document de revision de l`ensemble du programme de l`annee

DOCUMENT DE REVISION DE L’ENSEMBLE
DU PROGRAMME DE L’ANNEE
Mohamed Ait Lhoussain
16 janvier 2012
Table des matières
1 PROGRAMME DE SPE TSI 6
1.1 Contenu du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Fonctions d’une variable réelle , Calcul différentiel . . . . . . 6
1.1.2 Algèbre linéaire, Géométrie euclidienne . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Série, Intégrales dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Equations différentielles, Géométrie différentielle . . . . . . . 6
1.2 Horsprogramme............................. 6
2 TOPOLOGIE DE Rd: QUELQUES NOTIONS DE BASE. 8
2.1 FichedeRévision ............................ 8
2.2 Exercices................................. 8
3 FONCTIONS VECTORIELLES 16
3.1 Fichederévision............................. 16
3.1.1 Limites, continuité, dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 Operations............................ 16
3.2 Exercices................................. 16
4 INTÉGRALES 20
4.1 Résuméducours:............................ 20
4.1.1 Intégrales sur un segment [a; b]................. 20
4.1.2 Intégrales sur un intervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.3 Fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.4 1er exemple standard : x7! 1
x¸................. 21
4.1.5 2e exemple standard : x7! e–x ................. 22
4.1.6 3e exemple standard : x7! ln x................. 22
4.2 Fichederévision............................. 22
4.2.1 Méthodes générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.2 Tests (x`a)¸;(b`x)¸et x¸................ 23
4.3 Exercices................................. 24
1

5 ALGÈBRE LINÉAIRE : RAPPELS ET COMPLEMENTS 33
5.1 Revisondecours............................. 33
5.1.1 noyau,image,injectivité,surjectivité, rang . . . . . . . . . . . . 33
5.1.2 Théorèmedurang........................ 33
5.1.3 Conséquences du théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.4 Applications linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.5 Application linéaire canoniquement associée à une matrice . . 33
5.1.6 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.7 Quelques propriétés du rang d’une matrice : . . . . . . . . . . 34
5.1.8 Matrices échelonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1.9 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.10 Matrices de la base canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Exercices................................. 35
6 DETERMINANT 41
6.1 Résumédecours............................. 41
6.1.1 Determinant, cofacteurs, mineurs ,comatrice . . . . . . . . . . 41
6.1.2 Propriétés du determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Fichederévision............................. 42
6.3 Exercices................................. 42
7 REDUCTION DES ENDOMORPHISMES 44
7.1 Résumédecours............................. 44
7.1.1 Valeur propre , vecteur propre, sous-espace propre . . . . . . . 44
7.1.2 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.1.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.1.4 Valeurs propres et polynôme caractéristique . . . . . . . . . . 45
7.1.5 Endomorphisme et matrices digonalisables , trigonalisables . . 45
7.2 Fichederévision............................. 46
7.2.1 Cette matrice est elle diagonalisable ? trigonalisable ? . . . . . 47
7.3 Exercices................................. 47
8 SERIES NUMERIQUES : 50
8.1 Résumédecours............................. 50
8.1.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.1.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.1.3 Séries géométriques et comparaison logarithmique des series à
termes strictement positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.1.4 Séries et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.1.5 Sériesalternées ......................... 52
8.2 Fichederévision............................. 53
8.3 Exercices................................. 58
8.4 Cartes Pour Quelques Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 63
9.1 Résumédecours............................. 63
9.2 Fichederévisions ............................ 64
9.3 EXERCICES MODELES AVEC REPONSE : . . . . . . . . . . . . . 64
2

