Cinématique V – Torseur cinématique - p.1 TORSEUR CINEMATIQUE I – Rappel : le torseur cinématique 1. Composantes vectorielles du torseur cinématique Dans le chapitre II cinématique du solide – mouvements simples nous avons mis en évidence que le mouvement quelconque d'un solide S dans un repère R, est composé de deux éléments : la rotation et la translation. Un champ de vecteurs uniforme caractérise la vitesse globale de rotation du solide, et un champ de vecteurs équiprojectif, représente les vitesses linéaires des points du solide. La conséquence de l'équiprojectivité du champ des vecteurs vitesse, est que ce champ de vecteurs est aussi le champ de moment d'un torseur le torseur cinématique. Il nous reste à démontrer ce qui a été admis jusque là, que la résultante de ce torseur est bien le vecteur vitesse angulaire. 2. Relation fondamentale des moments Soit un solide S animé d'un mouvement quelconque par rapport à un repère R0. Soit un repère R, lié à S d'origine OS. y0 x y M OS x0 O z0 z 2.1. Expression générale du vecteur vitesse d'un point Déterminons l'expression de la vitesse absolue d'un point M de ce solide, il faut pour cela utiliser la dérivation composée : Cinématique V – Torseur cinématique - p.2 2.2. Relation entre deux vecteurs vitesse Soit N, un second point du solide S. Ecrivons la relation définie ci-dessus au point N : V(N, S / R0 ) = V(OS / R0 ) + Ω(R / R0 ) ∧ OSN V(N, S / R0 ) = V(OS / R0 ) + Ω(R / R0 ) ∧ (OSM + MN) V(N, S / R0 ) = V(OS / R0 ) + Ω(R / R0 ) ∧ OSM + Ω(R / R0 ) ∧ MN V(N, S / R0 ) = V(M, S / R0 ) + Ω(R / R0 ) ∧ MN On reconnaît la relation fondamentale des moments du torseur cinématique, avec pour résultante le vecteur vitesse angulaire du solide S dans R0. avec : 3. Composantes scalaires du torseur cinématique Comme tout torseur, le torseur cinématique a six composantes scalaires dans un repère donné R. Les notations utilisées pour ces composantes sont les suivantes : p, q, r , composantes du vecteur vitesse angulaire ; u, v, w, composantes du vecteur vitesse linéaire ; {V(S / R)}A p u =q v r w A,R Dans une chaîne de solides, avant analyse cinématique, on peut définir le torseur cinématique de chaque liaison. Les composantes du torseur d'une liaison cinématique sont inconnues a priori. Ce sont les inconnues cinématiques de la liaison. II - Caractéristiques du torseur cinématique 1. Invariants d'un torseur R . On appelle "Invariant" d'un torseur, une quantité qui MA A Soit le torseur défini par {T}A = reste constante quel que soit le point d'expression considéré. # La résultante est un invariant vectoriel, par définition ; # IS = MA ⋅ R = MB ⋅ R = C ste : le produit scalaire des deux éléments de réduction d'un torseur est un invariant scalaire. La projection du vecteur moment sur la résultante est constante. 2. Axe central d'un torseur L'axe central d'un torseur est la droite ∆ telle que quel que soit I ∈ ∆, la résultante, et le vecteur moment en I du torseur sont colinéaires. Soit I ∈ ∆, MI = λ R. λ est le pas du torseur, homogène à une longueur. Cinématique V – Torseur cinématique - p.3 La détermination de l'axe central d'un torseur dans le cas général sera vue en statique. Considérons le torseur cinématique du mouvement du solide S en mouvement par rapport à un Ω(S / R) V( A, S / R)A repère R : {VS / R ) }A = Soit Q un point de l'axe central du torseur cinématique du mouvement de S alors : λ pas du torseur Soit Q0 point de l'axe central, projeté orthogonal de A sur ∆ : λ= Ω(S / R) . V( A, S / R) 2 Ω(S / R) = IS 2 Ω(S / R) AQo = Ω(S / R) ∧ V( A, S / R) Ω(S / R) 2 L'axe central est parallèle au vecteur résultante. Il est appelé "axe instantané de rotation et de glissement". 