Algèbre
Arithmétique
Denis Vekemans
Exercice 1 Calculer le P GCD
de 288 et 1024.
de 33055 et 12621.
Exercice 2 Trouver aZet bZtels que
275a+ 312b= 1.
126a+ 75b= 3.
11a+ 5b= 8.
Donner une infinité de solutions.
Exercice 3 Trouver tous les couples (a, b)N2tels que le P GCD de aet bsoit 50 et que le P P CM
de aet bsoit 600.
Exercice 4 théorème de Gauss. Soient aZ,bZet cZ.
Si aet bsont premiers entre eux et si adivise le produit bc, alors adivise c.
Exercice 5 Soient aZ,bZet cZ.
Montrer que si bet csont premiers entre eux, si bdivise aet si cdivise a, alors le produit bc divise a.
Exercice 6 Soient aZ,bZet cZ.
Montrer que si aet bsont premiers entre eux, alors le P GCD de aet bc est égal au P GCD de aet c.
Exercice 7 Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.
Exercice 8 Montrer que tout nNcomposé (i.e. qui est produit de deux nombres distincts de 1) admet
un diviseur distinct de 1inférieur ou égal à n.
Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
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L1 Maths - Info Algèbre 2008
Exercice 9 Soit pun nombre premier et aZ,bZ.
Montrer que ou bien pdivise aou bien pest premier avec a.
Montrer que si pdivise le produit ab, alors ou bien pdivise aou bien pdivise b.
Exercice 10 Montrer que 2n+ 1 et 2n+1 + 1 sont premiers entre eux.
Exercice 11 Soit la suite (un)donnée par un= 2n+ 3n. Donner en fonction de nle P GCD de pnet
pn+2.
Exercice 12 Soit mN,m2. On suppose que mdivise (m1)! + 1. Montrer que mest premier.
Exercice 13 Soit mN,m2. On suppose que 2m1est premier. Montrer que mest premier.
Exercice 14 Soit nN. Quel est le P GCD de n3+net 2n+ 1 ?
Exercice 15 Soit la suite de Fibonnacci (Fn)donnée par F0= 0,F1= 1 et Fn+2 =Fn+1 +Fn.
Montrer que
F2
n+1 FnFn+2 = (1)n.
En déduire que Fnet Fn+1 sont premiers entre eux.
Exercice 16 Déterminer le groupe multiplicatif Gndes éléments inversibles de l’anneau Z/nZ.
Application à G15.
Exercice 17 Pour tout mN, on appelle φ(m)le nombre des entiers naturels inférieurs ou égaux à
met premiers avec m.
1. Montrer que φ(m)est le nombre des éléments inversibles de l’anneau Z/mZ.
2. En déduire que si met nsont premiers entre eux, on a :
φ(m·n) = φ(m)·φ(n).
3. Si mest décomposé en produit de facteurs premiers m=pα1
1·...·pαk
k, montrer que
φ(m) = m·(1 1
p1
)·...·(1 1
pk
).
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
–2/3– Mathématiques
L1 Maths - Info Algèbre 2008
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI,
PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
–3/3– Mathématiques
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