10 SERIES ENTIERES 72
10.1Résumédecours............................. 72
10.2définitions ................................ 72
10.3Structure................................. 72
10.4Fichederévision............................. 73
10.4.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.4.2 Comportement au bornes de l’intervalle de convergence . . . . 73
10.4.3 Toujours D’Alembert pour determiner le rayon de convergence ? 74
10.4.4 Une mise en garde sur le développement en série entière . . . 74
10.5Exercices ................................ 75
11 INTÉGRALES DEPENDANT D’UN PARAMETRE 78
11.1Résumédecours............................. 78
11.2Exercices................................. 80
12 ESPACES PREHILBERTIENS RELS, ESPACES EUCLIDIENS 83
12.1Résumédecours............................. 83
12.2Fichederévisions ............................ 87
12.3exercices ................................. 92
13 SERIES DE FOURIER 96
13.1Résumédecours............................. 96
13.2Exercices................................. 102
14 EQUATIONS DIFFERENTIELLES 103
14.1Résumédecours............................. 103
14.2Fiche................................... 104
14.3 Système différentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
14.3.1 Equation différentielle linéaire du second ordre avec coefficients
variables ............................ 104
14.4Exercices................................. 109
15 REDUCTION DES QUADRIQUES 111
15.1 Quadrique à centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
15.2Cours:Rappel.............................. 112
15.3 Exemple de réduction d’une forme quadratique . . . . . . . . . . . . . 112
15.4 Un exemple de réduction d’une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
16 INTÉGRALES MULTIPLES 115
16.1Résumédecours............................. 115
16.1.1 Définition de l’intégrale double sur des parties particulières de
R2................................ 115
16.1.2 Propriétés ............................ 116
16.1.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
16.1.4 Intégrale triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
16.2Fichederévisions ............................ 117
16.3Exercices................................. 117
3

17 COURBES PLANES, COURBES DANS l’ESPACE 119
17.1Résumédecours............................. 119
17.1.1 Généralités............................ 119
17.1.2 Local .............................. 119
17.1.3 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
17.1.4 Courbes planes en polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
17.2 Courbes dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
17.2.1 Tangente............................. 120
17.2.2 Courbe tracée sur une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
17.2.3 Courbe intersection de deux surface . . . . . . . . . . . . . . 121
17.3Fichederévisions ............................ 121
17.4Exercices................................. 121
18 ISOMETRIES AFFINES 122
18.1Résumédecours............................. 122
18.2Exercices................................. 124
19 NAPPES PARAMETREES ET SURFACES 125
19.1 Surface, Nappe paramètrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
19.1.1 Surface.............................. 125
19.1.2 Nappe paramètrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
19.2 Surface d’équation z=f(x; y)..................... 126
19.3 Surface d’équation F(x; y; z)=0 .................... 126
19.3.1 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . 126
19.3.2 Conséquence........................... 127
19.3.3 Unexemple ........................... 127
19.4 Des surfaces particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
19.4.1 Cylindre ............................. 128
19.4.2 Exemple............................. 128
19.4.3 Cône............................... 128
19.4.4 Surface de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
20 REVISION SUP 130
20.1Calculintegral.............................. 130
20.2 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
20.2.1 Quelques exemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
20.2.2 Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
20.3polynômes................................ 133
20.3.1 degré............................... 133
20.3.2 multiplicité ........................... 133
20.3.3 Polynôme interpolateur de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 134
20.3.4 Exercices............................. 134
20.4 Produit vectoriel dans R3........................ 136
20.4.1 Determinant dans une base orthonormale directe . . . . . . . . 136
20.4.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
20.4.3 Produitmixte .......................... 137
4

21 REVISION CONCOURS 138
21.1Algèbrelinéaire: ............................ 138
21.1.1 Matrices, rang,noyau,image ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
21.1.2 Réduction des matrices et endomorphismes en dimension finie . 139
21.1.3 Un mot sur les matrices échelonnées : . . . . . . . . . . . . . 140
21.2Préhilbertiens .............................. 141
21.2.1 Orthogonal, projection orthogonale : . . . . . . . . . . . . . . 141
21.3 Forme bilinéaire symétrique , forme quadratique , orthogonalité . . . . 141
22 EXERCICES EXTRAITS DES CONCOURS AVEC INDICATION 145
22.1Algèbrelinéaire ............................. 145
22.2Analyse ................................. 146
23 LES CLASSIQUES 148
23.1IntégralesWallis............................. 148
23.2 Intégrale de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
23.3IntégraledeGauss............................ 149
23.4 Somme de la série
+1
X
n=1
1
n2........................ 149
24 QUESTION RÉPONSES : DES QUESTIONS POSEES PAR MES ELEVES151
24.1Question1................................ 151
24.2Question2................................ 151
24.3Question3................................ 151
24.4Question4................................ 151
24.5Question5................................ 152
24.6Question6................................ 152
24.7Question7................................ 153
24.8Question8................................ 154
24.9Question9................................ 157
24.10Question10 ............................... 158
24.11Question11 ............................... 158
5