’(r; „) = (r cos „; r sin „) et on pose F = f ‹ ffi
Soit (r; „) 2 R2 ) tel que r 6= 0 et (x; y) = ’(r; „)
1. Exprimer les dérivées partielles de f au point (x; y) en fonction des dérivées
partielles de F u point (r; „) dans le cas où (x; y) 6= (0; 0)
2. En déduire l’expression du gradient de f en fonction de r et „
68
3. On définit la fonction g par : g(x; y) =
@f
@f
(x; y) +
(x; y). Exprimer g(x; y) à
@x
@y
l’aide de F ,r et „.
Réponse
1- Il est claire que F comme composée de f et ’ est de classe C 1 sur R2 , par
conséquent on a la relation suivante entre les matrices jacobiennes :
JF (r; „) = Jf (x; y):J’ (r; „)
Ce qui donne :
„
@F
(r; „)
@r
@F
(r; „)
@„
«
„
=
@f
(x; y)
@x
@f
(x; y)
@y
«„
cos „
sin „
`r sin „
r cos „
«
Or„ pour r 6= 0,
« la matrice carrée de droite est inversible d’inverse :
1
r cos „ r sin „
.
` sin „ cos „
r
Il en résulte que :
„
„
«
«„
«
@f
@f
1 @F
@F
r cos „ r sin „
(x; y)
(x; y) =
(r; „)
(r; „)
` sin „ cos „
@x
@y
r
@r
@„
8
@f
@F
1
@F
>
>
(x; y) = cos „
(r; „) ` sin „
(r; „)
>
< @x
@r
r
@„
et par suite :
>
>
@f
@F
1
@F
>
:
(x; y) = sin „
(r; „) + cos „
(r; „)
@y
@r
r
@„
2- On a alors
„
«
„
«
``!
@F
1
@F
@F
1
@F
gradf(x; y) = cos „
(r; „) ` sin „
(r; „) e1 + sin „
(r; „) + cos „
(r; „) e2
@r
r
@„
@r
r
@„
et si pour tout „ 2 R, on pose : u(„) = cos „e1 + sin „e2 alors :
``!
@F
1 @F
gradf(x; y) =
(r; „)u(„) +
(r; „)u0 („)
@r
r @„
3-
On a :
g(x; y) = (cos „ + sin „)
@F
1
@F
(r; „) + (cos „ ` sin „)
(r; „)
@r
r
@„
Exercice 7:
Soit f de R3 vers R de classe C 1 et g définie par g(x; y; z) = f(x ` y; y ` z; z ` x).
1. Prouver que g est de classe C 1 sur R3
@g
@g
@g
2. Montrer que
+
+
=0
@x
@y
@z
Réponse
69
1- g = f ‹ffi avec la fonction ffi de R3 vers R3 tel que ffi(x; y; z) = (x`y; y `z; z `x)
dont les composantes sont de classe C 1 ffi est donc de classe C 1 sur R3 et comme
f est par hypothèses de classe C 1 sur R3 alors g est de classe C 1 sur R3 .
2Pour simplifier posons X = (x; y; z) et u; v; w les composantes de ffi .
D’après les règles de dérivation des composées (qu’ on peut retrouver en utilisant
les matrices jaobiennes) on a :
@f
@u
@f
@v
@f
@w
@f
@f
@g
(x; y) =
(ffi(X))
(X)+
(ffi(X))
(X)+
(ffi(X))
(X) =
(ffi(X))`
(ffi(X))
@x
@x
@x
@y
@x
@z
@x
@x
@z
@g
@f
@u
@f
@v
@f
@w
@f
@f
(x; y) =
(ffi(X))
(X)+
(ffi(X))
(X)+
(ffi(X))
(X) = `
(ffi(X))+
(ffi(X))
@y
@x
@y
@y
@y
@z
@y
@x
@y
@g
@f
@u
@f
@v
@f
@w
@f
@f
(x; y) =
(ffi(X))
(X)+
(ffi(X))
(X)+
(ffi(X))
(X) = `
(ffi(X))+
(ffi(X))
@z
@x
@z
@y
@z
@z
@z
@y
@z
En sommant membre à membre les égalités ci-dessus, on trouve la formule demandée.
Exercice 8:
Soit f : R2 ! R la fonction définie par
8 2
x y + 3y 3
>
>
<
x2 + y 2
f(x; y) =
>
>
:
0 sinon
si
(x; y) 6= (0; 0)
1. La fonction f est-elle continue en (0; 0) ? Justifier la réponse.
2. La fonction f admet-elle des dérivées partielles par rapport à x, à y en (0; 0) ?
Donner la ou les valeurs le cas échéant et justifier la réponse.
3. La fonction f est elle de classe C 1 sur R2 ?
4. Déterminer les dérivées partielles de f en un point (x0 ; y0 ) 6= (0; 0).
5. Soit F : R2 ! R2 la fonction définie par F (x; y) = (f(x; y); f(y; x)). Déterminer
la matrice jacobienne de F au point (1; 1).
Exercice 9:
On considère les fonctions f : R2 ! R3 et g : R3 ! R d telles que , pour tout
(x; y; z) 2 R3 on aie :
f(x; y) = (sin(xy); y cos x; xy sin(xy) exp(y 2 )) et g(x; y; z) = xyz
1. Calculer explicitement g ‹ f.
2. En utilisant l’expression trouvée en 1), calculer les dérivées partielles de g ‹ f.
3. Déterminer les matrices jacobiennes Jf (x; y) et Jg (u; v; w) de f et de g.
4. Retrouver le résultat de la question 2) en utilisant la règle concernant matrice
jacobienne de la composée de deux fonctions de classe C 1 .
Exercice 10:
g(x; y) = a(x)f(xv(y); u(x)y) avec u et v des fonctions réelles à variable réelle de
classe C 1 sur un intervalle ouvert I de R et f de R2 vers R de classe C 1 sur un ouvert
U tel que pour tout (x; y) 2 I 2 on aie : (xv(y); u(x)y) 2 U .
70
1. Montrer que g est de classe C 1 sur l’ouvert V = I 2
2. Exprimer les dérivées partielle de g en fonctions de celles de f et des dérivées de
a; u et v.
pour les dérivées partielles on trouvera :
@g
@f
@f
(X) = a0 (x)f(xv(y); u(x)y) + a(x)
(Y )v(y) + a(x)
(Y )yu0 (x)
@x
@x
@y
71
10
SERIES ENTIERES
10.1
Résumé de cours
10.2
définitions
une série entière
X
an z n est une série numérique avec paramètre z 2 K où la suite
(an ) est à valeurs dans K.
s’il existe r > 0 tel que la suite (an r n ) est bornée alors la plus plus grande valeur de
r vérifiant cette propriété noté R s’appelle le rayon de convergence de la série entière
avec la convention R = +1 si c’est vrai pour tout r >.
L’ensemble : D = fz 2 K=jzj < Rg s’appelle le disque de convergence de la série
entière siX
K = C et l’intervalle de convergence si K = R.
an z n converge absolument pour tout z 2 D et diverge pour tout z tel que
La série
jzj > R.
Fonction série entière
Soit
X
an xn une série entière réelle de rayon de convergence R. La fonction f définie
par f(x) =
+1
X
an xn est de classe C +1 sur D et on peut dériver terme à terme et les
n=0
séries dérivées ont le même rayon de convergence.
Z x
+1
X a
n
f(t)dt =
xn+1 cette série entière a le même rayon de converOn a aussi
n
+
1
0
n=0
gence R.
10.3
Structure
› La somme de deux séries entière
pectifs R et R0 est la série entière
X
a
X
nz n et
X
bn z n de rayons de convergence res-
cn z n avec cn = an + bn pour tout n 2 N . Son
rayon de convergence R00 vérifie R00 – min(R; R0 ) avecX
égalité si R 6= R0
› Le produit ar un scalaire – 2 K d’une série entière
nz n de rayon de convergence
a
R est la série entière
X
cn z
n
avec cn = –an pour tout n 2 N (produit de Cauchy).
Son rayon de convergence est R si – 6= 0 et +1 si – = 0
› Si Se (K) est l’ensemble des séries entières alors (Se ; +; ˆ) est un anneau commutatif
et (Se ; +; :) est un K` espace vectoriel.
Fonction développable en série entière
› Une fonction f réelle de variable
réelle est développable en série entière au voisinage
X
de 0 s’il existe une série entière
an xn et un nombre réel strictement positif R tel
72
que la série entière converge pour tout x tel que jxj < R et que f(x) =
+1
X
an xn pour
n=0
tout jxj < R .
› Si une fonction f de classe C n sur un intervalle de la forme ] ` a; a[ avec (a > 0)
est développable en série entière à l’origine alors les coefficients de la série entière
associée sont
f (n) (0)
an =
n!
10.4
10.4.1
Fiche de révision
Rayon de convergence
si R est le rayon de convergence de la série entière
X
an z n alors pour tout nombre
complexe z on a :
1) si jzj < R alors la série
2) si jzj > R alors la série
X
X
an z n est absolument convergente .
an z n est divergente
3) si jzj = R on ne peur rien dire à priori
10.4.2
Comportement au bornes de l’intervalle de convergence
Théorème(admis)
On considère une séries entière
X
an xn à coefficients réels de rayon de convergence
R 2]0; +1[.Pour tout x de l’intervalle de convergence ] ` R; R[, on pose :
f(x) =
+1
X
an xn
n=0
Si la série numérique
+1
X
an Rn est convergente alors on a :
n=0
lim f(x) =
+1
X
x!R`
an Rn
n=0
Si la série numérique
+1
X
an (`R)n est convergente alors on a :
n=0
lim
f(x) =
+1
X
x!(`R)+
an (`R)n
n=0
X 1
exemple : la série entière
xn a pour rayon de convergence R = 1. La série
n
X (`1)n
numérique
est convergente (série alternés vérifiant les conditions de cssa).On
n
73
a d’autre part
8x 2] ` 1; 1[
f(x) =
+1
X
xn
= ` ln(1 ` x)
n
n=1
. Donc en vertu du théorème ci-dessus on a :
+1
X
(`1)n
= ` ln 2
n
n=1
Théorème(admis)
X
si la série
an xn a pour rayon de convergence R 2]0; +1[[f+1g alors la fonction
somme f définie par f(x) =
+1
X
an xn est de classe C 1 sur l’intervalle de convergence
n=0
I =] ` R; R[ et on a :
˜
(8k 2 N )(8x 2 I)
f
(k)
(x) =
+1
X
Akn an xn
n=k
avec
Akn
=
k`1
Y
(n ` k) = n(n ` 1):::(n ` k + 1)
i=0
10.4.3
Toujours D’Alembert pour determiner le rayon de convergence ?
X
eh bien non. Par exemple considérons la série entière
sin nxn .
Première méthode : Soit R le rayon de convergence de la série en question. Pour tout
nombre réel x tel que jxj < 1, on a :
8n 2 N
j sin n xn j » jxjn
X
sin nxn converge absolument pour tout x tel que jxj < 1 . On a alors
X
R – 1. Or pour x = 1 on a la série
sin n diverge car son terme général ne tends
donc la série
pas vers 0 (elle diverge grossièrement ). Alors
X R=1
Deuxième méthode : Considérons la série
sin nz n (variable complexe). Pour tout
1
n 2 N et tout zi nC, on a : (sin n)z n =
((ei z)n + (e`i z)n ).
2i
X
Si z 2 C et w = zei . La série
q n est convergente si et seulement si jqj < 1 ce qui
X
veut dire : jzj < 1. De même pour q 0 = ze`i on a convergence de
q 0n si jzj < 1.En
conclusion R = 1
10.4.4
Une mise en garde sur le développement en série entière
une fonction peut être de classe C 1 sur R sans qu’elle admette un dse ene 0
74
exemple
`1
Soit f la fonction définie par f(x) = e t2 si t 6= 0 et f(0)=0
1. Montrer que f est de classe C 1 sur R et que :
8n 2 N
f (n) (0) = 0
2. Supposons que f est developable en séries entière au point 0 et que (an ) est la
suite des coefficients de ce development. Exprimer les coefficients an à l’aide de
la fonction f. En déduire une contradiction
10.5
Exercices
Exercice 1:
determiner le rayon de convergence des séries entières suivantes :
X
1.
nz n
X zn
2.
n
X
3.
n!z n
X
4.
n¸ z n où ¸ 2 R
X
5.
nn z n
X
6.
ln z n
„ «
X
1
7.
cos
zn
n
X zn
8.
ln n
Exercice 2:
Donner le développement en série entières des fonctions suivantes :
1
1. f(x) = p
1 ` x2
2. f(x) = cos x + sin x2
3. f(x) = arctan x
4. f(x) = e`x2
5. f(x) = arcsin x
„
6. f(x) = ln 1 `
x
2
2x ` 1
x+3
7. f(x) =
(3x + 2)(x ` 3)
«
75
Exercice 3:
X
On considère la série entière
n2 xn .
1. Determiner son rayon de convergence R
2. Etudier le comportement de la série entière aux bornes de son intervalle de convergence (indication : on pourra remarquer que n2 = n(n ` 1) + n )
Exercice 4:
Soit f(x) =
+1
X
n2
n
xn
`1
k=2
1. Determiner le rayon de convergence R de la série entière exprimant f.
0 +1
1
+1
X xn
1 @ 1 X xn
A
2. Montrer que pour tout x 2]`R; R[ tel que x 6= 0, on a : f(x) =
+x
2
x
n
n
n=3
n=1
3. Simplifier f(x) pour tout x 2] ` R; R[
4. La série entière ci-dessus converge t elle aux bornes de son intervalle de convergence ?
Exercice 5:
On considère l’équation différentielle :
y 00 + xy = x2 + x + 2
Prouver qu’elle admet comme solution une fonction developable en série entière et
determiner son rayon de convergence
Exercice 6:
X
X
On considère deux séries entières à coefficients réels
an xn et
bn xn de rayons de
convergence respectifs R et R0 . Prouver que :
1. an = O(bn ) ) R – R0
2. an = o(bn ) ) R – R0
3. an ‰ bn ) R = R0
Exercice 7:
En utilisant le théorème concernant le comportement d’une série entière aux bornes
de son intervalle de convergence donner la valeurs des sommes suivantes :
1.
+1
X
(`1)n+1
n
n=1
2.
+1
X
(`1)n
2n + 1
n=0
76
Exercice 8:
Pour tout n 2 N, on pose an =
n
1 X
kk!
n!
k=0
1
an = n + 1 `
n!
X
n
2. En déduire que la série
an x est convergente et calculer sa somme.
1. Montrer que 8n 2 N
Exercice 9:
X
X
n
an z n ont même rayon de
Montrer que les séries entières
an z n et
n2 + n ` 2
convergence
Exercice
X 10:
Soit
an une série divergente à terme réels strictement positifs tel que an = o(Sn )
X
où Sn est le terme générale de la somme partielle de la série
an . Déterminer les
X
X
rayons de convergence des séries entières
an z n et
Sn z n .
77
11
11.1
INTÉGRALES DEPENDANT D’UN PARAMETRE
Résumé de cours
K désigne R ou C. Une fonction f d’un ouvert U de R2 vers C s’écrit f = u + iv avec u
et v des fonction de R2 vers R. Alors si les dérivées partielles de u et v existent celles
de f sont :
@f
@u
@v
@f
@u
@v
=
+i
et
=
+i
@x
@x
@x
@y
@y
@y
Les énoncés des théorèmes
I et J sont deux intervalles de R et f une fonction de I ˆ J vers K . On considère
la fonction F définie sur I par :
Z
F (x) =
f(x; t)dt
J
et on se propose d’étudier la continuité et la dérivabilité de f.
Avant de commencer signalons que pour que F soit définie sur I tout entier il suffit
que pour tout
Z x 2 I la fonction : t 7! f(x; t) sont continue par morceaux sur J et que
l’intégrale
f(x; t)dt soit convergente.
J
Continuité
Théorème
si :
1. pour tout t 2 J, la fonction x 7! f(x; t) est continue sur I
2. pour tout x 2 I la fonction t 7! f(x; t) est continue par morceaux sur J
3. il existe une fonction ’ integrable sur J tel que : 8(x; t) 2 I ˆ J
jf(x; t)j » ’(t)
alors : F est continues sur I
Dérivabilité
Théorème
si :
1. pour tout t 2 J, la fonction x 7! f(x; t) est derivable sur I
@f
2. pour tout x 2 I les fonction t 7! f(x; t) et t 7!
(x; t) sont continues par
@x
morceaux sur J
@f
3. il existe une fonction ’ integrable sur J tel que : 8(x; t) 2 I ˆJ j
(x; t)j » ’(t)
@x
Z
@f
alors : f est derivable sur I et 8x 2 I F 0 (x) =
(x; t)dt
@x
J
78
on a aussi :
Théorème
Soit n 2 N.Si :
1. pour tout t 2 J, la fonction x 7! f(x; t) est de classe C n sur I
@ nf
(x; t) sont continues par
2. pour tout x 2 I les fonction t 7! f(x; t) et t 7!
@xn
morceaux sur J
@ nf
3. il existe une fonction ’ integrable sur J tel que : 8(x; t) 2 I ˆ J j
(x; t)j »
@xn
’(t)
Z
@ nf
n
(n)
(x; t)dt
alors : f est de classe C sur I et 8x 2 I F (x) =
@xn
J
Exemples
Exemple 1
Z
+1
(t2 + 1)x dt.
On considère la fonction f définie par : F (x) =
0
1. Determiner l’ensemble de définition D de F
2. Etudier la continuité et la dérivabilité de F sur D
Exemple 2
Les élèves sont invités à réviser tout ce qu’on a vu sur la fonction `
Exemple 3
Z
+1
e`xt
dt.
t2 + x
0
1. Montrer que l’ensemble de définition de F est D =]0; +1[
2. Montrer que F est continue sur D
3. Montrer que F est de classe C 1 sur D et exprimer F 0 (x) pour tout x 2 D
4. Montrer que F est une solution d’une équation différentielle du premier ordre (E)
qu’on résolvera.
Indication:
1) il faut étudier trois cas à savoir :
x < 0, on pourra pose `x = ¸2 avec ¸ > 0 et on prouvera que la fonction
t 7! f(x; t) n’est pas continue par morceaux sur ]0; +1[.
Z +1
e`xt
x = 0 on prouvera que l’intégrale
dt diverge
t2 + x
0
Z +1
e`xt
x > 0 on prouvera que dans ce cas l’intégrale
dt converge .
2
t +x
0
2) Appliquer le cours
3) penser à travailler dans un intervalle convenable (pour la variable x)
4) Integration par parties ...
on considère la fonction F définie par f(x) =
79
11.2
Exercices
Exercice 1:
1
Z
On considère la fonction f définie par : f(x) =
0
tx`1
dt.
1+t
1. Justifier que f est bien définie sur l’intervalle I =]0; +1[
2. Montrer que f est continue sur I
3. Pour x 2 I simplifier f(x) + f(x + 1) pour x > 0. En déduire un équivalent de
f(x) quand x est voisin de 0 et un équivalent de xf(x) quand x est voisin de +1.
4. Calculer les limites de f aux bornes de I.
Exercice 2:
Z
+1
Soit g la fonction définie par : g(x) =
0
2
e`tx
dt
1 + t3
1. Calculer g(0). Determiner l’ensemble de définition de g.
2. Etudier la continuité de g en tout point de son ensemble de définition.
3. Etudier les variations de g sur son domaine de définition.
4. Etudier la limite de g en +1.
Exercice 3:
+1
Z
On considère la fonction f définie par f(x) =
0
t2 + x 2
dt.
x3 + et
1. Prouver que f est bien définie sur l’intervalle I = [0; +1[
2. f est elle définie au point x = `1 ?
3. montrer que f est continue sur I
4. Montrer que f est de classe C 1 sur I et expliciter f 0 (x) sous forme d’une intégrale
Exercice 4:
+1
Z
˜
Pour tout n 2 N , on pose : fn (x) =
(t2
0
1
dt
+ x 2 )n
1. Montrer que fn est bien définie sur l’intervalle I =]0; +1[
2. Montrer que fn est continue sur I
3. Montrer que fn est de classe C 1 sur I
4. Calculer fn0 (x) pour tout x 2 I
5. En déduire une forme simplifiée de fn (x) pour tout x 2 I
Exercice 5:
80
p
ı
2
. (intégrale de Gauss).Pour
e`t dt =
2
0
Z 1
2
2
e`x (1+t )
cela on considère la fonction F définie par F (x) =
dt et la fonction G
1 + t2
0
!2
Z x
Z
+1
On se propose de démontrer que I =
2
e`t dt
définie par G(x) =
0
1. Prouver que F et G sont de classe C 1 sur R et préciser F 0 et G 0
2. Montrer que la fonction F + G est constante sur R
3. Calculer
lim F (x)
x!+1
4. Conclure.
Z
+1
2
e`t ch(tx)dt
5. En utilisant ce résultat étudier la fonction g définie par g(x) =
0
Exercice 6:
Z
+1
e`xt
1. Démontrer que les fonctions f et g définies par f(x) =
dt et g(x) =
1 + t2
0
Z +1
sin t
dt sont des solutions d’une même équation différentielle du second
1
+ t2
0
ordre sur un intervalle à determiner
Z +1
sin t
2. En déduire la valeur de l’integrale de Dirchlet :
dt
t
0
Parfois on n’est pas obligé de passer par les théorèmes concernant des intégrales avec
paramètres. Il y’a même des fois où on n’a pas le choix car la fonction dominante n’est
pas facile à mettre en évidence ou n’existe pas ...donc on doit faire appel à une autre
méthode ou utiliser une technique particulière (souvent c’est l’intégration par parties
..).
l’exercice suivant illustre une telle situation , il est donc conseille de la faire ...
Essayer diverses méthodes quand c’est possible.
Exercice 7:
On considère les fonctions f; g; G; h les fonctions définies sur :
Z +1
Z +1
Z +1
Z +1
sin t
e`tx
sin t
cos t
f(x) =
dt; g(t) =
dt; G(x) =
dt; H(t) =
dt
2
t+x
t +1
t
t
0
x
x
0
1. Montrer que G et H sont dérivables sur [0; +1[ et expliciter G 0 (x) et H 0 (x) pour
tout x > 0.
