Compléments mathématiques

On en conclut que est un projecteur sur W, parallèlement à son noyau noté W°. Il
reste alors à montrer que ce noyau est stable par G.
APPENDICE
V
Pour le montrer remarquons que
commute avec toute application ΓS associée à
n’importe quelle rotation-réflexion S de G ou, ce qui revient au même, que
Compléments mathématiques
V –1
(ΓS )
A toute décomposition d’un espace vectoriel en deux sous-espaces supplémentaires,
⊕
W’, on associe une application
de V dans W qui définit de manière unique la
composante w de la décomposition de tout vecteur v de V suivant v = w + w’ : v = w.
est appelé le projecteur de V sur W (parallèlement à W’). Il vérifie w = w et w’ = 0.
C’est un endomorphisme de V vérifiant
=
projections de tous les vecteurs de V) et le noyau ( Ker( ) : ensemble des vecteurs de V de
de V est
V
le vecteur ΓR w° vérifie également
un projecteur si
= C’est alors un projecteur sur Im( ), parallèlement à Ker( ).
Soit V un espace stable par un groupe G et W un sous-espace également stable. Soit V
= W ⊕ W’ une décomposition quelconque en deux sous-espaces supplémentaires, associée à
ce qui prouve que le noyau de
1
(ΓRV ) −1 ΓRV
gR
où g est le nombre d’opérations R du groupe.
(A.1,1)
V –1
par le projecteur , puis en un vecteur du même espace W par (ΓR ) (puisque W est stable
par tout R) :
v∈W
(A.1,2)
Le même raisonnement permet d’affirmer qu’un vecteur w de W est transformé
V
V
successivement en un vecteur de W noté ΓR w par ΓR , puis en un vecteur identique par le
V –1
sur W, puis en w par l’application inverse (ΓR ) . Le résultat de l’application
, définie par (A.1,1), sur w est donc le quotient par g d’une somme de g vecteurs
identiques à w soit :
w=w
V
est invariant par toutes les applications ΓR .
A.2.1 Lemme de Schur
Énoncé :
Soit ΓW et ΓW’ deux représentations irréductibles de G. Soit f : W → W’, une application
linéaire de W dans W’ telle que :
W
W’
pour tout R ∈ G
(A.2,1)
f ΓR = ΓR f
alors, f est
•
soit un isomorphisme (Im(f) = W’ et Ker(f) = 0) et cet isomorphisme est une
homothétie : f = λ . Dans ce cas, les deux représentations irréductibles sont
isomorphes
soit l’application nulle (fw = 0 pour tout w)
•
Démonstration :
Pour tout w ∈ W on peut écrire, d’après (A.2,1),
W’
W
ΓR f w = f ΓR w
Le transformé par tout R de n’importe quel vecteur de Im(f) appartient donc aussi à Im(f)
qui est donc stable par G. Comme W’ est irréductible, Im(f) est soit nul soit identique à tout
W’
Pour tout w ∈ Ker(f), donc vérifiant f w = 0, on peut aussi écrire :
W’
W
ΓR f w = 0 = f ΓR w
L’application de à un vecteur quelconque v de V appartient nécessairement à W. En
V
effet, v est transformé successivement en un vecteur de V par ΓR , puis en un vecteur de W
projecteur
V
A.2 Théorèmes d’orthogonalité
par :
=
w ° = 0,
ΓR w° = 0,
un projecteur . Il est alors possible de définir un autre endomorphisme de V, , qui est un
projecteur sur W, parallèlement à un espace W° également stable par G. Ceci assure
l’existence de la décomposition V = W ⊕ W° où W et W° sont tous les deux stables. Il suffit
pour cela de définir
V
donc identique au deuxième membre de (A.1,1), donc à .
De cette commutation, il résulte que si le vecteur w° vérifie
et dont l’image ( Im( ) : ensemble des
projection nulle) sont respectivement W et W’. Inversement, un endomorphisme
(A.1,4)
Ce résultat s’obtient simplement en multipliant l’expression (A.1,1) de à droite par ΓS et
à gauche par son inverse :
V –1
V
1
V −1
V
(ΓS )
ΓS =
(ΓRS
) P ΓRS
(A.1,5)
gR
La sommation sur les g opérations R du groupe est strictement identique à la sommation sur
les g opérations RS puisque la liste des opérations {RS} contient les mêmes opérations que
la liste {R} d’après le théorème de réarrangement. Le deuxième membre de (A.1,5) est
A.1 Espaces stables supplémentaires
V=W
V
ΓS =
(A.1,3)
32
ce qui prouve que le transformé par tout R de n’importe quel vecteur de Ker(f) appartient
aussi à Ker(f) qui est donc stable par G. Comme W est irréductible, Ker(f) est soit nul soit
identique à tout W.
