PTSI1 – 2016/2017 Lycée La Martinière-Monplaisir – Lyon Devoir maison 15. A rendre le lundi 27 mars 2016 Exercice 1 Un feu bicolore, lorsqu’il est rouge, passe au vert avec la probabilité p et, lorsqu’il est vert, passe au rouge avec la probabilité q (0 < p < 1, 0 < q < 1). On note rn (respectivement vn ) la probabilité que ce feu soit au rouge (respectivement au vert) à l’instant t = n. On suppose que r0 + v0 = 1. ( rn+1 = (1 − p)rn + qvn 1◦ ) Montrer que : ∀n ≥ 0, . vn+1 = prn + (1 − q)vn 2◦ ) En déduire l’existence d’une matrice A que l’on explicitera telle que : rn+1 r ∀n ≥ 0, =A n vn+1 vn ( B + C = I2 3◦ ) Déterminer deux matrices B et C carrées d’ordre 2 telles que : B + (1 − p − q)C = A On explicitera les coefficients de B et C. . 4◦ ) Montrer que B 2 = B, C 2 = C. Calculer BC, CB. 5◦ ) En déduire An pour tout n ≥ 1. On donnera ses coefficients. 6◦ ) Donner alors les expressions de rn et vn en fonction de n, r0 et v0 . 7◦ ) Montrer que les suites (rn ) et (vn ) convergent et donner leurs limites. Exercice 2 Soit N un entier ≥ 2. Un athlète saute successivement par-dessus des barres numérotées de 1 à N . Il s’arrête au premier échec, ou bien lorsqu’il a passé la barre numéro N . Lorsqu’il tente la barre numéro i, il a une chance sur i de réussir. Pour i ∈ {1, . . . , N }, on note l’événement Ai : « l’athlète a franchi la barre numéro i » et l’événement Bi : « la dernière barre réussie par l’athlète est la barre numéro i ». Remarque : Il faut comprendre que, si l’athlète ne franchit pas une barre, il ne franchit pas les suivantes, puisqu’il n’a même pas le droite de les tenter. 1◦ ) Pour i ∈ {1, . . . , N }, calculer P (Ai ). 2◦ ) Démontrer que, pour tout i ∈ {1, . . . , N − 1},P (Bi ) = 3◦ ) Que vaut P (BN ) ? 1 1 − . i! (i + 1)! Exercice 3 Pour tout paramètre k réel, on note fk : x 7→ ex cos(kx). 1◦ ) Déterminer un DL3 (0) de fk . 2◦ ) En déduire l’équation de la tangente T au point d’abscisse 0. 3◦ ) Déterminer les paramètres k tels que la courbe traverse sa tangente T . Illustrez graphiquement. Exercice 4 Déterminer un équivalent en 0 de f : x 7→ xx − (sin x)x . 2