La Leçon

6ème – Ch. 9
Chapitre 9
Écriture fractionnaire.
Voir 6ème, chapitres 1, 3, 5, 7, 11 et 13.
I)
Écriture fractionnaire d’un quotient
a et b désignent des nombres décimaux (b non nul).
Définitions et propriété :
•
•
•
La valeur exacte du quotient de a par b peut se noter «
a
» qu’on lit « a sur b ».
b
a
est une écriture fractionnaire du quotient a ÷ b.
b
numérateur (dividende)
a
trait de « fraction »
(division)
b
dénominateur (diviseur)
On a,
a
× b = a.
b
Exemples :
8
= 1,6
5
8
× 5 = 8 et 1,6 × 5 = 8.
5
8
La valeur exacte du quotient de 8 par 5 est = 1,6.
5
8
« » se lit « huit sur cinq » ou bien « huit cinquièmes ».
5
7
7
7
•
× 3 = 7 mais 2,33 × 3 ≠ 7.
≠ 2,33
≈ 2,33.
3
3
3
7
est la valeur exacte et 2,33 est une valeur approchée du quotient de 7 par 3.
3
7
7
Le nombre
est le tiers de 7. Le triple du nombre
est égal à 7.
3
3
•
8÷5=
car
Remarques :
• On utilise le mot « fraction » à la place « d’écriture fractionnaire » lorsque le
numérateur et le dénominateur sont des entiers.
• Tout nombre décimal peut s’écrire sous forme de quotient. En revanche, certains
quotients ne sont pas des nombres décimaux.
II)
Fraction d’une figure (Partage équitable)
a et b désignent des nombres entiers (b non nul).
Propriété :
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6ème – Ch. 9
a×
1
a
=
b
b
Représentation :
a
d’une figure, on peut :
b
Partager cette figure en « b » parties égales
Et représenter « a » parties.
Pour représenter une fraction
•
•
Exemples :
•
Représenter
3
1
=3×
5
5
•
3
du rectangle ABCD.
5
A
D
B
C
(3 fois un cinquième)
Placer le quotient
7
1
=7×
3
3
7
sur une demi-droite graduée.
3
(7 fois un tiers)
3 parties égales
O
I
0
1/ 3
1
M
2
7/ 3
7 parties
7
× OI
OM =
3
Le segment [OM] représente les sept tiers du segment [OI].
Remarques :
3
6
et 2 = .
3
3
•
On a : 1 =
•
On peut aussi utiliser la division euclidienne : 7 = 3 × 2 + 1 d’où
7
1
=2+ .
3
3
III)
Fraction d’un nombre (Opérateur)
a et b désignent des nombres entiers (b non nul).
Définition :
Calculer (ou prendre) la fraction
par le quotient
a
.
b
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c×
a
d’une grandeur c, c’est multiplier cette grandeur
b
a
b
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Propriété :
c×
a
c×a
c
=
= ×a
b
b
b
Exemples :
8
8
de 15 consiste à multiplier 15 par .
5
5
8
On peut calculer la fraction : 15 × = 15 × (8 ÷ 5) = 15 ÷ 1,6 = 24.
5
Prendre les
•
•
•
Attention, cette méthode est utilisée seulement si la division tombe juste !
8 15 × 8
On peut multiplier en premier : 15 × =
= (15 × 8) ÷ 5 = 120 ÷ 5 = 24.
5
5
8 15
On peut diviser en premier : 15 × =
× 8 = (15 ÷ 5) × 8 = 3 × 8 = 24.
5
5
Attention, cette méthode est utilisée seulement si la division tombe juste !
Calcul mental :
1
= 60, c’est la moitié de 120. 120 est le double de 60.
• 120 ×
2
1
• 24 × = 8, c’est le tiers de 24. 24 est le triple de 8.
3
1
• 36 ×
= 9, c’est le quart de 36. 36 est le quadruple de 9.
4
IV)
Égalité de quotients
Propriété :
Un quotient de deux nombres ne change pas lorsqu'on multiplie (ou divise) à la fois
le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
Traduction :
a, b et k désignent des nombres décimaux (b et k non nuls) :
→ ÷k →
a×k
a
=
b×k
b
← ×k ←
Exemples :
• Pour reconnaître que deux écritures fractionnaires sont celles d’un même
nombre,
×10 ÷ 5
3
30 6
3 3× 2 6
=
=
= 0,75
=
= = 0, 6
5 5 × 2 10
4
40 8
×10 ÷5
8
10
2, , et
représentent le même nombre.
4
5
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•
•
Pour simplifier une écriture fractionnaire,
36 36 ÷ 3 12 12 ÷ 3 4
36 36 ÷ 9 4
=
= =
=
ou bien
=
=
45 45 ÷ 3 15 15 ÷ 3 5
45 45 ÷ 9 5
(critères de divisibilité )
36 4 × 9 4
=
=
(tables de multiplication)
45 5 × 9 5
4
36
est « plus simple » que
.
5
45
48 8 × 6 6 2 × 3 3
3
Cas particulier :
=
= =
= = 3.
( = 3 ÷1 = 3 )
16 8 × 2 2 2 × 1 1
1
Pour diviser par un nombre décimal,
2,1 2,1× 10 21
2,1 ÷ 0, 7 =
=
=
= 21 ÷ 7 = 3
0, 7 0, 7 × 10 7
1,68 1,68 × 100 168
1
1 × 10
10
=
=
= 1,2
=
=
1,4
1,4 × 100 140
0,3 0,3 × 10 3
On ne change pas le quotient d’une division en multipliant le dividende et le
diviseur par un même nombre.
1,25 ÷ 0,5 = 12,5 ÷ 5
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