énoncé

Trigo - énoncés feuille d’exercices 2
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! !
situation le plan orienté est muni d’un repère orthonormal direct (O; i ; j ) et C est le cercle trigonométrique de centre O
attendu les valeurs des lignes trigonométriques des réels distincts de 0; ; ; ; ; ; 2 doivent être justi…ées
p
exercice 1
6 4 3 2
p
2+ 6
4
On donne la valeur exacte de cos
par : cos
=
12
12
p 2
1) Développer
2
6 puis en déduire la valeur exacte de sin
12
5
5
13
11
41
2) En déduire la valeur exacte de tan
, sin
, cos
, sin , sin
, cos
, sin
12
12
12
12
12
12
12
p
exercice 2
les outils : ! le signe de cos et le signe de sin
= 1 et donc : 8 2 R , cos2 = 1 sin2 ;8 2 R , sin2 = 1 cos2
3
3
1) a est un réel véri…ant cos a =
et a 2 ;
. Calculer sin a puis en déduire la valeur de tan a
5
2
i
h
i
h
3
2) b est un réel véri…ant sin b = . Calculer cos b dans chacun des cas suivants : 1) b 2
;
; 2) b 2 0;
4
2
2
3
48
exercice 3
est dé…ni par : 2
; 2 et cos2 =
. 1) Que vaut cos ?
2
49
9
2) En déduire la valeur de chacun des réels suivants : sin ; tan ; sin(25 + ) ; cos(
+ ) ; sin( 7
) ; cos(
)
2
2
p
2
3) Résoudre graphiquement : x 2 [0; 2 ] ; sin
sin x
2
! !
exercice 4 Le plan est muni d’un repère (O; i ; j ) orthonormal direct et C : cercle trigonométrique de centre O
! 8 2 R , cos
2
+ sin2
Dans chacun des cas suivants on demande de faire une …gure en représentant sur le cercle C l’ensemble des
points M images des réels x solutions de l’inéquation proposée puis de résoudre graphiquement cette inéquation .
p
p
1
2
er
èm e
1 cas (I1 ) : x 2 [0; 2 [ , cos x
; 2 cas (I2 ) : x 2]
; [ , sin x
; 3èm e cas (I3 ) : x 2 [0; 2 ] ,
3 2 cos x
2
2
exercice 5
les outils : ! 8k 2 Z , cos( + 2k ) = cos
et sin( + 2k ) = sin
; ! 1 tour en
2
: ::::
2
1
=2
! les lignes des mesures
associées à la mesure
( angles associés )
! 8 2 R , cos2
+ sin2
= 1 et donc : 8 2 R , cos2
=1
sin2
;8 2 R , sin2
=1
cos2
Simpli…er au mieux les égalités suivantes :
19
A(x) = cos(x + 19 ) + 2 cos
x + sin(
x) + sin
x
2
2
35
17
7
B(x) = cos
x+
+ 2 sin
x + 3 cos(21
x) + 4 sin
x
2
2
2
33
23
13
C(x) = cos2
+ x + cos2
x + sin2 (x 39 ) + sin2
+ x + cos2
x
2
2
2
2
3
8
10
26
29
11
D = cos2
+ cos2
+ cos2
+ cos2
+ cos2
+ cos2
+ cos2
22
22
22
22
22
22
22
15
8
22
20
7
2
2
2
2
2
E = sin
+ sin
+ sin
+ sin
+ sin
+ sin2
+ sin2
14
14
14
14
14
42
exercice 6
réponse
A(x) =
sin x
B(x) = sin x
cos x
C(x) = 1 + 3 sin2 x
27
14
D=3
13
E=
4
Simpli…er au mieux ce qui suit
17
21
29
35
39
49
+ cos2
sin2
+ sin2
+ cos2
+ sin2
24
24
24
24
24
24
de duplication pour justi…er chacune des deux égalités suivantes :
5
7
11
3
5
sin
sin
sin
