Chapitre 5 : Dérivation

Première S
Chapitre 5 : Dérivation
Newton fut, avec Leibniz l’un des deux inventeurs du calcul infinitésimal. La dérivation est un
calcul que l’on fait sur une fonction et qui permet d’obtenir son tableau de variation.
I.
Nombre dérivé et tangente à une courbe
On va commencer à chercher un moyen d’approximer une fonction avec une fonction affine au
voisinage d’un point.
Soient 𝑎 et ℎ deux nombres réels avec ℎ ≠ 0.
On va considérer une fonction 𝑓 définie dans un intervalle contenant 𝑎 ∈ ℝ.
Notons les points de coordonnées 𝐴(𝑎; 𝑓(𝑎)) et 𝑀(𝑎 + ℎ; 𝑓(𝑎 + ℎ)) appartenant à la courbe 𝐶𝑓 .
𝑦 −𝑦
Nous savons que le coefficient directeur de la droite (𝐴𝑀) est égal à 𝑥𝑀 −𝑥 𝐴
𝑀
𝐴
Remarques : On remarque que lorsque le point 𝑀 se rapproche du point 𝐴, c’est-à-dire lorsque ℎ
tend vers 0, notre droite (𝐴𝑀) approxime correctement la fonction au voisinage du point 𝐴.
Définition : Tangente
La tangente à une courbe 𝐶𝑓 en un point 𝐴 est
Remarques : On a réussi à trouver une droite qui approxime correctement notre fonction autour un
point. Ainsi le coefficient directeur de la fonction affine représenté par la tangente donne une
information sur la variation de notre fonction autour du point en question.
Définition : Nombre dérivé
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 contenant 𝑎 ∈ ℝ.
Dire que 𝑓 est dérivable en 𝑎, c’est dire que lorsque ℎ tend vers 0, le taux de variation
tend vers un réel 𝑙, ce que l’on note
Cette limite 𝑙 est appelé le nombre dérivé de 𝑓 en 𝑎. On le note 𝑓′(𝑎).
Remarques :
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
lim
= 𝑙 se lit limite de
quand ℎ tend vers 0.
ℎ
ℎ
ℎ→0
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Première S
Propriété : Equation de la tangente
Soit 𝑓 une fonction dérivable en 𝑎 et 𝐶𝑓 sa courbe représentative.
Soit 𝐴 le point de 𝐶𝑓 d’abscisse 𝑎, c’est-à-dire de coordonnée 𝐴(𝑎; 𝑓(𝑎)).
La tangente à 𝐶𝑓 en 𝐴 est par définition une droite passant par 𝐴 et de coefficient directeur 𝑓′(𝑎).
L’équation de cette tangente est donnée par :
Démonstration :
Remarques 1 : On a réussi à approximer notre fonction au voisinage du point 𝑎. Par conséquent, on
appelle approximation affine de 𝑓 en 𝑎 la fonction 𝑥 ↦ 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎).
Elle permet de dire que tout nombre 𝑥 dans un voisinage de 𝑎 vérifie 𝑓(𝑥) ≈ 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎).
On en verra une application pour approximer racine cubique de 2.
Remarques 2 : Dans le supérieur, vous allez voir une façon d’approximer une fonction à l’aide de
polynôme de degré 𝑛 et ainsi obtenir une manière d’approximer un nombre 𝑥 dans un vosinage de 𝑎
𝑓 ′′ (𝑎)
𝑓 𝑛 (𝑎)
𝑓 𝑘 (𝑎)
par 𝑓(𝑥) ≈ 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 2! (𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ + 𝑛! (𝑥 − 𝑎)𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 𝑘! (𝑥 − 𝑎)𝑘
où 𝑓 𝑘 (𝑎) représente le nombre dérivé 𝑘-ième de 𝑓 en 𝑎 en réappliquant la définition de nombre
dérivé en 𝑎 à 𝑓 𝑘−1 .
Exemple 1 : Montrons que 𝑓 est dérivable en 1 avec 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3 pour tout 𝑥 ∈ ℝ.
Exemple 2 : On a tracé ci-contre la courbe représentative 𝐶𝑓 d’une fonction 𝑓et ses tangentes en
𝐴, 𝐵 𝑒𝑡 𝐶. Lire graphiquement 𝑓 ′ (−2), 𝑓(1) et 𝑓′(3).
Graphiquement, on peut lire que :
.
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Méthodologie :
II.
Fonction dérivée
On va définir la notion de fonction dérivée à partir des notions précédentes.
Définition : Fonction dérivée
Une fonction 𝑓 est dérivable sur un intervalle (ou une réunion d’intervalles) 𝐷 si et seulement si
Si 𝑓 est dérivable sur 𝐷, on appelle fonction dérivée de 𝑓 sur 𝐷 la fonction 𝑓′ définie sur 𝐷 par
Remarque : Dans l’écriture d’une fonction, le nom de la variable n’a pas d’importance, on peut
aussi bien écrire 𝑓 ′ : 𝑎 ↦ 𝑓′(𝑎) que 𝑓 ′ : 𝑡 ↦ 𝑓′(𝑡) ou encore 𝑓 ′ : 𝑥 ↦ 𝑓′(𝑥).
Ce nom est souvent choisi d’après le contexte, comme 𝑡 pour le temps.
