Cours BTS CINEMATIQUE MOUVEMENTS - Fiches-land

Cours
BTS
CINEMATIQUE
MOUVEMENTS
STANDARDS
CineMouv-C-a
I ) Mouvements de translation
1 ) Mouvement de Translation Rectiligne Uniforme ( MTRU )
Lorsqu’un solide S subit un mouvement de translation (quelconque, rectiligne ou circulaire) par
rapport à un repère R, tous les points de ce solide ont la même vitesse par rapport au repère R.
1-a ) Définition
Un mouvement de translation rectiligne uniforme se réalise sans accélération (0 m/s2) et avec
une vitesse constante au cours du temps. Il est souvent noté M.T.R.U.
1-b ) Equations de mouvement
Étudions une voiture (allemande) qui roule à vitesse constante sur une autoroute
complètement rectiligne.
Soient :
t0 : instant initial (en s);
x0 : le déplacement initial (en m), à
t=t0 ;
v0 : la vitesse initiale (en m/s);
x(t) : le déplacement x (en m) à
l’instant t.
x(t
)
x0
Origine du repère
O
Instant t0
Instant t
x
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Mouvement de Translation Rectiligne Uniforme (MTRU)
Equations horaires
Graphe de l’accélération
a (m/s2)
m/s2
a(t) = 0
v(t) = v0 = Constante
x(t) = v0.(t-t0) + x0
t0, x0 et v0 sont les
conditions initiales du
mouvement.
Si le MTRU commence
à l’instant t0=0s,
les
équations
horaires
deviennent:
a(t) = 0
v(t) = v0 = Constante
x(t) = v0.t + x0
t
a=0
Graphe de Vitesse
v (m/s)
v(t) = v0 = Cte
v0
0
t
Graphe de Position
Vos commentaires :
x (m)
x(t) = v 0.t + x0
x0
0
t
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2 ) Mouvement de Translation Rectiligne Uniforme ( MTRUV )
2-a ) Définition
Ce type de mouvement sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces
mouvements, l’accélération reste constante au cours du temps. Il est souvent noté M.T.R.U.V.
2-b ) Equations de mouvement
Reprenons notre même véhicule. Le conducteur décide d’accélérer.
Soient :
t0 : instant initial (en s);
x0 : le déplacement initial, à t=t0 ;
a0 : l’accélération initiale (en
m/s2) ;
v0 : la vitesse initiale (en m/s) ;
x(t) : le déplacement (en m) à
l’instant t.
x(t)
x0
v0
O
Instant t0
v(t)
Instant t
x
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Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié (MTRUV)
Equations horaires
Graphe de l’accélération
a(t) = a0 = constante
v(t) = a0.(t-t0) + v0
a (m/s2)
x(t) =
a(t) = a0 = Cte
a0
1
. a0.(t-t0)2 + v0.(t-t0) + x0
2
t0, x0, v0 et a0 sont les conditions
initiales du mouvement.
0
t
Graphe de vitesse
Si le MTRUV commence à
l’instant t0=0s, les équations
horaires deviennent
v (m/s)
v(t) = v0 + a0.t
a(t) = a0 = constante
v(t) = a0.t + v0
x(t) =
1
. a0.t2 + v0.t + x0
2
v0
0
t
Graphe de position
Vos commentaires :
x(t) =
1
2
ranche
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II ) Mouvements de rotation
1 ) Introduction
1-1 ) Rotation d’un solide
M2
Pour connaître, à tout instant t, la position
d’un solide indéformable subissant un
mouvement de rotation, il nous suffit de
définir sa position angulaire θ (t) .
Instant t2
θ2=θ( t2)
M1
Instant t1
∆θ
O
θ1=θ( t1)
x
1-2 ) Vitesse angulaire, ou vitesse de rotation ω
Entre deux instants t1 et t2 , nous pouvons définir une vitesse angulaire moyenne:
ω moy =
θ 2 − θ1
t2 − t1
=
∆θ
∆t
ω moy s’exprime en rad/s
Si l’intervalle de temps (t2 – t1) devient très petit, nous obtenons, à un instant t, la vitesse
angulaire instantanée :
ω (t) = lim (
∆t→0
∆θ
dθ (t )
)=
= θ ' (t)
∆t
dt
La vitesse angulaire ω s’exprime en rad/s
Par conséquent, la vitesse angulaire est la dérivée par rapport au temps de la position
angulaire.
1-3 ) Accélération angulaire α
En dérivant la vitesse angulaire, nous obtenons l’accélération angulaire :
dω (t ) d 2θ (t)
α (t) =
=
= θ '' (t)
2
dt
dt
L’accélération angulaire α s’exprime en rad/s2
Remarquez que l’analogie avec l’étude du mouvement en translation rectiligne est
évidente. Nous retrouvons les mêmes grandeurs cinématiques (position, vitesse, accélération)
suivies du terme angulaire. Nous allons donc, de la même façon, étudier des cas particuliers de
mouvement de rotation.
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2 ) Mouvement de Rotation Uniforme ( MRU )
2-1 ) Définition
L’accélération angulaire α(t) est nulle. Ce mouvement est noté M.R.U.
2-2) Equations horaires de mouvement
Les équations horaires d’un MRU sont :
α(t) = θ’’(t) = 0 rad/s2
ω(t) = ω0 = Constante
θ(t) = ω.(t-t0) + θ0
t0, ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement.
3 ) Mouvement de Rotation Uniformément Varié ( MRUV )
3-1 ) Définition
L’accélération angulaire α(t) est constante. Ce mouvement est noté M.R.U.V.
3-2) Equations horaires de mouvement
Les équations horaires d’un MRUV sont :
α(t) = α0 = Constante
ω(t) = α0.(t-t0) + ω0
θ(t) =
1
.α0.(t-t0)2 + ω0.(t-t0) + θ0
2
t0, α0, ω0 et θ0 sont les conditions initiales du mouvement.
4 ) Vitesse et Accélération d’un point d’un solide en mouvement de rotation
Parfois, il nous est nécessaire de s’intéresser à un point M appartenant au solide en rotation.
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4-1 ) Vitesse d’un point
En dérivant (par rapport au temps) le
vecteur position OM (t) , dans le repère ℜ, nous
obtenons :
 dOM 
V(M∈S/R) = 
 = OM .ω (t ).t = r .ω (t ).t
 dt ℜ
t
T (M ∈ S / R)
Remarque : puisque ω(t) a même valeur pour
tous les points du solide, la vitesse linéaire
V(M∈S/R) varie linéairement avec la distance r à
l’axe de rotation.
V (M ∈ S / R)
n
M
_VP
_VN
O
4-2 ) Accélération
En dérivant (par rapport au temps) le vecteur
vitesse V(M∈S/R) , dans le repère ℜ, nous
obtenons :
 dV(M∈S/R) 
Γ (M∈S/R) = 
 = r .α (t ).t − r.ω 2 (t ).n
 dt
ℜ
N
P
θ( t)
r=OM
x
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