Mathématiques/DM 16-17/DM15 Matrices-probabilités-DL

PTSI1 – 2016/2017 Lycée La Martinière-Monplaisir – Lyon
Devoir maison 15.
A rendre le lundi 27 mars 2016
Exercice 1
Un feu bicolore, lorsqu’il est rouge, passe au vert avec la probabilité pet, lorsqu’il est vert,
passe au rouge avec la probabilité q(0<p<1,0< q < 1).
On note rn(respectivement vn) la probabilité que ce feu soit au rouge (respectivement au vert)
à l’instant t=n.
On suppose que r0+v0= 1.
1◦)Montrer que : ∀n≥0,(rn+1 = (1 −p)rn+qvn
vn+1 =prn+ (1 −q)vn
.
2◦)En déduire l’existence d’une matrice Aque l’on explicitera telle que :
∀n≥0,rn+1
vn+1=Arn vn
3◦)Déterminer deux matrices Bet Ccarrées d’ordre 2telles que : (B+C=I2
B+ (1 −p−q)C=A.
On explicitera les coefficients de Bet C.
4◦)Montrer que B2=B, C2=C. Calculer BC, CB.
5◦)En déduire Anpour tout n≥1. On donnera ses coefficients.
6◦)Donner alors les expressions de rnet vnen fonction de n,r0et v0.
7◦)Montrer que les suites (rn)et (vn)convergent et donner leurs limites.
Exercice 2
Soit Nun entier ≥2.
Un athlète saute successivement par-dessus des barres numérotées de 1àN. Il s’arrête au
premier échec, ou bien lorsqu’il a passé la barre numéro N.
Lorsqu’il tente la barre numéro i, il a une chance sur ide réussir.
Pour i∈ {1, . . . , N}, on note l’événement Ai:« l’athlète a franchi la barre numéro i» et
l’événement Bi: « la dernière barre réussie par l’athlète est la barre numéro i».
Remarque : Il faut comprendre que, si l’athlète ne franchit pas une barre, il ne franchit pas les
suivantes, puisqu’il n’a même pas le droite de les tenter.
1◦)Pour i∈ {1, . . . , N}, calculer P(Ai).
2◦)Démontrer que, pour tout i∈ {1, . . . , N −1},P(Bi) = 1
i!−1 (i+ 1)!.
3◦)Que vaut P(BN)?

Exercice 3
Pour tout paramètre kréel, on note fk:x7→ excos(kx).
1◦)Déterminer un DL3(0) de fk.
2◦)En déduire l’équation de la tangente Tau point d’abscisse 0.
3◦)Déterminer les paramètres ktels que la courbe traverse sa tangente T. Illustrez graphi-
quement.
Exercice 4
Déterminer un équivalent en 0de f:x7→ xx−(sin x)x.
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