La Leçon

6ème – Ch. 9
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Voir 6ème, chapitres 1, 3, 5, 7, 11 et 13.
I) Écriture fractionnaire d’un quotient
a et b désignent des nombres décimaux (b non nul).
Définitions et propriété :
• La valeur exacte du quotient de a par b peut se noter « a
b » qu’on lit « a sur b ».
• a
b est une écriture fractionnaire du quotient a ÷ b.
a
b
numérateur
dénominateur
trait de
(division)
« fraction » (dividende)
(diviseur)
• On a, a
b × b = a.
Exemples :
• 8 ÷ 5 = 5
8 = 1,6 car 8
5 × 5 = 8 et 1,6 × 5 = 8.
La valeur exacte du quotient de 8 par 5 est 5
8 = 1,6.
« 5
8 » se lit « huit sur cinq » ou bien « huit cinquièmes ».
• 7
3 × 3 = 7 mais 2,33 × 3 ≠ 7. 7 3 ≠ 2,33 7 3 ≈ 2,33.
7
3 est la valeur exacte et 2,33 est une valeur approchée du quotient de 7 par 3.
Le nombre 7
3 est le tiers de 7. Le triple du nombre 7 3 est égal à 7.
Remarques :
• On utilise le mot « fraction » à la place « d’écriture fractionnaire » lorsque le
numérateur et le dénominateur sont des entiers.
• Tout nombre décimal peut s’écrire sous forme de quotient. En revanche, certains
quotients ne sont pas des nombres décimaux.
II) Fraction d’une figure (Partage équitable)
a et b désignent des nombres entiers (b non nul).
Propriété :
Chapitre 9
Écriture fractionnaire.

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a × 1
b = a b
Représentation :
Pour représenter une fraction a
b d’une figure, on peut :
• Partager cette figure en « b » parties égales
• Et représenter « a » parties.
Exemples :
• Représenter 3
5 du rectangle ABCD.
3
5 = 3 × 1 5 (3 fois un cinquième)
A
BC
D
• Placer le quotient 7
3 sur une demi-droite graduée.
7
3 = 7 × 1 3 (7 fois un tiers)
OI M
7
p
arties
3 parties égales
1021/ 73/3
OM = 7
3 × OI
Le segment [OM] représente les sept tiers du segment [OI].
Remarques :
• On a : 1 = 3
3 et 2 = 6 3.
• On peut aussi utiliser la division euclidienne : 7 = 3 × 2 + 1 d’où 7
3 = 2 + 1 3.
III) Fraction d’un nombre (Opérateur)
a et b désignent des nombres entiers (b non nul).
Définition :
Calculer (ou prendre) la fraction b
a d’une grandeur c, c’est multiplier cette grandeur
par le quotient b
a. c × b a

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Propriété :
c × a
b = c b
a
× = c
b × a
Exemples :
Prendre les 5
8 de 15 consiste à multiplier 15 par 5 8.
• On peut calculer la fraction : 15 × 5
8 = 15 × (8 ÷ 5) = 15 ÷ 1,6 = 24.
Attention, cette méthode est utilisée seulement si la division tombe juste !
• On peut multiplier en premier : 15 × 5
8 = 15 8
5
× = (15 × 8) ÷ 5 = 120 ÷ 5 = 24.
• On peut diviser en premier : 15 × 5
8 = 15
5 × 8 = (15 ÷ 5) × 8 = 3 × 8 = 24.
Attention, cette méthode est utilisée seulement si la division tombe juste !
Calcul mental :
• 120 × 1
2 = 60, c’est la moitié de 120. 120 est le double de 60.
• 24 × 1
3 = 8, c’est le tiers de 24. 24 est le triple de 8.
• 36 × 1
4 = 9, c’est le quart de 36. 36 est le quadruple de 9.
IV) Égalité de quotients
Propriété :
Un quotient de deux nombres ne change pas lorsqu'on multiplie (ou divise) à la fois
le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
Traduction :
a, b et k désignent des nombres décimaux (b et k non nuls) :
k
k
aa
bb
k
k
→÷ →
×=
×
←× ←
Exemples :
• Pour reconnaître que deux écritures fractionnaires sont celles d’un même
nombre,
2
2
33 6 0, 6
55 10
×
===
× 75,0
5
58
6
40
30
10
10
4
3=
÷
÷
=
×
×
=
2, 4
8, et 5 10 représentent le même nombre.

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• Pour simplifier une écriture fractionnaire,
36 36 12 12 3 4
45 45 15 15 3 5
3
3
÷÷
====
÷÷
ou bien
36 36 9 4
45 45 9 5
÷
==
÷ (critères de divisibilité )
936 4 4
45 5 95
×
==
× (tables de multiplication)
5
4 est « plus simple » que 45 36 .
Cas particulier : 48 8 6 6 2 3 3 3
16 8 2 2 2 1 1
××
=====
×× . ( 331 3 1
=÷=)
• Pour diviser par un nombre décimal,
2,1 2,1 10 21
2,1 0, 7 21 7 3
0,7 0,7 10 7
×
÷= = ==÷=
×
2,1
140
168
1004,1
10068,1
4,1
68,1 ==
×
×
= 3
10
103,0
101
3,0
1=
×
×
=
On ne change pas le quotient d’une division en multipliant le dividende et le
diviseur par un même nombre. 55,125,025,1 ÷=÷