3. "Image" du torseur cinématique 4. Axoïdes d'un mouvement On considère toujours S un solide en mouvement par rapport à un repère R. Les surfaces générées par ∆ dans les repères respectivement liés à S et à R sont les axoïdes du mouvement. Les deux surfaces axoïdes sont tangentes suivant ∆. Leur mouvement relatif est une rotation instantanée d'axe ∆ combinée à un glissement instantané suivant ∆. Les axoïdes sont pour un mouvement spatial ce que sont la base et la roulante pour un mouvement plan. Cinématique V – Torseur cinématique - p.4 Exemple : un cylindre C roule sans glisser sur un plan incliné P. En I, et sur tout point de la génératrice de contact, V(I,S/R) = 0. Ainsi l'axe central du torseur cinématique est D, dirigé par la génératrice de contact. Dans ce cas particulier, il s'agit d'un axe instantané de roulement. Les axoïdes sont : le plan P, et le cylindre C. P ∆ C Torseur cinématique exprimé en I : I III – Torseurs cinématiques des mouvements particuliers 1. Mouvement de translation Dans le cas du solide en translation, tous les points ont même vitesse linéaire, il n'est alors plus indispensable de préciser le centre d'expression du torseur. Il s'agit d'un torseur "moment pur", tout point de l'espace est central. 2. Mouvement de rotation Dans le cas du solide en rotation, tous les points de l'axe de rotation ont une vitesse linéaire nulle. Ainsi lorsque le centre d'expression du torseur cinématique est pris sur l'axe de rotation, le torseur s'écrit : avec O, point de l'axe de rotation (ou centre…) L'axe central est l'axe de rotation qui est alors permanent dans le cas d'une rotation d'axe fixe, ou qui possède un point fixe (l'axe de rotation est alors de direction variable). 3. Mouvement hélicoïdal Dans le cas du solide en mouvement hélicoïdal, l'axe de l'hélice est l'axe central permanent, et le pas réduit de l'hélice donne la relation entre le moment et la résultante cinématique. avec : V(O, S / R) = ± pr Ω(S/R) , pr pas réduit : pr = Remarque : le pas réduit de l'hélice est le pas du torseur. p . 2π Cinématique V – Torseur cinématique - p.5 IV – Composition des torseurs cinématiques 1. Composition cinématique Soit un solide S en mouvement par rapport à un repère R lui-même en mouvement dans un repère R0. Soit M un point de ce solide. Nous avons vu dans le chapitre "Composition de mouvements" que : et Ceci s'écrit de manière évidente sous forme de composition de torseurs cinématiques : {V(S/R0)}M = {V(S/R)}M + {V(R/R0)}M 2. Application aux chaînes de solides ouvertes : liaison équivalente 2.1. Présentation : soient 1, 2 et 3, solides en liaison. (1) (2) L12 (3) L23 La composition de mouvements s'écrit : {V(3 / 1)}A = {V(3 / 2)}A + {V(2 / 1)}A 2.2. Liaison équivalente En considérant n solides en chaîne ouverte, la liaison équivalente Léqu s'obtient en faisant la somme des torseurs cinématiques des liaisons successives Li : n −1 {V(L )} = {V(n / 1)} = ∑ [{V(L )} ] équ A A i i =1 A 2.3. Mobilités de la liaison équivalente Chaque liaison Li possède Nci inconnues de liaison. La mobilité cinématique d'une liaison est le nombre de ces inconnues (cela correspond au nombre de degrés de liberté). Alors la mobilité cinématique de la liaison équivalente est la somme des inconnues cinématiques de chaque liaison, on obtient le nombre d'inconnues cinématiques de la liaison équivalente : n −1 mC = ∑ NCi = NC i =1 2.4. Mobilités utiles mobilités internes Lorsque dans une chaîne de solides, un solide peut se déplacer indépendamment des autres solides, son ou ses mouvements indépendants constituent des mobilités internes