Correction Contrôle continu n°1 – Novembre 2005

Université Marc Bloch
MSOC90C – Echantillonnage et estimation
Jacqueline Igersheim, Didier Breton, Virginie Jourdan
Correction Contrôle continu n°1 – Novembre 2005
Exercice 1
Une usine fabrique des barres métalliques de longueur 2m. La longueur d'une barre
donnée n'est jamais exactement 2m. Elle suit une loi normale d'espérance 200
centimètres et d’écart-type 2,5cm.
1) Si je mesure une barre métallique au hasard, calculer la probabilité pour qu’elle
mesure
- moins de 203 cm
- moins de 199 cm
- plus de 198 cm
- entre 199 cm et 203 cm
Donner un intervalle centré dans lequel on a 95% de probabilité de trouver la taille
d’une telle barre.
X = longueur d’une barre métallique
L(X) = N (200 ; 2,5)
L
X
200
= L(X*) = N (0,1)
2,5
203 200
= P (X*<1,2) = 0,8849
2,5
J’ai 88,49 % de probabilité de trouver une barre métallique dont la longueur est inférieure à
203 cm.
P(X < 203) = P X * <
P(X < 199) = P X * <
199 200
= P(X*<-0,4) = 1 – P(X*<-0,4) = 1 – P(X*<0,4) =
2,5
1 - 0,6554 = 0,3446
J’ai 34,46 % de probabilité de trouver une barre métallique dont la longueur est inférieure à
199 cm.
P(X > 198) = P
X* >
198 200
= P(X*>-0,8) = 1- P(X*<-0,8) = 1 - [1 - P(X*<0,8)] =
2,5
P(X*<0,8) = 0,7881
J’ai 78,81 % de probabilité de trouver une barre métallique dont la longueur est supérieure à
198 cm.
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P(199 < X < 203) = P(-0,4 < X* < 1,2) = P(X*<1,2) - P(X*<-0,4) =
P(X*<1,2) – [1-P(X*<0,4)] = 0,8849 – (1-0,6554) = 0,8849 – 0,3446 = 0,5403
J’ai 54,03 % de probabilité de trouver une barre métallique dont la longueur est comprise
entre 199 cm et 203 cm.
On sait que :
P[ µ - 1,96 ×
< X < µ + 1,96 × ] = 0,95
P(200 -1,96 × 2,5 < X < 200 + 1,96 × 2,5) = 0,95
P(195,1 < X < 204,9) = 0,95
95 % des barres métalliques mesurent entre 195,1 cm et 204,9 cm.
2) Sans faire de calcul, quelle est la probabilité de trouver une barre métallique
dont la longueur est comprise entre 197,5 cm et 202,5 cm.
P(197,5 < X < 202,5) = P( µ - < X < µ + ) = P(-1 < X* < 1) = 0,6826
J’ai 68,26 % de chance de trouver une barre métallique dont la longueur s’éloigne d’un écarttype de la moyenne.
Exercice 2
Dans l’année universitaire 2004-2005, 1790 étudiants étaient inscrits à l’UFR des
Sciences Sociales.
483 parmi eux étaient inscrits en première année, soit 27% de la population des
étudiants de l’UFR.
1) En interrogeant un étudiant au hasard dans cette population, quelle variable
aléatoire peut-on mettre en place ?
Je tire au hasard un étudiant inscrit à l’UFR des Sciences sociales.
X = Etre inscrit en 1re année
X1 =
1 si étudiant
de 1re année
0 sin on
L (X1) = B (1 ; 0,27) Loi de Bernouilli
483
= 0,27
1790
q = 1 p = 0,73
p=
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2) En interrogeant un échantillon de 7 étudiants, quelle loi de probabilité suit le nombre
d’étudiants de première année dans un tel échantillon (justifiez votre réponse).
Quelles sont les valeurs prises par cette variable et les probabilités correspondantes
(donner la formule sans effectuer les calculs) ?
Donner l’espérance mathématique et l’écart type de cette loi ?
Sans faire de calculs, donnez les 2 valeurs les plus probables de cette variable aléatoire.
Calculer la probabilité pour que l’on trouve entre 2 et 3 étudiants de première année
dans un tel échantillon ?
On répète cette épreuve 7 fois sans remise : n=7.
n
7
1
=
= 0,004 <
N 1790
10
Taux de sondage petit,
donc, X1, X2, …, X7, sont des variables aléatoires indépendantes.
Taux de sondage =
S7 = X1+ X2 +…+ X7 = nombre d’étudiants inscrits en 1re année parmi 7 étudiants tirés au
hasard.
L (S7) = B (7 ; 0,27) Loi Binomiale
k = 0, 1, …, 7
P[S 7 = k ] = C 7k × 0,27 k × 0,73 7
k
E [S 7 ] = np = 7 × 0,27 = 1,89 étudiant inscrit en 1re année
[S 7 ] =
npq = 7 × 0,27 × 0,73 = 1,17 étudiant inscrit en 1re année
Les deux valeurs les plus probables de cette variable aléatoire sont 1 et 2 étudiant(s) car ce
sont les valeurs les plus proches de l’espérance (1,89 étudiant).
P[S 7 = 2] = C 72 × 0,27 2 × 0,735 = 21 × 0,0729 × 0,2073 = 0,3174
P[S 7 = 3] = C 73 × 0,27 3 × 0,73 4 = 0,1956
P[S 7 = 2] + P[S 7 = 3] = 0,3174 + 0,1956 = 0,513
On a 51,3 % de probabilité de tomber sur 2 ou 3 étudiants inscrits en 1re année dans un
échantillon de 7 étudiants.
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3) En interrogeant un échantillon de 100 personnes, quelle loi de probabilité exacte suit
le nombre d’étudiants de première année dans un tel échantillon. Quelles valeurs peutelle prendre?
Peut-on approcher cette loi par une loi Normale et laquelle ? (justifier votre réponse)
Sans faire de calcul mais en justifiant votre réponse, pensez vous qu’il est probable de
trouver plus de 40 étudiants de première année dans un tel échantillon
n
100
1
=
= 0,056 <
N 1790
10
Taux de sondage petit,
donc, X1, X2, …, X100, sont des variables aléatoires indépendantes.
Taux de sondage =
S100 = X1+ X2 +…+ X100 = nombre d’étudiants inscrits en 1re année parmi 100 étudiants tirés
au hasard.
L (S100) = B (100 ; 0,27) Loi Binomiale
k = 0, 1, …, 100
np = 100 × 0,27 = 27
nq = 100 × 0,73 = 73
L 10
Donc, on peut appliquer le théorème central limite :
L (S100) N (np ; npq ) = N (27 ; 4,44)
Il est pratiquement sûr de ne jamais trouver plus de 40 étudiants dans un tel échantillon car on
s’éloigne trop de l’espérance (de 27 étudiants) en nombre de fois l’écart-type (4,44 étudiants).