Feuille de TD n° 1 - Moodle UM

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Université de Montpellier
Unité d’enseignement : HLPH603
Physique Statistique 1
Année 2016-2017
Feuille de TD n° 1
Rappels et discussions qualitatives.
(i) Diffusion de l’encre dans l’eau
a) Imaginez que vous laissiez tomber une goutte d’encre (vous êtes très habile donc vous ne lui
donnez aucune vitesse initiale) dans un verre d’eau. Décrivez ce qui se passe.
b) Si un film est pris de cette expérience, sauriez vous distinguer si ce film était passé en marche
arrière ? Justifiez votre réponse.
c) Supposez maintenant que vous pouviez filmer la trajectoire d’une seule molécule d’encre.
Même question que b). Donnez vos conclusions sur la flèche du temps.
(ii) La Température
Vous décidez de sortir en short pour vous promener le matin alors que le temps est relativement frais.
Vous avez le choix entre 2 bancs pour vous asseoir : 1 banc en bois, et un banc en métal. Lequel
choisissez-vous ? Pensez vous que les deux bancs sont à des températures différentes ? Justifiez votre
réponse.En règle générale, comment savoir si deux objets sont à des températures différentes ?
(iii) Qu’est ce qui différencie un système macroscopique d’un système microscopique ?
(iv) Les phénomènes aléatoires
Quelle est pour vous la signification d’un phénomène aléatoire ? Est ce qu’un mouvement aléatoire
implique qu’il n’est soumis à aucune loi ? Quelles sont les manifestations du mouvement aléatoire
(mouvement brownien) des particules d’air autour de vous ?
(v) l’hypothèse ergodique
Rappelez cette hypothèse et ses conditions de validité.
Peut-on appliquer l’hypothèse ergodique au jeu de « pile ou face » ? Comment peut-on tester
expérimentalement sa validité?
Exercice 1 : Dénombrements
A. On considère N boîtes numérotées (discernables) . Combien y-a-t-il de façons différentes d’y
ranger :
1) n boules discernables avec au plus une boule par boîte ?
2) n boules indiscernables avec au plus une boule par boîte ?
3) n boules discernables avec un nombre quelconque de boules par boîte ?
4) n boules indiscernables avec un nombre quelconque de boules par boîte ?
B. Un tirage du loto est constitué de 5 nombres tirés au hasard parmi 49 plus 1 nombre « chance » tiré
parmi 10. Quel est le nombre de combinaisons possibles pour un tirage ? Il y a trois tirages par
semaine. Imaginez que vous jouiez pendant toute votre vie adulte (70 ans) une grille simple à chaque
tirage. Quelles est la probabilité que vous gagniez le gros lot une fois dans votre vie au moins ?
C. Dans le modèle d’Einstein, les vibrations des atomes d’un cristal autour de leur position d’équilibre
sont décrites par un système de N oscillateurs harmoniques indépendants, de pulsation w. Chaque
oscillateur i possède l’énergie Ei=(ni+½)ћw où ni est un nombre entier ≥0 qui varie d’un oscillateur à
un autre et qui s’appelle le facteur de population de l’état d’énergie Ei de l’oscillateur i. Donner
l’énergie totale du système. Pour une énergie fixée, combien y a t-il de configurations possibles ?
Indice: utiliser le résultat 4 de la section A, puis en déduire de combien de façons différentes on peut
choisir N nombres entiers positifs ou nuls q1, q2, …qN pour que leur somme soit égale à n.
Exercice 2 : Jeux de dé (variable aléatoire discrète)
On considère 2 dés non pipés à 6 faces.
1) Trouver la distribution de probabilité P(n) d’obtenir la somme n lors d’un jet des deux dés. Tracer
P(n) en fonction de n sur un graphique.
2) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un double six en 24 jets des deux dés.

2
Exercice 3 : Loi binomiale
1) 3 pièces de monnaie sont jetées en l’air successivement. On admet que chaque évènement est
équiprobable. Trouver les probabilités suivantes :
a. la première pièce est face
b. 2 faces exactement sont apparues
c. pas plus de 2 faces sont apparues
2) Dans un jeu de pile ou face, deux joueurs lancent alternativement une pièce de monnaie. Le
premier qui obtient pile a gagné. Quelle est la probabilité pour que pile apparaisse pour la
première fois au n-ième lancer ? En déduire la probabilité que le gagnant soit le joueur qui entame
la partie.
3) Une famille a 10 enfants. Si on admet que la probabilité de donner naissance à un garçon est la
même que la probabilité de donner naissance à une fille, trouver la probabilité que la famille ait 5
garçons et 5 filles ? 3 garçons et 7 filles ?
Exercice 4 : Maximum de vraisemblance
1) Un éleveur de saumon tente d’estimer le nombre de poissons qu’il y a dans un de ses bassins. Très
futé et amateur de probabilités, il procède de la façon suivante : il retire 200 poissons du bassin et
leur met une marque sur la nageoire dorsale. Il remet ensuite ces saumons dans le bassin. Après un
certain temps (le temps que les poissons se re-mélangent) il retire à nouveau 250 poissons au
hasard. Il trouve que 25 d’entre eux sont marqués. Combien estime-t-il être le nombre de poissons
dans son bassin ?
