Compléments mathématiques

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APPENDICE
Compléments mathématiques
A.1 Espaces stables supplémentaires
A toute décomposition d’un espace vectoriel en deux sous-espaces supplémentaires,
V = W ⊕ W’, on associe une application  de V dans W qui définit de manière unique la
composante w de la décomposition de tout vecteur v de V suivant v = w + w’ : v = w. 
est appelé le projecteur de V sur W (parallèlement à W’). Il vérifie w = w et w’ = 0.
C’est un endomorphisme de V vérifiant  =  et dont l’image ( Im() : ensemble des
projections de tous les vecteurs de V) et le noyau ( Ker() : ensemble des vecteurs de V de
projection nulle) sont respectivement W et W’. Inversement, un endomorphisme  de V est
un projecteur si =  C’est alors un projecteur sur Im(), parallèlement à Ker().
Soit V un espace stable par un groupe G et W un sous-espace également stable. Soit V
= W ⊕ W’ une décomposition quelconque en deux sous-espaces supplémentaires, associée à
un projecteur . Il est alors possible de définir un autre endomorphisme de V, , qui est un
projecteur sur W, parallèlement à un espace W° également stable par G. Ceci assure
l’existence de la décomposition V = W ⊕ W° où W et W° sont tous les deux stables. Il suffit
pour cela de définir  par :
 = ΓΓ −
R
V
R
1V
R)(
g
1 (A.1,1)
où g est le nombre d’opérations R du groupe.
L’application de  à un vecteur quelconque v de V appartient nécessairement à W. En
effet, v est transformé successivement en un vecteur de V par ΓR
V, puis en un vecteur de W
par le projecteur , puis en un vecteur du même espace W par (ΓR
V)–1(puisque W est stable
par tout R) :
 v ∈ W (A.1,2)
Le même raisonnement permet d’affirmer qu’un vecteur w de W est transformé
successivement en un vecteur de W noté ΓR
Vw par ΓR V, puis en un vecteur identique par le
projecteur  sur W, puis en w par l’application inverse (ΓR
V)–1. Le résultat de l’application
 , définie par (A.1,1), sur w est donc le quotient par g d’une somme de g vecteurs
identiques à w soit :
 w = w (A.1,3)
On en conclut que  est un projecteur sur W, parallèlement à son noyau noté W°. Il
reste alors à montrer que ce noyau est stable par G.
Pour le montrer remarquons que  commute avec toute application ΓS
V associée à
n’importe quelle rotation-réflexion S de G ou, ce qui revient au même, que
(ΓS
V)–1 ΓS V =  (A.1,4)
Ce résultat s’obtient simplement en multipliant l’expression (A.1,1) de  à droite par ΓS
V et
à gauche par son inverse :
(ΓS
V)–1 ΓS V = ΓΓ −
R
V
RS
1V
RS )(
g
1P (A.1,5)
La sommation sur les g opérations R du groupe est strictement identique à la sommation sur
les g opérations RS puisque la liste des opérations {RS} contient les mêmes opérations que
la liste {R} d’après le théorème de réarrangement. Le deuxième membre de (A.1,5) est
donc identique au deuxième membre de (A.1,1), donc à  .
De cette commutation, il résulte que si le vecteur w° vérifie
 w° = 0,
le vecteur ΓR
Vw° vérifie également
 ΓR
V w° = 0,
ce qui prouve que le noyau de  est invariant par toutes les applications ΓR
V.
A.2 Théorèmes d’orthogonalité
A.2.1 Lemme de Schur
Énoncé :
Soit ΓW et ΓW’ deux représentations irréductibles de G. Soit f : W → W’, une application
linéaire de W dans W’ telle que :
f ΓR
W = ΓR W’ f pour tout R ∈ G (A.2,1)
alors, f est
• soit un isomorphisme (Im(f) = W’ et Ker(f) = 0) et cet isomorphisme est une
homothétie : f = λ . Dans ce cas, les deux représentations irréductibles sont
isomorphes
• soit l’application nulle (fw = 0 pour tout w)
Démonstration :
Pour tout w ∈ W on peut écrire, d’après (A.2,1),
ΓR
W’ f w = f ΓR W w
Le transformé par tout R de n’importe quel vecteur de Im(f) appartient donc aussi à Im(f)
qui est donc stable par G. Comme W’ est irréductible, Im(f) est soit nul soit identique à tout
W’
Pour tout w ∈ Ker(f), donc vérifiant f w = 0, on peut aussi écrire :
ΓR
W’ f w = 0 = f ΓR W w

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ce qui prouve que le transformé par tout R de n’importe quel vecteur de Ker(f) appartient
aussi à Ker(f) qui est donc stable par G. Comme W est irréductible, Ker(f) est soit nul soit
identique à tout W.
