Corrigé de l`exercice 1 de probabilités du bac blanc mars 2016 1

Corrigé de l'exercice 1 de probabilités du bac blanc mars 2016
1. Construction d’un arbre pondéré associé à cette situation
a) Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités.
92% des jouets sont sans défaut de finition donc p( F) = 0,92
parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95% réussissent le test de solidité
donc P F (S) = 0,95
2% des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles donc P (F ∩ S)=0,02
b) P F (S) = P (F ∩ S) / P (F ) = P (F ∩ S) / (1-P (F) ) = 0,02 /(1-0,92)= 0,02/0,08 = 1/4
c) Construire l’arbre pondéré correspondant à cette situation.
2. Calcul de probabilités.
a) Démontrer que p (S) = 0,934.
P(S)= P (F ∩ S) + P (F ∩ S)
P(S)=P (F) * PF(S) + P (F)*PF(S)
p (S) = 0,92 * 0,95 + 0,08 * 0,75
p (S) = 0,874 + 0,06
p (S) = 0, 934
b) Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu’il
soit sans défaut de finition. (On donnera le résultat arrondi au millième)
PS(F)= P(S∩F)
P(S)=P(F)×PF(S) P(S)=0,92×0,95 0,934 ≈0,936
La probabilité qu’un jouet ayant réussi le test de solidité soit sans défaut
de finition est d’environ 0,936
3. Étude d’une variable aléatoire B.
a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B.
P(B=0)=P(S)=1-P(S)=1-0934=0,066
P(B=10)=P(F∩S)=0,92×0,95=0,874
P(B=5)=1−(0,066+0,874)=0,06
ou encore
P(B=5)=P (F ∩ S)=0,08*0,75=0,06
Bénéfice xi0 5 10
Probabilité pi0,066 0,06 0,874
b) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire B
E(B) = 0,066 * 0 + 0,06 * 5 + 0,874 * 10 = 0,3 + 8,74 = 9,04
En fabriquant un grand nombre d’objets, on peut espérer un bénéfice moyen
de 9,04 € par jouet.
4. Étude d’une nouvelle variable aléatoire.
Pour chaque jouet, il y a deux issues possibles : subir avec succès le test de solidité (succès) et
son contraire. On sait aussi que la probabilité de subir avec succès le test de solidité est de
0,92. C’est une épreuve de Bernoulli de paramètres 0,92. Le choix des dix jouets pris au
hasard est assimilé à un tirage avec remise. On répète donc 10 fois de façon identique et
indépendante le choix d’un jouet, on est donc en présence d’un schéma de Bernoulli.
Soit X variable aléatoire égale au nombre de jouets subissant avec succès le test de solidité,
c’est-à-dire le nombre de succès. X suit alors la loi binomiale de paramètres 10 et 0,92.
On cherche ici p ( X ≥ 8)
Première méthode : p ( X ≥ 8) = p ( X = 8) + p ( X = 9) + p ( X = 10)
Seconde méthode : p ( X ≥ 8) = 1 ‒ p ( X< 8) = 1 ‒ p( X ≤ 7)
Remarque : pour calculer p ( X = 9) à la calculatrice : utiliser Bpd( 9,10,0.92)
pour calculer p( X ≤ 7) à la calculatrice : utiliser Bpcd( 7,10,0.92)
On trouve en final : p ( X ≥ 8)≈ 0,960