"de nombres" b2

Det Kgl
. Danske Videnskabernes Selskab .
Mathematisk-fysiske Meddelelser . V, 4 .
RECHERCHE
S
SUR CERTAINE S
ÉQUATIONS DE LAGRANG E
DE FORMES SPÉCIALE S
PA R
NIELS NIELSE N
KØBENHAV N
HOVEDKOMMISSIONÆR :
ANDR . FRED . HØST & SØN,
KGL . HOF-BOGHANDE
L
BIANCO LUNOS BOGTRYKKER I
1923

AVANT-PROPO S
D
ans un Mémoire qui paraîtra prochainement, je l'espère ,
j '
ai développé les fondements d
' une théorie général
e
des équations de LAGRANGE, fondements qui sont indis
-
pensables pour le calcul d'une table des solutions de s
équations susdites .
Dans le Mémoire que j'ai l'honneur de présenter au-
jourd'hui à l'Académie Royale, j'étudie certaines classe s
d'équations de LAGRANGE de formes spéciales, mais néan-
moins d'un caractère assez général pour donner des éclair-
cissements essentiels sur la nature des équations susdites ,
éclaircissements qui sont très désirables, parce qu'il n ' exist e
que des traces, très rares et souvent trompeuses, d'une tell e
théorie .
La première Partie du présent Mémoire est consacré e
à l'étude d'une classe de nombres fort intéressants, savoi r
les sommes de deux carrés premiers entre eux :
(1) a =
p2
-I- q 2 ,
pour lesquels l'équation de FERMA T
(2) x 2
- ag 2
= -
1
n'est pas résoluble
. Ces nombres semblent être restés in -
aperçus jusqu'ici .
On dit généralement que, malgré les recherches de di -
vers géomètres, on ne connaît pas encore complètement l a
1*

4
Nr . 4 . NIELS NIELSEN :
condition nécessaire et suffisante que doit satisfaire la bas e
a, pour que l'équation susdite soit ,
résoluble .
Or, les résultats que j'ai obtenus semblent indiquer ,
par leur grande diversité, que l'établissement de cette con-
dition suffisante et nécessaire est un problème extrême -
ment difficile, évidemment irrésoluble, à moins que l'o n
ne trouve des méthodes beaucoup plus profondes qu e
celles appliquées jusqu'ici .
Remarquons, en passant, que, parmi les 243 bases d
e
première espèce inférieures à 1500, on trouve 44 couple s
de la forme
(3) 4a+1, 4a+5 ,
et le produit de ces deux nombres est toujours une bas e
de seconde espèce .
Remarquons encore que les nombres de la forme (1 )
sont les seules bases de seconde espèce, pour lesquelles de s
équations de la form e
(4) u 2 - a v 2 = w , u 2 - a v 2
= -
w
sont simultanément résolubles, et qu'il existe, pour cha-
cune de ces bases, une infinité de nombres w qui permet -
tent de résoudre les deux équations susdites .
Dans les Tables jointes au présent Mémoire, je donn e
des éclaircissement numériques concernant les 41 bases d
e
seconde espèce inférieures à 1500, savoir leur décompositio
n
en facteurs premiers, en somme de deux carrés et, d'aprè s
les Tables de DEGEN' et de CAYLEY 2 , leurs développe-
ments en fractions continues .
Et, chose curieuse, pour 17 de ces 41 nombres, o n
i Canon Pellianus, Copenhague 1817 .
2
Report of the British Association for the advancement of Scienc e
1893
.

Recherches sur certaines Équations de Lagrange .
trouve immédiatement, à l'aide des nombres p et q qu i
figurent dans la décomposition (1), une solution de l'équa-
tion indéterminée
(5)
n 2 -av 2 =
a-1
,
pour la base 221 même deux solutions de l ' équatio n
u 2 - 221 v `2 = 220 .
De plus, il est facile de démontrer qu'il existe une in-
finité de bases de seconde espèce de la forme (1) qui pos-
sèdent la même propriété .
La seconde Partie de mon Mémoire est consacrée à
l'étude des équation s
(6) u 2 - (a 2 + 1) v 2
=
w ,
où cc est un positif entier quelconque . J'ai réussi à déter-
miner, quel que soit a, la plus petite valeur de w, pou r
laquelle l'équation susdite soit résoluble, et à démontre r
que l'équation
(6)
est, pour cette valeur minimum de' w ,
toujours du genre 2.
Soit, dans (6), cc un nombre pair, cette valeur mini -
mum est toujours déterminée pa r
=2a ,
de sorte que l'équatio n
u 2 -
(a `L +
1)
v 2 =
±
2
a
est toujours du genre
2,
tandis que cette autre équatio
n
(8) u 2
- (a
2
+
1) v 2
= +
a 2 ,
obtenue de (7) par l'opération itérative est, pour une in-
finité des valeurs de a, au moins du genre 4 .
Dans la troisième Partie, je donne des généralisation s
des formules de CAYLEV et j'expose les propriétés curieuse s
des nombres
A2, .+1,
tirés de l'équation de FERMÂ T
(7)