2) Un fermier –aveugle- possède un champ de 10 m x10 m au milieu duquel il y a une mare de
surface inconnue. Ce fermier décide de jeter 100 pierres au hasard dans son champ et trouve que
40 d’entre-elles font un « plouf ». Donner une estimation de la surface de la mare.
Exercice 5 : Probabilité conditionnelle
On se propose d’appliquer le théorème de Bayes au jeu du « Monty Hall » : dans ce jeu télévisé, un
candidat se trouve devant 3 portes (notées P1, P2, P3). Derrière l’une de ces portes se trouve un objet
de grande valeur, les deux autres portes n’ouvrant sur rien. Le candidat choisit une porte (par ex P1) et
l’animateur ouvre une des deux autres (une des portes n’ouvrant sur rien bien entendu ... par ex P2).
Ensuite, le candidat doit choisir de façon définitive d’ouvrir une ou l’autre des portes restantes (P1 ou
P3). Laquelle choisiriez-vous ?
Exercice 6 : Variable exponentielle
Soit X une variable aléatoire exponentielle de paramètre
l
, c’est à dire de densité de probabilité :
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
>-
<
=0)exp(
00
)( xsix
xsi
xf
ll
Calculer la valeur moyenne et l’écart type de cette variable.
On suppose que la durée de fonctionnement d’une ampoule électrique suit une loi exponentielle de
paramètre 0.5 an-1. Calculer la durée de vie moyenne de l’ampoule ainsi que son écart type. On
suppose que l’ampoule fonctionne depuis n ans. Calculer la probabilité qu’elle fonctionne encore dans
m ans ? Quelle propriété remarquable observe-t-on?
Exercice 7 : Variable aléatoire continue : Calcul de trajectoires libres
Particule aléatoire confinée à l’intérieur d’un cercle
Une particule située en O sur un anneau circulaire de rayon a peut faire des
sauts aléatoires rectilignes jusqu’à un autre point de l’anneau. Quelle est la
longueur moyenne du saut effectué <r> ?
Oa
d j

3
Particule aléatoire confinée à l’intérieur d’un tube
Une particule est située en O sur un tube infini rectiligne de rayon a, peut faire des sauts aléatoires
rectilignes jusqu’à une autre point du tube. En utilisant des coordonnées cylindriques , montrer que la
longueur moyenne d’un saut est <r> = 2a. En réalité les particules ne quittent les surfaces de manière
purement aléatoire, dans le sens que toutes les directions d’émission accessibles ne sont pas
équiprobables. La probabilité de quitter une surface dans la direction définie par l’angle solide
élémentaire d W est proportionnelle à
cos
a
d
W
, où a est l’angle entre la normale à la surface
d’émission et la direction d’émission. The comportement est appelé loi des cosinus ou loi de Knudsen
et est caractéristique des processus d’émission aléatoire d’énergie comme l’émission de rayons g ou de
particules nucléaires à partir d’atomes non orientés. Calculer de nouveau la longueur moyenne d’un
saut ainsi que la longueur moyenne du saut projetée sur l’axe du tube <z>.
Exercice 8 : Théorème central limite : marche au hasard à une dimension
On considère une marche au hasard le long d’une droite par saut de longueur l. Les sauts sont
statistiquement indépendants. La marcheur a un probabilité p de se déplacer de +l et q de se déplacer de
–l à chaque saut. Après N pas, le marcheur a effectué n+ pas vers la droite et n- pas vers la gauche. Au
bout de N pas, le marcheur se situe donc à l’abscisse x=m l, où m =n+-n- est un entier positif ou négatif
(le point de départ a été choisi comme origine des coordonnées).
1) Déterminer les limites de variations de m et donner la relation entre p et q.
2) On veut calculer la probabilité P(N,m) pour que le marcheur se trouve en x=lm après N pas, dans
le cas où N=3 et p=q=1/2 ( marche non biaisée). Déterminer les valeurs possibles de m en
explicitant les séquences de pas correspondant à chacune des valeurs de m , et en déduire la
probabilité de chaque valeur de m.
3) On revient au cas général N quelconque. Calculer la probabilité P(N,m) pour que le marcheur se
trouve en x=lm après N pas en fonction de N, n+, p, q.
4) Vérifier la normalisation de P(N,m).`
5) Calculer le déplacement moyen <m> et l’écart quadratique moyen s =m-m ( )2.
6) Calculer la probabilité de retour au point de départ pour N pair et N impair.
7) On considère maintenant la limite des grandes valeurs de N.
8) Ecrire n+ comme une somme de N variables aléatoires indépendantes du type Bernoulli. Appliquer
le théorème central limite pour montrer que la variable Xn+= (n+-Np)/(Npq)1/2 suit une loi
normale centrée réduite, dans la limite N grand.