mi à la chaîne de solides, en opposition aux mobilités utiles mu. On note alors : mC = m u + mi Cinématique V – Torseur cinématique - p.6 2.5. Exemple : ouvre barrière SINSUMATIC Le système d'ouvre-barrière étudié est présenté sur le plan de la page suivante. Destiné à l'ouverture de barrières, il utilise un système de transformation de mouvement que nous allons partiellement étudier. Le mouvement de rotation de l'arbre AS (sortie d'un moto-réducteur), conduit à un mouvement alternatif de rotation, d'amplitude 90°. Cette rotation correspond à l'ouverture ou à la fermeture de la barrière. # Le schéma cinématique du système de transformation de mouvement est donné ci-contre. Les différentes liaisons du mécanisme sont : Liaison 7/1 : liaison pivot d'axe Ax ; Liaison 7/6 : liaison rotule de centre B ; Liaison 3/6 : liaison pivot glissant d'axe Bu ; Liaison 3/2 : liaison pivot d'axe Cy2 ; Liaison 2/1 : liaison pivot d'axe Cz ; # Torseurs des différentes liaisons Considérons les pièces 3, 6 et 7 : (7) Rotule de centre B : (3) Pivot glissant d'axe Bu Pivot glissant d'axe B : {V(6 / 7)}A # Liaison équivalente : {V(3 / 7)}A (6) Rotule de centre B p67 0 = q67 0 r 0 rrr 67 (B,u,v,y 2 ) {V(3 / 6)}A p36 u36 = 0 0 0 0 {V(3 / 7)}B = {V(3 / 2)}B + {V(6 / 7)}B p36 u36 = 0 0 0 0 p67 0 p36 + p 67 u36 + q67 0 = q67 0 rrr r 0 rrr r67 0 (B,u,v,y 2 ) 67 (B,u,v,y 2 ) Conclusion : # La liaison équivalente est une liaison sphère cylindre d'axe Bu. # Analyse des mobilités : m = NC,L76 + NC,L76 = 3 + 2 = 5 mobilités utiles : mu = 4 ce sont les mobilités de la liaison équivalente ; mobilités internes : mi = 1 c'est la rotation propre de la rotule 6. rrr (B,u,v,y 2 ) rrr (B,u,v,y 2 ) Cinématique V – Torseur cinématique - p.7 Cinématique V – Torseur cinématique - p.8 3. Application aux chaînes de solides fermées : fermeture cinématique 3.1. Fermeture cinématique (cas d'un cycle) Dans le cas d'une chaîne de solides fermée, on peut établir la fermeture cinématique. La fermeture géométrique vue précédemment consiste à écrire une équation géométrique vectorielle, la fermeture cinématique consiste à écrire une équation "torsorielle" traduisant la composition des mouvements. (1) Soient 1, 2 et 3, solides en liaison, formant un cycle. {V(1/ 2)}A + {V(2 / 3)}A + {V(3 / 1)}A = {0} L13 L12 La fermeture cinématique conduit à l'écriture de 2 équations vectorielles ou encore 6 équations sclalaires dans un repère donné. (3) (2) L23 3.2. Mobilités et hyperstatisme # Soit NC, le nombre d'inconnues cinématiques : NC = Σ(NCi) somme des inconnues de liaison des différentes liaisons du cycle. # Soit mC l'indice de mobilité du mécanisme : il se décompose entre les mobilités utiles et les mobilités internes. mC = m u + mi # Le système de 6 équations scalaires est de rang rC. Le rang d'un système d'équations est le nombre d'équations linéairement indépendantes. C'est aussi le nombre d'inconnues cinématiques qui pourront être exprimées lors d'une résolution du système. Alors les relations de mobilités et d'hyperstatisme s'écrivent : m C = NC – rC (avec rc ≤ 6 ) h = 6 – NC + mC # Degré d'yperstatisme : il correspond au nombre de degrés de liberté supprimés en trop dans la chaîne cinématique. Concrètement il se traduira par des difficultés ou une impossibilité de montage, des contraintes de précision dans la réalisation des surfaces des liaisons (coût plus élevé). Dans certains dispositifs il apporte plus de rigidité et de précision, ce qui améliore les performances d'une chaîne de solides. 