Chapitre 12 Variables aléatoires discrètes

Notation.
(Ω,F,P)
X, Y
Définition 1 (Variable aléatoire discrète)
X: Ω →E
(i)X(Ω)
(ii)x∈X(Ω) X−1({x})F
X E R
Exercice 1.
1. ΩE n ∈N?
i∈J1, nK6n
a) Xii
b) S
2. n p
(J1, nK,P(J1, nK)) (J1, pK,P(J1, pK))
3. AA
Notations.
A⊂X(Ω) x∈X(Ω)
X−1(A) = {ω∈Ω ; X(ω)∈A}={X∈A}= (X∈A)
X−1({x}) = {ω∈Ω ; X(ω) = x}={X=x}
Définition 2 (Loi)
X Y (Ω,F,P) ( e X, f F,e P)
(i)XPX(E, P(E))
∀x∈E, PX({x}) = P(X=x).
(ii)X Y X ∼Y X(Ω) = Y(e Ω)
x∈EP(X=x) = e P(e Y=x)
(iii)c∈EP(X=c) = 1 X
Notation.
XPXP(E)fX:x7→
P(X=x)E(P(X=x))x∈E
Exercice 2.
1. 6X
0 1 Y0
1X Y

2. S
S
3. A⊂X(Ω) P(X∈A)X
Théorème 1
f:X(Ω) →E f ◦X f(X)
∀y∈f(X(Ω)),Pf(X)({y}) = PX(f−1({y})).
Exercice 3.
X1X21−1
S=X1+X2S|S|S2
Théorème 2 (Admis)
E(px)x∈E
P
x∈E
px= 1 (Ω,F,P)X
X(Ω) = E∀x∈E, P(X=x) = px.
Définition 3 (Loi uniforme)
E={x1, . . . , xn}X E X ∼U(E)
X(Ω) = {x1, . . . , xn}∀i∈J1, nK,P(X=xi) = 1
n.
Exercice 4.
Définition 4 (Loi de Bernoulli)
p∈[0,1] X p X ∼B(p)
X(Ω) = {0,1}P(X= 1) = p= 1 −P(X= 0).
Exercice 5.
Définition 5 (Loi géométrique)
p∈]0,1[ X p X ∼G(p)
X(Ω) = N∗
∀k∈N∗,P(X=k) = p(1 −p)k−1.
Exercice 6. n
p∈]0,1[ n Ann
ω∈ {P, F }N∗T(ω) = inf {n∈N;ω∈An}
inf ∅= +∞n∈N∗P(T=n)P(T= +∞)
Théorème 3 (Absence de mémoire)
XN∗X
∀(n, k)∈N2,P(X > n +k|X > n) = P(X > k).

Définition 6 (Loi binomiale)
p∈[0,1] n∈N?X X ∼B(n, p)
X(Ω) = J0, nK
∀k∈J0, nK,P(X=k) = n
kpk(1 −p)n−k.
Exercice 7.
1.
2. Loi multinomiale. n3 1,2,3
p, q 1−p−q X
1 2 3 n X
m
Définition 7 (Loi de Poisson)
λ∈R?
+X λ X ∼P(λ)
X(Ω) = N
∀k∈N,P(X=k) = λk
k!e−λ.
Théorème 4 (Approximation d’une Poisson par une binomiale)
λ > 0 (pn)n∈N∈[0,1]Nlim
n→+∞npn=λ n Xn
(n, pn)
lim
n→∞ P(Xn=k) = e−λλk
k!.
Définition 8 (Fonction de répartition)
X X
FXx FX(x) = P(X6x)
Exercice 8. X
FX
Propriétés 1
X
(i)FX
(ii) lim
x→+∞FX(x) = 1 lim x→−∞ FX(x) = 0
Exercice 9. FXX
1. FX
2. x∈R\X(Ω) FXx
3. X(Ω) = {xi, i ∈I}I(xi)
i∈IP(X=xi)FX(xi)FX(xi−1)

Notation.
X Y
(Ω,F,P)
Définition 9 (Loi conjointe)
X(Ω) ⊂E Y (Ω) ⊂F(X, Y )
E×F fX,Y : (x, y)7→ P((X=x)∩(Y=y))
Propriété 2 (Marginales)
fX,Y (X, Y ) (X, Y )
fX(x) = X
y
fX,Y (x, y)
fY(y) = X
x
fX,Y (x, y)
Exercice 10.
1. Loi de Benford. D1D2J1,9K×J0,9K
P({D1=d1}∩{D2=d2}) = log10 1 + 1
d2+ 10d1.
a)
(D1, D2)
b) P((D1, D2)∈J1,9K×J0,9K) = 1
2. λ > 0X, Y N
∀(i, j)∈N2,P({X=i}∩{Y=j}) = a(i+j)λi+j
i!j!.
a) (X, Y )
b) a
c) X+Y
3. p∈]0,1[
X Y (X, Y )
X Y
4. (X, Y ) ( e X, e Y)X∼e X Y ∼e Y(X, Y ) ( e X, e Y)
Définition 10 (Loi conditionnelle)
Y X =x fY|X(·|x)x
P(X=x)>0fY|X(·|x) : y7→ P(Y=y|X=x)

Exercice 11. 3. i>1k>2
1. X{Y=k}2. Y−i{X=i}
Propriété 3
x∈X(Ω)
(i)fX,Y =fX|Y·fY
(ii)P(X=x) = P
y∈Y(Ω)
P(Y=y)·P(X=x|Y=y)
Exercice 12. X∼P(λ)Y Y
{X=n}(n, p)Y
Définition 11 (Indépendance)
X Y (x, y)∈X(Ω) ×Y(Ω)
{X=x} {Y=y}
Exercice 13. N λ
N p X
Y X Y
Théorème 5 (Admis)
X Y A ⊂X(Ω)
B⊂Y(Ω)
P({X∈A}∩{Y∈B}) = P(X∈A)P(Y∈B).
Corollaire 6
X Y g X(Ω) h
Y(Ω) g(X)h(Y)
Théorème 7 (Somme de v.a. indépendantes)
X Y
∀n∈N,P(X+Y=n) =
n
X
k=0
P(X=k)P(Y=n−k).
Exercice 14.
1. X∼B(n, p)Y∼B(m, p)X+Y
2. X∼P(λ)Y∼P(µ)X+Y
Définition 12 (Indépendance mutuelle)
(Xi)i∈I(Xi)i∈I
(xi)i∈I({Xi=xi})i∈I