Il n’existe donc que deux possibilités :
ou bien f est identiquement nulle et son image est nulle tandis que son noyau couvre
•
tout W (Im(f) = 0 et Ker(f) = W),
ou bien f n’est pas identiquement nulle et son image couvre tout W’ tandis que son
•
noyau est nul (Im(f) = W’ et Ker(f) = 0). C’est alors un isomorphisme
Dans ce dernier cas, cet isomorphisme possède nécessairement une valeur propre non nulle
λ et l’application (f – λ ) possède exactement les mêmes propriétés que f. Comme il existe
un vecteur propre non nul de f vérifiant (f – λ )w = 0, le noyau de (f – λ ) n’est pas nul et
couvre donc tout W : (f – λ )w = 0 pour tout w ∈ W soit f ≡ λ .
nλ=
[(ΓRW ') −1 ] k [ΓRW ]ij = 0
R
[ΓRW ]ij
=0
Si au contraire, ΓW et ΓW’ sont isomorphes, x° est une homothétie λ
coefficient λ se détermine facilement en évaluant la trace de x° d’après (A.2,2) :
R
[(ΓRW ') −1 ] k [ΓRW ]ij
pour tout (i, )
A.2.3 Orthogonalité des caractères
On obtient aisément le produit hermitien des vecteurs caractères de deux
représentations irréductibles ΓW et ΓW’ en particularisant les équations (A.2,3) et (A.2,4) au
cas k = , j = i, et en sommant sur i et :
1
δ i δ i = 1 si Γ W isomorphe à Γ W'
(χW’|χW) = n i,
(A.2,6)
0 si Γ W et Γ W'ne sont pas isomorphes
pour tout (i, )
pour tout (i, j, k, )
j,k
[ x ] kj
Dans l’espace des fonctions sur G muni du produit hermitien défini paragraphe 2.6.3
(eq.2.6,2), le vecteur dont les composantes sont les éléments de rangs (i, j) des g matrices
d’une représentation irréductibles ΓW est orthogonal à tout autre vecteur défini de la même
façon (éléments de rangs (k,l) des g matrices d’une représentation irréductible ΓW’), sauf s’il
s’agit d’une représentation isomorphe à ΓW et des éléments matriciels de mêmes rangs (i, j).
Dans ce cas, le produit hermitien vaut 1/n, où n est la dimension commune à W et W’.
Ce résultat traduit exactement la propriété des vecteurs caractères de toutes les
représentations irréductibles d’un groupe de former un système orthonormé.
Ces relations sont vraies quelle que soit l’application x choisie initialement, donc quels que
j
soient les éléments [x]k. Il en résulte que, pour tout (j, k), le crochet apparaissant dans
chaque terme de la somme ci-dessus est nul :
[(ΓRW ') −1 ] k
[ x ] kj δ jk
j
j
R
j,k
Ces relations sont vraies quels que soient [x]k. Les coefficients de ces éléments matriciels
sont donc les mêmes dans les sommes des deux membres soit :
n
[(ΓRW ') −1 ] k [ΓRW ]ij = δi δjk pour tout (i, j, k, ) (A.2,4)
gR
Si les bases {bj}, {b’k} sont choisies orthonormées au sens du produit hermitien qui se
W
W’
conserve par tout R de G (cf. paragraphe 2.6.2), les matrices [ΓR ] et [ΓR ] sont unitaires et
les deux équations (A.2,3) et (A.2,4) s’écrivent :
1
si = i, k = j et Γ W isomorphe à Γ W'
1
([ΓRW '] k ) * [ΓRW ]ij = n
(A.2,5)
gR
0
si l'une des 3 conditions n'est pas satisfaite
[x]k. Considérons l’application linéaire x° définie par :
1
x° =
(A.2,2)
(ΓRW ') −1 x ΓRW
gR
Une démonstration analogue à celle déjà effectuée paragraphe A.1 (cf. eq A.1,5) permet de
vérifier que x° possède les propriétés de l’application f du lemme de Schur. En multipliant
W
W’ –1
(A.2,2) à droite par ΓS et à gauche par (ΓS ) , on obtient en effet :
W’ –1
W
1
W ' −1
W
(ΓS ) x° ΓS =
(ΓRS
) x ΓRS
= x°
gR
Il en résulte que x° est soit l’application identiquement nulle, soit une homothétie.