Il n’existe donc que deux possibilités :
• ou bien f est identiquement nulle et son image est nulle tandis que son noyau couvre
tout W (Im(f) = 0 et Ker(f) = W),
• ou bien f n’est pas identiquement nulle et son image couvre tout W’ tandis que son
noyau est nul (Im(f) = W’ et Ker(f) = 0). C’est alors un isomorphisme
Dans ce dernier cas, cet isomorphisme possède nécessairement une valeur propre non nulle
λ et l’application (f – λ ) possède exactement les mêmes propriétés que f. Comme il existe
un vecteur propre non nul de f vérifiant (f – λ )w = 0, le noyau de (f – λ ) n’est pas nul et
couvre donc tout W : (f – λ )w = 0 pour tout w ∈ W soit f ≡ λ .
A.2.2 Propriété de l’ensemble des éléments matriciels associés à deux
représentations irréductibles
Soit ΓW et ΓW’ deux représentations irréductibles de G et soit x une application
linéaire quelconque x : W → W’ dont la matrice dans les bases {bj}{b’k} a pour éléments
[x]j
k. Considérons l’application linéaire x° définie par :
x° = ΓΓ −
R
W
R
1'W
Rx)(
g
1 (A.2,2)
Une démonstration analogue à celle déjà effectuée paragraphe A.1 (cf. eq A.1,5) permet de
vérifier que x° possède les propriétés de l’application f du lemme de Schur. En multipliant
(A.2,2) à droite par ΓS
W et à gauche par (ΓS W’)–1, on obtient en effet :
(ΓS
W’)–1 x° ΓS W = ΓΓ −
R
W
RS
1'W
RS x)(
g
1= x°
Il en résulte que x° est soit l’application identiquement nulle, soit une homothétie.
Si ΓW et ΓW’ ne sont pas isomorphes, x° est identiquement nulle et est représentée,
dans les bases {bj}, {b’k}, par une matrice dont tous les éléments sont nuls :
ΓΓ −
Rk,j
i
j
W
R
j
k
k1'W
R][]x[])[(
g
1
= 0
soit : 
ΓΓ
−
k,j R
ij W
R
k1'W
R
j
k][])[(]x[ = 0 pour tout (i, )
Ces relations sont vraies quelle que soit l’application x choisie initialement, donc quels que
soient les éléments [x]j
k. Il en résulte que, pour tout (j, k), le crochet apparaissant dans
chaque terme de la somme ci-dessus est nul :
ΓΓ −
R
i
j
W
R
k1'W
R][])[( = 0 pour tout (i, j, k, ) (A.2,3)
Si au contraire, ΓW et ΓW’ sont isomorphes, x° est une homothétie λ dont le
coefficient λ se détermine facilement en évaluant la trace de x° d’après (A.2,2) :
n λ = 
R)x(Tr
g
1= Tr(x) = δ
k,j jk
j
k
]x[
avec n = dim(W) = dim(W’). L’élément [x°]
i s’écrit donc :
ΓΓ=δδ  −
k,j R
ij W
R
k1'W
R
j
k
i
k,j jk
j
k][])[(]x[
g
1
)]x[(
n
1
 pour tout (i, )
Ces relations sont vraies quels que soient [x]j
k. Les coefficients de ces éléments matriciels
sont donc les mêmes dans les sommes des deux membres soit :
ΓΓ −
R
ij W
R
k1'W
R][])[(
g
n
= δi δjk pour tout (i, j, k, ) (A.2,4)
Si les bases {bj}, {b’k} sont choisies orthonormées au sens du produit hermitien qui se
conserve par tout R de G (cf. paragraphe 2.6.2), les matrices [ΓR
W] et [ΓR W’] sont unitaires et
les deux équations (A.2,3) et (A.2,4) s’écrivent :
ΓΓ==
=ΓΓ
satisfaite pasest n' conditions 3 des unel' si0
à isomorphe et jk i, si
n
1
][)]([
g
1W'W
R
ij W
R
*
k
'W
R
 (A.2,5)
Dans l’espace des fonctions sur G muni du produit hermitien défini paragraphe 2.6.3
(eq.2.6,2), le vecteur dont les composantes sont les éléments de rangs (i, j) des g matrices
d’une représentation irréductibles ΓW est orthogonal à tout autre vecteur défini de la même
façon (éléments de rangs (k,l) des g matrices d’une représentation irréductible ΓW’), sauf s’il
s’agit d’une représentation isomorphe à ΓW et des éléments matriciels de mêmes rangs (i, j).
