L1 Maths - Info Algèbre 2008
Exercice 9 Soit pun nombre premier et a∈Z,b∈Z.
Montrer que ou bien pdivise aou bien pest premier avec a.
Montrer que si pdivise le produit ab, alors ou bien pdivise aou bien pdivise b.
Exercice 10 Montrer que 2n+ 1 et 2n+1 + 1 sont premiers entre eux.
Exercice 11 Soit la suite (un)donnée par un= 2n+ 3n. Donner en fonction de nle P GCD de pnet
pn+2.
Exercice 12 Soit m∈N,m≥2. On suppose que mdivise (m−1)! + 1. Montrer que mest premier.
Exercice 13 Soit m∈N,m≥2. On suppose que 2m−1est premier. Montrer que mest premier.
Exercice 14 Soit n∈N. Quel est le P GCD de n3+net 2n+ 1 ?
Exercice 15 Soit la suite de Fibonnacci (Fn)donnée par F0= 0,F1= 1 et Fn+2 =Fn+1 +Fn.
Montrer que
F2
n+1 −FnFn+2 = (−1)n.
En déduire que Fnet Fn+1 sont premiers entre eux.
Exercice 16 Déterminer le groupe multiplicatif Gndes éléments inversibles de l’anneau Z/nZ.
Application à G15.
Exercice 17 Pour tout m∈N, on appelle φ(m)le nombre des entiers naturels inférieurs ou égaux à
met premiers avec m.
1. Montrer que φ(m)est le nombre des éléments inversibles de l’anneau Z/mZ.
2. En déduire que si met nsont premiers entre eux, on a :
φ(m·n) = φ(m)·φ(n).
3. Si mest décomposé en produit de facteurs premiers m=pα1
1·...·pαk
k, montrer que
φ(m) = m·(1 −1
p1
)·...·(1 −1
pk
).
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
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