= 1 ! cos4
+ cos4
+ cos4
+ cos4
24
24
24
8
8
8
1)
4
a = cos2
sin2
24
2) Utiliser les formules
! 16
sin
24
exercice 7
7
8
=
Résoudre les équations suivantes qui sont de la forme x 2 R ; P (cos x) = 0 ou P (sin x) = 0
p
( E1 ) : x 2 R ; 2 cos x
3 cos x = 0 ; ( E2 ) : x 2 R ; 2 sin2 x + sin x = 0 ; ( E3 ) : x 2 R ; 2 cos2 x + 5 cos x 3 = 0
p
p
p 2
( E4 ) : x 2 R ; 4 sin2 x + 2(1 + 2) sin x + 2 = 0 ( en préalable à la résolution de ( E4 ) : développer (1
2) )
2
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Trigo Feuille d’exos 2 énoncés
3
2
exercice 8
( E1 )
( E2 )
( E3 )
( E4 )
( E5 )
( E6 )
( E7 )
les équations à résoudre
p
: x 2 R ; 2 cos(x + ) = 2
3
: x 2 R ; cos(x + ) = cos(2x + )
6
5
: x 2 R ; sin(x + ) = sin(3x + )
2
4
3
: x 2 R ; sin(2x + ) = cos(x +
)
5
5
3
) + cos(x + ) = 0
: x 2 R ; sin(x +
4
2
: x 2 R ; cos(x + ) = cos(x + )
3
6
3
: x 2 R ; sin(2x + ) = sin(x +
)
5
5
les solutions à trouver
5
13
pour ( E1 ) : x
[2 ] ou x
[2 ]
12
12
11
2
pour ( E2 ) : x
[2 ] ou x
30
90
3
h i
pour ( E3 ) : x
[ ] ou x
8
16 2
2
9
ou x
pour ( E4 ) : x
[2 ]
10 3
10
7
pour ( E5 ) : x
[ ]
8
pour ( E6 ) : x
[ ]
4
4
2
7
pour ( E7 ) : x
ou x
[2 ]
15 3
5
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exercice 9
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Montrer , avec les formules d’addition , que chacune des égalités suivantes est vraie pour tous réels x et y
p
2
3
2
9) sin2 x + sin2 (x + ) + sin2 (x +
)=
cos(x + ) =
(cos x sin x)
3
3
2
4
p2
1 cos 4x
2
2
10)
cos
x
sin
x
=
2
8
sin(x + ) =
(cos x + sin x)
4
2
1
11) (cos x + sin x) 1
sin 2x = cos3 x + sin3 x
cos(x
) = sin x
2
2
12) cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x
cos4 x sin4 x = cos 2x
3 + cos 4x
13) sin 3x = 3 sin x 4 sin3 x
cos4 x + sin4 x =
4
2
4
14) sin 4x = 4 cos3 x sin x 4 cos x sin3 x
cos x + cos(x +
) + cos(x +
)=0
3
3
15) cos(x + y) cos(x y) = cos2 x sin2 y
2
4
sin x + sin(x +
) + sin(x +
)=0
3
3
16) sin(x + y) sin(x y) = sin2 x sin2 y
2
3
2
2
2
cos x + cos (x + ) + cos (x +
)=
17) sin(x + y) cos(x y) + sin(x y) cos(x + y) = sin 2x
3
3
2
exercice 10
1) Justi…er pour tous réels x et y :
1
1-1 cos x cos y = [cos(x + y) + cos(x y)]
2
1
1-2 sin x sin y =
[cos(x + y) cos(x y)]
2
1
1-3 sin x cos y = [sin(x + y) + sin(x y)]
2
exercice 11
2) En déduire pour tous réels a et b :
a+b
a b
2-1 cos a + cos b = 2 cos
cos
2
2
a b
a+b
sin
2-2 cos a cos b = 2 sin
2
2
a+b
a b
2-3 sin a + sin b = 2 sin
cos
2
2
En utilisant les formules de trigo à connaître exprimer chacun des nombres suivants
soit comme un sinus , soit comme un cosinus , soit comme le carré d’un sinus , soit comme le carré d’un cosinus .
