Test proba (A et B)

TS2
DS de mathématiques n°7
Sujet A
Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment
tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur
un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants :
•
si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ;
•
si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser
le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note :
M l’évènement : « l’animal est porteur de la maladie » ;
T l’évènement : « le test est positif ».
1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. (justifier toutes les probabilités)
2. Un animal est choisi au hasard.
a. Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?
b. Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058.
3. Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif.
Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie ? Arrondir au millième.
4. On choisit vingt animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme
indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise.
On note X la variable aléatoire qui, aux 20 animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test
positif. Dans les questions suivantes, arrondir à 10-4 près.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier.
b. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des vingt animaux ait un test positif ?
c. Quelle est la probabilité pour que 4 animaux aient un test positif ?
d. Quelle est la probabilité pour que plus de 5 animaux aient un test positif ?
e. Calculer l’espérance de X et interpréter par une phrase.
5. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 € et le coût de
l’abattage d’un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1 000 €.
Quand un animal n’est pas malade et a un test négatif, il est vendu 250 €.
On suppose que le test est gratuit.
On note Y la variable aléatoire qui donne la recette par animal subissant le test.
a. Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de Y :
Recette yi
P (Y = yi)
250
- 100
b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y.
c. Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes.
Si tout le troupeau est soumis au test, quelle recette peut-il prévoir ?
- 1 000
TS2
DS de mathématiques n°7
Sujet B
Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation.
Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : d’une part l’aspect du jouet est
examiné afin de vérifier qu’il ne présente pas de défaut de finition, d’autre part sa solidité est testée.
Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications, que :
••
• 92 % des jouets sont sans défaut de finition ;
• parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ;
• parmi les jouets qui ont défaut de finition, 25 % ne réussissent pas le test de solidité.
On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits.
On note : • F l’évènement : « le jouet est sans défaut de finition » ;
•
S l’évènement : « le jouet réussit le test de solidité ».
1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. (justifier toutes les probabilités)
2. On choisit un jouet au hasard.
a. Calculer la probabilité qu’il réussisse le test et qu’il soit sans défaut.
b. Démontrer que la probabilité qu’il réussisse le test de solidité est de 0,934.
3. Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu’il soit sans défaut de finition.
(On donnera le résultat arrondi au millième)
4. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 €, ceux qui n’ont pas satisfait
au test de solidité sont mis au rebut et l’entreprise perd 2 € par jouet, les autres jouets rapportent un
bénéfice de 5 €.
On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté.
a. Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de B :
Recette bi
P (B = bi)
10
5
-2
b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire B.
c. 1 000 jouets ont été fabriqués en décembre. En supposant que toute la production sera soumise
aux tests, quel bénéfice peut espérer faire le patron ?
5. On prélève au hasard dans la production de l’entreprise un lot de 15 jouets.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de
solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce
lot puisse être assimilée à un tirage avec remise. Dans les questions suivantes, arrondir à 10-4 près.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier.
b. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des 15 jouets ait passé avec succès le test de
solidité?
c. Quelle est la probabilité pour que 10 jouets aient passés avec succès le test de solidité?
d. Quelle est la probabilité pour que plus de 11 jouets aient passés avec succès le test de solidité ?
e. Calculer l’espérance de X et interpréter par une phrase.