9) Soit dP(x) la probabilité de trouver le marcheur dans un petit intervalle dx autour de la position x,
dP(x) = ρ(x) dx. Utiliser le résultat obtenu à la question précédente pour montrer que la densité de
probabilité ρ(x) peut se mettre sous la forme ρ(x)=(√(2π)σ)-1exp(-(x-<x>)2/(2σ2)). Expliciter <x>
et σ.
Exercice 9 : Loi de Poisson
On a observé en Belgique en moyenne 2 accidents graves de la route par quart d’heure.
1) Quelle est la probabilité de n'observer aucun accident en un quart d'heure?
2) Quelle est la probabilité d'observer plus de 3 accidents en un quart d'heure?
3) Quelle est la probabilité de n'observer aucun accident en une heure?
4) Quelle est la probabilité d'observer 4 accidents en une heure?
Exercice 10 : Fluctuations de densité dans un gaz parfait
Un récipient de volume V contient un gaz parfait de N molécules. On suppose que la probabilité de
trouver une molécule est la même en tout point du récipient.
1) Ecrire la probabilité pour qu’une molécule déterminée se trouve dans un petit domaine de
volume v.
2) Calculer la probabilité P(n) pour qu’il y ait exactement n molécules dans ce domaine. En
déduire la valeur moyenne <n> de molécules contenues dans v.

4
3) Montrer que si v<<V, on peut écrire P(n) sous la forme d’une distribution de
Poisson : P(n)@n
n
n
!
e
-n. Calculer dans ce cas l’écart quadratique moyen
D n.
4) Application numérique : calculer <n>, D n, D n/<n> pour un petit domaine de 1mm3 dans une
enceinte contenant un gaz dans les conditions normales de température et de pression.
Exercice 11. Précision d’une mesure
A. La probabilité P( e )d e qu’un atome dans un gaz parfait monoatomique ait une énergie comprise
entre e et e+de est donnée par :P( e )=C e
1/2 exp(-
be )
1) Calculer l’énergie la plus probable
e
, l’énergie moyenne <e> et l’écart type De.
2) On décrit maintenant un système de N atomes sans interaction. L’énergie totale est E= e
i
i
=
1
N
å
somme de N variables aléatoires indépendantes e
i. Montrer que E
=
N
e
et
D
E
=
N
D
e
B. Une expérience de diffusion de la lumière mesure la constante d’absorption κ d’un échantillon
contenant 10000 particules. On constate que les fluctuations sont de l’ordre de Δκ/κ~10%.
Dans le but d’améliorer les résultats, sur combien de particules faudrait-il effectuer la mesure pour
ramener les fluctuations à 1% ?
C. Dans une expérience de diffusion inélastique des neutrons, on envoie un faisceau de neutrons
sur l’échantillon étudié. Les caractéristiques de cet échantillon sont déduites de la mesure du nombre
de neutrons diffusés par l’échantillon à un angle q et pour un transfert d’énergie ћ w avec l’échantillon.
Cette intensité est notée I. On appelle précision de la mesure du signal le rapport entre l’incertitude et
l’intensité du signal. Si l’on veut réduire de moitié l’incertitude d’une accumulation d’une heure (on
dit améliorer la statistique de la mesure), de combien doit-on rallonger le temps de mesure ? On
supposera que le flux de neutrons est constant dans le temps.
Exercice 12 : Mouvement aléatoire avec conditions absorbantes : fonction génératrice.
Le problème du mouvement aléatoire avec conditions aux limites absorbantes est souvent discuté
comme le problème de la « ruine du joueur », ou l’extinction d’une population après n générations, la
diffusion d’une particule avec paroi absorbante, le problème du premier passage etc… On formule le
problème comme suit :
On considère une série d’entiers ordonnés entre 0 et L. la ruine du joueur est effective lorsque celui ci
ayant une mise initiale de r € (0<r<L) perd son dernier euro. Le premier passage a lieu quand une
particule à la position initiale r atteint la position 0 pour la première fois.
On désigne par u(r; n) la probabilité qu’une particule initialement en r soit adsorbée à la position 0 au
bout de n sauts ( ou encore qu’un joueur avec une somme initiale de r € soit ruiné au bout de n coups.
1) Etablir l’équation reliant u(r; n+1), u(r+1; n), u(r-1; n) en fonction d p et q qui désignent
respectivement la probabilité de faire un saut en avant ( ou de gagner 1€) et de faire un saut en
arrière (ou de perdre 1€).
On a les conditions aux limites :
u
(
0
;
n
)
=
0
u
(
L
;
n
)
=
0
n
³
1
u(0;0) =1u(r;0) =0r>0
2) On définit la fonction génératrice pour la distribution de probabilité U(r,s)=u(r;n)s
n
n
=
0
¥
å.
Montrer que
0
),(
!
1
);(
=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
s
n
n
ds srUd
n
nru
3) Monter que U(r,s)=s pU r +1,s
(
)
+qU(r-1,s)
[
]
avec U(0,s)=1 et U(L,s)=0
4) En cherchant des solutions sous la forme U(r;s)=gr(s), monter que U(r,s)=c
+
g
+
r+c
-
g
-
r, où on
explicitera les fonctions,
g
+
et
g
-
ainsi que les constantes c+ et c-.