5
10
7
5
3
3
1
cos
cos2
1 + cos
a = cos
c = 2 sin
e = sin2
g=
15
24
24
2p
21
p 10
p10
2
2
2
2
3
7
1
7
2 2
2 17
b = 2 cos
1
d = 1 sin
f=
cos
+
sin
h=
sin
cos
24
9
2
5
2
5
2
8
2
8
1
3
exercice 12 1) Calculer cos 2x lorsque : 1-1 on
donne : cos x =
; 1-2 on donne : sin x =
8
4
5
1
>
>
< 2-1 on donne : cos x = p et < x < 2
3
2) Calculer sin 2x dans chacun des deux cas suivants :
3
>
>
: 2-2 on donne : sin x = et
<x<
5
2
2
3) Justi…er : 8x 2 R ; cos 4x = 8 sin4 x 8 sin2 x + 1
exercice 13
1) Reconnaître chacun des réels A et B comme un cosinus puis chacun des réels C et D comme un
p
p
p
p
p
1
3
3
1
3
1
sinus : A = cos x
sin x ; B = 2 cos x + 2 sin x ; C =
cos x
sin x ; D =
sin x
cos x
2
2
2
2
2
2
2) On donne cos et sin ; on demande de reconnaître
p
p
p
p
p
p
p
p
6
2
6+ 2
6
2
6
2
et sin =
2-2 cos =
et sin =
2-1 cos =
4
4p
4
4
1
3) Justi…er : 8x 2 R , sin x cos x = 2 sin(x
) puis résoudre : x 2 R , sin x cos x = p
4
2
p
3 sin x = 1
4) Résoudre : x 2 R , cos x
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exercice 14
Le réel x est tel que : sin x =
p
1) Calculer la valeur numérique de cos 2x et sin 2x
i
h
5 1
et x 2 0;
4
2
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2) Véri…er : cos 4x = sin x puis en déduire la valeur de x
7
7
1) En utilisant les lignes trigonométriques de
et
calculer cos
et sin
3
4
12
12
p
p
p
2) En déduire la résolution de (E5 ) : x 2 R ; 2(sin x cos x)
6(sin x + cos x) = 2 2
exercice 15
1 + cos 2x
1 cos 2x
et sin2 x =
2
2
2) En déduire les valeurs de cos2 et de sin2 puis donner les valeurs exactes de cos et de sin
8
8
p8
p
p 8
3) En déduire la résolution de ( E) : x 2 R ; 3 cos2 x
3 sin2 x + 2 sin x cos x = 2
exercice 16
1) Démontrer que pour tout réel x : cos2 x =
exercice 17
étant un réel quelconque , on lui associe l’équation (E ) : x 2 R ; x2 + 2(cos )x + cos 2 = 0
1) Pour quelles valeurs de
l’équation (E ) admet-elle le réel 0 comme solution ?
2) Pour quelles valeurs de
l’équation (E ) admet-elle le réel 1 comme solution ?
3) Justi…er que l’équation (E ) admet pour toute valeur de
exercice 18
deux solutions ( éventuellement égales )
Les cinq questions suivantes sont indépendantes et font intervenir quatre égalités ou quatre énoncés
qui sont vrais ou faux . Pour chaque question il y a exactement deux égalités vraies ou deux énoncés vrais .
Vous devez donc cocher au plus deux réponses ( les deux égalités que vous jugez correctes ou bien les deux énoncés que
vous jugez corrects) .
est un réel pour lequel les membres
question Q1
des 4 égalités proposées sont dé…nis . Alors :
cos(
21
+ )
2
sin(
2
) + cos(
1 + tan2
1
sin(5 + ) = 0
=
) = 2 cos
1
cos2
cos 4 = 8 sin2
cos2
On note S l’ensemble solution de
p
l’équation (E) : x 2 R , 8 sin3 x + 3 3 = 0 . Alors :
4
et
sont des solutions de (E)
3
3
question Q3
x 2 S entraîne
+x2S
x 2 S entraîne
x2S
x 2 S entraîne
question Q5
x2S
question Q2 x est un réel compris strictement entre
9
3
et
véri…ant : cos2 x =
. Alors :
2
25
4
3
x véri…e cos x =
et sin x =
5
5
7
24
x véri…e sin 2x =
et cos 2x =
25
25
p
2
x véri…e sin x
=
4
10 p
3 4 3
x véri…e cos x +
=
3
10
question Q4
x étant un réel , on donne 4 expressions
de la forme a cos x + b sin x ( a et b réels ) . Alors :
p
5
x
cos x + sin x est égal à 2 sin
4
p
11
cos x
3 sin x est égal à 2 sin x
6
p
11
3 cos x + sin x est égal à 2 cos
+x
6
p
5
cos x sin x est égal à 2 cos x +
4
On examine les éventuelles solutions de 4 équations trigonométriques .
l’équation x 2 R , sin x cos x =
2 n’admet pas de solution
l’équation x 2 R , sin2 x + 2 cos2 x + 1 = 0 n’admet pas de solution
l’équation x 2 R , 3 cos2 x
2
l’équation x 2 R , cos x
5 cos x
2
sin x =
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12 = 0 admet au moins une solution
2 admet au moins une solution
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