3.3. Exemple : motorisation d'un axe de système asservi On considère un axe de commande asservi dont la chaîne cinématique est représentée sur le schéma ci-après. L'ensemble est constitué d'un moteur à courant continu qui entraîne la vis 1. Le chariot 2 en liaison glissière avec le bâti se déplace alors en translation. Vis 1 : vis de pas p, filetage à droite. Cinématique V – Torseur cinématique - p.9 A B y 2 1 0 z x C Ecriture des torseurs : Graphe des liaisons : (2) Glissière De direction x {V(2 / 1)}A p21 u21 p = 0 0 avec u21 = p21 0 0 2 π ( A,R ) {V(2 / 0)}A 0 u20 =0 0 0 0 Hélicoïdale d'axe Ax (1) (0) {V(1/ 0)}A p10 0 = 0 0 0 0 ( A,R ) Pivot d'axe Ax ( A ,R ) Remarque : c'est un cas particulier où les torseurs sont déjà tous écrits au même point. La fermeture cinématique s'écrit au point A : {V(2 / 1)}A + {V(1/ 0)}A + {V(0 / 2)}A = {0} # Equations : p21 + p10 = 0 0 + 0 = 0 0 + 0 = 0 u21 − u20 = 0 0 + 0 = 0 0 + 0 = 0 # Analyse cinématique : Inconnues cinématique : NC = 3 ; Mobilités : m = mu + mi = 1 + 0 = 1 ; Hyperstatisme : h = 6 – 3 + 1 = 4 Analyse de l'hyperstatisme : - la rotation de la vis autour de y et z est supprimée deux fois (glissière et pivot) soit deux degrés de liberté supprimés en trop (Ry et Rz) - la translation de la vis suivant y et z est supprimée deux fois (glissière et pivot) soit deux degrés de liberté supprimés en trop (Ty et Tz) Cinématique V – Torseur cinématique - p.10 p p p21 = − p10 C'est la relation entre la vitesse de translation 2π 2 π # Résolution : u20 = u21 = de l'axe, et la vitesse de rotation de la vis. 3.4. Cas des chaînes de solides à plusieurs cycles Rappel : nombre cyclomatique Soient : L : nombre total de liaisons NCL : nombre de classes d'équivalence n : nombre de "solides actifs". Alors : γ = L − NCL + 1 = L − n Les relations de mobilités et d'hyperstatisme deviennent : m C = NC – rC (avec rc ≤ 6 × γ ) h = 6 γ – NC + mC Cinématique V – Torseur cinématique - p.11 EXERCICES D'APPLICATION Ex. 1 – Treuil d'hélicoptère de secours en montagne Présentation Le treuil étudié équipe les hélicoptères de secours en montagne. Le mécanisme intègre un moteur électrique, un frein de sécurité, un dispositif de roue libre, et un réducteur d'entraînement. Le réducteur comporte trois étages de réduction, un premier étage avec deux engrenages à axes fixes, et deux trains épicycloïdaux successifs. On propose de déterminer le rapport de réduction par une analyse cinématique, dans un premier temps graphiquement, puis analytiquement. 1. Analyse graphique des trains épicycloïdaux Le premier train d'engrenage n'est pas pris en compte. On cherche donc le rapport de réduction entre 1 et 4'. D'autre part, on considère la situation pour laquelle 4 et 1' sont cinématiquement liés. L'étude graphique sera réalisée sur la figure réponse. Les différents points sont repérés sur les figures proposées question 2.. # Représenter V(I,1 / 0) ; prendre arbitrairement un vecteur de longueur 15 cm. # Identifier le CIR du satellite 2, et représenter le champ des vecteurs vitesse de ce satellite. Cinématique V – Torseur cinématique - p.12 # Représenter V(O 2 ,2 / 0) # Représenter le champ des vecteurs vitesse du porte-satellites 4. En déduire le vecteur vitesse V(J,1' / 0) . # Par une analyse similaire, déterminer graphiquement le champ des vecteurs vitesse du porte satellites 4'. # Conclure en déterminant le rapport des vitesse ρ = ω4 ' 0 . ω10 2. Etude analytique 2.1 Etude du premier étage L'arbre d'entrée est l'arbre moteur a ; il tourne, par rapport au bâti, à la vitesse ωa. L'arbre de sortie est l'arbre d ; il tourne par rapport au bâti à la vitesse ωd. L'arbre intermédiaire i tourne par rapport au bâti, à la vitesse ωi. On note le rayon primitif de chacun des pignons ra, rb, rc, rd. ra=10mm ; rb=20mm ; rc=10mm ; rd=20mm # Déterminer littéralement le rapport de réduction R1=ωd/ωa de ce premier étage en fonction des rayons primitifs des pignons. Application numérique : calculer R1. 