2. montrer que : 8x 2 [0; +1[
3. Montrer que : 8x 2]0; +1[
f(x) = (cos x)G(x) ` (sin x)H(x)
Z 1
cos u
H(x) = c +
du où c est une constante à
u
x
determiner. En déduire que :
8x 2]0; 1]
jH(x)j » c ` ln x
81
et que
+1
Z
lim f(x) =
x!0+
0
sin t
dt
t
et que f est continue au point 0 à droite.
4. Comment justifier que f est continue sur ]0; +1[ ?
5. motrer que f est une solution de l’equation differentielle :
(E)
y 00 + y =
1
x
sur l’intervalle I =]0; +1[.
6. Montrer que g est aussi une solution de (E) sur I
7. En déduire que f(x) ` g(x) = ¸ cos x + ˛ sin x pour tout x > 0 avec ¸ et ˛ des
constantes réelles .
2
8. Montrer que pour tout x > 0, on a : jf(x)j » jG(x)j + jH(x)j et jg(x)j »
x
9. Calculer les limites lim f(x) et
lim g(x) et en déduire que ¸ = ˛ = 0
x!+1
Z
10. Montrer que
0
+1
x!+1
sin t
ı
=
t
2
Un rappel concernant cet exercice :
On rappel que si f est une fonction continue sur un intervalle ]a; b[ (les bornes peuvent
Z b
être infinies alors si l’integrale
f(t)dt est convergente les fonctions F et G suivantes
a
définies par :
x
Z
Z
f(t)dt
F (x) =
et
x
a
sont de classe C 1 sur ]a; b[ et on a :
F0 = f
et
82
G 0 = `g
b
f(t)dt
G(x) =
12
12.1
ESPACES PREHILBERTIENS RELS, ESPACES
EUCLIDIENS
Résumé de cours
Definition d’un espace préhilbertien réel
un espace préhilbertien réel est un couple (E; B) où E est un espace vectoriel réel et
B est un produit scalaire sur E : c’est-à- dire une forme bilinéaire symétrique définie
positive. Au lieu de B on adopte la notation h; i. Ainsi hx; yi est le produit scalaire des
vecteurs x et y de E.
On a vu des exemples dans le cours : Rappeler les et démontrer une autre fois que ce
sont des produits scalaires.
q
Rappeler toutes les identité vue avec la notation jjxjj =
Rappeler en particulier :
hx; xi pour tout x 2 E
1. l’identité du parallélogramme
2. Les identités de polarisation
Orthogonalité :
Definitions et propriétés
Dans tout ce qui suit (E; h; i) est un espace préhilbertien réel.
› deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux si hx; yi = 0
On note : x?y
On a ce qui suit :
8x 2 E 0?x
8x 2 E x?x () x = 0
› On appelle orthogonal d’une partie A non vide de E et on note A? l’ensemble de
tous les vecteurs de E orthogonaux à tot vecteur a de A
› Si A et B sont deux parties non vides de E on a ce qui suit :
1. A? est un sous-espace vectoriel de E
2. f0g? = E
3. E ? = f0g
4. A  B ) B ?  A?
5. A  (A? )?
6. Si F est sev de E alors F \ F ? = f0g
› Théorème de Pythagore : Soit (x; y) 2 E 2 alors :
x?y () jjx + yjj2 = jjxjj2 + jjyjj2
› Remarque : attention ! on ne peut pas généraliser à plus de deux vecteurs : on a un
sens vrai : si u1 ; ::; un sont deux à deux orthogonaux alors :
jj
n
X
2
uk jj =
k=1
n
X
k=1
83
jjuk jj2
Contre exemple pour l’autre sens : dans R3 muni du produit scalaire canonique si : u =
(1; 1; 0); v = (1; 0; `1); w = (0; 0; 1) alors u+v+w = (2; 1; 0) donc : jju+v+wjj2 = 5
on a : jjujj2 + jjvjj2 + jjwjj2 = 2 + 2 + 1 = 5 mais hu; vi = 1 6= 0
Projection orthogonale
› Deux sous-espaces vectoriels de E Sont dits orthogonaux si tout vecteur de l’un est
orthogonal à tout vecteur de l’autre.
› Deux sous-espaces vectoriels de E qui sont orthogonaux et supplémentaires sont
appelés des supplémentaires orthogonaux.
› Si deux sev sont des supplémentaires orthogonaux alors l’un est l’orthogonal de
l’autre. Ainsi si un sev F de E admet un supplémentaire orthogonal G alors forcément
G = F ? et donc F admet un supplémentaire orthogonal si et seulement si F + F ? = E
(n’oublions pas que F \ F ? = f0g )
› Il en découle que si F possède un supplémentaire orthogonal , il est unique et c’est
exactement F ?
› Def : Soit F un sous espace vectoriel de E admettant un supplémentaire orthogonal,
c’est-à-dire : F ˘ F ? = E. L’application pF qui associe à tout x 2 E sa composante
xF suivant F est un projecteur de E appelée projection orthogonale de E sur F . On
a :
(8x 2 E)(8x0 2 E) pF (x) = x0 () x0 2 F et x ` x0 2 F ?
› On a vu que si F est un sev de dimension finie de l’ev E alors F ˘ F ? = E et la
notion de projection orthogonale existe pour de tels sous-espace vectoriels.
› Si F n’est pas de dimension finie , il faut faire attention : avant de parler de projection
orthogonale , il faut s’assurer que F possède un supplémentaire orthogonal.
› Thm : Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que F ˘ F ? = E. Alors : pour tout
x 2 E il existe un et un seul x0 2 F tel que
8y 2 F
jjx ` yjj – jjx ` x0 jj
On a alors : jjx ` x0 jj = min jjx ` yjj on note d(x; F ) = jjx ` x0 jj appelé la distance
y2F
de x à F .
Famille , bases orthogonales , orthonormales
› I un ensemble ayant aux moins deux éléments, une famille de vecteurs (ui )i2I est
dite orthogonale si pour tout i; j 2 I si i 6= j alors ui ?uj . Si en plus jjui jj = 1 pour
tout i 2 I la famille est dite orthonormale.
› Toute famille orthogonale dont les vecteurs sont tous non nuls est libre
› En particulier, toute famille orthonormale est libre.
› Attention : si u 2 E alors la famille (0; u) est orthogonale mais n’est pas libre.
Procédé de Gram-Schmidt
› On se donne dans E, une famille libre (u1 ; :::; up ) avec p 2 N et p – 2. Soit (!i )1»i»p
définie par :
1
!1
!1 =
jj!1 jj
84
8k 2 f1; :::; p ` 1g
8
k
X
>
>
>
0
>
!
= uk+1 `
huk+1 ; !i i!i
>
>
< k+1
i=1
>
>
>
>
>
>
: !k+1 =
1
0
jj!k+1
jj
0
!k+1
Alors : La famille (!i )1»i»p existe et c’est l’unique famille orthonormale qui vérifie :
8
< Vectfu1 ; :::; uk g = Vectf!1 ; :::; !k )g
8k 2 f1; :::; pg
:
huk ; !k i > 0
› Remarque : On peut généraliser à une famille libre (uk )k2N˜ et (!k )k2N˜ définie
par les mêmes formules que ci-dessus pour tout k 2 N˜ , et le résultat est le même :
c’est l’unique famille orthonormale qui vérifie les deux conditions ci-dessus pour tout
k 2 N˜
Applications
1) Si F est un sev de dimension finie de E alors F ˘ F ? = E
2) Si F est un sev de dimension finie n > 0 de E et si (!i )1»i»n est une base orthonormale de E alors :
8
n
X
>
>
>
pF (x) =
hx; !k i!k
>
>
<
k=1
(8x 2 E)
n
X
>
>
>
>
jjxjj
–
jhx; !k ij2
(Inégalité de Bessel )
>
:
k=1
Un exemple de famille orthogonale à connaître
Soit T > 0 et CT le R espace vectoriel des fonctions continues et T ` périodiques de
R vers R muni du produit scalaire :
Z T
1
hf; gi =
f(t)g(t)dt
T 0
Soit C = (ck )k2N et S = (sk )k2N˜ avec :

(8k 2 N) ck (t) = cos(k!t)
(8t 2 R)
(8k 2 N˜ ) sk (t) = sin(k!t)
et soit B = C [ S . Alors la famille B est une famille orthogonale de CT
Matrice et déterminant de Gram
Soit B = (uj )1»j»p une famille de vecteurs de E La matrice G = (gij ) avec gij =
hui juj i pour tout i; j 2 f1; :::; pg est une matrice carrée de taille p appelée matrice de
Gram de la famille B.
Proposition : Le rang de G est égal au rang de la famille B
85
Preuve : Soit F = Vectfu1 ; :::; up g et n = dim F et soit alors (e1 ; :::; en ) une base
orthonormale de F . Soit A la matrice de Mn;p (IR) dont les termes aij sont définis par
n
X
uj =
aij ei . Il est clair que rg(A) = n car le rang de la famille de ses colonnes est
i=1
t
n. On peut facilement voir que G = AA en effet : gkl = huk jul i =
n
X
aik ail qui est
i=1
la terme (t AA)kl .
Lemme : Pour toute matrice A 2 Mnp on a rg(t AA) = rg(A)
Preuve : On a rg(t AA) » rgA car pour toute colonne X de taille (n; 1) on a si
AX = O alors t AAX = O donc ker A  ker(t AA) et par le théorème du rang, on a le
résultat. Réciproquement si t AAX = O alors t X t AAX = 0 donc jjAXjj = 0 et alors
AX = O. Ainsi les rang de A et de t AA sont égaux.
Ceci termine la preuve de la proposition. -Remarquons tout de suite que si la famille
(u1 ; :::; up ) est liée alors la rang de la matrice de Gram est strictement inférieur à
sa taille et par suite elle n’est pas inversible et alors det G = 0.<br> Si par contre
la famille (u1 ; :::; up ) est libre alors F = Vectfu1 ; :::; up g est de dimension p et par
suite la matrice A est une matrice carrée inversible, et comme G =t AA on a alors
det G = (det A)2 > 0. -Résumé : Si la famille (u1 ; :::; un ) est liée alors det G = 0 et
si cette famille est libre alors det G > 0.
Théorème : Soit (E; hji) un espace préhilbertien réel et soit F un sous(espace vectoriel
de E engendré par p vecteurs linéairement indépendants u1 ; :::; up avec p un entier
naturel non nul. Alors, pour tout x 2 E on a :
s
jG(u1 ; :::; up ; x)j
d(x; F ) =
jG(u1 ; :::; up )j
où jG(u1 ; :::; up )j désigne le determinant de la matrice de Gram des vecteurs u1 ; :::; up
(appelé determinant de Gram).
Preuve :Soit ı la projection orthogonale de E sur F et n = x ` ı(x). On sait déjà
que d(x; F ) = jjnjj -On a :
˛
˛
˛ hu1 ju1 i ´ ´ ´ hu1 jxi ˛
˛
˛
˛
˛
..
..
..
jG(u1 ; :::; up ; x)j = ˛
˛
.
.
.
˛
˛
˛ hxju1 i ´ ´ ´ hxjxi ˛
-Remarquons que pour tout vecteur y 2 F on a :
hyjxi = hyjx0 i
où x0 = ı(x) et que :
jjxjj2 = jjx0 jj2 + jjnjj2
, de sorte que le determinant ci-dessus vaut :
˛
˛ hu1 ju1 i ´ ´ ´ hu1 jx0 i
˛
˛
..
..
..
jG(u1 ; :::; up ; x)j = ˛
.
.
.
˛
˛ hxju1 i ´ ´ ´ hx0 jx0 i
86
˛
˛
˛
˛ hu1 ju1 i ´ ´ ´
˛
˛
˛
˛
..
..
˛+˛
.
.
˛
˛
˛
˛ hxju1 i ´ ´ ´
˛
˛
˛
˛
˛
˛
2 ˛
jjnjj
0
..
.
Alors
jG(u1 ; :::; up ; x)j = jG(u1 ; :::; up ; x0 )j + jjnjj2 jG(u1 ; :::; up )j
et comme x0 2 F on a : jG(u1 ; :::; up ; x0 )j = 0 Ainsi on a la formule désirée
Théorème : Soit E un espace préhilbertien réel Si u1 ; :::; un sont des vecteurs de E
( n est un entier naturel nonq
nul) alors le volume du parllélotope construit sur les
vecteurs u1 ; :::; un est égal à
12.2
det Gram(u1 ; ::::; un )
Fiche de révisions
Methode Pratique Pour Etudier Une Matrice Orthogonale De O(3)
Soit A 2 M3 (R).
Pour montrer que A est une matrice orthogonale :
il suffit de montrer que si c1 ; c2
et
c3 sont les colones de A alors
hc1 ; c2 i = hc1 ; c3 i = hc2 ; c3 i = 0
(1)
et
jjc1 jj = jjc2 jj = jjc3 jj = 1
(2)
0
1
7 4 `4
1@
`4 8 1 A
9
4 1 8
vérifier que (1) et (2) ci-dessus sont réalisées.
exemple A =
Pour determiner la nature de A :
il suffit de calculer c1 ^ c2 :
si on trouve c3 alors A est une matrice de rotation
si on trouve `c3 alors A est la matrice d’une réflexion ou la composée d’une réflexion
et une rotation.
Montrer que la matrice A ci-dessus est une matrice de rotation.
Si A est la matrice d’une rotation : axe et angle
axe :
C’est le sous-espace propre E1 associé à la valeur propre 1
il suffit de résoudre le système (A ` I)X = 0
1
Dans le cas de l’exemple on a A = B et le système (A ` I)X = 0 est équivalent à
9
B ` 9I = 0 c’est-à-dire
0
10
1
0
1
`2 4
`4
x
0
@ `4 `1
1 A@ y A = @ 0 A
4
1 `1:
z
0
87
.
Terminer
0
1 le travail et montrer que l’axe de la rotation est ´ = Vectfng avec n =
0
@ 1 A
1
angle
On suppose que l’espace vectoriel euclidien E est orienté
On suppose qu’on a déterminé l’axe de la rotation ´ et on oriente ´ par le choix
d’un vecteur unitaire !3
n
dans notre exemple on choisira !3 =
jjnjj
On rappelle que toute famille de la forme (u; v; u ^ v) où u et v sont deux vecteurs
linéairement indépendants est directe
On rappelle alors que si u; v et w sont des vecteurs alors det(u; v; w) ne dépends
B
pas de la base orthonormale directe B et on le notera alors det(u; v; w)
On sait que la trace d’une matrice de rotation
0
1
cos ¸ ` sin ¸ 0
cos ¸ 0 A
R¸ = @ sin ¸
0
0
1
est
tr(R¸ ) = 1 + 2 cos ¸
Ceci permet de determiner cos ¸
Pour determiner sin ¸ Soit u un vecteur non nul de ´? et soit
!1 =
u
jjujj
et
!3 =
n
jjnjj
et
Soit f un endomorphisme tel que R¸ = mat˙ f Alors
˛
˛ 1 cos ¸
˛
det(!1 ; f(!1 ); !3 ) = ˛˛ 0 sin ¸
˛ 0
0
!2 = !3 ^ !1
: f(!1 ) = cos ¸ !1 + sin ¸ !2 et
˛
0 ˛˛
0 ˛˛ = sin ¸
1 ˛
Il en résulte que
det(u; f(u); !3 ) = jjujj2 sin ¸
Quelque soit le vecteur non nul u de ´?
Dans la pratique on suit les étapes suivantes qu’on va éclaircir à l’aide de
l’exemple proposé :
On suppose avoir déterminé l’axe ´ et on choisi une orientation de ´ .
n
pour notre exemple on a choisit le vecteur unitaire !3 =
jjnjj
88
ETAPES A SUIVRE DANS LE CAS
GENERAL
1) On calcule la trace de A
2) On applique la formule trA =
2 cos ¸ + 1 pour déduire cos ¸ et les
deux valeurs possibles de sin ¸
3) On choisit un vecteur u de ´?
CAS DE L’EXEMPLE CI-DESSUS
23
9
23
7
On a : 2 cos ¸+1 =
) cos ¸ =
on en déduit
9
9
p
4 2
alors que sin ¸ = ˚
90
1
0
´ = Vectfng et n = @ 1 A on peut choisir
1
trA =
0
1
0
u=@ 1 A
`1
4) On calcul f(u)
f(u) a pour coordonnées :
10
1
1
0
0
7 4 `4
0
8
1
1@
`4 8 1 A @ 1 A = @ 7 A
AU =
9
9
4 1 8
`1
`7
5) On calcule det(u; f(u); n)
6) On fait la conclusion concernant le
signe de sin ¸
˛
˛
˛ 0
8 0 ˛˛
˛
16
1
7 1 ˛=`
c’est : ˛˛ 1
9 ˛ `1 `7 1 ˛˛
9
Il en résulte que sin ¸ < 0 et que l’on a en conclusion :
8
7
>
>
> cos ¸ = 9
<
p
>
>
>
: sin ¸ = ` 4 2
9
Remarque : si on change l’orientation de ´ cela transforme ¸ en `¸
Endomorphismes Symétriques Positifs
Definitions
on rappelle que toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable.
Soit A une matrice symétrique de taille n et –1 ; :::; –n ses valeurs propres. Si toutes les
valeurs propres de A sont positives on dit que A est une matrice symétrique positive.
Si tous les –i sont strictement positifs, on dit que la matrice A est définie positive.On
rappelle qu’il existe une matrice orthogonale ˙ tel que : A = ˙D t ˙ avec D =
diag(–1 ; :::; –n ).
Si A est positive alors pour tout X 2 Mn1 (R), on a :
t
XAX =t X˙D t ˙X =t Y DY
89
avec Y =t ˙X
0
1
y1
n
X
B . C
–k yk 2 et alors :
Il en résulte que si on pose Y = @ .. A alors : t XAX =
k=1
yn
8X 2 Mn1 (R)
t
XAX – 0
Réciproquement si A est une matrice symétrique vérifiant la condition :
8X 2 Mn1 (R)
(1)
t
XAX – 0
alors si – est une valeur propre de A il existe X0 6= O tel que AX0 = –X0 . On a alors
t
X0 AX0 = –t X0 X0 = –jjX0 jj2
et d’après (1) il en résulte que – – 0
Conclusion :
Proposition-Definition :
Soit A une matrice réelle symétrique de taille n. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Toutes les valeurs propres de A sont positives
(ii) 8X 2 Mn1 (R)
t
XAX – 0
Si l’une des assertions est vérifiée , on dit que A est une matrice symétrique positive .
Cela nous conduit donc à définir la notion d’endomorphisme symétrique positif dans
un espace euclidien :
Proposition-Definition :
Soit (E; h; i) un espace euclidien et soit f un endomorphisme symétrique de E. Les
assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Toutes les valeurs propres de f sont positives
(ii) 8x 2 E
hx; f(x)i – 0
Si l’une des assertions est vérifiée , on dit que f est un endomorphisme symétrique
positif.
pour prouver cette proposition il suffit de munir E d’une base orthonormée et utiliser
les matrices.
Exemple fondamental
Rappel
On rappelle que si (ui )1»i»n est une famille de vecteurs d’un espace préhilbertien
(E; h; i) alors on appelle matrice de Gram de cette famille la matrice :
Gram(u1 ; :::; un ) = (hui ; uj i)1»i;j»n
on a définit aussi le déterminent de Gram de cette famille :
G(u1 ; :::; un ) = det(Gram(u1 ; :::; un ))
90
Si F = Vect(u1 ; ::; un ) et si dim F – 1 et si B = (w1 ; :::; wr ) est une base orthonormale
de F et si A0
est la matrice
dont les colones sont C1 ; :::; Cn avec pour tout j 2 f1; :::; ng
1
a1j
B . C
on a Cj = @ .. A est la colonne des coordonnées de uj relativement à la base B
arj
alors on a pour tout k et j de :
hui ; uj i =
r
X
aki akj
k=1
Or , il est facile de voir que A = (aij ) 1»i»r . Il en résulte que le terme général de la
1»j»n
matrice carrée t AA est : dij )1»i;j»r tel que :
dij =
n
X
aki akj
k=1
Ainsi on a :
(8(i; j) 2 f1; :::; rg2 )
dij = hui ; uj i
et en conclusion on a :
Gram(u1 ; :::; un ) = t AA
On peut remarquer facilement que r = rg ((u1 ; :::; un ) et on a donc la proposition
suivante :
Proposition :
Soit (E; h; i) un espace préhilbertien réel et soit (u1 ; :::; un ) une famille de vecteurs de
E de rang r. Alors il existe une matrice A 2 Mrn (R) tel que Gram(u1 ; :::; un ) = t AA
Les matrices de Gram Sont symétriques positives
Théorème :
toute matrice de Gram est symétrique positive. Si de plus elle est inversible alors elle
est symétrique définie positive
en effet Soit G la matrice de Gram d’une famille (u1 ; :::; un ) de rang r < 0. On sait que
G =t AA avec A 2 Mrn (R) dés lors on a G 2 Mn (R). On a pour tout X 2 Mn1 (R) :
t
XGX =t X t AAX =t (AX)AX = jjAXjj2 – 0
Si de plus G est inversible alors les valeurs propres de G sont non nulles et comme
elles sont déjà positives elles sont strictement positives et G est définie positive..
Un exercice
Problème
Soit n 2 N˜ avec n – 2 et pour tout (i; j) 2 f1; :::; ng2 on pose bij =
que la matrice B = (bij )1»i;j»n est définie
91
1
. Démontrer
i+j
Une démarche détaillée pour répondre :
Soit C([0; +1[; R) le R` espace vectoriel des fonctions continues de [0; +1[ vers R
et soit
(
)
Z +1
E =
f 2 (t)dt est convergente
f 2 C([0; +1[; R)=
0
1. Donner des exemples d’éléments de E
2. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de C([0; +1[; R)
Z +1
3. Montrer que si (f; g) 2 E 2 alors l’intégrale
f(t)g(t)dt est absolument
0
convergente et que la relation :
+1
Z
hf; gi =
f(t)g(t)dt
0
définit un produit scalaire sur E
4. Pour tout k 2 f1; :::; ng , on pose : gk (t) = e`kt .Calculer hgi ; gj i pour tout
(i; j) 2 f1; :::; ng2 .
