Exercices - Lycée d`Adultes

Terminale S
Exercices
Loi binomiale
Exercice 1
Loi binomiale
1) On tire successivement avec remise 8 cartes d’un jeu de 32. Quelle est la probabilité
d’obtenir exactement 5 rois ?
2) Un QCM comprend 10 questions auxquelles on répond « Vrai » ou « Faux ». Un élève
répond au hasard à toutes les questions. A-t-il autant de chances de répondre exactement à 3 questions que de répondre exactement à 7 ?
3) On lance 8 fois un dé parfait.
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins trois fois un nombre pair ?
Exercice 2
Variable aléatoire
Pour les exercices suivants, la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre n
et p : b(n, p).
1) n = 6 et p = 0, 4. Donner la loi de probabilité de X.
2) n = 10 et E(X) = 3. Calculer P(X 6 3) et P(X > 7).
3) p = 0, 2 et σ(X) = 2. Calculer P(X 6 2) et P(X > 2)
Exercice 3
Tennis de table
Deux joueurs A et B s’affrontent dans un tournoi de tennis de table. La probabilité que A
gagne une partie est de 0,6. On joue 9 parties, le vainqueur est celui qui gagne le plus de
parties.
Quelle est la probabilité que B gagne le tournoi ?
Exercice 4
Pondichéry avril 2009
On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont
en apparence identiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la
1
probabilité d’obtenir 6 lors d’un lancer est égale à .
3
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1) On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire
donnant le nombre de 6 obtenus.
a) Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?
b) Quelle est son espérance ?
c) Calculer P(X = 2).
paul milan
1/ 4
10 avril 2012
exercices
Terminale S
2) On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le
dé choisi trois fois de suite.
On considère les évènements D et A suivants :
• D « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;
• A : « obtenir exactement deux 6 ».
a) Calculer la probabilité des évènements suivants :
• « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;
• « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
(On pourra construire un arbre de probabilité).
7
b) En déduire que : p(A) = .
48
c) Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a
obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ?
3) On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé
n fois de suite (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).
On note Bn l’évènement « obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs ».
a) Déterminer, en fonction de n, la probabilité pn de l’évènement Bn .
b) Calculer la limite de la suite (pn ). Commenter ce résultat.
Exercice 5
Jouets
Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : d’une
part l’aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu’il ne présente pas de défaut de finition, d’autre part sa solidité est testée.
Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications, que :
• 92% des jouets sont sans défaut de finition ;
• parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95% réussissent le test de solidité ;
• 2% des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles.
On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :
• F l’évènement : « le jouet est sans défaut de finition »
• S l’évènement : « le jouet réussit le test de solidité »
1) Construction d’un arbre pondéré associé à cette situation
a) En utilisant l’énoncé, préciser : P(F) ; PF (S ) et P(F ∩ S ).
1
b) Démontrer que PF (S ) = .
4
c) Construire l’arbre pondéré correspondant à cette situation.
2) Calcul de probabilités
a) Démontrer que P(S ) = 0, 934.
b) Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu’il soit sans défaut de
finition. (On donnera le résultat arrondi au millième.)
3) Etude d’une variable aléatoire B
Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 e, ceux qui
n’ont pas satisfait au test de solidité sont remis au rebut (donc ne rapporte aucun euro),
les autres jouets rapportent un bénéfice de 5e.
On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté.
paul milan
2/ 4
10 avril 2012
exercices
Terminale S
a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B.
b) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire B.
4) Etude d’une nouvelle variable aléatoire.
On prélève au hasard dans la production de l’entreprise un lot de 10 jouets.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant
avec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment
importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avec
remise.
Calculer la probabilité qu’au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succès le test de
solidité.
Exercice 6
Tennis
Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la
première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la
suivante est 0,7. Et s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,8.
Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les évènements :
• Gn : « Pierre gagne la n-ième partie ».
• Pn : « Pierre perd la n-ième partie ».
On pose : pn = p(Gn ) et qn = p(Pn ).
1) Recherche d’une relation de récurrence.
a) Déterminer p1 puis les probabilités conditionnelles pG1 (G2 ) et pP1 (G2 ).
b) Justifier l’égalité pn + qn = 1.
c) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 0, 5pn + 0, 2.
2) Étude de la suite (pn ).
2
On pose, pour tout entier naturel n non nul, vn = pn − .
5
a) Prouver que la suite (vn ) est une suite géométrique et exprimer vn en fonction de n.
b) En déduire l’expression de pn en fonction de n.
c) Déterminer la limite de la suite (pn ) quand n tend vers +∞.
paul milan
3/ 4
10 avril 2012
exercices
Terminale S
Exercice 7
Génétique
Étant donné un gène possédant un couple d’allèles A et a, on dit qu’une plante est homozygote lorsqu’elle contient les deux mêmes allèles sur une paire de chromosomes homologues : elle est alors de génotype AA ou aa. Une plante est hétérozygote lorsqu’elle est
de génotype Aa.
Une population (génération 0) est composée d’individus de génotypes AA, Aa et aa dans
des proportions respectives p0 , q0 et r0 .
Un couple d’individus de cette population donne naissance à un individu dont le génotype est constitué d’un gène pris au hasard dans le génotype de chacun des parents (par
exemple, si les parents sont de génotype AA et aa, les descendants auront pour génotype
Aa).
1) Étudier le génotype de la descendance (à la première génération) de tous les couples
de parents possibles.
(Conseil. Un tableau peut être une bonne aide.)
2) Les couples se forment au hasard. On appelle p1 , q1 et r1 les proportions d’individus
de génotypes AA, Aa et aa dans la première génération.
!2
!2
1
1
a) Vérifiez que pl = p0 + q0 et r1 = r0 + q0
2
2
b) Vérifiez que pl − r1 = p0 − r0 = α.
c) Calculez p1 , q1 et r1 en fonction de α. En déduire p2 , q2 et r2 . Conclure.
Commentaires : Lors d’un appariement aléatoire, il y a stabilité des génotypes à partir de
la génération 1. (C’est la loi de Hardy Weinberg !)
Exercice 8
Loi uniforme
Une rame de métro relie deux stations M1 et M2 en un temps compris entre 8 et 12 minutes. On note X la durée du trajet lors d’une liaison.
On suppose que X suit une loi uniforme sur [8 ;12]
1) Quelle est la densité de probabilité de X ?
2) Calculer la probabilité que la rame relie les deux stations en moins de 9min 30s.
3) La rame quitte M1 à huit heures et un usager arrive en M2 à 8h11. La rame reste en
gare une minute. Quelle est la probabilité que l’usager rate le métro ?
paul milan
4/ 4
10 avril 2012