Si ΓW et ΓW’ ne sont pas isomorphes, x° est identiquement nulle et est représentée,
j
k
dans les bases {b }, {b’ }, par une matrice dont tous les éléments sont nuls :
1
[(ΓRW ') −1 ]k [ x ] kj [ΓRW ]ij = 0
g R j,k
[ x ]kj
Tr ( x ) = Tr(x) =
1
1
( [ x ] j δ jk )δ i =
g
n j,k k
Soit ΓW et ΓW’ deux représentations irréductibles de G et soit x une application
j
k
linéaire quelconque x : W → W’ dont la matrice dans les bases {b }{b’ } a pour éléments
j,k
R
avec n = dim(W) = dim(W’). L’élément [x°]i s’écrit donc :
A.2.2 Propriété de l’ensemble des éléments matriciels associés à deux
représentations irréductibles
soit :
1
g
A.2.4 Théorème des projections
En particularisant les équations (A.2,3) et (A.2,4) au cas où = k et en sommant sur k,
on obtient des équations valables pour tout i et tout j qui peuvent se mettre sous la forme
matricielle suivante :
(A.2,3)
dont le
33
1
g
R
1
si Γ W’est isomorphe à Γ W
χ W’−1 ΓRW = dimW
R
0 si Γ W’ n’ est pas isomorphe à Γ W
L’espace des fonctions sur G, que l’on notera Vg, peut être utilisé comme espace de
représentation du groupe G. Choisissons pour base les g fonctions eS, repérées par la lettre S
associée à l’une des g opérations du groupe, qui attribuent la valeur nulle à toutes les
opérations R différentes de S et la valeur 1 à S :
S
e R = δSR
(A.3,1)
En notant {eS, S ∈ [R1, Rg]} la base choisie, tout vecteur f de Vg s’exprime sous la
forme :
(A.2,7)
m W
Ce résultat permet de montrer que l’opérateur k k , défini par l’équation (2.6,11),
est bien un projecteur :
En appliquant cet opérateur à un vecteur v appartenant à un espace irréductible W
W
non isomorphe à Wk, pour lequel ΓRV v = ΓR v, on obtient, d’après (A.2,7) :
m k Wk
n
Wk * W
v = k (χ R
) ΓR v = 0
g R
f=
mkWk
fReR
(A.3,2)
L a représentation de G dans Vg, appelée représentation régulière, est définie par :
(A.2,8)
V
ΓR g e S = e RS
En appliquant le même opérateur à un vecteur v appartenant à n’importe quel espace
Wk’
V
irréductible Wk’ isomorphe à Wk, pour lequel ΓR v = ΓR v, on obtient :
n
n
W
W
m k Wk
v = k (χ R k ) * ΓR k’ v = k v = v
(A.2,9)
g R
nk
(A.2,8) et (A.2,9) montrent que
donc univoquement cet espace.
R
(A.3,3)
Il est facile de vérifier qu’il s’agit bien d’une représentation :
V Vg S
ΓR g ΓR '
e
V
= e RR 'S = ΓRRg 'e S
La colonne S de la matrice g× g associée à l’opération R a tous ses éléments nuls à
l’exception de l’élément de la ligne RS qui vaut 1 :
V
[ΓR g ]SS'= δ S',RS
est le projecteur de V sur mkWk et qu’il détermine
(A.3,4)
Cette matrice n’a aucun élément sur la diagonale principale (S’ = S), sauf s’il s’agit de
la matrice associée à l’identité E qui s’identifie à la matrice unité, de trace g. Le caractère
de la représentation régulière est donc un vecteur dont la première composante vaut g et
dont les (g – 1) suivantes sont nulles :
A.3 Nombre de représentations irréductibles d’un groupe
V
χ Rg = g δ R ,E
Le but est d’établir que le nombre de représentations irréductibles non isomorphes
d’un groupe de g opérations est égal au nombre h de classes dans ce groupe.
Le premier théorème d’orthogonalité ( eq. A.2,5) a permis de découvrir, dans l’espace
Wi j
des fonctions fR sur G, tout un système de vecteurs orthogonaux que l’on peut noter [ΓR ]k
où j et k prennent un nombre de valeurs égal à la dimension ni de l’espace irréductible Wi.
Le nombre total de vecteurs de ce système est donc égal à la somme des carrés, Σi ni2, où i
prend autant de valeurs qu’il existe de représentations irréductibles distinctes. Ce nombre de
vecteurs orthogonaux dans l’espace des fonctions sur G ne peut être supérieur à la
dimension de l’espace, c’est-à-dire à g puisque tout vecteur est donné par g scalaires fR. On
peut établir que ce nombre de vecteurs orthogonaux est juste égal à g et que ce système de
vecteurs forme donc une base de l’espace.