5. Conclure
1
où a1 ; :::; an sont des nombres
ai + aj
réels strictement positifs deux à deux distincts
6. généraliser ce résultat en considérant bij =
12.3
exercices
Exercice 1:
Démontrer que les formules ci-dessous définissent des produits scalaires sur E
1. E = R3 et hx; yi = 2x1 y1 + 3x2 y2 + x3 y3 pour x = (x1 ; x2 ; x3 ) et y = (y1 ; y2 ; y3 )
2. E = R3 [X] et hP; Qi = P (2)Q(2) + P (`3)Q(`3) + P (3)Q(3) + P (0)Q(0) pour
tout P et Q de R3 [X]
3. E = C([0; 1]; R) : l’ espace vectoriel
réel des fonctions continues sur [0; 1] à
Z 1
t2 f(t)g(t)dt. Que se pase t’il si on remplace
valeurs dans R avec hf; gi =
0
E par E 0 = CM([0; 1]; R) (fonctions continues par morceaux). Justifiiez votre
réponse.
Exercice 2:
Soit E = R4 muni du produit scalaire : hx; yi =
4
X
xi yi et soit F = Vectf(1; 1; `1; 0); (2; `1; 0; 1)g
i=1
et p la projection orthogonale de E sur F .
1. Determiner la matrice de p relativement à la base canonique.
2. Construire une base orthonormale de F
3. Soit u = (x; y; z; t) 2 R4 .
(a) Exprimer en fonction de x; y; z et t le vecteur p(u)
92
(b) Exprimer en fonction de x; y; z et t la distance de u à F .
(c) Retrouver ce résultat à l’aide de la formule avec les determinants de Gram
Exercice 3:
X
Soit E le R` espace vectoriel des suites réelles u = (un ) tel que la série
un 2 est
convergente.
1. Montrer que hu; vi =
+1
X
un vn définit un produit scalaire sur E
n=0
2. Pour tout m 2 N, on désigne par Um la suite définie par (Um )n = ‹nm (symbole
de Kronecker ). Montrer que la famille (Um )m2N est une famille orthonormale de
E
3. Soit F = VectU0 ; U1 ; U2 .
(a) justifier le fait que la projection orthogonale pF de E sur F est bien définie.
1
(b) Soit x = (xn ) la suite définie par xn =
. Justifier que x 2 E et
n+1
determiner pF (x)
(c) Calculer d(x; F )
Exercice 4:
Soit E = R[X]. Pour tout P et Q de E, on pose :
Z 1
P (t)Q(t)
dt
(1) hP; Qi =
p
1 ` t2
`1
et pour tout n 2 N, on note Tn le n ème polynôme de Tchebychev de première espèce,
c’est-à-dire l’uniue polynôme verifiant :
8„ 2 R
Tn (cos „) = cos(n„)
1. Montrer que (1) ci-dessus definit un produit scalaire sur E
2. Montrer que (Tn )n–0 est une famille orthogonale de l’espace préhilbertien réel
(E; h; i.
3. Construire une famille orthonormale à partir de (Tn )n–0
4. Soit F le plan engendré par les polynômes 1 et X. Calculer d(X 2 ; F )
(a) En utilisant la projection orthogonale de E sur F
(b) En utilisant les determinants de Gram
Exercice 5:
On considère l’espace vectoriel réel R3 muni de sa structure euclidienne canonique et
Soit F = Vectfe1 ; e2 g avec e1 = (1; 2; 3) et e2 = (0; 1; 2). Soit a = (x; y; z) 2 E.
Calculer d(a; F ) en fonction de x; y et z .
Exercice 6:
Dans R4 muni de sa structure euclidienne canonique , on considère les vecteurs u =
(1; 1; `1; 0); v = (`2:1:0:2) et w = (1; 3:0; 0).
93
1. Determiner la matrice Gram(u; v; w)
2. Calculer G(u; v; w) = det(Gram(u; v; w))
3. En déduire le rang de la famille (u; v; w)
Exercice 7:
Soit E un espace euclidien de dimension n 2 N˜ . Démontrer que pour toute famille
libre u1 ; :::; uk ) de E on a : G(u1 ; :::; uk ) est égal au volume du parllélotope construit
sur les vecteurs u1 ; :::; uk
Exercice 8:
8
< 2x + 5y = 1
x`y =0
on considère le système linéaire
(S);
:
3x + 4y = 2
0
1
0
2 5
A = @ 1 `1 A et b = @
3 4
et soit :
1
1
0 A
2
1. Montrer que (S) n’admet aucune solution
2. Quel est le rang de A ?
3. Determiner X0 2 M3;1 (R) tel que jjAX0 ` bjj est minimal
On dit que X0 est la meilleure approximation au sens des moindres carrés d’une solution
du système (S).
Exercice 9:
Soit A 2 Sn (R). On dit que A est positive si pour tout X 2 Mn1 (R) on a hAX; Xi – 0 .
démontrer que pour toute matrice symétrique positive A il existe une matrice symétrique
positive B tel que B 2 = A
Exercice 10:
Soit E = R3 , muni du produit scalaire canonique pour lequel la base canonique B est
orthonormale. Soit f 2 L(E) dont la matrice relativement à B est M. Soit g 2 L(E)
tel que matB (g) = t M.
Soit P un plan de R3 d’equation : ax + by + cz = 0.Demontrer que P est stable par f
si et seulement si le vecteur n = (a; b; c) est un vecteur propre de g.
Exercice 11:0
1
7 4 `4
1@
`4 8 1 A : A quelle transformation correspond A dans l’espace
Soit A =
9
4 1 8
euclidien R3 muni de sa structure euclidienne canonique ?
Exercice 12:
Soit E = M3 (R) muni du produit scalaire : hA; Bi = tr(t AB) . On considère les
matrices
0 suivantes
1 :
0
1
0
1
1 0 0
0 1 0
1 1 1
I = @ 0 1 0 A et K = @ 0 0 1 A et M = @ 0 0 0 A
0 0 1
1 0 0
0 0 0
94
1. Montrer que F = (I; K) est une famille orthogonale de E
2. Determiner le projeté orthogonal de M sur F = Vect(F )
Exercice 13:
Soit (E; h; i) un espace euclidien de dimension n – 3.On considère deux vecteurs
unitaires a et b de E tel que la famille (a; b) est libre. Soit f l’endomorphisme de E
défini par :
(8x 2 E) f(x) = hx; aia + hx; bib
1. Montrer que f est un endomorphisme symétrique.
2. Déterminent kerf
3. Connaissez vous une valeur propre de f ? Si oui determiner les autres.
Exercice 14:
Soit E = R4 muni du produit scalaire canonique
0 et soit f
`1 `4
1B
`4
5
la matrice dans la base canonique est A = B
@
4
2
7
`4 `2
l’endomorphisme
de E dont
1
4 `4
2 `2 C
C
5 2 A
2 5
1. Montrer sans le moindre calcul que f est diagonalisable dans une base orthonormale
2. Montrer que Sp(A) = f`1; 1g
3. Sans calculer le polynôme caractéristique de A determiner les ordres de multiplicité des valeurs propres de A. En déduire fflA
4. Determiner les sous-espaces propres E1 et E`1 . Construire des bases orthonormales pour chacun d’eux (utiliser Gram-Shmidt)
5. Donner une base orthonormée dans laquelle la matrice de f est diagonale.
Exercice 15:
Soit E un espace euclidien de dimension n 2 N˜ dont le produit scalaire est noté h; i.
On considère une base orthonormale (ei )1»i»n de E et soit f et g deux endomorphismes
de E dont les matrices relativement à B sont notées A et B. Donner une condition
nécessaire et suffisante portant sur A et B pour que la relation
x:y = hf(x); g(y)i
définit un produit scalaire sur E
95
13
13.1
SERIES DE FOURIER
Résumé de cours
Dans tout ce qui suit on considère un nombre réel strictement positif T et on lui
2ı
associe le nombre réel ! =
et f désignera une fonction à variable réelle et à
T
valeurs complexes continue par morceaux sur R et T `périodique
Coefficients de Fourier complexes et réels d’une fonction périodique continue par morceaux
Résultats
Propostion 1:
1
Pour tout (p; q) 2 Z2 , on a
T
T
Z
ei!(p`q)t dt = ‹pq
0
Preuve
en effet :
Z T
Z T
1
1
i!(p`q)t
e
dt =
dt = 1
si p = q on a immédiatement
T 0
T 0
Z T
ˆ i!(p`q)t ˜T
1
1
si p =
6
q alors :
ei!(p`q)t dt =
e
= ei!(p`q)T ` 1 =
0
T 0
T (p ` q)i!
ei2(p`q)ı ` 1 = 0
Corollaire 1:
8
Z T
>
1
>
>
>
cos(!pt) cos(q!t)dt = 0 si p 6= q
< T
2
0
Z T
Pour tout (p; q) 2 N on a :
>
1
1
>
>
>
cos2 (!pt)dt =
: T
2
8
Z 0T
>
1
>
>
>
sin(!pt) sin(q!t)dt = 0 si p 6= q
< T
Z0 T
Pour tout (p; q) 2 N˜2 on a
> 1
1
>
>
>
sin2 (!pt)dt =
: T
2
0
Preuve
Il suffit d’utiliser les formules d’Euler et la proposition précédente.
on en déduit le corollaire suivant :
Corollaire 2:
96
Si
(8t 2 [0; T ])
g(t) =
n
X
¸p ei!pt
p=`n
alors
(8k 2 f`n; :::; ng)
Preuve
`i!kt
Pour tout t 2 [0; T ] , on a : e
g(t) =
1
¸k =
T
n
X
Z
T
g(t)e`i!kt dt
0
¸p ei!(p`k)t ,
p=`n
donc, compte tenu de la proposition ci-dessus on a :
1
Z T
Z T0 X
Z T
n
n
n
X
X
1
1
1
`i!kt
i!pt
`i!kt
@
Ae
g(t)e
¸p e
¸p ei!(p`k)t dt =
dt =
¸p ‹kp = ¸k
dt =
T 0
T 0
T 0
p=`n
p=`n
p=`n
Definition des coefficients de Fourier
Definition:
Soit f une fonction de R vers C, continue par morceaux sur R et T `périodique. On
définit les coefficients de Fourier complexes de f par :
Z T
1
f(t)e`ik!t dt
(8k 2 Z) ck (f) =
T 0
1. On remarque que si f(t) = eim!t avec m un entier relatif alors les coefficient
de Fourier complexes de f sont ck = ‹km pour tout k 2 Z, ce qui veut dire que
cm = 1 et ck = 0 pour tout k 6= m
2. si f et g sont deux fonctions continues par morceaux et T ` périodiques alors pour
tout k 2 Z et tout – 2 C, on a :
ck (f + g) = ck (f) + ck (g)
et
ck (–f) = –ck (f)
3. il découle de ce qui précède que si n est un entier naturel et si f(t) =
n
X
p=`n
alors pour tout k 2 Z on a : ck (f) =
8
< ¸k
:
Remarques :
Definition:
97
0
si
sinon
`n»k»n
¸p eip!t
Les coefficients de réels de Fourier de f sont :
8
>
>
>
>
an (f) =
>
Z T
>
<
1
a0 (f) =
f(t)dt et (8n 2 N˜ )
>
T 0
>
>
>
>
>
: bn (f) =
2
T
Z
2
T
Z
T
f(t) cos n!tdt
0
T
f(t) sin n!tdt
0
Definition:
On appelle n ème somme partielle de f la fonction Sn (f) définie par
Sn (f)(t) =
n
X
i!pt
cp (f)e
= a0 (f) +
p=`n
n
X
(ap (f) cos(!pt) + bp (f) sin(!pt))
p=0
Relation entre les coefficients de Fourier réels et complexes
On a les relations suivantes entre les coefficients de Fourier complexes et réels :
Propostion 2:
On a :
c0 (f) = a0 (f)
et
8
1
>
>
>
< cn (f) = 2 (an (f) ` ibn (f))
8n 2 N˜
>
>
1
>
: c`n (f) = (an (f) + ibn (f))
2
Preuve
en effet c’est claire que c0 (f) = a0 (f)
si n > 0 alors :
Z T
2
f(t)((cos n!t) ` i sin(n!t))dt
an (f) ` ibn (f) =
T 0
Z T
2
=
f(t)e`in!t dt
T 0
an (f) + ibn (f)
=
2cn (f)
Z
=
2
T
Z
=
2
T
=
2c`n (f)
T
f(t)((cos n!t) + i sin(n!t))dt
0
T
f(t)ein!t dt
0
98
Remarque:
Les relations précédentes peuvent s’inverser comme suit :
8
< an (f) = cn (f) + c`n (f)
˜
a0 (f) = c0 (f) et 8n 2 N
:
bn (f) = i(cn (f) ` c`n (f))
Quelques exemples de calcul des coefficients de Fourier :
exemple 1 :
T = 2ı et f(x) =
8
< `1
1
on a pour tout n 2 Z :
:
cn
=
=
=
1
2ı
1
2ı
`ı <x»0
si
0»x»ı
si
Z
ı
f(t)e`int dt
`ı
Z
0
ı
Z
`int
`e
e
dt +
`ı
!
`int
dt
0
`1 + (`1)n
1 ˆ `int ˜0
1 ˆ `int ˜ı
`
=
i
e
e
`ı
0
2ıin
2ıin
nı
on en déduite que c`n = `cn et alors a0 = 0 et an = 0 et bn = 2
n 2 N˜
1 ` (`1)n
pour tout
nı
exemple 2
f est la fonction 2`périodique définie par : (8x 2] ` 1; 1]) f(x) = jxj
on a pourZtout n 2 Z :
Z 1
0
(`1)n ` 1
1
1
`inıt
cn = `
te
dt +
te`inıt dt =
2 `1
2 0
ın2
2(`1)n ` 2
on remarque que cn = c`n et alors : an = 2cn =
et bn = 0 pour tout
ın2
˜
n 2 N et on a a0 = c0 = 0
exemple 3
f est la fonction
telle que f(x) = x pour tout x 2] ` 1; 1].
Z 2`périodique
1
(`1)n i
1
Alors : cn =
te`inıt dt =
2 `1
nı
Alors a0 = c0 = 0 et pour tout n 2 N˜ on a c`n = `cn et an = 0 et bn = 2icn =
2(`1)n+1
nı
99
Théorème de Parseval et Théorème de Dirichlet
On admet les théorèmes suivants :
Théorème de Parseval
Théorème 1:
Si f est une fonction T `périodique et continue
sur R alors ses coefficients
X par morceauxX
jan j2 + jbn j2 et
jcn j2 sont convergentes
de Fourier vérifient ce qui suit : les series
et on a :
1
T
T
Z
2
2
jf(t)j dt = jc0 j +
0
+1
X
+1
1 X
(jcn j + jc`n j ) = ja0 j +
(jan j2 + jbn j2 )
2
2
2
2
n=1
n=1
Preuve
admis
Exemple:
les résultats correspondants aux exemples ci-dessus sont :
1. on a
X
2
1
=
(2n + 1)ı
2
n2Z
Z
1
dt = 1
`1
ce qui fournit :
+1
X
1
1
ı
+
=
2n + 1
`2n + 1
2
n=0
c’est-à-dire :
+1
X
1
ı
=
4n2 ` 1
2
n=0
2. pour le 2eme exemple :
+1
X 2n + 1
ı2
=
12
(4n2 ` 1)2
n=0
3. Finalement le troisième exemple donne :
+1
X
2
1
=
ı 2 n2
3
n=1
d’où
+1
X
1
ı2
=
2
n
6
n=1
100
Théorème de Dirichlet
Théorème 2:
Soit f une fonction de classe C 1 par morceaux sur R à valeurs complexes
T `périodique. Alors pour tout réel t la suite (Sn (f))n2N est convergente de limite
f(t + 0) + f(t ` 0)
. Si en plus , la fonction f est continue sur R alors on a ce ui suit :
2
(i) : 8t 2 R
lim Sn (f)(t) = f(t)
n!+1
X
X
X
(ii) : Les series numériques
jan (f)j;
jbn (f)j et
jcn (f)j + jc`n (f)j sont
convergentes et
(iii) Pour tout (a; b) 2 R2 on a :
Z
b
f(t)dt =
a
XZ
k2Z
b
ck (f)eik!t dt
a
(integration terme à terme de la série de Fourier de f .
Preuve
admis
Exemple:
Reprenons l’exemple 3 ci-dessus, dans lequel f(x) = x sur ]`1; 1] et f est 2`périodique.On
(`1)n i
avait trouvé que pour tout n 2 Z on a : cn =
.Comme les conditions du théonı
rème de Dirichlet sont réalisées on a alors :
8x 2] ` 1; 1[
x =
+1
X
(`1)n i `iınx
(`1)n i iınx
e
+
e
nı
`nı
n=1
=
+1
X
(`1)n i iınx
(e
` e`iınx )
nı
n=1
=
+1
X
2(`1)n+1
sin(ınx)
nı
n=1
ce qui fourni :
8x 2] ` 1; 1[
+1
X
(`1)n+1
xı
sin(ınx) =
n
2
n=1
en particulier pour x =
1
on a :
2
+1
X (`1)n
ı
=
4
2n + 1
n=0
Remarquons que pour x = 1 on a f est discontinue au point 1 et
f(1 + 0) = 1
et
101
f(1 ` 0) = `1
de sorte que la somme vaut 0, ce qui est compatible .
13.2
Exercices
Exercice 1:
On considère la fonction f 2ı`périodique tel que pour tout x 2] ` ı; ı] on aie :
f(x) = jxj
1. Determiner les coefficients de Fourier complexes et réels de f
2. En déduire les valeurs des sommes : A =
+1
X
1
n2
et
B=
+1
X
1
n4
n=1
n=1
Exercice 2:
1. Développer en série de Fourier la fonction f 2ı`périodique et impaire tel que
f(x) = x(ı ` x) pour tout x 2 [0; ı]
2. En déduire les valeurs des sommes : A =
+1
X
(`1)n
(2n + 1)3
et
B=
+1
X
1
(2n + 1)6
n=0
n=0
Exercice 3:
1. Développer en série de Fourier la fonction f 2ı`périodique tel que f(x) = x2 )
pour tout x 2] ` ı; ı]
2. En déduire les valeurs des sommes :
+1
X
+1
+1
+1
+1
X
1 X 1 X (`1)n`1 X
1
1
;
;
;
;
2
4
2
2
n
n
n
(2n + 1)
(2n + 1)4
n=1
102
n=1
n=1
n=0
n=0
14
14.1
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Résumé de cours
I) Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants
Dans tout ce qui suit n est un entier naturel non nul et K désigne l’un des corps R ou
C.
1)Soit A 2 Mn (K) et b 2 C 0 (I; Mn1 (K)) (fonction continue de I vers Mn1 (K).
On appelle solution du système différentiel
Y 0 = AY + b
(1)
sur un intervalle I de R toute fonction ffi de classe C 2 sur I à valeurs dans K tel que :
8t 2 I
ffi0 (t) = Affi(t) + b(t)
2) Étant donné un SDLCC :
(S)
Y 0 = AY + b
on lui associe le système linéaire homogène :
(SH)
Y 0 = AY
On notera dans tout ce qui suit Ss et Ssh les ensembles des solutions respectifs des
systèmes (S) et (SH).
3)On admet la théorème suivant ( Cauchy) :
Théorème :
Pour tout t0 2 I et Y0 2 Mn1 (K) le système (S) admet une et une seule solution Y
sur I tel que Y (t0 ) = Y0
4) On en déduit le corollaire :
Corollaire :
(SH) est un K` espace vectoriel de dimension n.
5) Toute base f’1 ; :::; ’n g de (SH) s’appelle un système fondamental de solutions de
(SH).
6) Si Y1 est une solution de (S) alors :
Ss = Y1 + Ssh
II) Equations différentielles linéaires à coefficients variables
1) Etant données des fonctions continues a; b; c et d d’un intervalle I de R vers K. On
appelle solution sur I de l’équation différentielles :
a(t)y 00 + b(t)y 0 + c(t)y = d(t)
toute fonction ’ de classe C 2 sur I à valeurs dans K tel que :
8t 2 I
a(t)y 00 (t) + b(t)y 0 (t) + c(t)y(t) = d(t)
On appelle équation différentielle homogène associée à :
(E)
a(t)y 00 + b(t)y 0 + c(t)y = d(t)
103
l’équation différentielle :
a(t)y 00 + b(t)y 0 + c(t)y = 0
(EH)
2) On admet la théorème suivant ( Cauchy) :
Théorème
Soit I un intervalle de R et aa; b; c et d des fonctions continues sur I. Soit (t0 ; y0 ; y00 ) 2
I ˆ K ˆ K. Si la fonction a ne s’annule jamais sur l’intervalle I alors l’équation différentielle (E) admet une et une seule solution Y tel que Y (t0 ) = y0 et Y 0 (t0 ) = y00 .
3) On en déduit :
Corollaire :
Si a ne s’annule jamais sur I alors l’ensemble xeh des solutions de l’équation homogène
(EH) est un K`espace vectoriel de dimension 2.
4) Si y1 est une solution de (E) alors Se = y1 + Seh où Se et Seh désignent respectivement les ensembles de solutions de S et EH.
14.2
Fiche
14.3
Système différentiels linéaires
14.3.1
Equation différentielle linéaire du second ordre avec coefficients variables
Se restreindre à un intervalle convenable
a; b; c; d sont des fonctions continues sur un intervalle I. On considère l’equation différentielle :
(E) a(t)y 00 + b(t)y 0 + c(t)y = d(t)
et on lui associe l’équation différentielle sans second membre :
a(t)y 00 + b(t)y 0 + c(t)y = 0
(EH)
On appelle singularité de (E) tout point t0 2 I tel que a(t0 ) = 0.
Si (E) admet un nombre fini de singularités t1 ; :::; tn tel que t1 < ::: < tn on étudie
l’équation (E) sur les intervalles !
