TS. Évaluation 2 -Correction 1 ( 5 points ) Une fabrique artisanale de

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TS. Évaluation 2 -Correction
1 ( 5 points ) Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation.
Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : d’une part l’aspect du jouet est examiné afin de vérifier
qu’il ne présente pas de défaut de finition, d’autre part sa solidité est testée.
Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications, que :
• 92 % des jouets sont sans défaut de finition ;
• parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ;
• 2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles.
On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits.
On note : F l’évènement : « le jouet est sans défaut de finition » ; S l’évènement : « le jouet réussit le test de solidité ».
³ ´ 1
1.
a. Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités. Démontrer que p F S = .
4
³
´
³
´
³ ´ p F∩S
0, 02
1
³ ´ =
p(F) = 0, 92 ; p F (S) = 0, 95 ; p F ∩ S = 0, 02
pF S =
= = 0, 25
1 − 0, 92 4
p F
b. Construire l’arbre pondéré correspondant à cette situation.
0, 95 S
0, 92
F
0, 05 S
•
0, 08
0, 75 S
F
0, 25 S
2.
a. Démontrer que p(S) = 0, 934.
D’après la loi des probabilités totales on a :
³
´
p(S) = p(S ∩ F) + p S ∩ F = 0, 92 × 0, 95 + 0, 08 × 0, 75 = 0, 874 + 0, 06 = 0, 934
b. Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu’il soit sans défaut de finition. (On donnera le
résultat arrondi au millième)
p(S ∩ F) 0, 874
Il faut trouver la probabilité conditionnelle
p S (F) =
=
' 0, 935 7 ≈ 0, 936
p(S)
0, 934
3. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 €, ceux qui n’ont pas satisfait au test de
solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5 €.
On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B puis calculer son espérance mathématique.
évènement
F∩S
F∩S
reste
B v.a bénéfice : b i €
probabilité p(B = b i )
10
0,874
5
0,06
0
0,066
E(B) = 0, 874 × 10 + 0, 06 × 5 + 0, 166 × 0 = 8, 74 + 0, 30 = 9, 04 €
(le bénéfice moyen par jouet).
4. Étude d’une nouvelle variable aléatoire. On prélève au hasard dans la production de l’entreprise un lot de 10 jouets.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité.
On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être
assimilée à un tirage avec remise. Calculer la probabilité qu’au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succès le test
de solidité.
À la répétition, 10 fois de façon indépendante d’une épreuve à 2 issues (succès si test de solidité réussi p = 0, 934)
on peut associer une variable aléatoire X, qui comptabilise le nombre de fois où le jouet subit avec succès le test
de solidité. X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0, 934. X ,→ B (10 ; 0, 934)
La probabilité cherchée est égale à celle d’avoir 8, 9 ou 10 jouets solides, soit : p(X > 8)
à !
à !
à !
10
10
10
8
2
9
1
p(X = 8) + p(X = 9) + p(X = 10) =
0, 934 × (1 − 0, 934) +
0, 934 × (1 − 0, 934) +
0, 93410 × (1 − 0, 934)0
8
9
10
p(X > 8) = 0,113 521 + 0,356 998 + 0,505 206 ≈ 0,975 725 ≈ 0, 976
2 ( 2 points )
A et B sont deux événements relatifs à une même expérience aléatoire, avec 0 < P(A) < 1 et 0 < P(B) < 1.
¡ ¢
¡ ¢
¬ ¡Q1 ¢ : A est inclus dans B ;
Q : PA (B) = 1.
¡ 2¢
¡ ¢ ¡ ¢
­ Q1 : A et B sont incompatibles ; Q2 : P(B) = (1 − P(A)) PA (B).
Les implications Q1 ⇒ Q2
¡ ¢
¡ ¢
®
Q1 : A et B sont indépendants ;
Q : P(A ∩ B) = PA (B) × PB (A).
sont-elles vraies ?
¡ ¢
¡ 2¢
¯ Q1 : A et B sont indépendants ; Q2 : P(A ∪ B) = (1 − P(A)) (1 − P(B)).
¡ ¢
¡ ¢
¬ Q1 : A est inclus dans B ;
Q2 : PA (B) = 1.