Dans ce cas, le produit hermitien vaut 1/n, où n est la dimension commune à W et W’.
A.2.3 Orthogonalité des caractères
On obtient aisément le produit hermitien des vecteurs caractères de deux
représentations irréductibles ΓW et ΓW’ en particularisant les équations (A.2,3) et (A.2,4) au
cas k = , j = i, et en sommant sur i et  :
(χW’|χW) = 
ΓΓ
ΓΓ=δδ
isomorphes passont ne et si0
à isomorphe si1
n
1
W'W
W'W
,i ii
 (A.2,6)
Ce résultat traduit exactement la propriété des vecteurs caractères de toutes les
représentations irréductibles d’un groupe de former un système orthonormé.
A.2.4 Théorème des projections
En particularisant les équations (A.2,3) et (A.2,4) au cas où  = k et en sommant sur k,
on obtient des équations valables pour tout i et tout j qui peuvent se mettre sous la forme
matricielle suivante :

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ΓΓ
ΓΓ
=Γχ −
RWW’
WW’
W
R
W’
R à isomorphe pasest n’ si 0
à isomorphe est si
dimW
1
g
1
1
 (A.2,7)
Ce résultat permet de montrer que l’opérateur mkWk , défini par l’équation (2.6,11),
est bien un projecteur :
En appliquant cet opérateur à un vecteur v appartenant à un espace irréductible W
non isomorphe à Wk, pour lequel ΓR
V v = ΓR
W v, on obtient, d’après (A.2,7) :
=Γχ=
R
W
R
*
W
R
k
Wm 0)(
g
nk
kk vv 
 (A.2,8)
En appliquant le même opérateur à un vecteur v appartenant à n’importe quel espace
irréductible Wk’ isomorphe à Wk, pour lequel ΓR
V v = ΓR
Wk’ v, on obtient :
==Γχ=
Rk
k
W
R
*
W
R
k
Wm
n
n
)(
g
n’kk
kk vvvv  (A.2,9)
(A.2,8) et (A.2,9) montrent que mkWk est le projecteur de V sur mkWk et qu’il détermine
donc univoquement cet espace.
A.3 Nombre de représentations irréductibles d’un groupe
Le but est d’établir que le nombre de représentations irréductibles non isomorphes
d’un groupe de g opérations est égal au nombre h de classes dans ce groupe.
Le premier théorème d’orthogonalité ( eq. A.2,5) a permis de découvrir, dans l’espace
des fonctions fR sur G, tout un système de vecteurs orthogonaux que l’on peut noter [ΓR
Wi]j
k
où j et k prennent un nombre de valeurs égal à la dimension ni de l’espace irréductible Wi.
Le nombre total de vecteurs de ce système est donc égal à la somme des carrés, Σ
i ni2, où i
prend autant de valeurs qu’il existe de représentations irréductibles distinctes. Ce nombre de
vecteurs orthogonaux dans l’espace des fonctions sur G ne peut être supérieur à la
dimension de l’espace, c’est-à-dire à g puisque tout vecteur est donné par g scalaires fR. On
peut établir que ce nombre de vecteurs orthogonaux est juste égal à g et que ce système de
vecteurs forme donc une base de l’espace.
Dans un deuxième temps, on peut établir que les fonctions sur G qui présentent la
particularité d’attribuer la même valeur aux opérations d’une même classe, appelées
fonctions centrales (cf. § 2.6.2), forment un sous-espace du précédent, de dimension égale
au nombre h de classes, qui peut être engendré par le système orthonormé des vecteurs
caractères (eq. A.2,6).