J1 ; :::; Jn+1
avec :
J1 = I\]`1; t1 [
et
J2 =]t1 ; t2 [
et
:::
et
Jn =]tn`1 ; tn [
et
Jn+1 =]tn ; +1[\I
Ensuite on essaye de voir si c’est possible de faire des raccordements
Par exemple l’équation différentielle
(1 ` t2 )y 00 + y 0 = 0
pour laquelle a(t) = 1 ` t2
singularités
et
b(t) = c(t) = d(t) = 0 admet `1 et 1 e comme
104
On pose J1 =] ` 1; `1[ et J2 =] ` 1; 1[ et J3 =]1; +1[
On peut résoudre cette équation différentielle sur chacun des intervalles et on a :
sur J1 , les solutions sont :
p
1 + ln t2 ` 1
f(t) =
+– ; –2R
p
t2 ` 1
sur J3 , les solutions sont :
p
1 + ln t2 ` 1
f(t) = `
+—
p
t2 ` 1
;
—2R
sur J2 les solutions sont :
arcsin t
f(t) = p
+‹
1 ` t2
;
‹2R
On ne peut pas faire des recollements car les limites aux bornes sont infinies
Système fondamental de solutions :
Supposons qu’on connaît une solution y1 non nulle de l’equation différentielle sur un
intervalle I (on suppose que a ne s’annule jamais sur I)
(EH)
a(t)y 00 + b(t)y 0 + c(t)y = 0
Il existe des méthodes qui permettent d’en connaître une deuxième. On a donnée deux
méthodes dans le cours :
1ere méthode :
Utilisation de la fonction W . Si y1 et y2
la fonction W définie par :
˛
˛ y1 (t) y2 (t)
W (t) = ˛˛ 0
y1 (t) y20 (t)
sont deux solutions de (EH) on leur associe
˛
˛
˛ = y1 (t)y 0 (t) ` y 0 (t)y2 (t)
˛
2
1
On a vu ( et je vous invite à le refaire maintenant que W est une solution de l’équation
différentielle :
b(t)
(1) Y 0 +
Y =0
a(t)
„ «0
y2
W
Il est facile de voire que si y1 6= 0 sur I (ne s’annule jamais) alors
= 2 . Ceci
y1
y1
permet de dire que
y2 = y1 B
avec B une primitive de
W
y12
. N’oublions pas que W est une solution de (1) ci-dessus et
que donc W = eA avec A une primitive de `
105
b
a
2eme méthode :
Elle s’appelle méthode de l’abaissement du degré .
Si y1 est une solution de (EH) ; on pose y = y1 z et on cherche l’equation différentielle
différentielle vérifiée par z si y vérifie (EH). Faites cela et vous verrez que z est solution
d’une équation différentielle dont la résolution se ramené facilement à une équation
du premier degré.
Comment résoudre une telle équation
On se donne une équation différentielle :
a(t)y 00 + b(t)y 0 + c(t)y = d(t)
(E)
qu’on propose de résoudre sur un intervalle I tel que 8t 2 I a(t) 6= 0.On va donner
les étapes suivies pour trouver les solutions de (E) On considère l’équation homogène
associée à (E) à savoir :
(EH)
a(t)y 00 + b(t)y 0 + c(t)y = 0
ETAPE 1 : Determination d’un système fondamental de solutions
fy1 ; y2 g de (EH)
Il est important de souligner les points suivants :
a) Il n’y a pas une méthode générale de determiner ce système fondamental de
solutions. Ce qui veut dire qu’il y a des équations linéaires du second ordre qu’on ne
peut pas résoudre explicitement
b) si on connaît une solution y1 alors on peut toujours determiner determiner une
seconde solution y2 .Pour plus de détails sur comment faire consulter le cours ou les
paragraphes ci-dessus de ce document.
c) Pour démontrer que deux solutions y1 et y2 sont linéairement indépendantes , ce
qui veut dire aussi qu’elle forment un système fondamentale de solutions, on peut le
faire directement , c’est-à-dire supposer que : ¸y1 + ˛y2 = 0 pour des scalaires ¸ et ˛
et montrer que ¸ = ˛ = 0. Mais ce n’est pas la méthode la plus simple et la meilleure
méthode c’est de prouver qu’il existe t0 2 I tel que W (t0 ) 6= 0 avec W = y1 y20 ` y2 y10
. Nous avons en fait l’équivalence suivante :
8t 2 I
W (t) 6= 0 () 9t 2 I
W (t) 6= 0
mais c’est un résultat admis.
d) En général dans les énoncé on vous donne y1 ou on vous demande de prouver
qu’il y a une solution de la forme tant ...ensuite on vous demande de determiner une
deuxième solution.Il y a des fois ou on vous demande de determiner les solutions ayant
une forme connue et vous en trouvez deux indépendante ce qui vous donne un système
fondamental de solutions d’un seul coup.
e) Il est très courant qu’on vous demande de prouver que (EH) admet une solution
y1 developable en série entière et parfois de reconnaître cette série entière à l’aide des
fonctions usuelles et ensuite de determiner une deuxième solution y2
106
exemple : On considère l’équation différentielle :
(EH)
t2 y 00 + 4ty 0 + 2y = 0
Montrer que (EH) admet deux solutions linéairement indépendantes sur I =]0; +1[ de la forme
y(t) = tk avec k 2 Z. En déduire toutes les solutions de (EH) sur I .
1
On trouve que les valeurs cherchées sont k = `1 et k = `2 ce qui fournit y1 (t) =
et
t
1
y2 (t) = 2 .
t
Pour montrer que y1 = et y2 sont linéairement indépendante rappelons qu’il suffit de vérifier que
y1 (t)y20 (t) ` y2 (t)y10 (t) 6= 0
pour un certain t 2 I.
Ici on prend 1 par exemple ; on a :
y1 (1)y20 (1) ` y2 (1)y10 (1) = 1:(`2) ` 1:(`1) = `1 6= 0
donc fy1 ; y2 g est un système fondamental de solutions de (EH).
Ainsi la forme générale des solutions de (EH) est
y(t) = –
1
1
+— 2
t
t
avec
(–; —) 2 R2
ETAPE 2 : Solution particulière de l’équation complète
Si on arrive à résoudre l’équation homogène (EH) on cherche une solution particulière
de (E) par la méthode de la variation des constantes.
La forme générale des solutions de (EH) est :
y(t) = –y1 (t) + —y2 (t)
avec (–; —) 2 R2 .
la méthode de la variation des constantes consiste la recherche d’une solution z de
(E) sous la forme :
z(t) = –(t)y1 (t) + —(t)y2 (t)
mais avec une condition supplémentaire qui est :
0 = –0 (t)y1 (t) + —0 (t)y2 (t)
Ceci nous conduit à trouver que –0 (t) = g(t) et —0 (t) = h(t) où g et h sont des
fonctions connues qui sont en fonction de y1 et y2 . Il ne reste qu’à intégrer g et h pour
trouver les fonctions – et — et par suite la fonction z.
107
exemple :
Considérons l’équation différentielle :
t2 y 00 + 4ty 0 + 2y =
(E)
2
(1 + t2 )2
On a déjà trouvé dans l’exemple ci-dessus de l’étape 1 que
1
t
y1 (t) =
et
y2 (t) =
1
t2
constituent un système fondamentale de solution de son equation homogène (EH).
On va chercher une solution de (E) de la forme :
z(t) = –(t)
avec la condition :
–0 (t)
1
1
+ —(t) 2
t
t
2
1
+ —0 (t) 2 = 0
t
t
On fait donc le calcul de z 0 (t) puis de z 00 (t) et on exploite le faite que z est solution de (E) .
On trouve alors que :
2
2
`–0 (t) ` —0 (t) =
t
(1 + t2 )2
On a donc :
8
2
2
>
< `–0 (t) ` —0 (t) =
t
(1 + t2 )2
>
: –0 (t) 1 + —0 (t) 2 = 0
t
t2
Il faut voir le système ci-dessus comme un système d’inconnues –0 et —0 .
Sa résolution donne :
8
2
> –0 (t) =
<
(1 + t2 )2
2t
>
: —0 (t) = `
(1 + t2 )2
On voit qu’il nous reste à intégrer et on obtient :
8
t
>
< –(t) = arctan t + 2
t +1
1
>
: —(t) =
t2 + 1
par suite on a :
z(t) =
arctan t
1
1
arctan t
1
+ 2
+ 2 2
=
+ 2
t
t +1
t (t + 1)
t
t
et la solution générale d (E) est :
y(t) = –
1
1
arctan t
1
+— 2 +
+ 2
t
t
t
t
avec – et — des réels arbitraires mais on peut dire (en posant ¸ = –
y(t) = ¸
et
1
1
arctan t
+˛ 2 +
t
t
t
avec (¸; ˛) 2 R2
Résumé
1
Il n’est pas toujours possible de résoudre l’équation homogène
108
˛ = — + 1 que ;
Si on connaît une solution y1 de l’équation homogène on peut determiner une
2
deuxième : Il existe deux méthodes pour le faire :
1. La méthode du Wronskien W (voir le cahier de cours ou le document de revisions
pour les détails)
2. La méthode de l’abaissement du degré (voir le doc de révisions)
si on résout (EH) on peut résoudre (E) par la méthode de variation de constantes :
3
Si y1 et y2 sont deux solutions indépendantes de (EH) on cherche une solution particulière z sous la forme :
z = –y1 + —y2
avec – et — des fonctions de classe C 2 avec la condition supplémentaire :
0 = –0 y1 + —0 y2
ce qui conduit à la fin à la recherche de primitives.
Si on ne résout pas (EH) le problème subsiste mais on peut faire des études
4
partielles par exemple determiner une solution developable en séries entières (non
reconnue à l’aide des fonctions usuelles car si on la reconnaît alors le problème est
résolu)
14.4
Exercices
Exercice 1:
Résoudre l’équation différentielle suivante : yy 00 ` 2y 02 ` y 2 = . On pourra poser z =
y0
y
Réponse
Suite à l’indication sans chercher à présent la validité du changement de fonction
y 00 y ` y 02
on a : z 0 =
y2
L’équation s’écrit :
y 00 y ` y 02 ` y 02 ` y 2 = 0
et en divisant par y 2 il vient :
y 00 y ` y 02
`
y2
„
y0
y
«2
`1=0
C’est -à- dire :
z0 ` z2 ` 1 = 0
ce qui donne l’equation à variables séparées :
z0
=1
z2 + 1
On a : arctan(z) = x + c et alors z(x) = tan(x + c).
y0
Il viens :
= tan(x + c) donc
y
ln jyj = ` ln j cos(x + c)j + c0
109
ce qui donne :
y(x) =
–
cos(x + —)
où – et — sont des constantes réelles .
Exercice 2:
En posant t = arctan x, résoudre l’équation différentielle :
(E)
y 00 +
y
2x
y0 +
=0
2
1+x
(1 + x2 )2
Réponse
On a en posant t = arctan x et donc Y (t) = y(x), alors :
dy
dY dt
1
dY
=
=
dx
dt dx
1 + x2 dt
on a aussi :
d2 y
dx2
=
=
«
1
dY
1
d2 Y dt
+
1 + x2
dt
1 + x2 dt2 dx
2x
dY
1
d2 Y
`
+
(1 + x2 )2 dt
(1 + x2 )2 dt2
d
dx
„
L’équation donc devient :
`
dY
1
d2 Y
2x
1
dY
Y
2x
+
+
+
=0
2
2
2
2
2
2
2
(1 + x ) dt
(1 + x ) dt
1 + x 1 + x dt
(1 + x2 )2
c’est-à- dire :
Y 00 + Y = 0
qui s’intègre facilement en : Y (t) = ¸ cos t + ˛ sin t avec ¸ et ˛ des constantes
réelles. Alors :
y(x) = ¸ cos(arctan x) + ˛ sin(arctan x)
1
x
On rappelle que cos(arctan x) = p
et sin(arctan x) = p
et c’est une
1 + x2
1 + x2
bonne occasion pour réviser en démontrant ces relations ...ce qui donne :
(¸ + ˛x)
y(x) = p
1 + x2
110
avec
(¸; ˛) 2 R2
15
15.1
REDUCTION DES QUADRIQUES
Quadrique à centre
Soit d 2 f2; 3g, Rd est muni de son produit scalaire usuel. Si E est une quadrique à
centre d’équation :
f(x1 ; :::; xd ) = 0
alors la famille des coordonnées !1 ; :::; !d de son centre ˙ est l’unique solution du
système :
@f
(x1 ; :::; xd ) = 0 i = 1; :::; d
@xi
.
Par exemple : La conique d’équation :
x2 + 6y 2 + xy + 3x + 2y ` 2 = 0
correspond à la fonction f définie par :
f(x; y) = x2 + 3y 2 + xy + 3x + 2y ` 2
@f
@f
(x; y) = 2x + y + 2 et
(x; y) = x + 6y + 2.
@y
@x
Le système :

2x + y + 3 = 0
x + 6y + 2 = 0
On a
dont l’unique solution est (`
cette conique.
Un autre exemple :
La quadrique d’équation :
1
16
; ` ), ce qui donne les coordonnées du centre de
11
11
2x2 + y 2 ` z 2 + xy ` zx + x + 2y ` 3z ` 5 = 0
coorespond à la fonction f définie par :
f(x; y; z) = 2x2 + y 2 ` z 2 + xy ` zx + x + 2y ` 3z ` 5
@f
@f
@f
(x; y; z) = 4x+y `z +1 ,
(x; y; z) = x+2y +2,
(x; y; z) = `x`2z `3
@x
@y
@z
3
13
21
de sorte que le système correspondant admet l’unique solution : (` ; ` ; ` )
8
16
16
1
3
7
Cherchons l’équation de la quadrique dans le repère (˙; e1 ; e2 ) où ˙ = (` ; ` ; ` )
2
4
4
Si M . Les formules de changement de repère s’écrivent :
on a :
x=X`
3
13
21
;y = Y `
;z = Z `
8
16
16
ce qui donne l’équation :
2X 2 + Y 2 ` Z 2 + XY ` ZX ` 129=32 = 0
111
15.2
Cours : Rappel
On a vu dans le cours que si E est un espace euclidien de dimension n muni d’une
base orthonormale B et si q est une forme quadratique de matrice A relativement B
alors il existe une base orthonormale C tel que la matrice de q relativement à C est
une matrice diagonale. Soit P la matrice de passage de B à C alors P est une matrice
orthogonale et on a
A = P Dt P
Soit u 2 E dont X et Y sont les colones de coordonnées respectivement dans B et C.
On rappelle qu’on a :
q(u) =t XAX et X = P Y
Il en résulte que :
q(u) =t X(P D t P )X =t XP D t P X =t (t P X)D t P X
Comme P est une matrice orthogonale on a P `1 =t P et compte tenu de X = P Y on
a t P X = Y et alors :
q(u) =t Y DY
et finalement :
q(u) =
n
X
–k yk2
k=1
où
0
D = diag(–1 ; :::; –n )
15.3
et
1
y1
B . C
Y = @ .. A
yn
Exemple de réduction d’une forme quadratique
réduction de la forme quadratique :
q(u) = x2 + y 2 + z 2 ` 2xy ` 2yz ` 4xz
sa matrice est
0
1
1 `1 `2
A = @ `1 1 `1 A
`2 `1 1
A est une matrice symétrique , en conséquence elle est diagonalisable dans une base
orthonormée.
Il est demandé à chaque élève de :
– Calculer le polynôme caractéristique de A
– Determiner le spectre de A
– Determiner les sous-espaces propres associés aux valeurs propres respectives de A
Voici les résultats :
p
p
fflA = `X 3 + 3X 2 + 3X ` 9 = `(X ` 3)(X
p + 3)(X
p ` 3)
les valeurs propres de A sont donc 3; ` 3 et
3
Vecteurs propres associés :
Valeur propre Vecteurs propre associé
3
u1 = (`1; 0; 1)
p
p
` 3
u2 = (1; 3 ` 1; 1)
p
p
3
u3 = (1; ` 3 ` 1; 1)
112
la base (u1 ; u2 ; u3 ) est une base orthogonale mais non encore orthonormale :
on a :
q
q
p
p
p
jju1 jj = 2; jju2 jj =
6 ` 2 3; jju3 jj =
6+2 3
il en résulte qu’une base orthonormale adaptée à la diagonalisation de A est
C = (!1 ; !2 ; !3 )
1
uk pour tout k 2 f1; 2; 3g
jjuk jj
canonique (orthonormale elle aussi) à la base C
0 `1
1
B p2 q
p
B
6`2 3
B
p
B
3`1
B
0
B
q
P =B
p
B
6`2 3
B
B 1
1
@ p
q
p
2
6`2 3
avec !k =
la matrice de passage de la base
est donc
1
q
p
6+2 3
p
` 3`1
q
p
6+2 3
1
q
p
6+2 3
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
P est une matrice orthogonale puisque c’est la matrice de passage d’une base orthonormale à une base orthonormale
on a alors pour tout vecteur u :
p
p
q(u) = 3y12 ` 3y22 + 3y32
avec
Y =t P X
et u =t X = (x1 ; x2 ; x3 ) . Alors on a :
8
1
>
> y1 =
p (x ` z)
>
>
>
2
>
p
>
1
>
< y2 =
(x + ( 3 ` 1)y + z)
q
p
6`2 3
>
>
>
p
>
1
>
>
(x
`
(`
y
=
3 ` 1)y + z)
q
3
>
>
p
:
6+2 3
Ce qui donne
p
p
p
p
3
3
3
2
2
2
q(u) = (x ` z) `
p (x + ( 3 ` 1)y + z) +
p (x ` (` 3 ` 1)y + z)
2
6`2 3
6+2 3
15.4
Un exemple de réduction d’une conique
Considérons la conique :
(E )
x2 ` 8xy + 7y 2 + x + 2y ` 3 = 0
On commence par determiner le centre de cette conique s’il existe . Pour le savoir, on
regarde si le système :
8
@f
>
>
(x; y) = 0
>
< @x
(S ) :
>
>
@f
>
:
(x; y) = 0
@y
113
c’est-à-dire :

(S ) :
2x ` 8y = `1
`8x + 14y = `2
admet une unique solution (qui sera donc le centre de la conique). Or c’est le cas .
5 1
Ainsi il s’agit d’une conique à centre et son centre est ˙ = ( ; )
6 3
`
! `
!
`
! `
!
Les formules de changement de repère de (O; e1 ; e2 ) à (˙; e1 ; e2 ) s’écrivent :
8
5
>
> x=X+
>
<
6
>
>
1
>
: y=Y +
3
et l’équation de la conique dans le nouveau repère devient :
9
=0
4
Généralement, l’équation d’une quadrique dans un repère ayant pour origine le centre
de cette conique , est de la forme :
(E )0 :
X 2 ` 8XY + 7Y 2 `
q((X; Y )) = c
où q est une forme quadratique sur R2 et c une constante réelle .
Nous allons maintenant réduire cette équation :
La matrice associée à la forme quadratique q est :
„
«
1 `4
A=
`4 7
C’est une matrice symétrique,donc diagonalisable .
On la diagonalise et on obtient :
A = P D tP
avec
„
D=
`1 0
0 9
«
1
P = p
5
et
„
2
1
1
`2
«
Comme indiqué ci-dessus , si on pose :
„
U =
X
Y
alors si
0
t
PU = U =
„
«
X0
Y0
«
alors l’équation de la conque devient :
9
4
Tout calcul fait : L’équation réduite de la conique est :
`X 02 + 9Y 02 =
`
4
36
(2X + Y )2 +
(X ` 2Y )2 = 1
45
45
Soit dans le repère initial :
`
4
4
1
(2x + y ` 2)2 + (x ` 2y ` )2 = 1
45
5
6
114
16
INTÉGRALES MULTIPLES
16.1
Résumé de cours
Définition de l’intégrale double sur des parties particulières de R2
16.1.1
1) Soit ´ une partie de R2 vérifiant la propriété P suivante :
<< il existe deux applications ffi et
continues sur un segment [a; b] tel que ffi »
et :


ff
a»x»b
2
´ == (x; y) 2 R =
>>
ffi(x) » y » (x)
On définit l’intégrale de f sur ´ comme suit :
ZZ
Z b Z
(x)
!
f(x; y)dy)dx
f(x; y)dydx =
´
ffi(x)
a
2) Théorème (Fubini) : Soit ´ une partie de R2 vérifiant la propriété P ci-dessus et la
propriété Q suivante :
<< il existe deux applications u et v continues sur un segment [c; d] tel que u » v
et :


ff
c»y»d
2
´ = (x; y) 2 R =
u(y) » x » v(y)
alors :
ZZ
b
Z
(x)
Z
f(x; y)dy)dx
f(x; y)dydx =
´
!
Z
Z
v(y)
!
f(x; y)dx)dy
=
c
ffi(x)
a
d
u(y)
4) Cas particulier : si f : [a; b] ˆ [c; d] ! C est une application continue alors , si on
note :
Z
d
f(x; y)dy = F (x)
c
pour tout x 2 [a; b] et
b
Z
f(x; y)dx = G(y)
a
pour tout y 2 [c; d] alors on a :
b
Z
d
Z
F (x)dx =
a
G(y)dy
c
Cette intégrale est notée :
b
Z
d
Z
f(x; y)dydx
a
elle vaut
c
ZZ
f(x; y)dydx
´
avec ´ = [a; b] ˆ [c; d]
115
16.1.2
Propriétés
Toutes les parties ´ de R2 considérées ici sont celles ayant l’une des propriétés décrites
ci-dessus (l’existence des fonctions ı et
ou u et v tel que ....)
1) Linéarité : Si f et g sont continues sur ´ à valeurs dans K et soit ¸ 2 K alors :
ZZ
ZZ
ZZ
(f + ¸g)dydx =
f(x; y)dydx + ¸
´
g(x; y)dydx
´
´
2) Si ´  ´0 alors si f est continue positive sur ´0 on a :
ZZ
ZZ
f(x; y)dydx »
f(x; y)dydx
´0
´
3) Si ´ \ ´0 est contenue dans une courbe , alors :
ZZ
ZZ
f(x; y)dydx =
ZZ
f(x; y)dydx +
´[´0
f(x; y)dydx
´0
´
pour toute application f continue sur ´ et ´0 à valeurs dans K.