Propriété : Formules de dérivation
Fonction 𝒇
𝑓(𝑥) = 𝑘 (constante) sur ℝ
Ensemble de dérivabilité de 𝒇
Dérivée 𝒇′
𝑓(𝑥) = 𝑥 sur ℝ
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 sur ℝ
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 (𝑛 entier, 𝑛 ≥ 1) sur
ℝ
1
𝑓(𝑥) = 𝑥 sur ℝ∗
𝑓(𝑥) = √𝑥 sur ℝ+ = [0; +∞[
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Remarque 1 : La fonction racine carrée est définie en 0 mais elle n’est pas dérivable en 0.
1
1
Remarque 2 : On peut écrire 𝑥 = 𝑥 −1 et √𝑥 = 𝑥 2 . On peut généraliser le tableau précédent avec la
fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑠 où 𝑠 ∈ ℝ pour tout 𝑥 ∈ ℝ∗+ est dérivable sur ℝ∗+ par 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑥 𝑠−1.
Démonstration : On suppose dans tous les cas 𝑎 ∈ 𝐷, 𝑎 + ℎ ∈ 𝐷 et ℎ ≠ 0
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III.
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Dérivées et opérations
Dans toute la suite, 𝐷 désigne un intervalle ou une réunion d’intervalles.
a. Somme et produit par un réel
Propriété : Dérivée de la somme de deux fonctions
Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) avec 𝑢 et 𝑣 deux fonctions dérivables sur 𝐷, alors 𝑓 est dérivable sur 𝐷 avec
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ (𝑥) + 𝑣′(𝑥)
Démonstration :
Exemple : Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 sur ℝ.
Propriété : Dérivée du produit par un réel
Si 𝑓(𝑥) = 𝜆×𝑢(𝑥) avec 𝑢 une fonction dérivable sur 𝐷 et 𝜆 ∈ ℝ, alors 𝑓 est dérivable sur 𝐷 avec
𝑓 ′ (𝑥) = 𝜆×𝑢′(𝑥)
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
Démonstration : Pour tout 𝑎 ∈ 𝐷,
ℎ
=
𝜆×𝑢(𝑎+ℎ)−𝜆×𝑢(𝑎)
ℎ
= 𝜆×
𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)
ℎ
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Exemple : Soit 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 sur ℝ+ .
Propriété : Dérivée d’un polynôme
Une fonction 𝑓 définie sur ℝ est une fonction polynôme si 𝑓(𝑥) peut s’ecrire comme somme de
termes de la forme 𝑘𝑥 𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ et 𝑘 ∈ ℝ une constante.
Toute fonction polynômes sont dérivables sur ℝ.
Démonstration : Simple application des deux propriétés précédentes.
Exemple : Soit 𝑓(𝑥) = −3𝑥 4 + 2𝑥 3 − 5𝑥 + 6 sur ℝ.
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Remarque : 𝑔: 𝑥 ↦ 2√𝑥 et ℎ: 𝑥 ↦ 𝑥 − 3 ne sont pas des fonctions polynômes.
b. Produit, inverse et quotient
Propriété : Dérivée du produit de deux fonctions
Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥)×𝑣(𝑥) avec 𝑢 et 𝑣 deux fonctions dérivables sur 𝐷, alors 𝑓 est dérivable sur 𝐷 avec
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
Démonstration : Pour tout 𝑎 ∈ 𝐷,
ℎ
=
𝑢(𝑎+ℎ)×𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)×𝑣(𝑎)
ℎ
.
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Exemple : Soit 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)√𝑥 sur ℝ+ .
Propriété : Dérivée du quotient de deux fonctions
Si 𝑓(𝑥) =
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
avec 𝑢 et 𝑣 deux fonctions dérivables sur 𝐷 et 𝑣(𝑥) ≠ 0 sur 𝐷,
alors 𝑓 est dérivable sur 𝐷 avec
𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)
𝑣(𝑥)2
1
En particulier si on a 𝑢(𝑥) = 1 pour tout 𝑥 ∈ 𝐷 ainsi 𝑓(𝑥) = 𝑣(𝑥) pour 𝑥 ∈ 𝐷 avec 𝑣(𝑥) ≠ 0.
𝑓 ′ (𝑥) =
𝑓 ′ (𝑥) = −
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
Démonstration : Pour tout 𝑎 ∈ 𝐷,
ℎ
=
1
𝑣(𝑥)2
𝑢(𝑎+ℎ) 𝑢(𝑎)
−
𝑣(𝑎+ℎ) 𝑣(𝑎)
ℎ
=
𝑢(𝑎+ℎ)𝑣(𝑎)−𝑢(𝑎)𝑣(𝑎+ℎ)
ℎ𝑣(𝑎)𝑣(𝑎+ℎ)
..
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Exemple : Soit 𝑓(𝑥) =
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−2𝑥+1
√𝑥−1
.
Propriété : Dérivée d’une fraction rationnelle
Toute fonction de la forme 𝑥 ↦
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
où 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions polynômes s’appellent des
fonctions rationnelles. Elles sont définies pour tout 𝑥 ∈ ℝ telle que 𝑣(𝑥) ≠ 0.
Toute fonction rationnelle est dérivable pour tout 𝑥 ∈ ℝ telle que 𝑣(𝑥) ≠ 0.
Démonstration : Simple application de la propriété précédente.
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