A.3.1 Représentation régulière
L’espace des fonctions sur G, que l’on notera Vg, peut être utilisé comme espace de
représentation du groupe G. Choisissons pour base les g fonctions eS, repérées par la lettre S
associée à l’une des g opérations du groupe, qui attribuent la valeur nulle à toutes les
opérations R différentes de S et la valeur 1 à S :
eS
R = δSR (A.3,1)
En notant {eS, S ∈ [R1, Rg]} la base choisie, tout vecteur f de Vg s’exprime sous la
forme :
f = 
R
R
R
fe (A.3,2)
L a représentation de G dans Vg, appelée représentation régulière, est définie par :
RSS
V
Rgee =Γ (A.3,3)
Il est facile de vérifier qu’il s’agit bien d’une représentation : S
V
'RR
S'RRS
V
'R
V
Rggg eee Γ==ΓΓ
La colonne S de la matrice g×g associée à l’opération R a tous ses éléments nuls à
l’exception de l’élément de la ligne RS qui vaut 1 :
RS,'S
S'S
V
R][ gδ=Γ (A.3,4)
Cette matrice n’a aucun élément sur la diagonale principale (S’ = S), sauf s’il s’agit de
la matrice associée à l’identité E qui s’identifie à la matrice unité, de trace g. Le caractère
de la représentation régulière est donc un vecteur dont la première composante vaut g et
dont les (g – 1) suivantes sont nulles :
E
V
E,R
V
Rgoug g
ge=δ=χ χ
χχ
χ (A.3,5)
Le théorème d’orthogonalité des caractères permet de déterminer le nombre de
représentations isomorphes à Wi contenues dans la représentation régulière Vg :
(χ
χχ
χWi | χ
χχ
χVg) = g
g
1i
W
E
χ= dim(Wi) = ni (A.3,6)
L’espace de représentation Vg contient toutes les représentations irréductibles
distinctes en nombre égal au degré de ces représentations :
Vg = n1W1 ⊕ … ⊕ niWi ⊕ … (A.3,7)
La dimension g de Vg est donc la somme des dimensions de tous ces espaces soit :
g = 
i
2
i)n( (A.3,8)
La décomposition (A.3,7) permet également d’écrire le caractère χVg de la
représentation régulière sous la forme d’une somme :
χ=δ=χ
i
W
R
iRE
V
Ri
gng (A.3,9)
Cette relation contient (A.3,8) comme cas particulier où R = E. Elle coïncide avec les
relations (2.6,9) établies en supposant connu le nombre total de représentations irréductibles
i distinctes.

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A.3.2 Dimension de l’espace engendré par les vecteurs caractères des
représentations irréductibles
On considère l’espace des fonctions centrales sur G, ϕR, qui forment un sous-espace
Vh de Vg dont la dimension est égale au nombre de classes h. Un vecteur ϕ
ϕϕ
ϕ de cet espace
s’exprime par :
ϕ
ϕϕ
ϕ = 
=
ϕ
h
1j
j
je
où ϕj est la valeur ϕR prise par la fonction ϕ quand R est l’une des opérations de la je classe
et où ej est la somme des vecteurs eR associés à toutes les opérations de cette classe.
Pour montrer que cet espace est engendré par le système des vecteurs caractères χ
χχ
χWi
de toutes les représentations irréductibles du groupe, il suffit de montrer que tout vecteur ϕ
ϕϕ
ϕ
orthogonal à tous les caractères χ
χχ
χWi est nécessairement nul. On considère pour cela
l’application Ai : Wi → Wi définie par :
Ai = Γϕ
R
W
R
Ri (A.3,10)
Il est facile de vérifier que cette application commute avec toute ΓS
Wi associée à une
opération S quelconque de g, ce qui implique, d’après le lemme de Schur, que cette
application est un isomorphisme proportionnel à l’identité : λ . La propriété de
commutation s’établit en multipliant (A.3,10) à droite par ΓS
Wi et à gauche par son inverse :
−
Γϕ=ΓΓ −
R
W
RSS
R
W
S
i
1
W
Si
1
ii A)(
D’après le théorème de réarrangement, sommer sur toutes les opérations R est équivalent à
sommer sur toutes les opérations T = S–1RS dont chacune appartient à la même classe que
R et donne donc à ϕ la même valeur ϕR = ϕT, d’où le résultat prouvant la commutation de
Ai :
i
T
W
T
T
W
S
i
1
W
SAA)( iii =Γϕ=ΓΓ 
−
La détermination de la trace de Ai = λ permet de calculer le coefficient λ :
λ ni = χϕ
R
W
R
Ri= g ((χ
χχ
χWi)*|ϕ
ϕϕ
ϕ)
Toute application Ai définie par (A.3,10) à partir d’une fonction centrale ϕ
orthogonale à tous les vecteurs caractères des représentations irréductibles est donc
identiquement nulle :
Γϕ
R
W
R
Ri= 0
Comme toute représentation est une somme de représentations irréductibles, on peut aussi
écrire, pour toute représentation ΓV :
Γϕ
R
V
RR = 0
Pour en déduire que ϕ
ϕϕ
ϕ est nécessairement un vecteur nul, il suffit par exemple de
particulariser au cas où ΓV est la représentation régulière ΓVg et d’appliquer le résultat au
vecteur de base eE de Vg :
 ϕ=Γϕ
R
R
R
R
E
V
R
Rgee = ϕ
ϕϕ
ϕ = 0
Le système de vecteurs χ
χχ
χWi de l’espace Vh des fonctions centrales engendre donc tout
l’espace Vh et le nombre de ces vecteurs est donc bien égal au nombre h des classes du
groupe.