16.1.3
Changement de variables
On considère deux ouverts U et V de R2 et soit ’ une application bijective de U vers
V de classe C 1 sur U . Soient D  U et˛ ´  V ˛deux parties fermés bornées tel que
˛ D(x; y) ˛
˛ la valeur absolue du jacobien de ’
’(D) = ´.On note (x; y) = ’(u; v) et ˛˛
D(u; v) ˛
au point (u; v).On pose g = f ‹ ’. Alors on a :
ZZ
ZZ
˛
˛
˛ D(x; y) ˛
˛ dudv
f(x; y)dxdy =
g(u; v) ˛˛
D(u; v) ˛
D
´
16.1.4
Intégrale triples
On considérera des parties de R3 de la forme :
9
8
8
=
< a»x»b
<
ffi(x) » y » (x)
(D) = (x; y; z) 2 R3 =
;
:
:
u(x; y) » z » v(x; y)
où toutes les fonctions sont continues sur des parties ouvertes convenables .
Soit f une fonction continue sur un ouvert de R3 contenant (D). On définit l’intégrale
de f sur (D) comme suit :
ZZZ
b
Z
Z
(x)
Z
v(x;y)
f(x; y; z)dxdydz =
(D)
!
f(x; y; z)dz
a
ffi(x)
!
dy
dx
u(x;y)
Toutes les propriétés citées ci-dessus pour les intégrales doubles : linéarité , additivité
(vraie si l’intersection est contenue dans une surface), sont valables pour les intégrales
triples.
Les formules de changement de variables restent valables avec une jacobienne de taille
3
116
16.2
Fiche de révisions
16.3
Exercices
Exercice 1: Z
1
ZZ
ln(1 + x)
x
On pose I =
dx et J =
dxdy avec ´ = [0; 1]2 .
2
2 )(1 + xy)
1
+
x
(1
+
x
0
´
En calculant de deux manières différentes J, évaluer I
Exercice 2:
2
2
Soit (a; b) 2
Z ZR tel que 1 < a < b et ´ = f(x; y) 2 R =x 2 [0; ı]
1
dxdy
Calculer :
y ` cos x
´
et
y 2 [a; b]g
Réponse
x
, il vient :
2
Par le changement de variable t = tan
Z
0
ı
1
dx =
u ` cos x
+1
Z
0
Z
=
=
=
2dt
u(1 +
+ t2 ` 1
t2 )
+1
dt
2 +u`1
(u
+
1)t
0
Z +1
2
1
dt
u`1 0
t2
1 + u+1
u`1
13+1
2
0s
s
2
u`14
u
+
1
tA5
dt
arctan @
u`1 u+1
u`1
2
0
=
Z
2
ı
ı
= p
p
u2 ` 1 2
u2 ` 1
b
ı
du peut se calculer en posant v = cosh u dès lors dv = sinh udu et
p
2 `1
u
a
p
u2 ` 1 = sinh u et les bornes nouvelles seront a0 = arg cosh a et b0 = arg cosh b
le résultat définitif est :
ZZ
1
I =
dxdu = ı(arg cosh b ` arg cosh a)
u
`
cos x
(´)
On rappelle que :
arg cosh x = ln(1 +
p
x2 ` 1)
pour tout réel x tel que x – 1. Alors :
p
b2 ` 1
I = ln
p
1+
a2 ` 1
1+
117
Exercice 3:
a et b sont deux nombres réels tel que 0 < a < b. On définit la fonction f par
y
f(x;
Z 1 y) = x . En intégrant f sur un domaine convenable determiner l’intégrale I =
xb ` xa
dx
ln x
0
Réponse
On pose ´ = [0; 1] ˆ [a; b] et on considère la restriction de f à ´. On a alors :
!
Z 1»
Z 1
Z Z
Z 1 Z b
–y=b
xy
xb ` xa
y
y
x dy dx =
dx =
dx
x dxdy =
ln x y=a
ln x
0
a
0
0
´
Par le théorème de Fubini on a :
!
Z Z
Z b Z 1
y
y
x dx
x dxdy =
´
a
Z
b
dy =
a
0
»
xy+1
y+1
–x=1
Z
dy =
x=0
Il en résulte que :
1
Z
I =
0
xb ` xa
b+1
dx = ln
ln x
a+1
118
a
b
1
b+1
dy = ln
y+1
a+1
17
COURBES PLANES, COURBES DANS l’ESPACE
17.1
17.1.1
Résumé de cours
Généralités
Dans tout ce qui suit n 2 f2; 3g. On appelle arc paramètré de classe C k un couple
(I; f) où I est un intervalle de R et f une application de classe C k de I vers Rn . On
appelle support de l’arc la partie f(I) de Rn . Un point multiple du support est un
point M ayant plus qu’un antécédent par f. Dans la pratique f est donnée par ses
coordonnées.
17.1.2
Local
Soit t0 2 I On suppose qu’il existe deux entiers naturels non nuls p et q tel que la
famille f (p) (t0 ); f (q) (t0 )) est libre. On choisit alors les plus petits entiers non nuls
possibles vérifiant cette propriété. On a alors 1 » p < q et un développement limité
de f au voisinage de t0 est :
f(t) = f(t0 ) +
(t ` t0 )q (q)
(t ` t0 )p (p)
f (t0 ) + ::: +
f (t0 ) + o((t ` t0 )q )
p!
q!
Si q > p + 1 alors les vecteurs f (k) (t0 ) pour tout k tel que p < k < q sont colinéaires
avec f (p) (t0 ) de sorte qu’au voisinage de t0 ,
„
«
(t ` t0 )q`1`p
(t ` t0 )q (q)
1
p
f(t) = f(t0 )+(t`t0 )
+ ::: +
f (p) (t0 )+
f (t0 )+o((t`t0 )q )
p!
(q ` 1)!
q!
donc , au voisinage de t0 , les coordonnées X(t) et Y (t) de f(t) dans le repère
(f(t0 ); f (p) (t0 ); f (q) (t0 )) vérifient :
X(t) ‰
(t ` t0 )p
p!
et
Y (t) ‰
(t ` t0 )q
q!
et ceci et valable même si q = p + 1 car dans ce cas on a :
f(t) = f(t0 ) +
(t ` t0 )p (p)
(t ` t0 )q (q)
f (t0 ) +
f (t0 ) + o((t ` t0 )q )
p!
q!
Résumé : Au voisinage de t0 , X(t) a le même signe que (t ` t0 )p et Y (t) a le même
signe que (t ` t0 )q , ce qui fourni les quatres cas vus en classe, suivant la parité de p
et q :
› si p est pair : point de rebroussement de 1ere espèce si q est impaire et de 2eme
espèce si q est pair
› si p est impair : point d’inflexion si q est impair ou point ordinaire si q est pair.
17.1.3
Branches infinies
Lorsque lim x(t) = ˚1 ou lim y(t) = ˚1 , on a une branche infinie ’à l’instant t0 ’.
t!t0
t!t0
Pour connaître la nature de cette branche il faut examiner les cas suivants :
› si lim y(t) = ‘ 2 R et lim x(t) = ˚1 alors la droite q’équation y = ‘ est une
t!t0
t!t0
asymptote à la courbe .
› si lim x(t) = ‘ 2 R et lim y(t) = ˚1 alors la droite q’équation x = ‘ est une
t!t0
t!t0
119
asymptote à la courbe .
y(t)
et on trouve une limite
x(t)
finie a on cherche lim (y(t) ` ax(t)) , si on trouve une limite finie b alors la droite
› si lim x(t) = ˚1 et lim y(t) = ˚1 on étudie lim
t!t0
t!t0
t!t0
t!t0
d’équation y = ax + b est asymptote à la courbe. Si on trouve b = ˚1 alors la courbe
admet une branche parabolique dirigé par la droite d’équation y = ax. Si a = ˚1 la
courbe admet une branche parabolique dirigée par l’axe des coordonnées.
17.1.4
Courbes planes en polaires
La fonction vectorielle u définie par u(„) = cos „e1 + sin „e2 est de classe C 1 sur
R.Etant donné un arc dont le point courant M(„) a pour coordonnées polaires (r(„); „),
On appelle repère mobile le repère (f(„); u(„); u0 („) où f(„) = M(„). On souligne
l’importance de ce repère dans l’étude des arcs paramètrés en polaires et on remarque
que c’est un repère direct et que les dérivées successives de u(„) sont unitaires colinéaires à u(„) ou à u0 („).
› Tangente : En un point de paramètre „0 le coefficient directeur dans le repère mobile
r(„)
de la tangente est lim 0
si cette limite existe.
„!„0 r („)
Notons que si r(„0 ) = 0 et s’il existe k 2 N˜ tel que r (k) („0 ) 6= 0 alors la tangente est
dirigée par u(„0 ).
› Branches infinies : Si lim jr(„)j = +1 alors :
„!„0
Si lim r(„) sin(„ ` „0 ) = ‘ 2 R alors la droite d’équation Y = ‘ dans le repère
„!„0
(O; u(„); u0 („)) est une asymptote à la courbe quand „ est voisin de „0
Si lim r(„) sin(„ ` „0 ) = ˚1 alors quand „ est voisin de „0 , la courbe admet une
„!„0
branche parabolique de direction (OX) axe des des abscisses du repère (O; u(„); u0 („))
› Cercle asymptote : Si lim r(„) = R 2 R˜ alors le cercle de centre O et de rayon
„!„0
jRj est un cercle asymptote à la courbe. L’étude du signe de r(„) ` R) informe de la
position relative de la courbe et du cercle.
› Point asymptote (pôle ) : Si lim r(„) = 0 alors l’origine est un point asymptote à
„!„0
la courbe.
› Branche infinie en spirale : Si
lim jr(„)j = +1 alors la courbe admet une
„!˚1
branche infinie en spirale.
17.2
17.2.1
Courbes dans l’espace
Tangente
Si ` = (I; f) est un arc paramètré de classe C 1 de R3 alors si t0 2 I et f 0 (t0 ) 6= 0 alors
le vecteur f 0 (t0 ) est un vecteur tangent à ` au point f(t0 ). La droite passant par f(t0 )
et de vecteur directeur f 0 (t0 ) est la tangente à ` au point f(t0 ).
17.2.2
Courbe tracée sur une surface
une courbe paramètrée
8
< x = u(t)
y = v(t)
(`) :
:
z = w(t)
120
t2I
est dite tracée sur la surface
(S) : g(x; y; z) = 0
(x; y; z) 2 U
où U est un ouvert non vide de R3 si :
8t 2 I(u(t); v(t); w(t)) 2 U
et
f(u(t); v(t); w(t)) = 0
Supposons que f est de classe C 1 sur U et u; v; w de classe C 1 sur I . Alors par
composition on a :
8t 2 Iu0 (t)
@f
@f
@f
(u(t); v(t); w(t))+v 0 (t)
(u(t); v(t); w(t))+w 0 (t)
(u(t); v(t); w(t)) = 0
@x
@y
@z
C’est-à-dire :
``!
hgradf(g(t)); g 0 (t)i = 0
où g(t) = (u(t); v(t); w(t))
Ceci se traduit par le fait que si g(t) est un point régulier de (S) et de ` alors la
tangente à la courbe ` au point g(t) est orthogonale à la normale au point g(t) à la
surface (S)
17.2.3
Courbe intersection de deux surface
On considère deux nappes paramètrées (U; f) et (V; g) qui se coupent suivant une
courbe paramètrée (I; h). Soit M un point de (I; h) régulier pour les deux nappes et
tel que les plans tangents en M respectivement aux deux nappes sont distincts. Alors
la tangente à cette courbe en M est l’intersection de ces plans.
17.3
Fiche de révisions
17.4
Exercices
121
18
18.1
ISOMETRIES AFFINES
Résumé de cours
Introduction
Dans tout ce qui suit d vaut 2 ou 3 Rd . Les éléments de Rd peuvent être des points
comme ils peuvent être des vecteurs. On note O le vecteur nul. A tout point M de
`
`
!
`
!
`
!
`
!
Rd , on associe le vecteur u = OM. Si u est un vecteur de Rd alors M + u dénote
`
`
!
`
!
`
!
! (M), donc : M + u = M 0 () MM 0 = u . Si ´ est une droite
le point M 0 = t`
u
d
vectorielle de R et A un point alors A + ´ dénote la droite passant par A de direction
´. Ainsi
`!
(D) = A + ´ = fM 2 Rd =AM 2 ´g
. De même si ˝ est un plan vectoriel de R3 et A 2 R3 alors A + ˝ dénote le plan
passant par A et dirigé par ˝, donc :
`!
(P ) = A + ˝ = fM 2 Rd =AM 2 ˝g
Rd est muni de son produit scalaire usuel. Si M et N sont deux points de Rd alors MN
`
`
!
désigne la distance de M à N , donc MN = kMNk.
Application affine
Definition 1 On appelle application affine de Rd toute application f de Rd vers Rd tel
qu’il existe une application linéaire fe de Rd vers Rd tel que :

``!
`
`
!
M 0 = f(M)
0
0
d 4
e MN)
8(M; N; M ; N ) 2 (R )
) M 0 N 0 = f(
N 0 = f(N)
Ainsi si A est un point quelconque de Rd alors :
8M 2 Rd
`!
e AM)
f(M) = f(A) + f(
Proposition 1 Si f est une application affine alors l’application fe de la définition est
unique
En effet si g et h sont deux applications linéaires vérifiant les conditions de la définition
`
!
soit u un vecteur de Rd et A et B deux points tel que AB = u d’images respectives A0
0
et B par f. Alors :
``
!
`
!
`
!
A0 B 0 = g(AB) = h(AB)
par suite g(u) = h(u) et alors g = h
Definition 2 L’application linéaire fe est appelée l’application linéaire associée à l’application affine f
! est la translation de vecteur d u alors f est une application
Exemple 1 Si f = t`
u
affine dont l’application linéaire associée est fe = IdRd
En effet si M et N sont deux points de Rd d’images respectives M 0 et N 0 alors on a :
``!0
`
`
!
``!
`
`
!
``!
`
`
!
`
!
`
!
MM = u et NN 0 = u en particulier , on a : MM 0 = NN 0 donc MN = M 0 N 0 =
`
`
!
IdRd (MN).
122
Exemple 2 Une homothétie de centre A et de rapport k 2 R˜ est une application
affine dont l’application linéaire associée est l’homothétie vectorielle de rapport k.
Exemple 3 Toute application linéaire de Rd vers Rd est une application affine dont
l’application linéaire associée est elle même.
Definition 3 On appelle point fixe d’une isométrie affine tout point A de Rd tel que
f(A) = A
Si A est un point fixe de f alors , pour tout M 2 Rd on a :
`!
e AM)
f(M) = A + f(
Théorème 1 Soit f une application affine ayant au moins un point fixe A . Alors
l’ensemble des points fixes de f est : A + E1 où E1 = ker(fe ` IdRd )
En effet si M est un point fixe de f alors f(M) = M et comme f(A) = A on a
`!
`!
`!
e AM) = AM donc AM 2 E1 d’où M 2 A + E1 . Réciproquement si M 2 A + E1 alors
f(
`!
`!
`!
`!
e AM) = A + AM = M
e AM) = AM donc f(M) = A + f(
f(
Isometries affines
Définitions
Definition 4 On appelle isométrie affine de Rd , toute application affine de Rd qui
conserve la distance.
Théorème 2 Soit f une application affine de Rd . Alors f est une isométrie affine si et
seulement si son application linéaire associée fe est un automorphisme orthogonal.
Si fe est direct (resp. indirect) on dit que f est une isométrie affine directe ou déplacement et si fe (resp. indirecte ou antidéplacement).
Si on note GA(Rd ) l’ensemble des isometries affines de Rd alors (GA(Rd ); ‹) est un
groupe isomorphe au groupe orthogonal (O(Rd ); ‹) appelé groupe affine orthogonal de
Rd . Par ailleurs l’ensemble GA+ (Rd ) des déplacements est un sous-groupe du groupe
affine, appelé le groupe affine orthogonal spécial de Rd .
Classification des isometries planes
Théorème 3 Toute isométrie plane et :
(i) soit le composé d’une rotation et une translation
(ii) soit la composée d’une symétrie axiale et une translation de vecteur parallèle à
l’axe de cette symétrie
Classification des isométrie dans l’espace
Théorème 4 Toute isométrie affine de R3 est de l’un des types suivants :
(i) Un translation
(ii) Un vissage(composé d’une rotation et une translation de vecteur parallèle à l’axe
de cette rotations ( ce composé est commutatif)
(iii) La composée d’une réflexion orthogonale et une translation dont le vecteur est
parallèle au plan de la réflexion ( composé est commutatif)
(iv) La composée d’une rotation d’axe (´) et une réflexion orthogonale de plan orthogonal à (´) (ce composé est commutatif)
123
18.2
Exercices
Exercice 1:
Soit f l’application qui associe à tout point M = (x; y; z) de R3 le point M 0 (x0 ; y 0 ; z 0 )
tel que :
8
2
2
1
>
>
x0 = ` x + y + z ` 1
>
>
3
3
3
<
1
2
2
y0 = x ` y + z
>
3
3
3
>
>
>
: z0 = 2 x + 2 y ` 1 z + 1
3
3
3
1. Montrer que f est une isométrie affine de R3
2. Classifier f et determiner ses éléments caractéristiques
Exercice 2:
Soit f l’application qui associe à tout point M = (x; y; z) de R3 le point M 0 (x0 ; y 0 ; z 0 )
tel que :
8
2
1
2
>
>
x0 = ` x ` y + z + 1
>
>
3
3
3
<
2
2
1
y0 = x ` y + z + 1
>
3
3
3
>
>
>
: z0 = 1 x + 2 y + 2 z + 3
3
3
3
1. Montrer que f est une isométrie affine de R3
2. Classifier f et determiner ses éléments caractéristiques
Exercice 3:
Soit f l’application qui associe à tout point M = (x; y; z) de R3 le point M 0 (x0 ; y 0 ; z 0 )
tel que :
8
1
1
1
>
x0 = ` p y + p z + p
>
>
>
2
2
2
>
<
1
1
1
3
0
y = p x` y` z+
>
2
2
2
2
>
>
>
1
1
1
1
>
: z0 = ` p x ` y ` z +
2
2
2
2
1. Montrer que f est une isométrie affine de R3
2. Classifier f et determiner ses éléments caractéristiques
124
19
NAPPES PARAMETREES ET SURFACES
Dans tout ce qui suit , on considère R3 muni de
son produit scalaire usuel qui fait de sa base canonique une base orthonormale et on
choisit ’orienter R3 de sorte que sa base canonique est directe. On rappelle que le
déterminant d’une famille (u1 ; u2 ; u3 ) de vecteurs par rapport à une BON ne dépends
pas de celle-ci et on le notera : det(u1 ; u2 ; u3 ) .
19.1
19.1.1
Surface, Nappe paramètrée
Surface
une surface de R3 est un sous-ensemble (S) de R3 formés de ponts m = (x; y; z) dont
les coordonnées sont liées par une relation de la forme :
F (x; y; z) = 0
où F est une fonction de R3 vers R suffisamment régulière ; ou généralement une
relation
8
< x = ffi(u; v)
y = (u; v)
:
z = ffl(u; v)
où ffi;
19.1.2
et ffl sont des applications suffisamment régulière d’un ouvert U de R2 vers R.
Nappe paramètrée
Soit k 2 N. Une nappe paramètrée de classe C k est un couple (U; f) où U est un ouvert
de R2 et f une application de U vers R3 de classe C k . Le sous-ensemble (S) = f(U) de
R3 s’appelle le support de la nappe. Le support d’une nappe est donc une surface de
R3 . On dit aussi que (U; f) est un paramétrage de (S). Une surface peut avoir plusieurs
paramétrages.
Par exemple, pour :
–
»
ı ı
U =] ` ı; ı[ˆ ` ;
2 2
et pour („; ’) 2 U ;
f(„; ’) = (cos „ cos ’; cos „ sin ’; sin „)
correspond à la nappe dont le support est la sphère unité privé de quelques parties
(à préciser par le lecteur). On reconnaît ici le paramétrage à l’aide des coordonnées
sphériques (1; „; ’) : le rayon est constant.
Definition 5 Soit k 2 N˜ .Soit (U; f) une nappe paramètrée de classe C k et soit (S) son
@f
(u; v)
support. Un point m = f(u; v) de (S) est dit régulier si la famille des vecteurs
@u
@f
et
(u; v) est libre. La plan passant par m et dirigé par ces vecteurs s’appelle le
@v

ff
@f
@f
plan tangent à (S) au point m. C’est le plan : (P ) = m + Vect
(u; v);
(u; v) .
@u
@v
Tout vecteur normal à (P ) s’appelle vecteur normal (S) au point m.
Remarque 1 Si m = f(u; v) est un point régulier de (S) alors n(u; v) =
@f
(u; v) est un vecteur normal de (S) au point m.
@v
125
@f
(u; v) ^
@u
Remarque 2 Si tous les points de (S) sont réguliers , on dit que la nappe (U; f) est
régulière. On dit aussi que (S) est régulière.
19.2
Surface d’équation z = f(x; y)
Théorème 5 Soit f une application de classe C 1 d’un ouvert U de R2 vers R et soit (S)
la surface dont z = f(x; y) est une équation cartésienne. La nappe paramètrée (U; g)
avec g(x; y) = (x; y; f(x; y)) pour tout (x; y) 2 U est une nappe régulière de support
(S). Si F est l’application de V = U ˆR vers R définie par F (x; y; z) = f(x; y)`z alors
F (x; y; z) = 0 est une équation cartésienne de (S) et pour tout (x; y) 2 U, le vecteur
``!
n(x; y) = gradF (x; y; f(x; y)) est un vecteur normal à (S) au point m = g(x; y)
Preuve : Soit (x; y) 2 U, alors :
@f
@g
@f
@g
(x; y) = (1; 0;
(x; y)) et
(x; y) = (1; 0;
(x; y))
@x
@x
@y
@y
donc :
n(x; y) =
@g
@g
@f
@f
(x; y) ^
(x; y) = (`
(x; y); `
(x; y); 1) 6= 0
@x
@y
@x
@x
donc le point m = g(x; y) est régulier.
remarquons que de F (x; y; z) = f(x; y) ` z on déduit que :
@F
@f
@F
@f
@F
(x; y; z) =
(x; y);
(x; y; z) =
(x; y);
(x; y; z) = `1
@x
@x
@y
@y
@z
de sorte que :
``!
n(x; y) = `gradF (x; y; f(x; y))
``!
et par suite gradF (x; y; f(x; y)) est un vecteur normal à (S) au point m = g(x; y)
19.3
19.3.1
Surface d’équation F (x; y; z) = 0
Théorème des fonctions implicites
L’équation cartésienne z = f(x; y) n’est qu’un cas particulier de l’équation F (x; y; z) =
0. Le théorème des fonctions implicites dont on donnera l’énoncé et on l’admettra nous
permet de voir que si une telle surface possède un point régulier alors elle localement
régulière au voisinage de ce point .