Dans un deuxième temps, on peut établir que les fonctions sur G qui présentent la
particularité d’attribuer la même valeur aux opérations d’une même classe, appelées
fonctions centrales (cf. § 2.6.2), forment un sous-espace du précédent, de dimension égale
au nombre h de classes, qui peut être engendré par le système orthonormé des vecteurs
caractères (eq. A.2,6).
χ
ou
Vg
= g eE
(A.3,5)
Le théorème d’orthogonalité des caractères permet de déterminer le nombre de
représentations isomorphes à Wi contenues dans la représentation régulière Vg :
1 W
(χ
χWi | χVg) = χ E i g = dim(Wi) = ni
(A.3,6)
g
L’espace de représentation Vg contient toutes les représentations irréductibles
distinctes en nombre égal au degré de ces représentations :
Vg = n1W1 ⊕ … ⊕ niWi ⊕ …
(A.3,7)
La dimension g de Vg est donc la somme des dimensions de tous ces espaces soit :
g=
i
(n i ) 2
(A.3,8)
La décomposition (A.3,7) permet également d’écrire le caractère χVg de la
représentation régulière sous la forme d’une somme :
V
χ Rg = g δ RE =
W
i
niχR i
(A.3,9)
Cette relation contient (A.3,8) comme cas particulier où R = E. Elle coïncide avec les
relations (2.6,9) établies en supposant connu le nombre total de représentations irréductibles
i distinctes.
A.3.1 Représentation régulière
34
A.3.2 Dimension de l’espace engendré par les vecteurs caractères des
représentations irréductibles
R
Pour en déduire que ϕ est nécessairement un vecteur nul, il suffit par exemple de
V
V
particulariser au cas où Γ est la représentation régulière Γ g et d’appliquer le résultat au
E
vecteur de base e de Vg :
On considère l’espace des fonctions centrales sur G, ϕR, qui forment un sous-espace
Vh de Vg dont la dimension est égale au nombre de classes h. Un vecteur ϕ de cet espace
s’exprime par :
h
ϕ=
ϕj e
V
j
R
où ϕj est la valeur ϕR prise par la fonction ϕ quand R est l’une des opérations de la j classe
j
et où e est la somme des vecteurs eR associés à toutes les opérations de cette classe.
Pour montrer que cet espace est engendré par le système des vecteurs caractères χWi
de toutes les représentations irréductibles du groupe, il suffit de montrer que tout vecteur ϕ
orthogonal à tous les caractères χWi est nécessairement nul. On considère pour cela
l’application Ai : Wi → Wi définie par :
W
R
ϕ R ΓR i
(A.3,10)
Wi
Il est facile de vérifier que cette application commute avec toute ΓS associée à une
opération S quelconque de g, ce qui implique, d’après le lemme de Schur, que cette
application est un isomorphisme proportionnel à l’identité : λ . La propriété de
Wi
commutation s’établit en multipliant (A.3,10) à droite par ΓS et à gauche par son inverse :
Wi
W
(ΓS i ) −1 A i ΓS
=
R
ϕR Γ
Wi
S−1RS
D’après le théorème de réarrangement, sommer sur toutes les opérations R est équivalent à
–1
sommer sur toutes les opérations T = S RS dont chacune appartient à la même classe que
R et donne donc à ϕ la même valeur ϕR = ϕT, d’où le résultat prouvant la commutation de
Ai :
(ΓSWi ) −1 A i ΓSWi =
T
ϕ T ΓTWi = A i
La détermination de la trace de Ai = λ permet de calculer le coefficient λ :
λ ni =
W
W
R
ϕ R χ R i = g ((χ i)*|ϕ
ϕ)
Toute application Ai définie par (A.3,10) à partir d’une fonction centrale ϕ
orthogonale à tous les vecteurs caractères des représentations irréductibles est donc
identiquement nulle :
W
R
ϕ R ΓR g e E =
W
R
ϕR e R = ϕ = 0
Le système de vecteurs χ i de l’espace Vh des fonctions centrales engendre donc tout
l’espace Vh et le nombre de ces vecteurs est donc bien égal au nombre h des classes du
groupe.
j=1
e
Ai =
ϕ R ΓRV = 0
ϕ R ΓR i = 0
Comme toute représentation est une somme de représentations irréductibles, on peut aussi
V
écrire, pour toute représentation Γ :
35