¡ ¢ ¡ ¢
P(A ∩ B) P(A)
l’implication est vraie, en effet PA (B) =
=
= 1 avec A∩B = A puisque A est inclus dans B
Q1 ⇒ Q2
P(A)
P(A)
¡ ¢
¡ ¢
­ Q1 : A et B sont incompatibles ; Q2 : P(B) = (1 − P(A)) PA (B).
¡ ¢ ¡ ¢
l’implication est vraie, en effet
Q1 ⇒ Q2
(1 − P(A)) PA (B) = P(A) × PA (B) = P(A ∩ B) = P(B)
puisque A et B sont incompatibles.
¡
¢
® Q1 : A et B sont indépendants ;
¡ ¢ ¡ ¢
Q1 ⇒ Q2
l’implication est vraie, en effet si A et B sont indépendants
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = PA (B) × PB (A)
¡
¢
¯ Q1 : A et B sont indépendants ;
¡ ¢ ¡ ¢
Q1 ⇒ Q2
¡ ¢
Q2 : P(A ∩ B) = PA (B) × PB (A).
alors A et B sont indépendants et A et B sont indépendants (voir cours)
avec PA (B) = P(B) et PB (A) = P(A) puisque A et B sont indépendants.
¡ ¢
Q2 : P(A ∪ B) = (1 − P(A)) (1 − P(B)).
l’implication est vraie, en effet
P(A ∪ B) = P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = (1 − P(A)) (1 − P(B))
puisqu’alors A et B sont aussi indépendants.
3 ( 3 points ) Une personne fortement alcoolisée quitte ses amis à la sortie d’un restaurant (R). Elle décide de prendre
le bus pour rentrer : l’arrêt de bus (B) est situé en face d’elle. À cause de son état, elle se dirige en direction de cet arrêt
1
de manière aléatoire, en diagonale vers la gauche ou vers la droite avec la même probabilité p = . On suppose que la
2
personne fait exactement vingt pas et que la distance parcourue à chaque pas est identique. La figure ci-dessous illustre
une marche de deux pas à gauche, puis un à droite, deux à gauche, cinq à droite, sept à gauche et enfin trois à droite.
La personne n’atteint pas ici l’arrêt de bus.
R
B
L’algorithme ci-dessous permet de simuler une telle marche aléatoire.
1. Expliquer comment est simulée cette
marche aléatoire. En particulier, expliquer le
rôle de la variable P.
On simule cette marche aléatoire avec une
boucle for (ou « pour ») de 20 tours (un tour
représente un pas). P est un nombre aléatoire valant à chaque tour soit 0, soit 1.
Si P vaut 0, on incrémente de 1 la variable D,
qui correspond au nombre de pas dans une
direction.
Variables : i , D et P sont des entiers naturels
Début de l’algorithme :
D prend la valeur 0
pour i allant de 1 à 20 faire
P prend la valeur entier_aleatoire(0, 1)
si P = 0 alors
D prend la valeur D + 1
fin
fin
Afficher D
Fin algorithme
2. Que représente la variable D ?
Quelles valeurs peut prendre cette variable ?
D correspond au nombre de pas dans une direction, elle peut varier de 0 à 20.
3. On suppose que la valeur affichée, après exécution de l’algorithme est 10. Interpréter ce résultat.
Si la personne a fait 10 pas sur 20 dans une direction, elle en a donc fait 10 dans l’autre. Elle à donc fait autant de
pas dans une direction que dans l’autre et elle arrive à rejoindre l’arrêt de bus.
4. On note X la variable aléatoire qui, à toute marche aléatoire de 20 pas, associe le nombre de pas effectués à droite.
Quelle est la loi de X ? Justifier. Donner la valeur exacte de la probabilité de rejoindre exactement l’arrêt de bus.
On a une expérience aléatoire à 2 issues, répétées 20 fois (de façon indépendante).
1
— Succès : Faire un pas à droite de probabilité : p =
2
1
— Échec : Faire un pas à gauche de probabilité : 1 − p =
2
X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0, 5
X ,→ B (20 ; 0, 5)
La probabilité de rejoindre exactement l’arrêt de bus est :
à !
20
46 189
p(X = 10) =
0, 510 × 0, 510 =
= 0,176 20
10
262 144
B entier_aleatoire(0, 1) est une commande qui génère l’entier 0 ou l’entier 1 de façon pseudo-aléatoire.