Théorème 6 Soit f : W  R3 ! R une application de classe C 1 d’un ouvert W de R3
vers R. Soit m0 = (a; b; c) 2 W tel que
8
f(m0 ) = 0
>
<
>
: @f (m0 ) 6= 0
@z
Alors : Il existe un ouvert U de R2 et un intervalle I de R tel que :
8
UˆI W
>
<
>
: (8m 2 U ˆ I)
@f
(m) 6= 0
@z
et une fonction ’ : U ! R de classe C 1 tel que : ’(U)  I et :
(8((x; y); z) 2 U ˆ I)
f(x; y; z) = 0 () z = ’(x; y)
126
De plus on a :
8
@f
(x; y; ’(x; y))
>
@’
@x
>
>
(x;
y)
=
`
>
@f
>
>
(x; y; ’(x; y))
< @x
@z
8(x; y) 2 U
>
@f
>
>
(x; y; ’(x; y))
>
@’
@y
>
>
(x; y) = ` @f
:
@y
(x; y; ’(x; y))
@z
Remarque 3 Dans ce théorème on a confondu les triplets (x; y; z) et les couples
((x; y); z) avec (x; y) 2 R2 et z 2 R
19.3.2
Conséquence
Si (S) est une surface dont F (x; y; z) = 0 est une équation cartésienne avec F de
classe C 1 sur un ouvert W de R3 alors si m0 est un pont régulier de (S) alors (S) est
régulière localement au voisinage de m0
19.3.3
Un exemple
W = R3 et f(x; y; z) = xz 3 ` x2 y ` yz ` y + 2 et soit (S) la surface dont une
équation cartésienne est f(x; y; z) = 0, et soit m0 = (0; 1; 1). Comme f(m0 ) = 0 on
a m0 2 (S). On a pour tout (x; y; z) 2 R3 :
@f
@f
@f
(x; y; z) = z 3 ` 2xy;
(x; y; z) = `x2 ` z ` 1;
(x; y; z) = 3xz 2 ` y;
@x
@y
@z
@f
(0; 1; 1) = `1 6= 0. Le théorème des fonctions implicites assure donc
@z
l’existence d’une fonction g de classe C 1 définie sur un ouvert U tel que (0; 1) 2 U
et un intervalle ouvert I tel que pour tout (x; y) 2 U et z 2 I on aie : f(x; y; z) =
@f
0 () z = g(x; y) et
(x; y; z) 6= 0.
@z
Qeul est le plan tangent au point m0 à la surface (S) ? On sait que se plan passe par
``!
m0 . Il suffit donc d’en donner un vecteur normal. On sait gradf(m0 ) est un vecteur
normal à (S) au point m0 . En vertu des formules ci-dessus donnat les dérivée partielles
de f, on a
``!
gradf(m0 ) = (1; `2; `1)
de sorte que :
Le plan tangent à (S) a donc une équation de la forme :
(P ) : x ` 2y ` z + c = 0
Tenant compte de m0 2 (P ) on a : c = 3, donc :
(P ) : x ` 2y ` z ` 3 = 0
Remarquons que le fonction g existe mais on ne peut pas dans cet exemple expliciter
g(x; y) en fonction de x et y. Cependant , il est possible de calculer par exemple
@g
@g
(m0 ) et
(m0 ) , il suffit d’appliquer les formules données à la fin de l’énoncé du
@x
@y
théorème :
1
@g
`2
@g
(m0 ) = `
= 1 et
(m0 ) = `
= `2
@x
`1
@y
`1
127
19.4
19.4.1
Des surfaces particulières
Cylindre
Définition
Un cylindre est la réunion de toutes les droites passant par un point d’un courbe donnée
et de direction constante donnée.
Definition 6 On se donne une courbe paramètrées ` = (I; g) et un vecteur non nul
u = (a; b; c) Alors La nappe cylindrique de directrice ` et de direction u est la nappe
(I ˆ R; f) avec :
8(t; t0 ) 2 I ˆ R f(t; t0 ) = g(t) + t0 u
soit :
8
< x(t) = g1 (t) + t0 a
y(t) = g2 (t) + t0 b
:
z(t) = g3 (t) + t0 c
où g1 ; g2 et g3 sont les fonctions coordonnées de g.
19.4.2
Exemple
Si ` = ([0; 2ı]; g) avec g1 (t) = cos t; g2 (t) = sin t; g3 (t) = 0 (cercle de centre O et de
rayon 1 et u = (0; 0; 1) , le cylindre associé a la paramétrisation :
8
< x(t) = cos t
y(t) = sin t
:
z(t) = t0
19.4.3
Cône
Definition
Un cône est la réunion de droites passant par un point fixe A et un point variable
m décrivant le support d’une courbe paramètrée. Une nappe conique est une nappe
paramètrée dont le support est un cône. On donne la définition suivante :
Definition 7 Etant donnée une courbe paramètrée ` = (I; g) et un point A = (a; b; c)
de R3 . On appelle nappe conique de somment A et de génératrice ` le nappe paramètrée
(I ˆ R; f) tel que :
8(t; t0 ) 2 I ˆ R
`!
f(t; t0 ) = A + t0 (g(t) ` OA) = A + t0 h(t)
`!
où h(t) = g(t) ` OA, donc (I; h) est un arc paramètré obtenu par translation de (I; g),
ce qui donne la paramétrisation :
8
< x(t) = a + t0 h1 (t)
y(t) = b + t0 h2 (t)
:
z(t) = c + t0 h3 (t)
128
Exemple
Si A = O et I = [0; 2ı] et g(t) = (cos t; sin t) pour tout t 2 [0; 2ı] on obtient :
8
< x(t; t0 ) = t0 cos t
y(t; t0 ) = t0 sin t
:
z(t; t0 ) = t0
On peut remarquer que : x2 + y 2 = z 2 est une équation cartésienne de ce cône.
19.4.4
Surface de révolution
Definition
Definition 8 On appelle nappe de révolution toute nappe paramètrée (I ˆ R; f)tel
`
! `
! `
!
qu’il existe un repère orthonormale (O; i ; j ; k ) tel que :
(8(t; „) 2 I ˆ R)
`
!
`
!
f(t; „) = O + (t) u („) + z(t) k
`
!
`
!
`
!
où , pour tout „ 2 R on a u („) = cos „ i + sin „ j
Exemples
`
! `
! `
!
1. si O = (0; 0; 0) et ( i ; j ; k ) est la base canonique et (t) = R avec R > 0 et
z(t) = t on a :
`
!
`
!
f(t; „) = t u („) + R k
Il s’agit d’un cylindre de révolution de rayons R. Paramétrage :
8
< x(t; „) = R cos „
y(t; „) = R sin „
:
z(t; „) = t
2. Avec les même donnée si (t) = z(t) = t on a :
`
!
`
!
f(t; „) = t u („) + t k
`
!
Il s’agit d’un cône de révolution autour de l’axe R k . Paramétrage :
8
< x(t; „) = t cos „
y(t; „) = t sin „
:
z(t; „) = t
129
20
REVISION SUP
20.1
Calcul integral
Exercice 1: Z
calculer : a)
1
2
1
1
Z
p
p dx
x+1` x
Z
p
x 5 ` x dx
b)
c)
0
1
dx
1 + ex
Exercice 2:
On considère la fonction f définie par :
x
Z
p
f(x) =
1
4 ` t2
dt
t4
1. Determiner l’ensemble de definition D de f
2. Montrer que
p
(4 ` x2 ) 4 ` x2
8x 2 D f(x) = c `
12x3
où c est une constante réelle à determiner
Exercice 3:
Determiner les primitives de la fonction f sur les intervalles où elle est définie dans
les cas suivants :
sin x
1
1) f(x) = arctan x
2) f(x) = p
3) f(x) =
p
cos x
(arccos x)5 1 ` x2
sin 2x
ln x
x5
4) f(x) =
5) f(x) = p
6) f(x) = p
2
1 + sin x
x 1 + ln x
1 ` x2
Exercice 4:
Z
1
ln(
à l’aide d’une integration par parties , calculer I =
p
p
1`x+
1 + x)dx
0
Exercice 5:
Calculer les intégrales indéfinies suivantes :
Z
x arctan x
1.
dx
p
1 + x2
1
(indic : integration par parties u = arctan x; v 0 = p
)
2
1
+
x
p
p
rep :
1 + x2 arctan x ` ln(x +
x2 + 1) + c)
Z
2.
e`x ln(ex + 1)dx
(indic : par parties : u = ln(ex + 1))
rep : `e`x ln(1 + ex ) + x ` ln(1 + ex ) + c
130
Z
3.
dx
p
(x + 1)2 x2 + 2x + 2
(indic : x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 puis x + 1 = t puis t = ch u)
Exercice 6:
Montrer que pour tout (a; b) 2 R2 tel que 0 < a » b, on a :
b
Z
a
1
b`a
dt » p
t
ab
Réponse
b`a
=
p
ab
r
b
`
a
r
p
a
b
a
= F ( ) ` F ( ) avec F (x) = x donc
b
a
b
b`a
=
p
ab
b
a
Z
a
b
b
a
Z
1
1
p dx =
2
2 x
a
b
1
p dx
x
a
b
Pour simplifier posons ¸ =
et ˛ =
b Z
a Z
Z ˛
1
˛
1
1
1
remarquons que :
p dx =
p dx +
p dx
x
x
x
¸
¸
1
1
on a :
par le changement de variables u =
x
Z ˛
Z 1
Z ¸p
u
1
1
du =
p dx = `
p du
2
u
x
1
¸ u u
1
il en résulte que :
b`a
1
=
p
2
ab
(1)
Z
1
¸
„
1
1
p + p
t
t t
«
dx
Nous avons d’un autre côté : (par le changement de variables :
b
Z
(2)
a
1
dx =
x
1
Z
¸
x
= t)
b
1
dt
t
Alors :
b`a
`
p
ab
b
Z
a
1
dx =
x
Z
1
¸
„
1
1
1
p + p `
t
2t t
2 t
Z
«
1
=
¸
1
p
2 t
„
1
p `1
t
«2
dt
Comme par hypothèse 0 < a » b on a ¸ » 1 donc le terme de droite est positif ,
ce qui termine la preuve.
131
Remarque
comme conséquence immédiate de cette inégalité on a :
(8(a; b) 2 (R˜+ )2 )
20.2
20.2.1
a » b ) ln
b
b`a
» p
a
ab
Développements limités
Quelques exemples :
Faire les développements limités suivants (en bas de chaque question,il y’a une réponse) :
1. f(x) = (cos x)cos x ordre 3 au voisinage de 0
Réponse : 1 `
1 2
x + o(x3 )
2
2. g(x) = ln(1 + sin x) ordre 4 au voisinage de 0
Réponse : x `
3. h(x) = ln
1 2
1
1 4
x + x3 `
x + o(x4 )
2
6
12
sin x ` x cos x
ordre 2 au voisinage de 0
x3
Réponse : ` ln 3 `
20.2.2
1 2
x + o(x2 )
10
Calcul de limites
Question :
Calculer :
lim f(x)
avec
f(x) =
x!0+
xx ` (sin x)sin x
x3 ln x
Réponse :
on a pour tout x 2]0; 1] :
(sin x)sin x = esin x ln(sin x)
x3
x2
x2
ln(sin x) = ln(x `
+ o(x4 )) = ln x + ln(1 `
+ o(x3 )) = ln x `
+ o(x3 )
6
6
6
x2
x3
x3 ln x
x3
sin x ln(sin x) = (x `
+ o(x3 ))(ln x `
+ o(x3 )) = x ln x `
`
+ o(x3 )
6
6
6
6
IL en résulte que :
1
1
1
1
(1) (sin x)sin x = 1 + x ln x + x2 (ln x)2 ` x3 ` x3 ln x + x3 (ln x)3 + o(x3 )
2
6
6
6
Or on a aussi :
1
1
(2) xx = ex ln x = 1 + x ln x + x2 (ln x)2 + x3 (ln x)3 + o(x3 )
2
6
de (1) et (2) on tire :
1
1
xx ` (sin x)sin x = x3 ln x + x3 + o(x3 )
6
6
de sorte que :
«
„
1
1 1
1
f(x) = +
+o
6
6 ln x
ln x
132
20.3
20.3.1
polynômes
degré
On rappelle que si P est un polynôme non nul avec P = (ak )k2N alors le degré de
P est le plus grand entier naturel n tel que an 6= 0. Rappelons que les termes de la
suite (ak )k2N sont nuls sauf un nombre fini d’entre eux (ce qui est la définition d’un
polynôme). On écrit deg P = n
Si deg(P ) = n 2 N alors an s’appelle le coefficient dominant de P Par convention, le
degré du polynôme nul est `1.
Rappelons que
› si P et Q sont deux polynômes non nuls alors on a :
deg(P Q) = deg P + deg Q
et le coefficient dominant de P Q est égal au produit des coefficients dominants de P
et Q.
› si P et Q sont deux polynômes alors :
deg(P + Q) » sup(deg P; deg Q)
remarque : si deg(P ) 6= deg(Q) alors on a deg(P + Q) = sup(deg(P ); deg(Q))
si deg(P ) = deg(Q) = n et si an et bn sont les coefficients dominants de P et Q
respectivement alors on a :
si bn 6= `an alors deg(P + Q) = sup(deg(P ); deg(Q))
20.3.2
multiplicité
K désigne R ou C
on rappelle que K[X] ensemble des polynômes
dans K est muni des lois
X à coefficients X
k
internes : + et ˆ de sorte que si P =
ak X et Q =
bk X k alors P + Q =
X
X
X
(ak + bk )X k et P Q =
ck X k avec ck =
ai bi
i+j=k
› Soit P un polynôme non nul et a 2 K et soit k 2 N˜ . On dit que a est une racine de
P de multiplicité k si P (a) = ::: = P (k`1) (a) = 0 et P (k) (a) 6= 0
On a :
› a est une racine de P de multiplicité k si et seulement si (X ` a)k jP et (X ` a)k+1 6 jP
› Formule de Taylor : Soit P un polynôme de degré n – 0 pour tout a 2 K on a :
n
X
P (k) (a)
P =
(X ` a)k
k!
k=0
› Remarquons que si a est une racine de P de multiplicité p et si n – 1 est le degré
de P alors on a :
n
X
P (k) (a)
P =
(X ` a)k
k!
k=p
133
20.3.3
Polynôme interpolateur de Lagrange
› UN EXEMPLE
Determiner l’unique polynôme L de degré 2 tel que :
L(0) = 2
et
L(1) = 4
et
L(`1) = 3
Réponse : L est connu c’est le polynôme interpolateur de Lagrange.Pour le trouver on
pose :
˝ = X(X ` 1)(X + 1)
et
˝1 =
˝
X
et
˝2 =
˝
X`1
et
˝3 =
˝
X+1
alors
˝1 = (X ` 1)(X + 1)
et
˝2 = X(X + 1)
˝3 = X(X ` 1)
et
On cherche L sous forme d’une combinaison linéaire de ˝1 ; ˝2 et˝3 ; disons :
L = ¸˝1 + ˛˝2 + ‚˝3
Alors :
L(0) = ¸˝1 (0) = `¸
et
L(1) = ˛˝2 (1) = 2˛
et
L(`1) = ‚˝3 (`1) = 2‚
et comme par hypothèse :
L(0) = 2
et
L(1) = 4
et
L(`1) = 3
et
‚ =
il vient :
¸ = `2
et
˛ =2
et alors
L = `2(X ` 1)(X + 1) + 2X(X + 1) +
3
2
3
X(X ` 1)
2
› GENERALISATION
Etant donnés n + 1 réels deux à deux distincts a0 ; a1 ; :::; an et n + 1 réels quelconques
b0 ; b1 ; :::; bn . Il existe un et un seul polynôme L de degré n qui réalise L(ak ) = bk pour
tout k 2 f0; :::; ng. Il est donné par les formules :
L(X) =
n
X
bk
k=1
avec
˝(X) =
n
Y
(X ` ak )
et
˝k (X)
˝k (ak )
8k 2 f0; :::; ng
˝k (X) =
k=0
20.3.4
Exercices
Exercice 7:
˜
Soit n 2 N et le polynôme : Pn =
n
Y
(1 ` X)k (1 + X)n`k .
k=0
134
˝(X)
X ` ak
1. Determiner le degré de P et son coefficient dominant de P et son degré en fonction
de n
2. On suppose que deg P = n. Determiner le coefficient an`1 du monôme de degré
n ` 1 en fonction de n.
Réponse
Posons : Qn;k = (1 ` X)k (1 + X)n`k . On a deg Qn;k = n et coeff(Qn;k ) = (`1)k .
Il en résulte que le coefficient du monôme X n dans Pn est :
an =
n
X
(`1)k =
1 ` (`1)n+1
2
k=0
Ce qui donne du coup :
si n est pair alors an = 1 est le coefficient dominant de Pn .
Si n est impair alors an = 0 et deg Pn » n ` 1
n
Y
pour k tel que 1 » k < n,on peut écrire que Qn;k =
(1 + "i X) avec "i = `1 si
i=1
1 » i » k et "i = 1 si k + 1 » i » n. Ceci nous permet de dire que le coefficient
de X n`1 dans Qn;k est
n
X
an`1;k =
"0i
i=1
avec "0i =
n
Y
j=1;j6=i
n
1
1 Y
"j = (`1)k "i (car
= "i
"j =
"i
"i
et
"j = 1 pour tout j 2
j=1
fk + 1; :::; ng
Alors :
an`1;k =
n
X
k
(`1) "i
k
n
X
"i
=
(`1)
=
0 k
1
n
X
X
"i +
"i A
(`1)k @
=
0 k
1
n
X
X
(`1)k @ (`1) +
1A
i=1
i=1
i=1
i=k+1
i=1
=
i=k+1
k
(`1) (`k + n ` k) = (`1)k (n ` 2k)
il en résulte que le coefficient de X n`1 dans Pn est :
an`1 =
n
X
k
(`1) (n ` 2k) = n
k=0
On sait que :
n
X
n
X
k=1
(`1)k =
k
(`1) ` 2
n
X
k(`1)k
k=1
(`1)n+1 ` 1
=0
2
k=0
on va calculer la somme
n
X
k(`1)k pour cela considérons la fonction f définie par
k=0
135
f(x) =
n
X
xk =
xn+1 ` 1
pour tout x 2 Rnf`1g. Alors :
x`1
k=0
8x 2 Rnf`1g
0
xf (x) =
n
X
kxk = x
(n + 1)xn (x ` 1) ` xn+1 + 1
(x ` 1)2
k=1
en particulier pour x = `1 on a :
`
n
X
k(`1)k =
(2n + 3)(`1)n+1
1
((`1)n+1 + 2(n + 1)(`1)n+1 ) =
4
4
k=1
20.4
Produit vectoriel dans R3
Dans tout ce qui suit, on considère l’espace vectoriel euclidien R3 muni de son produit
scalaire canonique :
hx; yi = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
pour x = (x1 ; x ` 2; x3 ) et y = (y1 ; y2 ; y3 ). Il en résulte que la base canonique B =
(e1 ; e2 ; e3 ) de R3 est une base orthonormale. Rappelons que e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0)
et e3 = (0; 0; 1).
On dira qu’une base orthonormale C de R3 est directe si det C = 1.
B
20.4.1
Determinant dans une base orthonormale directe
Propostion 3:
Si (u1 ; u2 ; u3 ) est une famille de vecteurs de R3 alors pour toute base orthonormale
directe C de R3 on a :
det(u1 ; u2 ; u3 ) = det(u1 ; u2 ; u3 ) =
C
B
Preuve
En effet si on pose F = (u1 ; u2 ; u3 ) on a : det F = det B det F et comme det B = 1,
C
C
B
C
le résultat en découle.
Cela nous permet de dire que det Cf ne dépends pas de la base orthonormale directe
C
C de R3
Notation : On notera det F le déterminant de la famille F relativement à n’importe
quelle base orthonormale directe de R3
20.4.2
Produit vectoriel
› Définition :
Soit u = (x1 ; x2 ; x3 ) et v = (y1 ; y2 ; y3 ) deux vecteurs de R3 . On appelle produite
vectoriel de u et v le vecteur noté u ^ v avec :
u ^ v = (x2 y3 ` x3 y2 )e1 + (x3 y1 ` x1 y3 )e2 + (x1 y2 ` x2 y1 )e3
136
› Propriétés :
1) L’application (u; v) 7! u ^ v de R3 ˆ R3 vers R3 est une application bilinéaire
antisymétrique alternée. Ce qui veut dire :
i) pour tout u1 ; u2 ; v de R3 et tout ¸ 2 R , on a : (u1 + ¸u2 ) ^ v = u1 ^ v + ¸u2 ^ v.
i’) Pour tout u; v1 ; v2 de R3 et tout ¸ 2 R, on a : u ^ (v1 + ¸v2 ) = u ^ v2 + ¸u ^ v2
ii) Pour tout u; v de R3 , on a : v ^ u = `u ^ v
iii) Pour tout u 2 R3 on a u ^ u = 0
i) et i’) expriment la bilinéarité
ii) Exprime l’antisymétrie
iii) Le fait que le produit vectoriel est alterné.
Le produit vectoriel de u et v est l’unique vecteur vérifiant les conditions suivantes :
u ^ v = 0 si la famille (u; v) est liée
Si la famille (u; v) est libre alors :
i) (u; v; u ^ v) est directe
\
ii)jju ^ vjj = jjujjjjvjjj sin (u;
v)j
iii) u ^ v est orthogonal à u et v
20.4.3
Produit mixte
Propostion 4:
Pour tout u; v de R3 on a : (u ^ v):w = det(u; v; w). On appelle cette quantité le
produit mixte des vecteurs u; v et w et on le note : [u; v; w]
Preuve
On peut remarquer que c’est vrai si la famille (u; v) est liée. Sinon on construite l’orthonormalisée de Gram-Schmidt de (u; v) et on travaille dans cette base orthonormale
137
21
REVISION CONCOURS
les élèves sont tenus de travailler ces exercices car ils seront le sujet principal des
révisions pour les concours ...
