Algèbre Arithmétique

Algèbre
Arithmétique
Denis Vekemans ∗
Exercice 1 Calculer le P GCD
•de 288 et 1024.
•de 33055 et 12621.
Exercice 2 Trouver a∈Zet b∈Ztels que
•275a+ 312b= 1.
•126a+ 75b= 3.
•11a+ 5b= 8.
Donner une infinité de solutions.
Exercice 3 Trouver tous les couples (a, b)∈N2tels que le P GCD de aet bsoit 50 et que le P P CM
de aet bsoit 600.
Exercice 4 théorème de Gauss. Soient a∈Z,b∈Zet c∈Z.
Si aet bsont premiers entre eux et si adivise le produit bc, alors adivise c.
Exercice 5 Soient a∈Z,b∈Zet c∈Z.
Montrer que si bet csont premiers entre eux, si bdivise aet si cdivise a, alors le produit bc divise a.
Exercice 6 Soient a∈Z,b∈Zet c∈Z.
Montrer que si aet bsont premiers entre eux, alors le P GCD de aet bc est égal au P GCD de aet c.
Exercice 7 Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.
Exercice 8 Montrer que tout n∈Ncomposé (i.e. qui est produit de deux nombres distincts de 1) admet
un diviseur distinct de 1inférieur ou égal à √n.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
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L1 Maths - Info Algèbre 2008
Exercice 9 Soit pun nombre premier et a∈Z,b∈Z.
Montrer que ou bien pdivise aou bien pest premier avec a.
Montrer que si pdivise le produit ab, alors ou bien pdivise aou bien pdivise b.
Exercice 10 Montrer que 2n+ 1 et 2n+1 + 1 sont premiers entre eux.
Exercice 11 Soit la suite (un)donnée par un= 2n+ 3n. Donner en fonction de nle P GCD de pnet
pn+2.
Exercice 12 Soit m∈N,m≥2. On suppose que mdivise (m−1)! + 1. Montrer que mest premier.
Exercice 13 Soit m∈N,m≥2. On suppose que 2m−1est premier. Montrer que mest premier.
Exercice 14 Soit n∈N. Quel est le P GCD de n3+net 2n+ 1 ?
Exercice 15 Soit la suite de Fibonnacci (Fn)donnée par F0= 0,F1= 1 et Fn+2 =Fn+1 +Fn.
Montrer que
F2
n+1 −FnFn+2 = (−1)n.
En déduire que Fnet Fn+1 sont premiers entre eux.
Exercice 16 Déterminer le groupe multiplicatif Gndes éléments inversibles de l’anneau Z/nZ.
Application à G15.
Exercice 17 Pour tout m∈N, on appelle φ(m)le nombre des entiers naturels inférieurs ou égaux à
met premiers avec m.
1. Montrer que φ(m)est le nombre des éléments inversibles de l’anneau Z/mZ.
2. En déduire que si met nsont premiers entre eux, on a :
φ(m·n) = φ(m)·φ(n).
3. Si mest décomposé en produit de facteurs premiers m=pα1
1·...·pαk
k, montrer que
φ(m) = m·(1 −1
p1
)·...·(1 −1
pk
).
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
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L1 Maths - Info Algèbre 2008
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI,
PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
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