Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 95
2Mstand/renf – JtJ 2016
Chapitre 6: Fonctions trigonométriques
Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée, rapports trigo Requis pour: Croissance, Optimisation.
6.1 Quelques rappels
Définitions
Les fonctions trigonométriques sont définies à l’aide du
cercle trigonométrique :
Considérons le point M du cercle trigonométrique corres-
pondant à l’angle α.
Le cosinus de α, noté cos(α), est la 1ère coordonnée (ou abs-
cisse) de M.
Le sinus de α, noté sin(α), est la 2ème coordonnée (ou or-
donnée) de M.
La tangente de α, notée tan(α), est l’ordonnée de T.
Relations fondamentales
(I)
sin2(α)+cos2(α)=1
(II)
tan(α)=sin(α)
cos(α)
Valeurs particulières
degrés radians sin cos tan
0°
30°
45°
60°
90°
180°
Graphes des fonctions trigo

96 CHAPITRE 6
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Périodicité
• La fonction sinus est périodique de période ……
sin(α + …) = sin(…)
• La fonction cosinus est périodique de période ……
cos(α + …) = cos(…)
• La fonction tangente est périodique de période ……
tan(α + …) = tan(…)
a) Esquisser la fonction f(x)=3sin x
2
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
puis préciser sa
période et son amplitude.
Exemple

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b) Esquisser la fonction
f(x)=−1
2cos x+π
()
puis préciser
sa période, son amplitude.
Exemple
Exercice 6.1 :
Esquisser les fonctions suivantes en précisant leur période et
leur amplitude:
a) f(x)=−2cos x
3
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
b) f(x)=sin x+π
2
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
c) f(x)=3cos x
2+π
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
Théorème
Si
f(x)=a⋅sin(bx +c)
ou
f(x)=a⋅cos(bx +c)
,
où a, b et c sont des réels non nuls, alors :
• l’amplitude A vaut : | a |
• la période T vaut :
2π
| b |

98 CHAPITRE 6
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On considère la fonction f définie par f(x)=−3cos x
2+π
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
.
Déterminer l’amplitude A et la période T de f. En déduire
son esquisse
Exemple
Exercice 6.2 :
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sa pé-
riode T et son amplitude A :
a) f(x)=sin x−π
2
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
b)
g(x)=2cos 3x+π
()
c) h(x)=−cos x
2+π 3
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟
d)
i(x)=−2sin 3x−π
()
Retrouver sur le graphe ci-dessous les courbes correspon-
dantes à ces 4 fonctions :

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6.2 Quelques équations trigonométriques
Introduction
Une équation trigonométrique est une équation contenant
des expressions trigonométriques. Il n’existe pas de mé-
thode universelle, mais le cercle trigonométrique sera très
souvent votre allié.
Exemple
Résoudre cos(2x) = -0,9
Exercice 6.3 :
Résoudre les équations suivantes (en degrés):
a)
cos(x)=−1
2
b)
sin(3x)=0,829
c) tan(x)=−0,754 d) cos(−x)=−1, 4 3
e)
tan x
2
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ =5, 33
f)
sin(3x)=−3
2