21.1
21.1.1
Algèbre linéaire :
Matrices, rang,noyau,image ...
Exercice 1:
On considère la matrice suivante :
0
1
2 `1 1 5 0
B 3 `3 0 3 4 C
C
A=B
@ 0 1 1 0 1 A
1 0 1 1 2
1. Calculer le rang de A
2. Determiner des bases pour des espaces vectoriels F et G engendrés pas les colones
et les lignes de A. En déduire les dimensions de F et G.Que remarquez vous ?
Quelle explications suggérez vous à ça ?
3. Soit S = fX 2 M5;1 (R)=AX = O4;1 g. Verifier que S est un sous-espace vectoriel
de M5;1 (R). Determiner la dimension de S sans en determiner une base.Determiner
une base de S.
4. Même question avec S 0 = fX 2 M1;4 (R)=XA = O1;5 g
5. Montrer que pour tout b 2 M4;1 (R) , le système AX = b admet au moins une
solution dans M5;1 (R). cette solution est-elle unique ?
6. Soit g l’application de R5 vers R4 tel que g(X) = X t A. L’application g est elle
surjective ? injective ?
Indication
1. : on permute la ligne 1 et la ligne 4 d’une part et les lignes 2 et 3 d’autre part
on obtient (la fleche ! veut dire : ” a le même rang que”) :
0
1
0
1
2 `1 1 5 0
1 0 1 1 2
B 3 `3 0 3 4 C
B 0 1 1 0 1 C
B
C
B
C
@ 0 1 1 0 1 A ! @ 2 `1 1 5 0 A
1 0 1 1 2
3 `3 0 3 4
` L3 ` 2L1
On effectue les operations : L3
0
1 0
B 0 1
!B
@ 0 `1
0 `3
A
` L3
0
1
B 0
!B
@ 0
0
On effectue les operations : L3
A
1 1
1 0
`1 3
`3 0
+ L2
0
1
0
0
138
et
1
1
0
0
et
1
0
3
0
` L4 ` 3L1 donc :
L4
1
2
1 C
C
`2 A
`2
L4 ` L4 + 3L2 alors :
1
2
1 C
C
`1 A
1
La dernière matrice étant échelonnée à 4 pivots la rang cherché est 4
Remarque ; pour bien visualiser considérons la matrice :
1
0
1 0 1 1 2
B 0 1 1 0 1 C
C
B
C
M =B
B 0 0 1 0 0 C
@ 0 0 0 3 `1 A
0 0 0 0 1
alors M est une matrice 5ˆ5 triangulaire supérieure dont tous les termes diagonaux
sont différents de zéro . Ainsi rg (M) =. Cela veut dire que les lignes de M formant
une famille libre donc la sous famille qui constitue les lignes de A0 est aussi une
famille libre et alors A0 est de rang 4 qui est le nombre des lignes qui constituent
une famille libre.
21.1.2
Réduction des matrices et endomorphismes en dimension finie
Exercice 2:
Soit :
0
1
M =@ 0
`2
1
`2 `2
`1 0 A
`2 1
1. Calculer le polynôme caractéristique de M
2. Determiner les valeurs propres réelles de M ainsi que les sous-espaces propres
associés
3. Calculer det(M)
4. Prouver que M n’est-elle diagonalisable
5. Trigonaliser la matrice M
6. Calculer M `1
Exercice 3:
Soit la matrice
0
`1 0
J =@ 1 1
1 0
1
`2
1 A
2
1. Calculer J 2 .Qu’en déduisez vous ? J est-elle diagonalisable ? J est elle inversible ?
2. Determiner les valeurs propres de J et leur sou-espaces propres. Réduire J.
3. Soit (a; b) 2 R2 et la matrice :
0
Mab
1
a`b
0
`2b
A:
b
a+b
b
=@
b
0
a + 2b
Prouver que Mab est diagonalisable et diagonaliser la.
139
Exercice 4:
On considère les matrices carrées réelles suivantes :
0
1
0
„
«
0 1 1
0 0
0 1
M1 =
; M2 = @ 1 0 1 A ; M3 = @ 1 0
`1 0
1 1 0
1 1
1
0
0
4 `10
0 A ; M4 = @ 1 `2
0
2 `6
1
3
1 A
3
1. Pour chacune de ces matrices dites si elle est diagonalisable , trigonalisable et la
réduire dans chaque cas où c’est possible.
2. Trouver une matrice X tel que X 2 = M2 (on dira que X est une racine carrée de
M2 )
3. Montrer que M3 est nilpotente et determiner son indice de nilpotence. En déduire
que M3 n’a pas de racine carrée.
Exercice 5:
Soit E un espace vectoriel sur R de dimension n avec n un entier – 2 et soit f un
endomorphisme de E tel que f 6= 0 et f ‹ f = 0 . On pose r = rg (f)
1. Montrer que 0 < r < n
2. Montrer que Imf  ker f et en déduire que 2r » n
3. Soit F un sous-espace supplémentaire de ker f , ce qui veut dire F ˘ ker f = E
21.1.3
Un mot sur les matrices échelonnées :
On rappelle la définition suivante d’une matrice échelonnée suivant les lignes :
Une matrice est échelonnée suivant les lignes si ses lignes nulles s’il y en a sont
aux dernières positions et si lorsque deux lignes consécutives sont non nulles alors le
premier terme non nulle de celle d’en bas est strictement à droite de celui de celle
d’en haut.
Le premier terme non nul d’une ligne est appelé pivot.
Le rang d’une matrice échelonnée est égal au nombre de ses pivots .
On considère une matrice A 2 Mnp (K) avec la condition n » p.
› Si n = p alors A est une matrice carrée.Alors A est échelonnée suivant les lignes et
si A est triangulaire supérieure inversible c’est à dire à termes
„ diagonaux
« non nuls.
T1 B
A est échelonnée non inversible suivant les lignes si A =
où T1 est une
O T2
matrice échelonnée inversible de taille n0 < n et T2 une matrice triangulaire supérieure
de taille n00 = n ` n0 échelonnée suivant les lignes dont tous les termes diagonaux
sont nuls .
A est échelonnée suivant les lignes si A est échelonnée suivant les lignes inversible ou
échelonnée suivant les lignes non inversible.
› Si n < p alors A est échelonnée suivant les lignes si A est obtenue en effaçant p ` n
lignes d’une matrice carrée de taille p échelonnée suivant les lignes.
Exemples
0
1
1 2 3
A = @ 0 4 5 A est une matrice échelonnée suivant les lignes car elle est triangulaire
0 0 6
supérieure inversible
140
0
1
1
1 2 3 4
4
B 0 5 6 7 C
C
7 A obtenue en supprimant la 4eme ligne de B = B
@ 0 0 8 9 A
9
0 0 0 1
qui elle même est triangulaire supérieure inversible
0
0
1
1 2 3 4
1 2 3 4 5
B 0 6 7 8
B
B 0 6 7 8 9 C
C est obtenue en supprimant la 3ème ligne de C 0 = B 0 0 1 0
C =B
B
@ 0 0 0 1 2 A
@ 0 0 0 1
0 0 0 0 3
0 0 0 0
0
comme C est une matrice triangulaire supérieure inversible alors C est échelonnée.
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8
1
0
B 0 2 3 4 5 6 7 8 C
1 2 3 4 5 6 7 8
C
B
B 0 0 3 4 5 6 7 8 C
B 0 2 3 4 5 6 7 8 C
C
B
C
B
C
B
B 0 0 3 4 5 6 7 8 C
C et D 0 = B 0 0 1 0 0 0 0 0 C
D=B
B 0 0 0 0 5 6 7 8 C
B 0 0 0 0 5 6 7 8 C
C
B
C
B
B 0 0 0 0 1 0 0 0 C
@ 0 0 0 0 0 0 7 8 A
C
B
@ 0 0 0 0 0 0 7 8 A
0 0 0 0 0 0 0 8
0 0 0 0 0 0 0 8
0
1
B =@ 0
0
2
5
0
3
6
8
la matrice D 0 est une matrice carrée échelonnée suivant les lignes (inversible) et on
voit que D est obtenue en supprimant les lignes : 4 et 6 de D 0 donc D est échelonnée
suivant les lignes
1
0
0
1
1 2 3 4
1 2 3 4
B 0 1 0 0 C
C
E = @ 0 0 3 4 A et E 0 = B
@ 0 0 3 4 A
0 0 0 0
0 0 0 0
E 0 est une matrice carrée échelonnée suivant les lignes (cette fois ci elle n’est pas
inversible) et E est obtenue en supprimant la deuxième ligne de E 0 donc E est une
matrice échelonnée.
21.2
21.2.1
Préhilbertiens
Orthogonal, projection orthogonale :
Exercice 6:
Soit n 2 N˜ et E = Mn (R).
1. Montrer que la relation : hA; Bi = tr(t AB) définit un produit scalaire sur E.
2. Soit F = f–In =– 2 Rg et H = fM 2 E=tr(M) = 0g. Determiner F ? .En déduire
la dimension de H.Retrouver ce résultat par une autre méthode.
3. Soit A 2 E, determiner pF (A) où pF est la projection orthogonale de E sur F .
21.3
Forme bilinéaire symétrique , forme quadratique , orthogonalité
Exercice 7:
141
5
9
0
2
3
1
C
C
C
C
A
On considère l’espace euclidien R3 muni de son produit scalaire usuel, c’est-à-dire le
produit scalaire pour lequel la base canonique B = (e1 ; e2 ; e3 ) est une base orthonormale. .Pour tout x = (x1 ; x2 ; x3 ) et y = (y1 ; y2 ; y3 ) on pose X =t x et Y =t y
de sorte que X et Y sont donc des matrices unicolones.et soit
0
1
1
2 `2
5 `4 A
A=@ 2
`2 `4 5
On pose :
ffi(x; y) = x1 y1 + 5x2 y2 + 5x3 y3 + 2x1 y2 + 2x2 y1 ` 2x1 y3 ` 2x3 y1 ` 4x2 y3 ` 4x3 y2
1. Exprimer ffi(x; y) à l’aide de X; Y
et
A
2. En déduire que ffi est une forme bilinéaire symétrique sur R3 .
3. Soit q la forme quadratique associée à ffi. Réduire q et en déduire que ffi est un
produite scalaire sur R3
4. Montrer que si on pose !1 = (1; 0; 0) et !2 = (`2; 1; 0) et !3 = (2; 0; 1)
alors B0 = (!1 ; !2 ; !3 ) est une base orthonormale dans l’espace euclidien (R3 ; ffi)
. Determiner P la matrice de passage de B à B0 ainsi que P 0 la matrice de passage
de B0 à B
5. Soit F = Vectf!1 ; !2 g et u = (1; 2; 3). Determiner le vecteur pF (u) où pF est la
projection orthogonale de R3 sur F pour le produit scalaire ffi
Exercice 8:
A) Soit E = R[X], muni du produit scalaire défini par :
Z 0
8(P; Q) 2 E 2
hP; Qi =
P (t)Q(t)dt
`1
On ne demande pas de vérifier que c’est un produit scalaire. Soit ´ l’application de E
vers E qui envoie un polynôme P sur :
´(P ) = (X 2 + X)P 00 + (2X + 1)P 0
1. Verifier que ´ est un endomorphisme de l’espace vectoriel E.
2. Soit P 2 E, montrer que deg(´(P )) » deg P
B) Pour tout entier naturel n on désigne par En l’ensemble des polynômes de degré
inférieur ou égal à n et par ´n l’application de En vers En induite par ´.
1. Ecrire la matrice de ´n relativement à la base f1; X; :::; X n g
2. En déduire les valeurs propres de ´n
3. L’endomorphisme ´n est-il diagonalisable ?
4. Montrer que pour tout entier naturel n non nul il existe un et un seul polynôme
Pn de degré n et dont le coefficient dominant est 1 tel que ´(Pn ) = n(n + 1)Pn
5. Exprimer Pn en fonction du polynôme
Qn =
n
X
(n + k)!
Xk
(n ` k)!(k!)2
k=0
142
6. Montrer que pour tout P et Q de E on a : h´(P ); Qi = hP; ´(Q)i
7. En déduire la valeur de hPn ; Pm i pour tout entiers non nuls m et n
Indications :
A)
1. facile
2. facile
B)
1. ´(1) = 0
´(X k ) = k(k + 1)X k + k2 X k`1 pour tout k – 1 on trouve
0
1
0 0 0 :::
0
C
B
2 1
B
C
B ..
C
..
..
B
C
.
6
.
A=B .
C
B
C
.
2
.
@
A
.
n
0
:::
n(n + 1)
et
2. Remarquer que A est une matrice triangulaire supérieure
3. oui (à vous de le justifier)
4. Prouver que ´n est diagonalisable et que les sous-espaces propres sont des droites
vectorielles.Penser au coefficient dominant de ´(P ) si P est un polynôme normalisé de degré m....
n
5. Poser Pn = X +
n`1
X
ak X k et exprimer ´(Pn )
k=0
6. Penser à la base canonique ...
précisément si on démontre que :
8(p; q) 2 N2
h´(X p ); X q i = hX p ; ´(X q )i
on aura terminé.Pour ce faire on discute :
Si p = 0 ou q = 0 alors l’égalité en question est vérifiée (ça donne 0).
Si pq 6= 0 alors , on sait que ´(X p ) = p(p + 1)X p + p2 X p`1 , ce qui permet de
calculer :
h´(X p ); X q i = p(p + 1)hX p ; X q i + p2 hX p`1 ; X q i
Calculons :
Z
p
0
q
hX ; X i =
t
p+q
»
dt =
`1
tp+q+1
p+q+1
–0
=
`1
(`1)p+q
p+q+1
on en déduit que :
hX p`1 ; X q i =
alors :
h´(X p ); X q i = p(p + 1)
143
(`1)p+q`1
p+q
(`1)p+q
(`1)p+q`1
+ p2
p+q+1
p+q
NOTE :
Arrivés ici certains élèves ont du mal à poursuivre les calculs ou se découragent car ils
croient que cela ne va pas donner le résultat...
Quel est le remède ?
Pour remédier à ces doutes il faut que certaines conditions soient rassemblées dont on
peut citer :
(a) être sûr des passages qui precedent
(b) Il est préférable d’avoir déjà travailler des questions similaires
Je saisi l’occasion pour dire aux élèves de toujours achever les question lors de la
préparation et ne pas dire ; ”ça c’est du calcul” ou ”ça je sais le faire ...” etc...
Il faut apprendre à rédiger même le choses qui apparaissent simples
(c) savoir comment mener les calculs de façon la plus simple possible
Le troisième point se traduit ici par remarquer qu’il s’agit d’une somme de deux
termes et que nous voyons un facteur commun pour ces deux termes à savoir :
(`1)p+q p, ce qui fournit :
«
„
(`1)p+q pq
p
p+1
`
=
h´(X p ); X q i = (`1)p+q p
p+q+1
p+q
(p + q + 1)(p + q)
Nous observons donc que l’expression à droite est symétrique par permutation de
p et q ce qui se traduit par :
h´(X p ); X q i = h´(X q ); X p i
et en raison de la symétrie du produit scalaire on a :
h´(X p ); X q i = hX p ; ´(X q )i
7. On trouve 0 si m 6= n et ... si m = n
On saisi cette occasion pour expliquer ce qui suit :
Soit E un espace euclidien et B = (e1 ; :::; en ) une base quelconque de E. Alors f est
symétrique si et seulement si :
(1)
(8(i; j) 2 [[1; n]]2 )
hf(ei ); ej i = hei ; f(ej )i
on rappelle que f est symétrique si et seulement si
(2)
8x 2 E
hf(x); yi = hx; f(y)i
et il est donc clair que (2) ) (1).
Supposons qu’on a (1) et écrivons :
x=
n
X
xi ei
et
y=
n
X
yi ei
k=1
k=1
alors
hf(x); yi =
n X
n
X
xi yj hf(ei ); ej i
et
i=1 j=1
hx; f(y)i =
n X
n
X
i=1 j=1
Tenant compte du fait qu’on a (1) il en résulte qu’on a (2).
144
xi yj hei ; f(ej )i
22
22.1
EXERCICES EXTRAITS DES CONCOURS AVEC
INDICATION
Algèbre linéaire
Exercice 1
Soit E un K` ev de dimension finie non nulle n et f et g deux endomorphismes
de E tel que g ‹ f = 0 et f + g inversible. Montrer que rg f + rg g = n:
Indications
on a Imf  ker g et le théorème du range donne : rg f + rg g » n
On a Im(f + g)  Imf + Img donc rg (f + g) » dim(Imf + Img) » dim f + dim g
comme f + g est inversible, on a : rg (f + g) = n, donc n » rg f + rg g.
Exercice 2
on considère les matrices de
0
1
0 1 0 1 0
B 1 0 1 0 0 C
B
C
C
A=B
B 0 1 0 0 1 C;I =
@ 1 0 0 0 1 A
0 0 1 1 0
M5 (R) suivantes :
0
1
1 0 0 0 0
B 0 1 0 0 0 C
B
C
B 0 0 1 0 0 C
B
C
@ 0 0 0 1 0 A
0 0 0 0 1
0
et
B
B
J =B
B
@
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C
C
C
C
A
1. Calculer A2
2. Verifier que A2 + A = I + J
3. en déduire que (A ` 2I)(A + 3I)(A2 + A ` I) = O
p
5`1
4. Soit P le polynôme : P = (X ` 2)(X + 3)(X + X ` 1) ; on pose ffi =
.
2
(a) Montrer que si – 2 R est une valeur propre de A alors P (–) = 0
1
(b) En déduire que Sp(A)  f`3; 2; ffi; ` g
ffi
5. Prouver que 2 est la seule valeur propre entière de A. Determiner E2 le
sous-espace propre associé à 2.
2
Indications
1. du calcul à faire soigneusement
2. verification simple
3. on écrit : A2 + A ` I = J et on remarque que J 2 = 5J
4. a) si – est une valeur propre de A alors il existe Y matrice unicolonne à 5 ligne
non nulle tel que AY = –Y
verifier ensuite que : ((A ` 2I)(A + 3I)(A2 + A ` I))Y = P (–)Y et conclure
b) immédiat
5. Prouver directement que det(A + 3I) 6= 0 et det(A + 2I) = 0 :il est conseillé
d’utiliser les operations élémentaires sur les lignes et les colones.
145
22.2
Analyse
Exercice 3
1. Prouver que la fonction f définie par f(x) =
continuité en une fonction de classe C 1 sur R
arctan x
est prolongeable par
x
2. Prouver que f est developable en série entière en 0. Donner son développement en série entière et préciser le rayon de convergence
3. En déduire que f est de classe C 1 sur R et exprimer pour tout n 2 N le
nombre f (n) (0) en fonction de n
Indications
Pour tout calcul de limite il est conseillés de faire des développements limités et
utiliser les équivalents
1. On remarque que f est de classe C 1 sur chacun des intervalles ] ` 1; 0[ et
]0; +1[, donc le problème se pose en 0 seulement. On suit les étapes suivante :
a) Montrer que lim f(x) existe et conclure que f est prolongeable par contix!0
nuité en 0 on note g ce prolongement. On précise la définition de g (on trouvera

g(x) = f(x) si x 6= 0
g(0) = 1
f(x) ` 1
on
b) Montrer que g est derivable en 0, ce qui revient à calculer lim
x!0
x
trouvera 0
c)Calculer f 0 (x) pour x 6= 0
d) prouver que lim g 0 (x) = g 0 (0)
x!0
2. Penser à la dérivée de arctan utiliser le cours ...
3. voir ce que dit le cours, notamment expression des coefficients de la série entière
à l’aide des nombres dérivées nemes en 0
Exercice 4
+1
Z
1. Prouver que l’intégrale
0
sin x
est convergente
x
2. Est elle absolument convergente ? Justifier votre réponse
Indications
1. C’est une question très classique et tout élève est sensé savoir la faire :
sin x
Tout d’abord la fonction u : x 7!
est continue sur ]0; +1[.
x
En 0 pas de problème car u est prolongeable par continuité en 0 à droite
En +1 on a pour tout X > 1 et grâce à une integration par parties :
Z X
Z X
Z X
»
–X
sin x
cos x
cos x
cos X
cos x
dx = `
`
dx = cos 1 `
`
dx
2
x
x
x
X
x2
1
1
1
0
146
˛
˛
˛ cos X ˛
cos X
˛ » 1 . L’intégrale
Lorsque X tends vers +1 on a
tends vers 0 car ˛˛
˛
X
X
X
Z +1
cos t
est absolument convergente donc :
t2
1
X
Z
lim
X!+1
1
sin x
= cos 1 `
x
+1
Z
1
cos x
dx
x2
2. on peut par exemple remarquer que pour tout n 2 N˜ on a :
ı
+2nı
2
Z
0
n Z ı +2kı
˛
˛
X
2
˛ sin t ˛
sin t
˛
˛ dt –
dt
˛ t ˛
t
ı
+2kı
k=0
4
Ensuite remarquer que par le changement de variable t ` 2kı = u on a :
ı
+2kı
2
Z
ı
+2kı
4
et comme
sin t
dt =
t
ı
2
Z
ı
4
sin u
du
u + 2kı
p
»
–
2
ı ı
est la valeur minimale de sin sur le segment
;
on a :
2
4 2
ı
2
Z
ı
4
p Z ı2
sin u
2
du –
u + 2kı
2
ı
4
On a alors :
ı
+2nı
2
Z
0
ı
2
p
1
2
1
du =
4 1 + 4k
+ 2kı
p X
n
˛
˛
˛ sin t ˛
2
1
˛ dt –
˛
˛ t ˛
4
1 + 4k
k=0
Z
ı
+2nı
2
˛
˛
˛ sin t ˛
˛
˛
Comme la série
˛ t ˛ dt tends
0
Z +1 ˛
˛
˛ sin t ˛
˛
˛
vers +1 lorsque n tends vers +1, ce qui prouve la divergence de
˛ t ˛ dt
X
1
est divergente il en résulte que
1 + 4n
0
car si elle convergeait on aurait :
ı
+2nı
2
Z
un =
0
Z +1 ˛
˛
˛
˛
˛ sin t ˛
˛ sin t ˛
˛
˛ dt »
˛
˛
˛ t ˛
˛ t ˛ dt
0
et la suite (un ) serait bornée , ce qui contredit le fait qu’elle tend vers +1
147
23
23.1
LES CLASSIQUES
Intégrales Wallis
Z
ı
2
sinn tdt .