2.2 Etude du deuxième étage L'arbre d'entrée de cet étage est l'arbre 1 et l'arbre de sortie est 4. Tous les éléments sont numérotés sur le schéma. On note le rayon primitif de chacun des pignons r1, r2, r3. La mesure algébrique de la vitesse de rotation de la pièce i par rapport au bâti 0 est notée ωi, et la mesure algébrique de la vitesse de rotation de la pièce i par rapport à la pièce j est notée ωij. R(O1, x, y, z) est un repère orthonormé direct lié au bâti. tel que l'axe (O1, z) est l'axe des liaisons pivots des arbres 1 et 4 par rapport au bâti 0. a. Ecrire le torseur cinématique en O1 du pignon 1 par rapport à l'arbre 4. b. Ecrire le torseur cinématique en O2 du pignon 2 par rapport à l'arbre 4. c. I désignant le point de contact des pignons 1 et 2 sur les cercles primitifs. écrire la condition de non glissement en I des pignons 1 et 2 en fonction de ω14, ω24 et des rayons r1 et r2. Cinématique V – Torseur cinématique - p.13 d. De même, J désignant le point de contact des cercles primitifs du pignon 2 et de la couronne 3, écrire la condition de non glissement en J du pignon 2 et de la couronne 3 en fonction de ω24, ω34, et des rayons r2 et r3. e. En déduire la "raison basique" du deuxième étage : λ = ω14/ω34. f. Sachant que ω3 = 0 (couronne 3 liée au bâti) exprimer le rapport ω4/ω1 en fonction de λ. g. En déduire le rapport de réduction R2 = ω4/ω1, du deuxième étage en fonction des différents rayons. h. Application numérique: calculer R2, avec les données numériques suivantes : r1 = 8 mm ; r2 = 16 mm ; r3 = 40 mm 2.3 Etude simplifiée du troisième étage Le troisième étage peut être schématisé, pour simplifier, de la même manière que le deuxième étage. a. Exprimer la raison basique λ' = ω1'4'/ω3'4' de cet étage et le rapport de réduction R3 = ω4'/ω1' en fonction des rayons primitifs des différents pignons : r1', r2' et r3'. b. Calculer la valeur numérique de λ' et de R3 avec les données numériques suivantes : r1' = 14 mm ; r2' = 26 mm ; r3' = 66 mm 2.4 Rapport global de réduction Sachant que l'arbre de sortie d du premier étage est l'arbre d'entrée 1 du second étage, que l'arbre de sortie 4 du second étage est l'arbre d'entrée du troisième étage et que l'arbre de sortie 4' du troisième étage est relié au tambour T. Déterminer le rapport de réduction global du réducteur : R3 = ωT/ωa en fonction des rapports de réduction R1, R2, R3, et calculer sa valeur numérique. Comparer le résultat à la valeur déterminée graphiquement. Cinématique V – Torseur cinématique - p.14 Ex. 2 – Système d’agitation et de chauffage d'une enceinte thermostatée Présentation Reprenons l'exemple du système d’agitation présenté Ch IV - §IV 2. Qui permet d'isoler les cellules de pancréas sous agitation permanente. La chaîne cinématique du dispositif d'agitation est présentée ci-dessous. x2 x3 B θ3 O3 3 x1 2 θ2 y0 O2 0 1 θ1 z0 O1 X0 1. Analyse cinématique Procéder à l'analyse cinématique afin de déterminer le nombre d'inconnues cinématiques, les mobilités et le degré d'hyperstatisme. 2. Loi entrée-sortie 2.1. Ecrire la fermeture géométrique, 2.2. Ecrire la fermeture cinématique de la chaîne de solide au point O1. 2.3. Trouver la loi d’entrée sortie. Données : O1O 2 = e x1 e = 26 mm ; O 2B = b x 2 b = 115,5 mm ; O 3B = L x 3 L = 200 mm O 3 O1 = c x 0 − d y 0 c = 200 mm ; d = 112,5 mm Cinématique V – Torseur cinématique - p.15 Treuil d'hélicoptère de secours en montagne – Figure réponse