Pour tout n 2 N, on pose Wn =
0
ı
2
Z
1. Verifier que : (8n 2 N)
cosn tdt
Wn =
0
2. Montrer que : (8n 2 N)
croissante.
Wn > 0 et que la suite (Wn )n–0 est strictement dé-
3. A l’aide d’une integration par parties , montrer que : (8n 2 N)
Wn+2 =
n+1
Wn
n+2
4. En déduire que :
(8p 2 N)
8
(2p)! ı
>
>
W2p =
>
>
<
(2p p!)2 2
>
>
>
>
: W2p+1 =
5. Montrer que : (8n 2 N)
Wn Wn+1 =
(2p p!)2
(2p + 1)!
ı
2(n + 1)
Wn+1
n+2
»
»1
n+1
Wn
r
ı
7. Montrer finalement que : Wn ‰
2n
6. Prouver que : (8n 2 N)
23.2
Intégrale de Dirichlet
1. Soit (a; b) 2 R2 tel que a < b et soit g 2 C 1 ([a; b]; R). A l’aide d’une integration
par partie prouver que :
!
Z b
g(t) sin(–t)dt
lim
–!+1
ı
2
Z
2. Determiner
lim
n!+1
=0
a
!
’(t) sin(2n + 1)tdt
0
Z
ı
2
sin(2n + 1)t
dt pour tout n 2 N
t
0
Z x
sin t
4. Vérifier que la fonction F définie par :F (x) =
dt est bien définie sur R˜+ .
t
0
„
«
ı
5. Comparer In et F (2n + 1)
pour tout n 2 N .
2
ı
6. Soit x un réel tel que x – . Justifier l’existence d’un entier naturel nx dépendant
2
de x tel que
ı
ı
ı
(2nx + 1) » x < (2nx + 3) . On notera ¸(x) = (2nx + 1)
2
2
2
3. En déduire la limite
lim In avec In =
n!+1
148
Z
7. Prouver que :
x
lim
x!+1
¸(x)
sin t
dt
t
!
=0
Z
+1
8. En déduire l’intégrale généralisée
0
sin x
dx est convergente et préciser sa
x
valeur ‘.
23.3
Intégrale de Gauss
Z
+1
2
e`x dt
On se propose de calculer l’intégrale
0
1. Montrer que 8x 2] ` 1; +1[
ln(1 + x) » x:
x
x
˜
2. Soit n 2 N : Montrer que 8x 2 [0; n] (1 ` )n » e`x » (1 + )`n :
n
n
Z pn
Z pn
Z pn „
«n
t2
1
2
1`
dt »
e`t dt »
3. En déduire que
“
”n dt:
2
n
0
0
0
1+ t
n
Z
1
1
du existe et vaut W2n`2 :
(1 + u2 )n
0
Z 1
p
ı
2
e`x dx existe et vaut
5. Montrer que
.
2
0
4. Montrer que
23.4
Somme de la série
+1
X
1
n2
n=1
1. Soit (a; b) 2 R2 tel que a < b et soit g 2 C 1 ([a; b]; R). A l’aide d’une integration
par partie prouver que :
!
Z b
g(t) sin(–t)dt
lim
–!+1
=0
a
˜
2. Soit n 2 N . On définit Sn sur [0; ı] par : Sn (t) = 1 + 2
n
X
cos(2kt) Prouver
k=1
sin(2n + 1)t
et calculer Sn (0) et Sn (ı)
sin t
3. Determiner deux réels ¸ et ˛ indépendants de n 2 N˜ tel que :
Z ı
1
˜
8n 2 N
(¸t + ˛t2 ) cos(nt) dt = 2
n
0
que : 8t 2]0; ı[
Sn (t) =
(désormais ¸ et ˛ sont ainsi fixés et prennent leur valeurs trouvées dans cette
question ).
Z ı
n
„ «
X
1
t
2
4. En déduire que : 2
`
(¸t
+
˛t
)S
dt est un réel indépendant de
n
k2
2
0
k=1
n que l’on précisera.
149
¸t + ˛t2
` ´ . Montrer que h se
sin 2t
prolonge par continuité en une fonction de classe C 1 sur [0; ı].
X 1
est convergente et calculer sa
6. Montrer que la suite (Un )n–1 définie par :
k2
5. On définit la fonction h sur ]0; ı] par : h(t) =
n–1
limite en utilisant la question précédente
150
24
24.1
QUESTION RÉPONSES : DES QUESTIONS POSEES PAR MES ELEVES
Question 1
cette question est posée l’année 2010/2011
Question :
Peut on dire que dans l’evn normé (Rd ; jj:jj) , on a : jjujj = jjvjj ) u = v ?
Réponse
Non , par exemple si u 6= 0 alors on a u 6= `u mais jjujj = jj ` ujj. Tous les vecteurs
d’une même sphère de centre 0 ont la même norme
24.2
Question 2
Question :
Je n’ai pas compris ce que veut dire sous-espace propre. Pouvez vous me les expliquer
Réponse
Soit f un endomorphisme de E pour tout réel –, posons E– = fx 2 E=f(x) = –xg
Alors E– est un sous espace vectoriel de E. Si E– 6= f0g on dit que – est une valeur
propre de f.
Si – est une valeur propre de f alors E– défini ci-dessus s’appelle le sous-espace propre
associé à –
24.3
Question 3
Question :
Pourquoi la dimension d’un sous-espace propre associé à une valeur propre – de f.est
» à la multiplicité de – ?
Réponse
Soit – une valeur propre de f et d = dim E– .
Si d = n alors il est claire que f = –IdE et alors fflf = (`1)n (x ` –)n ce qui fourni
— = d.
Si d < n soit C = (u1 ; :::; ud ) une base de E¸ qu’on complète en une base B =
(u1 ; :::; un ) de E. Alors la matrice dans B de f est de la forme :
„
«
–Id U
A=
O V
et d’après la règle des déterminants des matrices par blocs on a :
fflA = (`1)d (X ` –)d fflV
et par suite le polynôme fflA est divisible par (X ` –)d et alors d » —
24.4
Question 4
Question :
On a donné dans la cours que si une matrice carrée A est inversible alors
A`1 =
1
e
A
det A
151
avec
e =t (Com(A))
A
Ayant utilisé cette relation je trouve que
„
??
det(A`1 ) = det
or det(A`1 ) =
«
1
1
e =
e
A
det(A)
det A
det A
1
cela me donne en fin de compte
det A
e =1
det(A)
Or je ne trouve pas ça dans des exemples ! ! ! Comment m’expliquez vous cela
Réponse
Tu as commis une erreur dans le passage ?? ci-dessus car det n’est pas linéaire mais
n` linéaire
Voici la correction :
e = (det A)n`1
det(A)
24.5
Question 5
Question :
A t on la réciproque du test deX
comparaison avec une série de Riemann ? c’est à dire
si une série à termes positifs
un est convergente alors il existe ¸ > 1 tel que
„
«
1
un = o
n¸
Réponse
X
1
non : par exemple un =
on
a
un est convergente mais pour tout
n(ln(n + 2))2
a > 1 on a :
na`1
na un =
(ln(n + 2))2
tends vers +1 lorsque n tends vers +1
24.6
Question 6
Question :
Z
v(x)
Quelle est la dérivée de F (x) =
f(t; x)dt ?
u(x)
Réponse
Pour répondre à cette question essaye de faire l’exercice suivant :
152
Exercice ;
@f
Soient I et J deux intervalles de R et f une fonction continue sur I ˆ J tel que
est
@x
Z v
continue sur I ˆ J . et soit g la fonction définie sur par g(x; u; v) =
f(t; x)dt
u
1. Montrer que g est de classe C 1 sur J ˆ J ˆ I
2. Soit ffi une fonction de classe C 1 sur un ouvert U de R3 et U et V Deux fonctions
de classe C 1 sur un intervalle K de R tel que I ˆ u(K) ˆ v(K)  U . Montrer que
ffi est de classe C 1 sur I et exprimer ffi0 (x) pour tout x 2 I
3. u et v sont deux fonctions de classe C 1 sur I tel que u(I)  J et v(I)  J.
Z v(x)
f(t; x)dt est de classe C 1 sur
Montrer que la fonction F définie par F (x) =
u(x)
I et que :
Z
8x 2 I
0
0
v(x)
0
F (x) = v (x)f(v(x); x) ` u (x)f(u(x); x) +
u(x)
24.7
@f
f(t; x)
@x
Question 7
Question :
Comment construire une base orthonormale de Rn [X] muni du produit scalaire :
hP; Qi =
n
X
P (ak )Q(ak )
k=0
où a0 ; :::; an sont des réels deux à deux distincts donnés
Réponse
soit n 2 N˜ et E = Rn [X] le R`espace vectoriel des polynômes de degré » n.On
considère les nombres réels deux à deux distincts a0 ; :::; an et on munit E du produit
scalaire :
n
X
hP; Qi =
P (ak )Q(ak )
k=0
Vérifier tout d’abord que c’est bien un produit scalaire. On considère le polynôme
˝ = (X ` a0 ):::(X ` an ) =
n
Y
(X ` ak )
k=0
˝
. Alors la famille (˝i )0»i»n est une
(X ` ai )
base orthogonale de E.Pour le démontrer il suffit de montrer que c’est une famille
orthogonale car elle a n + 1 vecteurs non nuls et dim E = n + 1 et on sait que
toute famille orthogonale ne comprenant que des vecteurs non nuls est une famille
libre.Montrons donc que c’est une famille orthogonale.Soit donc (i; j) 2 [[0; n]]2 .
Si i 6= j alors : pour tout k 2 [[0; n]] on a :
› si k 2
= fi; jg alors ˝i (k) = ˝j (k) = 0
et pour tout i 2 [[0; 1]] on pose ˝i =
153
› si k 2 fi; jg alors si k = i on a ˝j (ak ) = 0 et si k = j alors ˝i (k) = 0. Il en résulte
que :
X
h˝i ; ˝j i = ˝i (ai )˝j (ai ) + ˝j (aj )˝j (aj ) +
˝i (ak )˝j (ak ) = 0
0»k»n k2fi;jg
=
Remarque :
Si i = j On a 8k 2 [[0; n]] nfig
˝i (ak ) = 0 et ˝i (ai ) =
Y
(ak ` ai ) 6= 0 de
k2[[0;n]] ; k6=i
˝k
pour tout k 2 [[0; n]] est une famille
˝k (ak )
orthonormale de E La famille (`i ) nous permet entre autre de construire le polynôme
appelé polynôme interpolateur de Lagrange , à savoir :
sorte que la famille (`k )k2[[0;n]] avec `k =
L=
n
Y
bk ` k
k=0
C’est l’unique polynôme de degré n qui vérifie 8k 2 [[0; n]]
est une famille de réels donnée (pas forcément distincts )
Remarquons que :
n
X
˝k (X)
L(X) =
bk
˝k (ak )
L(ak ) = bk où (bk )0»k»n
k=0
24.8
Question 8
Question :
Montrer que la fonction f définie par
f(x) = sh(arcsin x)
est développable en série entière
Réponse
f(x) = sh(arcsin x).la fonction f est derivable sur I =] ` 1; 1[ et 8x 2 I
ch(arcsin x)
,ce qui fournit
p
1 ` x2
p
(8x 2 I)
1 ` x2 f 0 (x) = ch(arcsin x)
f 0 (x) =
et en dérivant une seconde fois on a :
(8x 2 I)
`p
x
f 0 (x) +
p
1 ` x2
1
1 ` x2 f 00 (x) = p
f(x)
1 ` x2
il en résulte que f est une solution de l’équation différentielle :
(E)
(1 ` x2 )y 00 ` xy 0 ` y = 0
sur l’intervalle I
supposons que f est developable en série entière au voisinage de 0. Cela veut dire qu’il
existe R > 0 et une suite (an )n–0 de nombre réels tel que pour tout réel x tel que
jxj < R on aie :
+1
X
f(x) =
an x n
n=0
154
alors :
0
f (x) =
+1
X
nan xn`1
n=1
et
f 00 (x) =
+1
X
n(n ` 1)an xn`2
n=2
Alors : pour tout x 2] ` R; R[ on a :
(1 ` x2 )
+1
X
n(n ` 1)an xn`2 ` x
n=2
+1
X
nan xn`1 `
n=1
+1
X
an x n = 0
n=0
autrement :
+1
X
n(n ` 1)an x
n=2
+1
X
n`2
`
+1
X
n
n(n ` 1)an x `
n=2
(n + 2)(n + 1)an+2 xn `
n=0
+1
X
+1
X
nan x `
n=1
n(n ` 1)an xn `
n=2
n
+1
X
+1
X
an xn = 0
n=0
nan xn `
n=1
+1
X
an x n = 0
n=0
c’est-à-dire :
2a2 ` a0 + (6a3 ` 2a1 )x +
+1
X
((n + 2)(n + 1)an+2 ` (n2 + 1)an )xn = 0
n=2
Par unicité des développements en série entière en 0 , on a alors :
8
a0
>
> a2 =
>
2
>
>
>
>
>
<
1
a3 = a1
3
>
>
>
>
>
>
>
n2 + 1
>
: 8n 2 Nnf0; 1g an+2 =
an
(n + 1)(n + 2)
mais comme nous remarquons que la dernière relation est vérifiée pour n = 0
1 on a alors :
n2 + 1
8n 2 N an+2 =
(n + 1)(n + 2
155
ou
n=
Une astuce :
arrivé à la relation
(1)
+1
X
n
(n + 2)(n + 1)an+2 x `
n=0
+1
X
n
n(n ` 1)an x `
n=2
+1
X
n
nan x `
n=1
+1
X
an x n = 0
n=0
on peut remarquer que :
+1
X
n
n(n ` 1)an x =
n=2
+1
X
n(n ` 1)an xn
n=0
et de même que :
+1
X
n
nan x =
n=1
+1
X
nan xn
n=0
de sorte que (1) s’écrit :
(1)
0
+1
X
n
(n + 2)(n + 1)an+2 x `
n=0
+1
X
n
n(n ` 1)an x `
n=0
+1
X
n
nan x `
n=0
+1
X
an x n = 0
n=0
Ainsi , on est dispensé de la distinction des cas faite ci-dessus car toutes les sommes
commencent par l’indice 0.
Comme la fonction f est impaire nous avons du coup an = 0 si n est pair et comme
a1 = f 0 (0) = 1 on a finalement :
8
>
> a1 = 1
<
>
>
: 8k 2 N˜
a2k+1 =
(2k ` 1)2 + 1
a2k`1
2k(2k + 1)
et
a2k = 0
Nous avons donc pour tout n 2 N˜ :
n
Y
a2k+1
k=1
n
Y
–n
=
a2k`1
n
Y
k=1
2n n!
(2k + 1)
k=1
avec
–n =
n
Y
((2k ` 1)2 + 1)
k=1
et comme a1 = 1 et les a2k+1 sont tous non nuls on a :
a2n+1 =
–n
–n 2n n!
–n
=
=
n
2n n!(2n + 1)!
(2n + 1)!
Y
2n n!
(2k + 1)
k=1
Réciproquement, considérons la série entière :
+1
X
n=0
+1
X
–n
–n
2n+1
x
=x
(x2 )n = xg(x)
(2n + 1)!
(2n + 1)!
n=0
156
où
g(x) =
+1
X
–n
xn
(2n + 1)!
n=0
est une série entière dont les coefficients sont bn =
–n
de sorte que :
(2n + 1)!
bn+1
–n+1
1
=
bn
–n (2n + 2)(2n + 3)
or –n =
n
Y
((2k ` 1)2 + 1) donc
k=1
–n+1
bn+1
4n2
= (2n + 1)2 + 1 ‰ 4n2 donc
‰
‰1
–n
bn
4n2
et par conséquent le rayon de convergence de la série entière g(x) est  = 1. Il en
résulte que la série entière
+1
X
–n
x2n+1
(2n + 1)!
n=0
est de rayons de convergence non nul et que la fonction f est developable en série
entière au voisinage de 0
24.9
Question 9
Question :
Tenant compte des résultats de la question 7 ci-dessus, résoudre sur I =] ` 1; 1[
l’équation différentielle :
(E)
(1 ` x2 )y 00 ` xy 0 ` y = 0
Réponse
On a déjà vue que y1 définie par y1 (x) = sh(arcsin x) est une solution sur l’intervalle
I.
On va chercher une seconde solution y2 de sorte que fy1 ; y2 g est un système fondamental de solutions. On va utiliser la méthode du Wronskien. On rappelle que si y1
et y2 sont solutions de l’equation différentielle :
ay 00 + by 0 + cy = 0
où a; b; c sont des fonctions continues sur I et que a ne s’y annule jamais alors W =
b
y1 y20 ` y10 y2 est solution de l’équation différentielle y 0 = ` y et qu’en outre on a :
a
„ «0
y2
W
= 2
y1
y1
ce qui permet de dire que y2 = y1 Y où Y est une primitive de
W
.
y12
et b(x) = `x donc W est solution de
Concernant notre cas on a a(x) = 1 ` x2
l’équation différentielle :
x
y0 =
y
1 ` x2
¸
donc W (x) = p
où ¸ est une constante réelle. On prends ¸ = 1 car on
1 ` x2
ne cherche qu’une solution particulière. Pour avoir y2 il nous faut une primitive de
157
W (x)
1
= p
2
1 ` x sh2 (arcsin x)
1
Comme coth0 = ` 2 il en résulte que Y (x) = ` coth(arcsin x) est une primitive de
sh
W (x)
et on a donc
y12 (x)
y12 (x)
y2 (x) = y1 (x)Y (x) = ` sh(arcsin x) coth(arcsin x) = ` ch(arcsin x)
Comme l’ensemble des solutions de (E) est un R` espace vectoriel on peut prendre
y2 (x) = ch(arcsin x) et finalement les solutions de (E) sur ] ` 1; 1[ sont
y(x) = – sh(arcsin x) + — ch(arcsin x)
avec (–; —) 2 R2
24.10
Question 10
Question :
Soit A une matrice carrée de taille n – 2 tel que t A = A et A2 = O. Montrer que
A=O
Réponse
Comme t A = A la matrice A est symétrique. En conséquence A est diagonalisable (on
rappelle même que A est diagonalisable dans une base orthonormale mais on n’en a
pas besoin ici). Alors il existe une matrice diagonale D et une matrice inversible P tel
que D = P `1 AP et alors D 2 = P `1 A2 P = O puisque A2 = O par hypothèse. Alors
D 2 = O. Or si D = diag(–1 ; :::; –n ) on a D 2 = diag(–21 ; :::; –2n ) donc –21 = ::: = –2n = 0
et par suite –1 = ::: = –n = 0 et alors D = 0 donc A = P DP `1 = O
24.11
Question 11
Question :
Si deux matrices ont même déterminent sont elles semblables ?
Réponse
Pas forcément ! ! !
On va donner une contre exemple de deux matrices A et B qui ont le même polynôme
caractéristique (donc elles ont même déterminent et même trace) mais elles ne sont
pas semblables 0
1
0
1
1 0 0
1 0 1
En effet soit A = @ 0 1 0 A et B = @ 0 1 0 A
0 0 2
0 0 2
Il est clair que :
fflA = fflB = `(X ` 1)2 (X ` 2)
en effet A est diagonale et B est triangulaire supérieure , les polynômes caractéristiques se calculent facilement. Supposons que A et B sont semblables , alors il existe
une matrice inversible de taille 3 tel que A = P `1 BP ce qui veut dire que B est
diagonalisable ce qui implique que le sous-espace propre associé à la valeur propre 1
de B est de dimension 2 car l’ordre de multiplicité de 1 comme valeur propre de B est
158
0
1
x
2. Or les vecteurs propres de B sont X = @ y A tel que
z
0
10
1
0
1
0 0 1
x
0
@ 0 0 0 A@ y A = @ 0 A
0 0 1
z
0
0
1
0
1
0
0
ce qui donne x = z = 0 d’où X = @ y A = ye2 avec e2 = @ 1 A et par suit E1 est
0
0
la droite vectorielle engendrée par le vecteur e2 . Ce qui finit la démonstration du fait
que A et B ne sont pas semblables quoique elles ont le même polynôme caractéristique
Remarque 1 :
Le sous-espace propre de B associé à le valeur propre 2 est une droite vectorielle car
l’ordre de multiplicité de 2 est égal à 1, mais vous êtes invités à determiner explicitement le sous-espace propre en question.
Remarque 2 :
On peut facilement prouver que si deux matrice trigonalisables A et B ont même
polynôme caractéristique alors elles sont même determinant et même trace.
La question qui s’impose est la suivante ; comment démontrer ce résultat si A et B ne
sont pas forcément trigonalisables ?
Comme réponse on a vu dans le cours que pour toute matrice M 2 Mn (K) on a :
fflM = (`1)n X n + (`1)n`1 Tr(A)X n`1 + ::: + det A
qui est un résultat à connaître et grace auquel on la preuve de :
fflA = fflB ) Tr(A) = Tr(B)
et
det A = det B
Remarque 3 :
Dans le cas d’une matrice carrée d’ordre 2 on a :
fflM = X 2 ` Tr(A)X + det A
En particulier on a :
8(A; B) 2 (M2 (R))2
fflA = fflB , Tr(B)
et
det A = det B
Attention : on n’ a pas l’équivalence pour les matrices carrées de taille – à 3
par exemple si
0
1
0
1
0 0 0
0 0 0
A = @ 0 2 0 A et B = @ 0 0 0 A
0 0 2
0 0 4
on voit bien que
det A = det B = 0
et
Tr(A) = Tr(B) = 4
mais
fflA = `X(X ` 2)2 6= fflB = `X 2 (X ` 4)
159